精品解析：2026年广西隆安县都结乡初级中学等校中考一模数学试卷

数学 （全卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个备选项中，只有一项符合题目要求，错选、多选或未选均不得分．） 1. 国际科考队通过冰钻钻透南极冰盖，派遣水下机器人对冰下湖进行探测，机器人从冰层下表面先向下潜至湖面以下740米，随后为调整观测角度，上浮120米，此时机器人所处的位置为（ ） A. 湖面以下520米 B. 湖面以下620米 C. 湖面以下740米 D. 湖面以下860米 2. 如图是生活中常见的一次性纸杯，它的杯身部分的主视图近似为（ ） A. B. C. D. 3. 作为广西首座抽水蓄能电站，南宁抽水蓄能电站装机容量千瓦，可推动广西能源低碳化转型，助力“双碳”目标实现．将数据用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列关于x的一元二次方程有实数根的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在图中大正方形的四个角上分别剪去直角边长为的直角三角形，若用两种不同的方法表示剩余部分的面积，则可以得到的代数恒等式为（ ）． A. B. C. D. 6. 学校开设了丰富的校本课程，甲和乙计划从“多彩剪纸”“趣味编程”“数学实验”三门校本课程中分别随机选择一门参加．两人恰好都选择“数学实验”这门课程的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 一木工有四根长分别为30厘米、50厘米、60厘米、90厘米的木条，要选其中三根木条钉成一个三角木架，木工的选法有（ ） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 8. 已知某函数的图象如图所示，则该函数的表达式可能是（ ）． A. B. C. D. 9. 如图是某商场设计的跨层手扶梯，已知扶梯的长度为，其中扶梯的仰角为，扶梯的仰角为，那么扶梯的高度为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，某游乐园内摩天轮的中心点距地面的高度为，摩天轮按逆时针方向作匀速运动．摩天轮上的一点自最低点点起，经过后，点的高度与的函数图像如图所示，在摩天轮转动的过程中，下列说法正确的是（ ） A. 当时，随的增大而增大 B. 摩天轮的直径为 C. 点离地面最高为 D. 点离地面时，摩天轮运动了 11. 古代民间有“碾米筹粮”的数学趣题，改编如下：某农户用石碾碾稻谷，若单独用甲碾，若干小时可碾完；若单独用乙碾，完成的时间比单独用甲碾多3小时．已知甲碾每小时碾米量是乙碾的倍，若设单独用甲碾碾完需x小时，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 12. 在综合与实践活动课上，老师引导同学们探究一种不依赖直尺和量角器的作图方法：仅通过折叠一张矩形纸片，作出已知直线l的平行线．某同学的折叠操作如图所示．第一次折叠：使直线l与自身重合，得到一条经过点A的折痕m；第二次折叠：使折痕m与自身重合，得到另一条经过点A的折痕n，则．在折纸的过程中蕴含的依据不可能是（ ） A. 折叠前后对应点的连线被折痕垂直平分 B. 内错角相等，两直线平行 C. 同旁内角互补，两直线平行 D. 垂线段最短 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 若二次根式有意义，则可以取___________．（写出一个即可） 14. 某校组织八年级学生针对“综合素质评价”中的“运动与健康”这一维度，进行了本学期的户外运动测试，测试有跑步、立定跳远、原地掷实心球、抛绣球四项，每项满分均为100分，在综合成绩中的占比如下表，小悦同学这四项的得分分别为85分，90分，85分，80分，则小悦这四项测试的综合成绩为______分． 项目 跑步 立定跳远 原地掷实心球 抛绣球 所占比例 35% 30% 25% 10% 15. 如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到，若点的对应点恰好落在线段上，连接，则______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，若为反比例函数图象上的一点，连接．若，则的值为_____． 三、解答题本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算、化简 （1）计算：； （2）化简：． 18. 风筝，古称“纸鸢”或“纸鹞”，最早起源于中国，已经有2000多年的历史．