精品解析：江西吉安市四所省重点中学2025-2026学年高一下学期第二次联考数学试卷

江西省吉安市四所省重点中学2025-2026学年高一下学期第二次联考数学试卷 一、单选题 1. 已知向量，，若与的夹角为锐角，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量减法，向量的数量积及向量共线的坐标表示的公式即可求解. 【详解】因为，，所以. 又与的夹角为锐角，所以，且与不共线， 则，解得，且. 即x的取值范围为. 故选：C 2. 在中，角的对边分别是，则的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定的 【答案】C 【解析】 【详解】因为，由正弦定理得，所以 因为，所以. 所以为的最大角. 由余弦定理可得， 所以是钝角，则是钝角三角形． 3. 若，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用，结合三角恒等变换可求值. 【详解】因为，，，， 所以，， 所以 ， 则． 故选：D. 4. 已知，则（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据半角公式得，所求式子可化为，代入即可求出答案. 【详解】因为， 所以， ， 故选：A. 5. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意可得， 所以， 可得. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用两角和正弦公式展开，再利用辅助角公式和诱导公式化简即可求值. 【详解】由 ， 则， 故选：B 7. 已知定义在上的奇函数和偶函数，，则当时，的最大值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用奇偶性列方程，解方程，可得到的解析式，进而可得到的表达式，利用三角函数最值的求法可得答案. 【详解】已知， 将  替换为 ， 得：， 因为为上的奇函数，为上的偶函数， 所以 ，， 则， 联立， 两式相减得：， 当  时， ， 由于 ，则 ， 当  即  时，取得最大值 ， 所以的最大值为 . 故选：D 8. 已知平面向量满足：，，则的最小值为（　　） A. 2 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题中条件，可以设，，，运用不等式的相关解法，即可得到结果. 【详解】设，，,由得：，解得， ， 由基本不等式得，当且仅当，即时取等号. 所以 故选：C 二、多选题 9. 下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】逆用和差角公式及二倍角公式逐项化简判断. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B错误 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 10. 在中，，为线段上（不与端点重合）的两点，且，下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则的面积是 【答案】BCD 【解析】 【分析】由即可判断A；利用向量数量积的运算可判断B；分别在和中用正弦定理可判断C；D选项先证明得，再在中用正弦定理建立方程可得角，进而可求的面积. 【详解】对于A，，， 因为，为线段上的两点，且，所以，且， 则 ，故A错误； 对于B，, 化简得， 所以， 取BC的中点G，连接AG，则，所以三角形ABC是等腰三角形，且，故B正确； 对于C，当时，点分别是线段的三等分点， 设，则，， 设，则，， 在中，由正弦定理得， 即， 所以， 在中，由正弦定理得， 即，化简得， 因为，所以，即，故C正确； 对于D，由，，可得点分别是线段的三等分点， 则，设，， 依题意有，， ，， 所以，， 在中，由正弦定理得， 即，所以，， 同理在中，由正弦定理可得，， 在中，由正弦定理得， 即， 整理得， 即，因为， 所以或，即或， 当时，，不合题意舍去， 故可得，此时，，， ， 在中，由正弦定理得， 即，而， 所以可得，整理可得， 因为，所以，解得， 则此时，， 所以的面积，故D正确. 故选：BCD 【点睛】思路点睛：此题D选项比较难，解决此题的思路是可先证得，再在中用正弦定理建立方程可得角，进而可求的面积. 11. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列命题正确的是（ ） A. 若且，则是直角三角形 B. 若，则为锐角三角形 C. 若，且，则该三角形内切圆面积的最大值是 D. 若，，分别表示，的面积，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用同角的三角函数关系以及正弦定理判断A；利用余弦定理可判断B；根据正弦定理边化角结合三角恒等变换，确定三角形为直角三角形，再求得内切圆半径的范围，即可判断C；根据向量的线性运算构造三角形，利用三角形重心性质可判断D. 