精品解析：黑龙江哈尔滨市松雷中学校2025-2026学年度下学期高一期中考试数学试题

松雷中学2025-2026学年度下学期期中考试 高一数学试题 时间：120分钟 满分：150分 命题人：孙天肿 校对人：孙刚 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）. 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量满足，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，是三个不同的平面，a，b是两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 4. 在中，，，分别是角，，的对边，，，，则的外接圆半径是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，平行四边形．中，，，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 6. 记的内角的对边分别是已知，则角为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，内角对应的边分别为，若，，则的取值范围是（） A. B. C. D. 8. 已知三棱锥，平面，，，，三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的表面积是（ ） A. B. C. D. 二、（多选题）（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 如图所示，正方体中，给出以下判断，其中正确的有（ ） A. 面 B. C. 与是异面直线 D. 与平面夹角正弦为 10. 下列说法中不正确的有（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，，则 C. 若，则不一定是锐角三角形 D. 11. 在中，内角的对边分别为，已知，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 设，为单位向量，且，则_______. 13. 若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是____________． 14. 已知是边长为2的等边三角形，为三角形内一点（包括边界），为的中点，则的取值范围是___________． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知复数． （1）若是纯虚数，求的值； （2）若在复平面内对应的点位于第二象限，求a的取值范围． 16. 如图，已知正三棱柱中，，点P为的中点. （1）证明：平面； （2）求点B到平面的距离. 17. 已知向量. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值. 18. 如图，长方体中，，，点P为的中点. （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成的角的正弦值； （3）在直线上是否存在点Q使得平面，若存在，则此时为多少；若不存在，请说明理由. 19. 在锐角中，内角，，的对边分别为，，，，. （1）求的大小； （2）设的角平分线交于点. ①求面积的取值范围 ②求线段长的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 松雷中学2025-2026学年度下学期期中考试 高一数学试题 时间：120分钟 满分：150分 命题人：孙天肿 校对人：孙刚 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）. 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的乘法化简复数，利用共轭复数的定义和复数的概念可得结果. 【详解】因为，则，故的虚部为. 2. 已知向量满足，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量运算法则展开求解计算，再结合向量夹角公式求解即可. 【详解】由，可得：， 代入已知，得： 设与的夹角为（），由， 代入得：， 所以. 3. 已知，，是三个不同的平面，a，b是两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【详解】对于A：若，，则或和相交，故A错误； 对于B：若，，根据线面垂直的性质定理可得，故B正确； 对于C：若，，则或和异面，故C错误； 对于D：若，，则和可能平行也可能相交，故D错误； 4. 在中，，，分别是角，，的对边，，，，则的外接圆半径是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据余弦定理得，即可由正弦定理求解. 【详解】解：由余弦定理，得，所以舍负， 设的外接圆半径为，根据正弦定理，可得，所以． 故选：D． 5. 如图，平行四边形．中，，，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】平行四边形．中，，，为的中点，所以. 6. 记的内角的对边分别是已知，则角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式化简即得. 【详解】在中，由及正弦定理，得， 则，整理得，而， 因此，而，所以. 故选：B 7. 在中，内角对应的边分别为，若，，则的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】在中，由正弦定理得,为三角形外接圆半径. 代入，，得. 因此，. 因为，，所以，且. 则 由，得，所以. 故，即的取值范围是. 8. 已知三棱锥，平面，，，，三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合题意与棱锥的体积公式得到，，再作图确定球心的位置，利用勾股定理求解球的半径，最后求解表面积即可. 【详解】设，则，， 所以的面积， 而三棱锥体积． 所以解得，即，， 如图，取中点，过作平面的垂线，即平面， 所以，所以球心在直线上， 连接，，所以（为外接球半径）， 取中点，连接，得到， 又因为，所以四边形为矩形， 所以，， 由勾股定理得， 得到表面积． 二、（多选题）（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 如图所示，正方体中，给出以下判断，其中正确的有（ ） A. 面 B. C. 与是异面直线 D. 与平面夹角正弦为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据线面垂直的判定定理可判断A；根据正方体的几何性质可判断B；根据异面直线的定义可判断C；求出线面角可判断D. 【详解】对于A，因为，且，平面， 所以平面，故A正确； 对于B，因为，所以四边形是平行四边形， 所以，故B正确； 对于C，因为平面，平面， 且与无公共点，所以与是异面直线，故C正确； 对于D，连接，因为平面， 所以为 与平面的夹角， 设正方体的棱长为2， 则， 可得，故D错误. 10. 下列说法中不正确的有（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，，则 C. 若，则不一定是锐角三角形 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】本题综合考查三角形中的三角函数性质、向量平行的性质、余弦定理以及向量数量积的运算律，需逐项分析判断正误，选出表述不正确的选项. 【详解】 选项A：若，在三角形内角范围下有两种可能： ①即，为等腰三角形；②即，为直角三角形，因此不能判定一定为等腰三角形，A错误； 选项B：零向量与任意向量都平行，若为零向量，即使满足、，和也不一定平行，向量平行不具有传递性，B错误； 选项C：由余弦定理仅能说明角是锐角，无法判断角、是否为锐角，若或为钝角，则为钝角三角形，因此不一定是锐角三角形，C正确； 选项D：是与共线的向量，是与共线的向量，和不一定共线，向量数量积不满足结合律，该等式不成立，D错误. 11. 在中，内角的对边分别为，已知，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】由余弦定理，即①， 由正弦定理得：， 代入①得，故A正确； ， ，则， 由选项A知，，代入得， ，故B错误； ， ， 已知，由正弦定理得， 则，故C正确； ， ， 两式相减等号右边为②， ， 则②化为， ， ，故，D正确． 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 设，为单位向量，且，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】结合单位向量的性质求出两向量的数量积，判断两向量相等，再计算即可. 【详解】已知，为单位向量，且， 所以，解得. 则与同向.又两向量模长均为1，故，因此. 13. 若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是____________． 【答案】## 【解析】 【分析】由圆锥侧面展开图的面积公式结合条件即可求得底面半径，再由锥体体积公式进行计算即可. 【详解】易知圆锥的母线长，设圆锥的底面半径为， 则，，则高． 则圆锥的体积， 故答案为：. 14. 已知是边长为2的等边三角形，为三角形内一点（包括边界），为的中点，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据向量的运算将转化为，然后观察几何图形求得的最大值与最小值，进而求解的取值范围. 【详解】如图，在等边中，为的中点，连接，取的中点并连接. ， 由于，，得：，， 因此可得：， 如图易知：由于为三角形内一点（包括边界）， 因此当点与点重合时，取得最小值，最小值为， 当点与点或点重合时，取得最大值，最大值为， 综上可得：，即. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知复数． （1）若是纯虚数，求的值； （2）若在复平面内对应的点位于第二象限，求a的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用纯虚数的定义求解a的值； （2）利用复数的几何意义表示z＋2i对应的点，再求出a的取值范围. 【小问1详解】 由已知得：，解得：； 【小问2详解】 复数在复平面内对应的点的坐标为 ， 则，解得：． 16. 如图，已知正三棱柱中，，点P为的中点. （1）证明：平面； （2）求点B到平面的距离. 【答案】（1） 证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，利用三角形中位线定理证明，再结合线面平行的判定定理即可得证. （2）利用等体积法，通过计算三棱锥的体积和底面积求解点到平面的距离. 【小问1详解】 连接交于点，连接. 因为三棱柱为正三棱柱，所以侧面为矩形， 所以为的中点. 又因为点为的中点，所以在中，为中位线，故. 因为平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 设点到平面的距离为. 因为为正三角形，为的中点，所以，且. 因为三棱柱为正三棱柱，所以平面. 又平面，所以.因为，平面，所以平面. 又平面，所以. 在中，. 所以的面积. 又的面积. 由可得，即， 解得.所以点到平面的距离为. 17. 已知向量. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)本题首先可通过得出的坐标，然后通过向量共线的相关性质即可得出的值； (2)本题首先可通过得出的坐标，然后通过计算即可． 【小问1详解】 由，得出， ，因为， 所以，解得； 【小问2详解】 由，得出， ，， 因为，所以， 即，解得：. 18. 如图，长方体中，，，点P为的中点. （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成的角的正弦值； （3）在直线上是否存在点Q使得平面，若存在，则此时为多少；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在，且 【解析】 【分析】（1）利用正方形对角线互相垂直及侧棱垂直底面证明线面垂直，进而利用面面垂直判定定理得证； （2）利用平行线转化线面角，结合线面垂直定义找出线面角，在直角三角形中计算正弦值； （3）假设在直线上存在点使得平面，利用线面垂直的性质转化为平面几何中的垂直关系，设，利用平面向量求解出，再求解出. 【小问1详解】 在矩形中， ， 底面为正方形，， 又在长方体 中， 平面， 平面， ， 又 ，平面， 平面，又平面， 平面 平面； 【小问2详解】 在长方体 中， 且， 四边形为平行四边形，故， 直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角， 设，连接， 由 （1）知 平面即 平面， 为直线与平面所成的角， 在正方形中，，则， 在中，，则， ， 直线 与平面所成的角的正弦值为； 【小问3详解】 假设存在点使得平面，由（1）知平面， 又平面，所以， 平面，平面，， 设，则由， 即， 又点为的中点， 所以， 即， 又， 所以，解得， 所以，，故 19. 在锐角中，内角，，的对边分别为，，，，. （1）求的大小； （2）设的角平分线交于点. ①求面积的取值范围 ②求线段长的取值范围. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）借助数量积公式可得，再利用正弦定理将边化为角后结合两角和的正弦公式计算即可得解； （2）①借助正弦定理可边化为角，再利用面积公式结合三角形内角和关系，可用表示出面积，利用的范围即可得解；②借助等面积法计算可用表示出，再借助①中所得即可得解. 【小问1详解】 ，则， 由正弦定理将边化为角可得， 又， 故， 即，又，则， 故，又，则； 【小问2详解】 ①由正弦定理，可得， 则 ， 由，则，故， 则，故； ②由，则， 即，则， 即，由（2）①知， 故，则，故， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $