四川字节精准教育联盟2026届高考考前自测（二）数学试题

**基本信息** 2026年高考数学冲刺卷（三模）以“奋斗者”号深潜器校准、蓝藻生态等真实情境为载体，覆盖函数、几何、概率等核心知识，梯度设计适配高考冲刺综合能力检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|集合运算（第1题）、复数运算（第2题）|基础概念与运算，难度0.85-0.92| |多选题|3/18|函数性质（第9题）、立体几何动态问题（第10题）|多维度辨析，考查逻辑推理| |填空题|3/15|双曲线离心率（第12题）、切线方程（第13题）|中档综合，知识迁移应用| |解答题|5/77|概率模型（第17题深潜器校准）、函数导数综合（第19题）|真实情境建模，跨模块综合应用|

试卷启封前按机密事项保管 SCGK 字节精准教育联盟·高考冲刺 2026年普通高考冲刺试题（二） 数 学 ZJ-GZ-GA-2026S-G26-GKMN2 AI赋能·精准测评 考生注意： 1. 试卷分为试题卷和答题卡两部分，试题卷和答题卡各1张。 2. 试题卷共4页，答题卡共2面，满分150分，测试时间120分钟。 3. 答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将试题卷和答题卡内项目填写清楚。 4. 考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 5. 考试结束后，请将试题卷、答题卡和草稿纸一并交回。 ◈预祝你们考试成功◈ 郑重提醒 考生须在考试开始前检查试题卷和答题卡，若存在缺页、漏印、字迹模糊等情况，应于开考前向监考员报告；开考后报告的，延误的考试时间不予补足。对试题内容有疑问，不得向监考员询问。 考试结束前，严禁拍照、传播、上传试题卷及答题卡至任何网络平台，违者依规严肃处理。 请严格遵守考试纪律，违纪舞弊行为将按相关规定严肃处理。 一、选择题：共8小题，每小题5分，满分40分。在每题所给出的四个选项中，只有一项是正确的。 1．已知全集，集合，则集合元素的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．设复数（i为虚数单位），则的共轭复数为（    ） A． B． C． D． 3．一组从小到大排列的数据：1，2，3，4，5，7，，14，22，23.若分位数是中位数的两倍，则的值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．14 4．为圆内异于圆心的一点，则直线与该圆的位置关系为（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交 5．记为等比数列的前项和，若，，则（   ） A．16 B．18 C．24 D．32 6．如图，某湖泊蓝藻的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系满足，则下列说法不正确的是（    ） A．蓝藻面积每个月的增长率为 B．蓝藻每个月增加的面积都相等 C．第4个月时，蓝藻面积就会超过 D．若蓝藻面积蔓延到所经过的时间分别是，则一定有 7．已知定义在R上的函数，其导函数为，当时，．若，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 8．将两个球放入棱长为1的正方体中，则这两个球体积和的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：共3小题，每小题6分，满分18分。在每题所给出的四个选项中，有多项是正确的，全部选对得满分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 9．定义在上的函数满足当时，，其中，则下列结论中正确的有（    ） A． B． C．当时，若在区间内恰有两个零点，则的取值范围是 D．任意， 10．已知矩形，若点为边上的一动点（不包括端点），现将沿着翻折成，使得平面平面，并记为.则（    ） A．存在点，使得 B．任意点，都有 C．存在两点，使得它们所确定的直线与垂直 D．任意两点，它们所确定的直线与平面的所成角都小于 11．已知无穷数列的前n项和为，且对于任意，（且），则下列结论正确的是（   ） A．存在，使得是常数列 B．任意，有最大项，无最小项 C．存在，使得是周期数列 D．任意，不是递增数列 三、填空题：共3小题，每小题5分，满分15分。 12．已知，是双曲线的左、右顶点，，是双曲线上的点，设直线的斜率为，直线的斜率为，且，则双曲线的离心率为_______． 13．函数，过点，，可以作函数的两条切线，求实数的取值范围______. 14．在正四棱台中，，点是四边形内的动点（含边界）.若点在线段上，则点到直线的距离的最小值为_______；若，则点的轨迹长度为______. 四、解答题：共5小题，满分77分。解答时要写出相应的步骤与公式定理，在必要的地方写出文字描述。 15．（13分） 已知分别是的内角的对边，. (1)求； (2)若，的面积为，求. 16．（15分） 如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，是斜边为AD的等腰直角三角形， (1)求证：平面 (2)求PB与平面PCD所成角的正弦值； (3)在棱PB上是否存在点M，使得平面ADM与平面ABCD所成角的余弦值为若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 17．（15分） 在我国深海万米探测工程中，“奋斗者”号深潜器需在极端高压环境下完成姿态校准.工程师设计了一套算法：“向正方向姿态修正一次”记为个单位，向“负方向姿态修正一次”记为个单位.假设向正负方向姿态修正是等可能的. (1)求6次姿态修正后达到个单位的概率； (2)以下三种情况将导致校准流程终止： 情况1：累计姿态偏移达到个单位（校准到位）； 情况2：累计姿态偏移达到个单位（需紧急干预）； 情况3：完成6次姿态修正（能源耗尽）. （ⅰ）求在能源耗尽的条件下校准到位的概率； （ⅱ）设随机变量X表示终止时姿态修正的次数，求． 18．（17分） 已知双曲线的焦距为，渐近线方程为． (1)求的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线，若与的右支交于两点，与的右支交于两点，线段与的中点分别为，且在第一象限． （i）证明：直线过定点； （ii）直线与交于点，求面积的最小值． 19．（17分） 已知函数（，且）、（，且）、. (1)若、，求函数的极值； (2)若函数与（，且）的图象存在公切线，求实数的取值范围； (3)已知且，若函数与的图象有三个公共点，求实数的取值范围. 第4页，共4页 高三数学试题 第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 字节精准教育联盟·高考冲刺 2026年普通高考冲刺试题（二） 数学参考答案与试题解析 ZJ-GZ-GA-2026S-G26-GKMN2 AI赋能·精准测评 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C D A C C B A D ABD BCD BCD 1．C 【难度】0.88 【知识点】补集的概念及运算 【详解】由题集合， 所以， 所以集合元素的个数是4. 2．D 【难度】0.92 【知识点】复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【详解】由题意得，故 3．A 【难度】0.85 【知识点】计算几个数的中位数、总体百分位数的估计 【分析】利用百分位数和中位数的公式求解. 【详解】1，2，3，4，5，7，，14，22，23共个数， ，第分位数为第个数和第个数的平均数，即， 这个数的中位数为， 分位数是中位数的两倍， ，. 故选：A. 4．C 【难度】0.85 【知识点】求点到直线的距离、点与圆的位置关系求参数、判断直线与圆的位置关系 【分析】先根据点在圆内，得到，再计算圆心到直线的距离为d，并与半径作比较，即可得到答案． 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 因为M在圆内，且不为圆心，则， 则圆心到直线的距离为， 所以直线与该圆的位置关系为相离. 故选：C． 5．C 【难度】0.85 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列前n项和的基本量计算 【分析】根据等比数列通项公式和求和公式求解即可. 【详解】若公比，则，此时，， 显然，因此. 由等比数列前项和公式， 代入得： 则，整理得， 所以. 6．B 【难度】0.65 【知识点】指数函数模型的应用（2） 【分析】根据图象过的点求出函数解析式，分别计算增长量，增长率可判断AB，根据解析式计算判断C，利用指数式与对数的转化，由对数运算可判断D. 【详解】因为，图象可知，函数过点，则，即函数解析式为， 对于A，蓝藻每月的增长率为，即增长率为，故A正确； 对于B，因为不是常数，所以蓝藻每月增加的面积不相等，故B错误； 对于C，当时，，故C正确； 对于D，由题，故， 又，所以，故D正确. 故选：B 7．A 【难度】0.6 【知识点】比较函数值的大小关系 【分析】构造函数，利用所给不等式判断的单调性，即可得出大小关系. 【详解】构造函数，， 当时，由题中不等式得， 所以，所以，单调递增， ，所以，即， 故. 8．D 【难度】0.35 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】先由已知推得两球球心的位置，设出球心，半径，进而推得，代入体积公式，求导根据导函数得出函数的单调性，进而得出函数的最值点，代入化简，即可得出答案. 【详解】要使两个球的体积之和最大，则应满足两个球互相外切， 并且分别与正方体的面相切，即应有两个球球心连线位于正方体的体对角线上. 如图，设两球的球心分别为，半径为， 由已知可得，，， 所以，则， ，. 又， 所以，. 因为，所以. 又两球的体积之和， 且， 当时，有， 即函数在上单调递减； 当时，有， 即函数在上单调递增. 当时，， 所以. 又， 故函数的最大值为. 9．ABD 【难度】0.45 【知识点】求函数值、根据函数零点的个数求参数范围、函数新定义 【分析】选项A，因为满足，所以确定，代入对应解析式计算；选项B，先分析当时的符号，再分析所在区间对应的的符号，根据符号关系判断乘积是否非负；选项C，根据零点个数分类讨论，找出区间包含两个正整数的的范围；选项D，将转化为关于的函数，结合定义域和值域判断. 【详解】由题意，对，当 时，： 对任意，， 因此的符号由决定， 时符号为； 的零点为所有正整数 . 选项A，，对应， 代入得：，正确. 选项B，对任意：若，则， 的符号为，与同号，故； 若或为整数，则. 因此恒成立，正确. 选项C，在区间内，恰好有两个零点，转化为：在开区间中，恰好包含两个正整数. 故存在非负整数，使得， 故，故且，即， 当时，；当时，；当时，， 综上所述，，C错误； 选项D，令，则原式可化为. 因为，所以且. 那么，D正确. 10．BCD 【难度】0.15 【知识点】三角恒等变换的化简问题、证明线面垂直、求线面角、面面垂直证线面垂直 【分析】分析折叠前后的图形，假设A正确，利用线面垂直的判定定理，通过证明不成立，判断A错误；根据线面垂直的判定定理，证明平面，从而证得，判断B正确；借助点的轨迹，可说明C正确；求出任意两点，它们所确定的直线与平面的所成角的范围判断D. 【详解】过作垂直于点，则. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 因为平面，所以. 若存在点，使得，则由平面，得平面. 因为平面，所以. 显然不成立，所以A错误. 因为，，且平面，所以平面. 因为平面，所以，所以B正确. 假设存在两点，使得它们所确定的直线与垂直. 在边上取点，连接. 过作垂直于点，并记则. 因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面. 同理在边上取异于点的点，连接. 过作垂直于点，并记，则平面. 所以∥.所以四点共面. 因为平面，所以. 如图所示，均在以为直径的圆上，当弦平行于时，可与垂直. 此时因为平面，所以平面. 因为平面，所以，所以C正确. 由C的分析可得，线段在平面的射影为， 所以直线与平面的所成角，即为直线与所成的角. 记直线与平面的所成的角为， 则.， 如上图，令， 则，且. 所以. . 因为，且在上单调递减， 所以，所以，即. 所以，即对于任意两点， 它们所确定的直线与平面的所成角都小于，所以D正确. 故选：BCD. 11．BCD 【难度】0.42 【知识点】判断数列的增减性、确定数列中的最大（小）项、由递推数列研究数列的有关性质、利用an与sn关系求通项或项 【分析】根据给定条件，利用前项和与第项的关系求出通项公式，再逐一判断各个结论即可. 【详解】在无穷数列中，，， 当时，，两式相减得：， 而，即， 对于A，当时，数列是以为首项，为公比的等比数列， 又，所以不是常数列 当时，，当时，，所以不是常数列， 所以不存在，使得是常数列，A错误； 对于B，当时，数列是以为首项，为公比的等比数列， 且，，所以数列是递减数列， 所以数列有最大项为，没有最小项，B正确； 对于C，当，即时，，数列是周期为的周期数列，C正确； 对于D，当时，，当时，，所以不是递增数列， 当时，， 若，则恒成立，是递减数列， 若，则随的增大，正负相间变化，即不可能恒成立， 因此对于任意，不是递增数列，D正确； 12． 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】由已知可得，设出点的坐标，利用斜率坐标公式列式计算出，进而求出离心率. 【详解】因为，所以，所以， 所以双曲线，设， 则，所以，所以； 又，所以， 所以，解得，所以，所以， 所以双曲线的离心率. 故答案为：. 13． 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知切线（斜率）求参数 【分析】设切点坐标为，表示出切线方程，根据切线过点得关于的一元二次方程，由方程有两个不相等的实根求解即可. 【详解】设切点坐标为，因为， 所以切线的斜率， 所以切线方程是， 因为切线过点， 所以，即， 因为过点可以作曲线的两条切线， 所以方程有两个不同的根， 所以， 解得或. 故答案为：. 14． 【难度】0.4 【知识点】点到直线距离的向量求法、立体几何中的轨迹问题 【分析】第一空，利用异面直线间的距离公式即可求解，第二空由圆的定义求出点的轨迹即可求解. 【详解】 如图连接，则，平面.过作，则，，又，故，. 如图：以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，， 设与都垂直的向量为，则，取，则，异面直线之间的距离，则点到直线的距离的最小值为. 如图：过作 因为，所以，所以点在正方形内，以为圆心,为半径的圆弧上，因为，所以，，所以，同理,所以，所以点的轨迹长度为. 故答案为：； 15．【难度】0.65 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）根据条件，利用正弦定理边转角得到，从而有，即可求解； （2）根据条件，利用平方关系得到，由三角形面积公式得，再结合（1）中结果，由余弦定理得到，即可求解. 【解】（1）因为，由正弦定理得， 整理得到，即， 即，由正弦定理得，即. （2）由，得， 又，得， 由余弦定理，且由（1）知 所以，整理得， 即，解得或（舍）， 所以，. 16．【难度】0.65 【知识点】证明线面垂直、线面角的向量求法、面面角的向量求法 【分析】（1）由面面垂直的性质定理得平面PAD，再由线面垂直的判定定理可得证； （2）利用空间向量法求线面角； （3）设利用空间向量的数量积，求解，推出结果. 【解】（1）平面平面ABCD，平面平面 平面ABCD，， 平面PAD， 平面， 又且，PA、平面平面PAB； （2）取AD中点为O，连接PO、CO， 又， 则， ，则， 以O为坐标原点，分别以所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， ， 设为平面PCD的一个法向量， 由，得，令，则， 设PB与平面PCD所成角的角为， （3）假设在棱PB上存在点M，使得平面ADM与平面ABCD所成角的余弦值为， 由可知，， ，设 设为平面ADM的一个法向量， 由得， 则， 易知平面ABCD的一个法向量为， 设平面ADM与平面ABCD的夹角为 ， ， 17． 【难度】0.38 【知识点】计算条件概率、独立重复试验的概率问题、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）根据二项分布的概率公式即可求解， （2）（i）列举所有的路线，即可求解；（ii）求解对应的概率，即可根据期望公式求解. 【解】（1）若6次姿态修正后达到个单位，则需要6次姿态修正中，有4次正方向修正，2次负方向修正， 且每次正方向和负方向修正的概率均为， 故6次姿态修正后达到个单位的概率为. （2）（ⅰ）设第次修正的结果为，且，累计的修正单位为， “能源耗尽”意味着完成6次修正，即在前4次修正中，必须是中的某一种， 则第5次和第六次的修正可以为中的任意一种，故共有种选择， 故“完成6次修正”总的路线共有种， “校准到位”的路线有共有4种， 故在能源耗尽的条件下校准到位的概率为. （ⅱ）随机变量的取值为2,4,6， 表示两次修正都是正方向，或者都是负方向，故, 表示前两次修正的方向中有一次正方向，一次负方向，后两次修正都是正方向，或者都是负方向， 故, , 的分布列如下： 2 4 6 故 18．【难度】0.23 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程、双曲线中的直线过定点问题、抛物线中的三角形或四边形面积问题 【分析】（1）根据双曲线的焦距，渐近线方程及离心率分别求解即可求解； （2）（i）设方程为，与双曲线方程联立，得出韦达定理，求得点的坐标，分类讨论，当时得出直线过，当时，得出直线方程，令即可证明； （ii）先说明，再由弦长公式得出，进而得出，求解最小值即可． 【解】（1）由题可知，，所以，又， 所以，所以的方程为． （2）（i）由题意可知斜率存在且都不为0， 设方程为，联立， 消去并整理得，，且，， 设，则， 所以，所以， 又直线互相垂直，用替换，则可得， 当，即时，直线的方程为，直线过； 当时，直线的斜率为， 所以直线的方程为， 令， 所以直线过． （ii）取中点，设交点为，交点为， 因为分别为的中点，所以， 所以，则， 同理可得，所以， 由（i）得， ， 则， 同理可得，， 所以 （*）， 因为直线与双曲线右支交于两点， 所以，解得， 同理直线与双曲线右支交于两点，则，解得， 所以， 所以（*）同时除以得，， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以设，则， 设函数 ， 因为，所以， 所以，当时取得最小值． 19． 【难度】0.15 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）首先求函数的导数，再求函数的单调区间，得到函数的极值点和极值； （2）首先分别求在点处的切线和在点处的切线，利用切线是同一条直线，利用待定系数法，转化为函数在上有零点，利用导数判断函数的单调性，再判断函数存在零点时的取值范围； （3）法1：首先讨论时与最多有两个交点，再分两种方法讨论时，与有3个交点时，的取值范围；法2：当时，此时，设，对其求导，然后令，求得其最大值，分和两种情况讨论求解. 【解】（1），则， 由，得到或， 当时，解得或， 所以和为函数增区间， 当时，解得， 所以为函数减区间， 所以在处取到极大值，极大值为， 在处取到极小值，极小值为0， 故函数的极大值为，极小值为0； （2）设直线为曲线在点处的切线，， 所以，即； 设直线为曲线在点处的切线，， 所以，即； 由题意知， 因为，可知，由可得， 将其代入可得：， 令，则在上有零点， 令，则，，， 令，解得；令，解得； 在区间上单调递增，在区间上单调递减， 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 且， 当时，，故在上恒有零点，从而恒成立； 当时，，无零点，不成立； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 且当时，， 则，解得； 综上所述：实数的取值范围是； （3）（i）当时与最多有两个交点，不符合题意舍去； 证明如下：， 令，则有， 其中函数图象如下， 在单调递减，单调递增， 当时，，，即：，则， 而在上单调递增，所以，即：， 所以由图可知： 当时，两个交点，， 当时一个交点，， 当时，没有交点，故不符合题意； （ii）法1：下面只需考虑时，与交点的个数即可； 两边取对数得， 令，，则， 由于，令，可得，而， 令，所以，令，解得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以时，， 由图象可得有两个解，，且， 那么在，上单调递增，在上单调递减， 又， ， 把看成一个整体，由均值不等式可得，， 所以， 当，所以， 因为，得，所以， 当时，，当时，， 又在，上单调递增，在上单调递减， 则在，，三个区间各有一个零点， 所以曲线与有三个交点， 即：时符合题意，解得：. 法2：当时，此时， 设，， 令，， 令，则，所以在是递增的， 在是递减的，所以； i.若，即时， 此时则，所以，又是增函数， 又，则只有一的零点， ii.若，即时，，， ，所以有两个零点，， 其中，，所以， 在是增区间，是减区间，是增区间， 有零点存在定理得： 取点1：， 设，，则在上递增， 所以，所以， 取点2：，，， 所以一定有，，所以有三个零点. 答案第4页，共22页 高三数学试题参考答案与试题解析 第11页，共22页 学科网（北京）股份有限公司 $