小颖查阅了有关风筝的资料，进行风筝制作． （1）下列风筝图案中，不是轴对称图形的风筝图案是______； （2）如图，小颖在单位长度为1的正方形网格中进行风筝骨架的设计，请以直线l为对称轴画出风筝骨架的另一半，并计算出的长． 19. 2026年1月1日起，某市持续实施新一轮消费补贴政策，涵盖汽车、家电、数码等领域．王叔叔家有一辆符合条件的旧车报废，根据政策，其购买新车可享受以下以旧换新补贴标准： 购买新车类型 补贴标准 最高补贴 新能源乘用车 新车售价的12% 20000元 2.0L及以下排量燃油乘用车 新车售价的10% 15000元 （1）按照以旧换新补贴标准，购买以下______车价格更低（填序号），并说明理由； ①售价16万元的新能源乘用车 ②售价16万元的2.0L排量燃油乘用车 （2）王叔叔计划在新能源乘用车A和2.0L排量燃油乘用车B之间选择一辆购买，计算后发现，购买其中任意一辆车可享受的补贴均未达到最高补贴，且补贴后的实际花费相等，若A车的售价比B车高3千元，请你求出A车和B车的售价各是多少万元？ 20. 如图，以的一边为直径作，过的中点，的延长线交于点，过点作于点，连接． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 21. 为全面促进学生德、智、体、美、劳全面发展，某中学对八年级的两个班分别开展不同的课后服务模式．其中，一班采用传统课后服务模式，以学科作业辅导为主；二班开展“五育融合”课后服务模式，设置了艺术创作、体育拓展、劳动实践等丰富多样的活动．一学期结束后，为了解两种课后服务模式的效果，学校对八年级一班和二班各名学生的综合素质进行评分（满分分）． 【数据收集与整理】一班和二班学生综合素质评分数据整理成如下所示的统计图、表（不完整）： 众数（分） 中位数（分） 平均数（分） 方差 一班 8 m 7.925 1.219 二班 8 8 n 0.978 （1）表中m的值为______，n的值为______，并补全统计图； （2）对于这次测试，班级成绩比较稳定的是______班（填“一”或“二”）； （3）在第二学期，对八年级一班的40名同学也实施了“五育融合”课后服务模式，学期结束后再次对一班的综合素质进行评分，已知全班同学的评分只有7分、8分、9分、10分四种，且中位数为8.5，众数人数9人求评分为10分的同学最多有多少人． 22. 综合与实践 【问题情境】如图所示是在平面直角坐标系中，甲、乙两名选手在某场羽毛球比赛中一个回合的示意图，其中是球距地面的高度，是球和原点的水平距离，甲在A处以扣球方式击球，乙在C处接球后以吊球方式回击． 【数学建模】扣球时羽毛球运动路线可近似看成一条直线，吊球时羽毛球运动路线可近似地看成一条抛物线．已知赛场中间拦网 ，双方最远边界到中间拦网的水平距离均为 ．在比赛后通过“鹰眼”技术回放，得到如下信息： 信息一：甲在A处击球时，距离拦网水平距离为，此时羽毛球距离地面的高度 ，在击球后，羽毛球从拦网正上方的B处飞过，再过到达点C． 信息二：乙在点C处回击，经过后，和交于点F．甲、乙击球后羽毛球均在水平方向上做匀速运动，其速度分别为，，． 【问题解决】 （1）求所在直线的表达式； （2）若乙回击球时，羽毛球在距离中间拦网左边处到达最高点．通过计算说明甲选择不接球是否正确； （3）若乙回击球，在甲选择不接球的情况下羽毛球不出界，且落点在距离边界处，求a的值． 23. 综合与探究 问题情境：有一条对角线与一组对边相等的平行四边形，称为双等腰四边形．以下对该图形的性质、判定和应用逐一进行探究． 探究性质： （1）如图①，若四边形为双等腰四边形，其中，，判断与的数量关系，并说明理由； 探究判定： （2）如图②，用两个全等的含角的直角三角形和直角三角形拼出一个矩形，固定，将沿的方向平移，使与交于点，与交于点．当时，求证：四边形是双等腰四边形； 探究应用： （3）如图③，在矩形中，分别为边上的点，连接，若四边形为双等腰四边形，且，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 （全卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个备选项中，只有一项符合题目要求，错选、多选或未选均不得分．） 1. 国际科考队通过冰钻钻透南极冰盖，派遣水下机器人对冰下湖进行探测，机器人从冰层下表面先向下潜至湖面以下740米，随后为调整观测角度，上浮120米，此时机器人所处的位置为（ ） A. 湖面以下520米 B. 湖面以下620米 C. 湖面以下740米 D. 湖面以下860米 【答案】B 【解析】 【详解】解：，故此时机器人所处的位置为湖面以下620米． 2. 如图是生活中常见的一次性纸杯，它的杯身部分的主视图近似为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据主视图是从正面看到的图形，可得答案． 【详解】解：主视图：从正面看，是一个上宽下窄的等腰梯形，即 3. 作为广西首座抽水蓄能电站，南宁抽水蓄能电站装机容量千瓦，可推动广西能源低碳化转型，助力“双碳”目标实现．将数据用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：数据1200000用科学记数法可表示为． 4. 下列关于x的一元二次方程有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】一元二次方程根的判别式为，根据根的情况，当时，方程有实数根判断即可． 【详解】解：A、由题意得 ， 则原方程没有实数根，不符合题意； B、由题意得 ， 则原方程没有实数根，不符合题意； C、由题意得 ， 则原方程没有实数根，不符合题意； D、由题意得 ， 则原方程有两个不相等的实数根，符合题意． 5. 如图，在图中大正方形的四个角上分别剪去直角边长为的直角三角形，若用两种不同的方法表示剩余部分的面积，则可以得到的代数恒等式为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先证明四边形是正方形，再分别利用割补法和勾股定理计算剩余部分的面积，即可得到答案． 【详解】解：如图，由题意可知， ， ∴，， ∴四边形是菱形， ∴ ， ∴， ∴四边形是正方形， ∵正方形的面积为：， 四个直角三角形的面积为：， ∴剩余部分面积为：， ∵直角三角形两直角边为， ∴斜边为， ∴剩余部分面积为正方形的面积：， ∴可得恒等式：． 6. 学校开设了丰富的校本课程，甲和乙计划从“多彩剪纸”“趣味编程”“数学实验”三门校本课程中分别随机选择一门参加．两人恰好都选择“数学实验”这门课程的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设“多彩剪纸”“趣味编程”“数学实验”分别记为，，，根据画树状图法求概率，即可求解． 【详解】解：设“多彩剪纸”“趣味编程”“数学实验”分别记为，， 画树状图如图， 共有种等可能结果，其中两人恰好都选择“数学实验”这门课程的有1种结果， ∴两人恰好都选择“数学实验”这门课程的概率为 7. 一木工有四根长分别为30厘米、50厘米、60厘米、90厘米的木条，要选其中三根木条钉成一个三角木架，木工的选法有（ ） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边，即可得出答案． 【详解】解：①选30厘米、50厘米、60厘米， ∵， ∴选30厘米、50厘米、60厘米能钉成一个三角木架，符合题意； ②选30厘米、50厘米、90厘米， ∵， ∴选30厘米、50厘米、90厘米不能钉成一个三角木架，不符合题意； ③选30厘米、60厘米、90厘米， ∵， ∴选30厘米、60厘米、90厘米不能钉成一个三角木架，不符合题意； ④选50厘米、60厘米、90厘米， ∵， ∴选50厘米、60厘米、90厘米能钉成一个三角木架，符合题意； 综上所述，木工的选法有2种． 8. 已知某函数的图象如图所示，则该函数的表达式可能是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：对于选项A：是一次函数，图象是一条直线，不符合题意； 对于选项B：当时，，不符合题意； 对于选项C：的图象为“V”型，且交轴于点，符合题意； 对于选项D：当时，，不符合题意． 9. 如图是某商场设计的跨层手扶梯，已知扶梯的长度为，其中扶梯的仰角为，扶梯的仰角为，那么扶梯的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解求得，解，即可求得． 【详解】解：在中，∵，， ∴， 在中，∵，， ∴， 则扶梯的高度为． 10. 如图，某游乐园内摩天轮的中心点距地面的高度为，摩天轮按逆时针方向作匀速运动．摩天轮上的一点自最低点点起，经过后，点的高度与的函数图像如图所示，在摩天轮转动的过程中，下列说法正确的是（ ） A. 当时，随的增大而增大 B. 摩天轮的直径为 C. 点离地面最高为 D. 点离地面时，摩天轮运动了 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象逐一判断即可． 【详解】解：结合函数图象分析，当时，随的增大先增大后减小，按此规律循环变化，故选项A错误； ，，摩天轮的直径为，故选项B错误； 点离地面的高度最高为，故选项C正确； 点离地面时，摩天轮运动了的时间点有很多个，故选项D错误． 11. 古代民间有“碾米筹粮”的数学趣题，改编如下：某农户用石碾碾稻谷，若单独用甲碾，若干小时可碾完；若单独用乙碾，完成的时间比单独用甲碾多3小时．已知甲碾每小时碾米量是乙碾的倍，若设单独用甲碾碾完需x小时，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将总工作量看作单位1，先根据题意表示甲、乙的工作时间和工作效率，再根据甲、乙效率的倍数关系列方程即可． 【详解】解：∵设单独用甲碾完需小时，乙完成时间比甲多3小时， ∴乙单独完成需要小时， 将总工作量看作单位1，可得甲的工作效率为，乙的工作效率为， ∵甲每小时碾米量是乙的倍，即甲的工作效率乙的工作效率， ∴，整理得． 12. 在综合与实践活动课上，老师引导同学们探究一种不依赖直尺和量角器的作图方法：仅通过折叠一张矩形纸片，作出已知直线l的平行线．某同学的折叠操作如图所示．第一次折叠：使直线l与自身重合，得到一条经过点A的折痕m；第二次折叠：使折痕m与自身重合，得到另一条经过点A的折痕n，则．在折纸的过程中蕴含的依据不可能是（ ） A. 折叠前后对应点的连线被折痕垂直平分 B. 内错角相等，两直线平行 C. 同旁内角互补，两直线平行 D. 垂线段最短 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线的判定定理进行判定即可． 【详解】解：由第一次折叠可得，依据是折叠前后对应点的连线被折痕垂直平分，同理第二次折叠可得，根据内错角相等，两直线平行或同旁内角互补，两直线平行均可得到，没有用到垂线段最短． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 若二次根式有意义，则可以取___________．（写出一个即可） 【答案】0（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围，在取值范围内任写一个符合条件的值即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：， ∴可以取0． 14. 某校组织八年级学生针对“综合素质评价”中的“运动与健康”这一维度，进行了本学期的户外运动测试，测试有跑步、立定跳远、原地掷实心球、抛绣球四项，每项满分均为100分，在综合成绩中的占比如下表，小悦同学这四项的得分分别为85分，90分，85分，80分，则小悦这四项测试的综合成绩为______分． 项目 跑步 立定跳远 原地掷实心球 抛绣球 所占比例 35% 30% 25% 10% 【答案】86 【解析】 【分析】根据加权平均数的定义列式计算即可． 【详解】解：∵ （分）， ∴小悦这四项测试的综合成绩为86分． 15. 如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到，若点的对应点恰好落在线段上，连接，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形内角和定理求得，由旋转知，，从而求出的度数，即可解决问题． 【详解】在中，，， ∴ ， 由旋转得，， ∴． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，若为反比例函数图象上的一点，连接．若，则的值为_____． 【答案】16 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据根据，得，求出． 连接，作轴于点，容易证明，可得，从而可得，在中，由勾股定理求出，即可得到点，代入即可求出答案． 【详解】解：如图，连接，作轴于点， 点，点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， 设， ∵， ∴， 解得：，（不合题意舍去） ∴点， 点为反比例函数图象上的一点， ∴， 故答案为：． 三、解答题本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算、化简 （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 18. 风筝，古称“纸鸢”或“纸鹞”，最早起源于中国，已经有2000多年的历史．小颖查阅了有关风筝的资料，进行风筝制作． （1）下列风筝图案中，不是轴对称图形的风筝图案是______； （2）如图，小颖在单位长度为1的正方形网格中进行风筝骨架的设计，请以直线l为对称轴画出风筝骨架的另一半，并计算出的长． 【答案】（1）C （2）见解析；AB的长为 【解析】 【小问1详解】 解：题目风筝图案中，不是轴对称图形的风筝图案是C选项，其他选项都是轴对称图形； 【小问2详解】 解：画出风筝骨架另一半如解图所示： 由勾股定理得． 19. 2026年1月1日起，某市持续实施新一轮消费补贴政策，涵盖汽车、家电、数码等领域．王叔叔家有一辆符合条件的旧车报废，根据政策，其购买新车可享受以下以旧换新补贴标准： 购买新车类型 补贴标准 最高补贴 新能源乘用车 新车售价的12% 20000元 2.0L及以下排量燃油乘用车 新车售价的10% 15000元 （1）按照以旧换新补贴标准，购买以下______车价格更低（填序号），并说明理由； ①售价16万元的新能源乘用车 ②售价16万元的2.0L排量燃油乘用车 （2）王叔叔计划在新能源乘用车A和2.0L排量燃油乘用车B之间选择一辆购买，计算后发现，购买其中任意一辆车可享受的补贴均未达到最高补贴，且补贴后的实际花费相等，若A车的售价比B车高3千元，请你求出A车和B车的售价各是多少万元？ 【答案】（1）①；理由见解析 （2）A车的售价是13.5万元，B车的售价是13.2万元 【解析】 【分析】（1）根据购买新车可享受的以旧换新补贴标准分别计算，比较后即可得到答案； （2）设A车的销售价格为x万元，则B车的销售价格为万元，根据题意列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：①； 理由如下： ∵（万元），1.92万元2万元， （万元），1.6万元1.5万元， ∴售价16万元的新能源乘用车补贴后实际花费为（万元）, 售价16万元的2.0L排量燃油乘用车补贴后实际花费为（万元）， ∵14.08万元14.5万元， ∴购买①车价格更低； 【小问2详解】 设A车的售价为x万元，则B车的售价为万元． 根据题意可列方程为， 解得 ， ∴（万元）， 答：A车的售价是13.5万元，B车的售价是13.2万元． 20. 如图，以的一边为直径作，过的中点，的延长线交于点，过点作于点，连接． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，证明，，结合得出 ，即可得证； （2）连接，过点作于点，则，由（）得，，设，则 ，在中，根据勾股定理建立方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 证明：如图，连接 是的直径， ，则， 是的中点， 垂直平分， ， ， 即， 是的半径， 为的切线； 【小问2详解】 解：如图，连接，过点作于点， 则，由（）得，， 则四边形是矩形， 设，则 ， 在中，， 即， 解得， ． 21. 为全面促进学生德、智、体、美、劳全面发展，某中学对八年级的两个班分别开展不同的课后服务模式．其中，一班采用传统课后服务模式，以学科作业辅导为主；二班开展“五育融合”课后服务模式，设置了艺术创作、体育拓展、劳动实践等丰富多样的活动．一学期结束后，为了解两种课后服务模式的效果，学校对八年级一班和二班各名学生的综合素质进行评分（满分分）． 【数据收集与整理】一班和二班学生综合素质评分数据整理成如下所示的统计图、表（不完整）： 众数（分） 中位数（分） 平均数（分） 方差 一班 8 m 7.925 1.219 二班 8 8 n 0.978 （1）表中m的值为______，n的值为______，并补全统计图； （2）对于这次测试，班级成绩比较稳定的是______班（填“一”或“二”）； （3）在第二学期，对八年级一班的40名同学也实施了“五育融合”课后服务模式，学期结束后再次对一班的综合素质进行评分，已知全班同学的评分只有7分、8分、9分、10分四种，且中位数为8.5，众数人数9人求评分为10分的同学最多有多少人． 【答案】（1）8；8.35，补全统计图见解析 （2）二 （3）评分为10分的同学最多有9人 【解析】 【分析】（1）求m：因为一班共人，中位数是排序后第、个数据的平均数，所以先累计各分数段人数，确定第、个数据对应的分数，计算得到m；求n：因为平均数为所有数据之和除以总人数，所以先根据统计图提取二班各评分对应的人数，计算总分后除以得到n；补全统计图时，先计算一班分的人数，再绘制对应高度的直条。 （2）判断成绩稳定性：因为方差越小数据波动越小、成绩越稳定，所以直接比较两个班的方差大小即可； （3）求分最多人数：先设7分、8分、9分、分的人数分别为变量，根据总人数为列等式；因为中位数是，所以排序后第、个数据分别为8和9，据此得到7分与8分人数之和、9分与分人数之和的范围；再结合众数为9分且人数为9人，要让分人数最多，则让8分人数尽可能少，联立关系求解最大值． 【小问1详解】 解：补全统计图如图所示， ∵一班和二班各40名学生， ∴一班得分为8分的人数为（人）， ∵一班得分数据从小到大排列后，第20和第21个数分别为8，8， ∴中位数， 二班的平均分． 【小问2详解】 ∵0.978<1.219， ∴二班成绩的方差小于一班成绩的方差， ∴二班的成绩比较稳定． 