【详解】对于A，由可得， 即，则； 由得, 由于为三角形内角，则或，即或， 综合可得，即是直角三角形，A正确； 对于B，由可得， 即，即， 故，C为三角形内角，故C为锐角，但不能判定为锐角三角形，B错误； 对于C，，则， 故， 即， 即，即， 由于，故，由于， 设三角形内切圆半径为r，则 ， 因为，则， 所以，即， 故该三角形内切圆面积的最大值是，C正确； 对于D，若，设， 则，可得O为的重心，如图： 设，则，， 由于O为的重心，延长交与E，则E为的中点； 则， 同理可得, 故，不妨取， 可得，D正确， 故选：ACD 【点睛】难点点睛：本题考查知识点较多，计算量较大，解答时要能综合应用三角函数的相关知识以及向量的有关知识进行解答. 三、填空题 12. 一个物体在力的作用下，从点移动到点，则对该物体所做的功的大小为__________. 【答案】10 【解析】 【分析】根据两点坐标求出位移向量，再利用向量数量积的坐标运算公式计算力对物体所做的功. 【详解】因为，，所以， 则对该物体所做的功的大小为. 故答案为：10. 13. 函数的值域为_____． 【答案】 【解析】 【详解】使用二倍角公式 ，将原函数化为 ， 整理为关于 的二次函数， 令 ，可知 ， 因此， 易知该抛物线的对称轴为， 因此函数 在区间 上是单调递减的， 所以函数最大值在 处取得，即 ， 最小值在 处取得，即 ， 因此，该函数的值域为 ． 14. 如图，，，三点位于同一水平面，位于的北偏西方向，位于的北偏东方向，在的正西方向，且，之间的距离为50米，处正上方建有一栋楼房，处正上方建有一座塔，从处观察塔尖，测得仰角为，从楼房顶处观察塔尖，测得仰角为，则楼房的高度为__________米． 【答案】25 【解析】 【分析】画出图形，通过作辅助线将空间几何问题转化为平面几何问题通过三角函数即可解决. 【详解】由题意知，，，，米，. 则米，米. 过点作，交于点， 则米，，所以米， 所以米， 故楼房的高度为25米. 四、解答题 15. 已知向量，满足，. （1）求； （2）若与同向，求的坐标； （3）若，求与的夹角. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用坐标计算模即可. （2）利用共线向量定理，结合向量的坐标运算求解. （3）利用向量的运算律及夹角公式求解. 【小问1详解】 由，得. 【小问2详解】 由与同向，令，则，而，解得， 所以. 【小问3详解】 由，得，即，解得， 因此，而，则， 所以与的夹角是. 16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，． （1）求角A； （2）若D是线段的中点，且，求； （3）若为锐角三角形，求的周长的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先应用正弦定理化边为角，再应用两角和的正弦公式计算化简得出角； （2）先根据向量关系，左右两边平方后结合余弦定理得出，进而得出面积即可； （3）应用正弦定理边角转化应用辅助角公式化简，再根据角的范围应用正弦函数的性质求解． 【小问1详解】 解：由正弦定理可知， ， ， 又，， ， ，， ，； 【小问2详解】 解：由（1）及余弦定理得，即①， 又因为，则， 则， 即， 所以②， 由得， 所以； 【小问3详解】 解：由（1）得，则， 即， 由正弦定理可知，， 所以 ． 因为为锐角三角形，所以，， 则，， 则，即， 则， 故的周长的取值范围为． 17. 在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答， 问题：在中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且______． （1）求角B； （2）已知，D为线段AC上的一点． ①若BD是边AC上的高，求BD的最大值； ②若，求BD的最大值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）选①时，用正弦定理把边化为角，约去不为的，得到与关系，进而求出，确定的值. 选②时，根据三角形面积公式化简条件，同样得到与关系，求出确定. 选③时，利用三角函数的两角和正切公式，结合已知条件求出，从而得到的值. （2）①通过三角形面积公式得出BD与ac的关系，再利用余弦定理和基本不等式求出ac的最大值，进而得到BD的最大值； ②先根据正弦定理求出外接圆半径，再利用向量关系得到的表达式，通过三角函数的恒等变换化简，最后根据的取值范围求出的最大值，从而得到BD的最大值. 【小问1详解】 选择①：条件即， 由正弦定理可知，， 在中，，所以，， 所以，且，即，所以 选择②：条件即， 即， 在中，，所以，则，所以，所以 选择③：条件即， 所以， 在中，，所以． 【小问2详解】 ①因为的面积，所以 在中，由余弦定理得： 所以，从而 当且仅当取等．所以BD的最大值为 ②由正弦定理得：，R为外接圆半径， 因为， 则 因为，故当，即时，取得最大值 则BD的最大值为 18. 如图，在中，已知，，，E，F分别为，上的点，且，． （1）求； （2）用向量方法证明：； （3）若线段上一动点P满足，试确定点P的位置． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）是线段的中点 【解析】 【分析】（1）记，利用向量的线性运算将表示为的关系式，再利用向量的数量积运算即可得解； （2）将表示为的关系式，从而利用向量的数量积运算计算即可得证； （3）利用向量的中点性质与共线定理即可得解. 【小问1详解】 依题意，记， 因为，所以，， 因为， 所以， 则， 故. 【小问2详解】 因为，所以， 所以， 则，即. 【小问3详解】 因为，所以是的中点，故， 因为，所以，即， 所以是线段的中点. 19. 定义函数的“积向量”为，向量的“积函数”为. （1）设向量的“积函数”为，若且，求的值； （2）若向量的“积函数”满足，求的值； （3）已知，且，设（，），且的“积函数”为，其最大值为，证明：. 【答案】（1） （2） （3） 设，， 则 于是 ， 而， 当且仅当存在使得时取等号，，， 两式相减得，则，，即， 因此， 所以. 【解析】 【分析】（1）由已知可得，根据三角函数的性质求解即可； （2）令，由已知根据三角恒等变换求解即可； （3）由已知可得，根据三角函数的有界性可得最大值和与的关系，从而可证得. 【小问1详解】 依题意，， 则，由，得，则， 所以. 【小问2详解】 向量的“积函数”为， 令，则 ， 于是，，即，， 所以. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省吉安市四所省重点中学2025-2026学年高一下学期第二次联考数学试卷 一、单选题 1. 已知向量，，若与的夹角为锐角，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 在中，角的对边分别是，则的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定的 3. 若，，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. 0 B. C. D. 5. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. 1 B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知定义在上的奇函数和偶函数，，则当时，的最大值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 8. 已知平面向量满足：，，则的最小值为（　　） A. 2 B. C. 2 D. 二、多选题 9. 下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 在中，，为线段上（不与端点重合）的两点，且，下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则的面积是 11. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列命题正确的是（ ） A. 若且，则是直角三角形 B. 若，则为锐角三角形 C. 若，且，则该三角形内切圆面积的最大值是 D. 若，，分别表示，的面积，则 三、填空题 12. 一个物体在力的作用下，从点移动到点，则对该物体所做的功的大小为__________. 13. 函数的值域为_____． 14. 如图，，，三点位于同一水平面，位于的北偏西方向，位于的北偏东方向，在的正西方向，且，之间的距离为50米，处正上方建有一栋楼房，处正上方建有一座塔，从处观察塔尖，测得仰角为，从楼房顶处观察塔尖，测得仰角为，则楼房的高度为__________米． 四、解答题 15. 已知向量，满足，. （1）求； （2）若与同向，求的坐标； （3）若，求与的夹角. 16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，． （1）求角A； （2）若D是线段的中点，且，求； （3）若为锐角三角形，求的周长的取值范围． 17. 在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答， 问题：在中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且______． （1）求角B； （2）已知，D为线段AC上的一点． ①若BD是边AC上的高，求BD的最大值； ②若，求BD的最大值． 18. 如图，在中，已知，，，E，F分别为，上的点，且，． （1）求； （2）用向量方法证明：； （3）若线段上一动点P满足，试确定点P的位置． 19. 定义函数的“积向量”为，向量的“积函数”为. （1）设向量的“积函数”为，若且，求的值； （2）若向量的“积函数”满足，求的值； （3）已知，且，设（，），且的“积函数”为，其最大值为，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $