重庆市育才中学校2026届高三模拟预测（二）数学试题

高2026届高考模拟考试（二） 数学试题 (本试卷共150分，考试时间120分钟) 命题学校：重庆市育才中学校 注意事项： 1.答卷前，请考生先在答题卡上准确工整地填写本人姓名、准考证号； 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5mm黑色签字笔答题； 3.请在答题卡中题号对应的区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效； 4.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、损毁；考试结束后，将答题卡交回。 第I卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合A={2,4,5,7},集合B={x|x+2∈A,则A∩B= A.{2,4} B.{2,4,73 C.{2,5 D.{2,5,7} 2.已知a∈R,则“a<3”是“(a-3)(a-6)>0”的 A,充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.某中学高三年级物理类考生与历史类考生人数之比为5：3.现用分层抽样的方法从两个类别的考生中抽取一 个容量为8的样本.若从该样本中随机抽取3人参加座谈会，则物理类考生2人和历史类考生1人的不同抽 取方法数为 A.15种 B.30种 C.45种 D.90种 4.己知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x).若对任意x∈R,都有'(x)+1>0,且f(2)=-2,则不等 式f(x)>-x的解集为 A.(-0∞，-2) B.(-2,+o) C.(（-o,2) D.(2,+o0) 5。已知双黄线5：三茶-1的条新近线的斜率为石，则吸商线日的高心幸为 A.2 B.2√5 C.3 D.4 6、已知函数f=c0mx+孕@>0)在区间Q网恰有一个极值点，则函数f)的最小正周期可能为 A.π B.2元 C.3π D.4π 7.已知圆0：x2+y2=1,B(2,0),0点坐标原点，点C,D是圆0上的两个动点且OB-OD=√3，若 OE=OB+kOD(kER),则C园的最小值为 A.V3+1 B.2 C.5 D.5-1 8.在四面体ABCD中，AB=AD=2,BC=CD=10 、2，当四面体ABCD的体积最大时，BD的长度为 A. B.√2 C.2 D.4 2 数学试题第1页，共4页 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对 的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9.已知事件A,B,C的概率均不为0，则下列说法正确的是 A.若事件ASB,则P(A)≤P(B) B.P(AB)=P(A)-P(AB) C.若P(AC)=P(BC),则P(A)=P(B) D.若事件A与B相互独立，则P(AB)=0 10.抛物线E:y2=4x的准线为1，C的圆心坐标为（⑤，0），且抛物线E的焦点F恰在C上.P为E上一动点， 过点P作1的垂线，垂足为Q,过点Q作C的一条切线，R为切点，则下列说法正确的是 A.C的半径为3 B.|PF=4时，PQ与CQ夹角为30° C.当P,2,R三点共线时，|QC=213 D.满足|PF曰QR的点P有且仅有2个 1.已知数列包}的前：项和为8，若4=1，=a,0neN,则下列说法正确的是 A.HneN,Sn≤2 B.meN,an≤m有解 C.nmeN,3n≥3-2 2 ”-1 D.neN,an≥ n+1 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.复数z=(a-1)+(a+2)i(其中i为虚数单位)是实数，则实数a= 13.在数列{an}中，a1=226,an+1=an+100,若a,=2026,则n= 14.某数学试卷共有3道多项选择题，每题有A,B,C,D,4个选项，正确选项为2个或3个.得分规则：每题满 分6分，全部选对得满分，有错选或不选得0分；若正确选项为2个，选对1个得3分；若正确选项为3 个，选对1个得2分.已知甲、乙、丙、丁四位同学的作答及总得分情况如下表，则丁同学的总得分是 甲 乙 丙 人 9题 B AC BC BC 10题 AD AC AC 11题 ACD CD AD AC 得分 9 8 ✉ 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.(13分) 在4BC中，角4，B,C的对边分别为a,b,c,且满足bcosC =2a-c. cosB (1)求角B; (2)若AB=3,BC=9,点D为AC边上靠近点A的三等分点，求BD的长. 数学试题第2页，共4页 16.(15分) 如图，在棱长为6的正方体ABCD-AB,CD中M,N分别为AB,BC的中点，点P在棱CC上，且 CP=2PC. (1)证明：D、M、N、P四点共面； (2)设平面DMWP与棱4的交点为Q,求点Q到平面MBN的距离. Di A 17.(15分) 已知椭圆E:y2,x2 +京=1(a>b>0)的四个顶点围成的四边形面积为2W6,离心率e=5 （1)求出椭圆的标准方程； (2)过椭圆E的上焦点F2(0,c)作直线1与椭圆E交于A,B两点，是否存在直线1使得AF=2FB？若存在， 求出直线1的方程：若不存在，请说明理由 数学试题第3页，共4页 18.(17分) 2026年3月13日，在第七个国际数学日即将来临之际，重庆育才中学的师生们共同策划了一场别开生面的 “HppyπDay庆祝活动，其中校园闯关活动的游戏规则如下：闯关问题按照难度分为基础类与挑战类，每 类问题都存在若干数量，每名学生回答对基础类问题的概率为1，回答对挑战类问题的概率为】，且每名学 4 生回答问题相互独立.若本次回答的是基础类问题，则下一次回答挑战类问题；若本次回答的是挑战类问题， 则下一次等可能地回答基础类问题或挑战类问题，如此循环，每名学生均首次回答基础类问题，且只需答对 一个问题即认为通过该项闯关活动. (1)若小明有三次答题机会，求小明未通过该闯关活动的概率； (2)若高中年级共有128名学生参加本次闯关活动，且每名学生有四次答题机会，设X表示通过该闯关活 动的人数，求X的期望； (3)若不限制小明的答题次数，求小明最终以答对基础类问题通过该闯关活动的概率， 19.(17分) 帕德逼近在函数近似理论中具有重要地位，它通过有理函数（两个多项式之比）实现对给定函数的高效逼近， 有效克服了传统多项式近似在大区间内误差累积的缺陷.已知函数f(x)在x=0处的[m,n]阶帕德近似定义 6+Ax+产+6.产，且满足f0=R0l.了o=R0,fyO=R0-寸“0)=R0. 为：Rx)=a6+ax+a2r2+…amxm 其中f(x)=((x),f()=(…fa(x)=-.已知f)=nx+1)在x=0处的2,2]阶帕德 近似为R(x)= a+ax+ 1+x+2x2 （其中e为自然常数，1≈0，.37) 6 (1)求a,a1的值； (2)若对于Vx∈[0，+o),不等式fx)-kR(x)≥0恒成立，求k的取值范围； (3)证明：当x>0时，×>号 (审题、命题人：彭国富、帅亚军、胡莎、王银川) 数学试题第4页，共4页高2026届高考模拟考试（二）数学试题参考答案及评分建议 题号 1 3 9 10 11 12 13 14 答案 AB BCD BCD -2 19 12 15.(13分) 解：(1)因为bcosC =2a-c,由正弦定理可得， cos B sin BcosC -=2sinA-sinC,也即sin BcosC=2 sin AcosB-sinCcos B,…(3分) cosB sin BcosC+sin Ccos B=2 sin AcosB,又因为sin(B+C)=sin(π-A)=sinA, 所以sinA=2 sinAcosB,且sinA≠0， …(6分) 所以cosB=2因为Be0,所以B 3 ，…(7分) (2)因为点D为4C边上靠近点A的三等分点，所以D=B+BC,…(9分) 丽=+C+丽C =2+2+g2acms -9+81+2x9g3x=9。 1 4 所以BD非9，即BD的长为.…(13分) 16.(15分) 法1： 解：(1)在正方体ABCD-4B,CD中，以点D为坐标原点，建立如图所示 的空间直角坐标系， 则D(0,0,6),M(6,3,0),N(3,60),P0,62),…(2分) 则不=(-3,30)，D=(-6,-3,6),而=(-6,32)，…(3分) 于是4N+MD=3MP,…(5分) 即向量瓜，而，M丽共面，又向量瓜， M而，MP有公共点M,所以D、M、N、P四点共面.…(7分) (2)设Q(6,0,),则M0=(0,-3,),由点Qe平面DMNP,得M0=1瓜+uMD, 即@-)=-3以20+(-6-6创.解将=-号-写1-2，即Q602.…9分) M0=(0,-3,2),而B(6,6,6), 则MB=(0,3,6),MN=(-330), …(10分) 设平面8V的法向量万=kx,则红：狐=0即 [3y+6:=0 7.MN=0 -3x+3y=0 令x=1,得n=(2,2,-1), …(12分) 设点Q到平面MBN的距离为d, 则-延-，所以点Q到平面M8V的距离为 8 …(15分) 3 法2：(1)延长MN交DC于点H,连接DH交CC于点T,易得CT=2TC,所以点T与点P重合，故 D、M、N、P四点共面 (2)等体积法，连接QB,QN,设点Q到平面MB,N的距离为d,易得'x-es=。-4,即 方BNx5s方dx5,2x3=写受d,解得d=号点Q到平面8N的距离为号 Γ32 17.(15分) 解：（1)由e=三5，得=3汇，，(2分) a 3 由椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为2√ 可得)×2a×2b=26,即b=6, ……(4分) 再由d2-b2=2, 解得a=5,b=反， 所以椭圆的方程为上+上三。… +2 …(6分) (2)由(1)知F(0,),设点4，片)，Bx2,为)， 当直线I的斜率不存在时，上：x=0,此时AF=√5±1,4F=√3干1， 不满足A=2FB,舍去： ……(7分) y=e+1 +=1·消去到 当直线1的斜率存在时，设直线1的方程为y=:+1,联立2x2_ (2k2+3)x2+4-4=0,其中△=16k2+162k2+3)>0, -4k x+为=20+3 -4 …(9分) =22+3 A5=2FB.0-x1=2(x2-0)即=-2x32 -4k x+为=-=2k2+3 …(12分) =-2=2+3 -4 4k =2k2+3 解得：- “s 2 “直线/的方程为y=士巨 2x+1.4…（15分） 18.(17分) 解：(1)设小明三次答题均未通过活动为事件A, 则p4号-品 …(5分) (2)设每名学生四次均未通过活动为事件B, …(8分) 由题意可得X~4(28签】 …(10分) 所以E(X）=128× 95 ………(12分) (3)设乃为首先回答基础类问题开始，且最终回答基础类问题通过活动的概率：乃为首先回答挑战类 问题开始，且最终回答基础类问题通过活动的概率， 1.2 由全概率公式可得：月=行十有A,…（14分） ni). ”（16分) 由上式可得A=)B=写 所以小明最终通过答对基础为问圈通过活动的概率为}】 …(17分) 19.(17分) 解：(1))=n(x+以f)= x+70)=0f0)=1 所以ao=R0)=f0)=0, …(1分) R'(x)= …(3分) 即有R(0）=g1=f(0)=1.…(4分) (2)x0,+o)不等式fx)-Rx)≥0恒成立，令F)=fx)-kRx),FO)=0,…(5分) x+5 由(1)可知R(x)= 1+x+6+6+,F)= 6x+3x2 -k.2x2+36x+36) x+1 …(7分) 6+6r+x2 6 由题意，有F0)=1一k≥0，k≤1（必要性），……(8分) 下证（充分性）： 欲证明fx)-kRx)≥0，对于x∈0，+o)时，恒成立，其中)≥0， 即证明fx)-x)之0恒成立. 令Fx)=fx)-Rx), o=0学66“a可0,0 112x2+36x+36 x4 可得Fr)20,Fr)在0，+∞)单调递增， 从而F(x)2F何)=0，证明完毕.…(11分) (3)欲证明>子，只需证明nx>n号 …(12分) G(x)=xInx,G'(x)=1+Inx, 「1 当G'()20时，x6m …(15分) 当ck,s0)co目)- 下证号，由②)可知， e f)=ln1+x小≥6r+3xd 6+6r+x …(16分) 3 取x=7,则有n之 3+3子15之0.4>037，证明完毕.…（17 26+3+37 e 4