【小问3详解】 由题知，一班总人数为40人， ∵中位数为8.5， ∴将40名同学的成绩从小到大排列后，第20，21名同学的成绩分别为8分和9分， ∴评分为9分和10分的人数一共为20人， 又∵众数为9， ∴评分为10分的同学最多有9人． 22. 综合与实践 【问题情境】如图所示是在平面直角坐标系中，甲、乙两名选手在某场羽毛球比赛中一个回合的示意图，其中是球距地面的高度，是球和原点的水平距离，甲在A处以扣球方式击球，乙在C处接球后以吊球方式回击． 【数学建模】扣球时羽毛球运动路线可近似看成一条直线，吊球时羽毛球运动路线可近似地看成一条抛物线．已知赛场中间拦网 ，双方最远边界到中间拦网的水平距离均为 ．在比赛后通过“鹰眼”技术回放，得到如下信息： 信息一：甲在A处击球时，距离拦网水平距离为，此时羽毛球距离地面的高度 ，在击球后，羽毛球从拦网正上方的B处飞过，再过到达点C． 信息二：乙在点C处回击，经过后，和交于点F．甲、乙击球后羽毛球均在水平方向上做匀速运动，其速度分别为，，． 【问题解决】 （1）求所在直线的表达式； （2）若乙回击球时，羽毛球在距离中间拦网左边处到达最高点．通过计算说明甲选择不接球是否正确； （3）若乙回击球，在甲选择不接球的情况下羽毛球不出界，且落点在距离边界处，求a的值． 【答案】（1） （2）甲选择不接球是正确的，见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，，再利用待定系数法求表达式即可； （2）根据题意，利用待定系数法求出羽毛球运行的解析式 ，再判断即可； （3）求出此时抛物线的表达式为 ，根据最终羽毛球落点在距离边界处，则当 时，，代入可得计算即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，点A坐标为， ， ∴点B坐标为， 设， 将分别代入， 得 解得 ， 即所在直线的表达式为 ； 【小问2详解】 解：甲选择不接球是正确的，计算如下： 由题意可知，在甲击球后经过飞行的水平距离为， ， ， ∵再经过后到达点C， ∴点C横坐标为， 代入 可得，故点C坐标为， 乙在点C处回击，经过后，和交于点F，故此时羽毛球往回飞行的水平距离为，即点F横坐标为， 代入 可得，故点F坐标为， ∵羽毛球在距离中间拦网左边处到达最高点， ∴此时羽毛球最高点的横坐标为，即， 将分别代入中， 得， 解得， ， ∵场地最远边界到中间拦网的水平距离为6.7米， 当 时， ，故羽毛球会出界， ∴甲选择不接球是正确的； 【小问3详解】 解：由（2）可知抛物线一定过，两点， ∴ 解得， ∴抛物线的表达式为 ． ∵最终羽毛球落点在距离边界处， ∴当 时，， 代入可得 ， 解得， 故的值为． 23. 综合与探究 问题情境：有一条对角线与一组对边相等的平行四边形，称为双等腰四边形．以下对该图形的性质、判定和应用逐一进行探究． 探究性质： （1）如图①，若四边形为双等腰四边形，其中，，判断与的数量关系，并说明理由； 探究判定： （2）如图②，用两个全等的含角的直角三角形和直角三角形拼出一个矩形，固定，将沿的方向平移，使与交于点，与交于点．当时，求证：四边形是双等腰四边形； 探究应用： （3）如图③，在矩形中，分别为边上的点，连接，若四边形为双等腰四边形，且，直接写出的值． 【答案】（1），见解析 （2）见解析 （3）或 【解析】 【分析】（）先根据双等腰四边形和的条件，推出中，判定为等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的边长关系，得到； （）由平移性质证四边形是平行四边形，借助直角三角形边长关系证得它是菱形，再推出等边三角形，最终证出四边形为双等腰四边形； （）结合矩形和平行四边形性质推出，根据双等腰四边形分两种情况，利用等腰三角形三线合一与矩形边长关系，算出的值为或． 【小问1详解】 解：； 理由如下： ∵四边形为双等腰四边形，， ， 为等腰直角三角形， ； 【小问2详解】 证明：由平移的性质可知，，， ∴四边形是平行四边形，，， ， ， 在中， ，， ， ， ∴平行四边形是菱形， ， 如图①，连接， ∵， ∴是等边三角形， ， ∴四边形是双等腰四边形； 【小问3详解】 解：的值为或． 解：∵四边形为矩形， ，，， 四边形为平行四边形， ， ，， ， ∵四边形为双等腰四边形， ∴有以下两种情况：①当时，如图②，过点作于点， ，， 为的中点， ， ∵在矩形中，， ， ∴四边形为矩形， ， 又， ， ， ， ； ②当时，如图③，过点作于点， ， 为的中点，，， 设，则， ， ， 在矩形中，， ， ， ， ，由可得， ， ． 综上所述，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $