精品解析：广东湛江市遂溪县2025-2026学年七年级下学期5月期中数学试题

2025-2026学年度第二学期期中质量监测七年级数学 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填写在表格里． 1. 剪纸是一种民间美术形式，以大胆变形和夸张的手法著称，线条细长、透亮．下面的剪纸图案中，能用其一部分平移得到的是（   ） A. B. C. D. 2. 在，1，，中，无理数的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 估计的值在（ ） A. 1到2之间 B. 2到3之间 C. 3到4之间 D. 4到5之间 4. 如图，在方格中有两个涂有阴影的图形，，每个小正方形的边长都是1个单位长度，图①中的图形平移后位置如图②所示，以下对图形的平移方法叙述正确的是（ ） A. 先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 B. 先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度 C. 先向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度 D. 先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度 5. 如图①，桔槔（jié gāo）是一种原始的取水工具，它是在竖立的架子上加上一根细长的杠杆，左端悬挂一个重物，当右端水桶中的水打满以后，可借助重物轻松地将水拉起．图②是桔槔的简易装置示意图，与构成内错角的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，的坐标分别为，，那么过点，的直线与坐标轴的位置关系是（ ） A. 与轴平行 B. 与轴平行 C. 与轴垂直 D. 与轴平行或重合 7. 如图，直尺的一边经过三角板的顶点，另一边与三角板的两条直角边分别相交，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，下列说法一定正确的是（ ） A. 和互为余角 B. 和是内错角 C. 和互为补角 D. 和是同位角 9. 下面命题为真命题的是（ ） A. 如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等； B. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等； C. 过直线外一点向直线作垂线段，这条垂线段就是点到直线的距离； D. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 10. 如图，已知坐标系中四点，则四边形的面积是（ ） A. 4 B. C. D. 5 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 4的平方根是________；的算术平方根是________． 12. 如图，货船与港口相距30海里，从港口看，货船的位置可描述为________方向． 13. 判断命题“如果为有理数，那么是假命题，可以举出一个反例是___________． 14. 已知，那么约等于______． 15. 将一副三角板按如图所示放置，，．则下列结论：①；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的有________（填序号） 三、解答题（一）：本大题共3小题，共27分． 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，已知，，，求证：． 阅读下面的解答过程，填空并填写理由． 证明：∵（已知） ∴______（______） ∴（______） ∵（已知） ∴（______） ∴______ ∴______（______） 又∵（已知） ∴ ∴ 18. 如图是某校部分场所的平面示意图其中大门的坐标为，行政楼的坐标为． （1）在图中建立平面直角坐标系，并写出教学楼和图书馆的坐标； （2）已知状元亭在图书馆的正北方向，在实验楼的正东方向，请在图中标出状元亭的位置，并写出其坐标． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 的算术平方根是3，的立方根是2． （1）求，的值； （2）求的平方根； （3）若，求的值． 20. 如图，为宣传旅游资源，我县一中学课外活动小组制作了精美的景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特色封皮．小组成员制作正方形卡片，小组成员制作长方形封皮． 课题 景点卡片及封皮制作 图示 相关数据及说明 正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为，面积为，卡片必须与封皮边平行放置（不折叠、不裁剪、不超出封皮）． （1）通过计算判断正方形卡片能否以常规方式装入长方形封皮，并说明理由； （2）若能装入，求该封皮在不折叠、不裁剪条件下可容纳的最大正方形卡片边长；若不能装入，请在不改变封皮长宽比的前提下，通过调整正方形面积或封皮面积，提出一种使卡片可装入的方案． 21. 如图，已知，．点是射线上一动点（与点不重合），平分，平分，分别交射线于点，． （1）求，的度数； （2）当点运动时，试判断与的度数有怎样的关系，并说明理由． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 综合与探究 问题情境：如图1，根据光的反射定律，当一束光线照射到平面镜上发生反射现象时，始终有．潜望镜是从海面下伸出海面或从低洼坑道伸出地面，用以窥探海面或地面上活动的装置． （1）操作猜想：如图2，是一个潜望镜的示意图，、是两面互相平行的镜面，光线照射到镜面上，反射光线为；照射到镜面上，反射光线为．试判断光线和的位置关系，并说明理由． （2）类比探究：如图3，将两块平面镜、的一个端点重合于点，一束光线照射在镜面上，经过两次反射后得到光线．若，，求及的度数． （3）拓展探究：如图4，光线与光线交于点，设两面镜子的夹角，根据光的反射定律，求． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，、、，其中a、b满足：．平移线段得到线段，使得C、D两点分别落在y轴和x轴上． （1）点C坐标 ，点D坐标 ； （2）如图1，将点E向下移动1个单位得到点P，连接、，在y轴上是否存在点Q，使得与面积相等？若存在，求出点Q坐标；若不存在，说明理由； （3）如图2，点H是射线上一动点，与点O、D不重合，连接不过点C，若与的平分线交于点M，直接写出与的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期中质量监测七年级数学 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填写在表格里． 1. 剪纸是一种民间美术形式，以大胆变形和夸张的手法著称，线条细长、透亮．下面的剪纸图案中，能用其一部分平移得到的是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用平移设计图案，掌握平移的性质是解题的关键．根据平移的性质：平移不改变图形的形状、大小及方向，判断即可． 【详解】解：∵只有C选项的图形没有改变图形的形状、大小及方向，符合平移的性质， ∴只有C选项的图形是通过平移得到， ∴C选项符合题意， 故选：C． 2. 在，1，，中，无理数的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：在，1，，中，无理数有，，共2个． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数． 3. 估计的值在（ ） A. 1到2之间 B. 2到3之间 C. 3到4之间 D. 4到5之间 【答案】A 【解析】 【分析】找到介于5两侧的完全立方数，即可确定的取值范围． 【详解】解：， ， ， 即的值在1到2之间． 4. 如图，在方格中有两个涂有阴影的图形，，每个小正方形的边长都是1个单位长度，图①中的图形平移后位置如图②所示，以下对图形的平移方法叙述正确的是（ ） A. 先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 B. 先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度 C. 先向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度 D. 先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的平移，平移由平移方向和平移距离决定，新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点，掌握图形的平移是解题的关键． 利用平移变换的性质判断即可． 【详解】解：观察图象可知由图形①变成图形②，把图先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到． 故选：B． 5. 如图①，桔槔（jié gāo）是一种原始的取水工具，它是在竖立的架子上加上一根细长的杠杆，左端悬挂一个重物，当右端水桶中的水打满以后，可借助重物轻松地将水拉起．图②是桔槔的简易装置示意图，与构成内错角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了内错角的定义，正确记忆相关知识点是解题关键． 两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角，根据定义判断即可． 【详解】解：由两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角可得： A、与构成内错角，符合题意； B、与构成同旁内角，不符合题意； C、与构成同位角，不符合题意； D、与构成同旁内角，不符合题意． 故选：A． 6. 已知点，的坐标分别为，，那么过点，的直线与坐标轴的位置关系是（ ） A. 与轴平行 B. 与轴平行 C. 与轴垂直 D. 与轴平行或重合 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，能根据两点的坐标特征判断过这两点的直线与坐标轴的位置关系是解题的关键． 点和点的纵坐标相同，因此直线与轴平行或重合，此时直线轴，据此判断即可． 【详解】∵点和点的纵坐标都是， ∴当时，直线与轴平行； 当时，直线与轴重合； 故直线与轴的关系为：平行或重合； 当直线与轴平行或重合时，直线轴． 故选D． 7. 如图，直尺的一边经过三角板的顶点，另一边与三角板的两条直角边分别相交，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，邻补角互补，熟悉利用平行线的性质是解题的关键． 根据三角板是个的三角板，即可运算出的值，利用平行线的性质可得到，再利用邻角互补的概念直接运算即可． 【详解】解：如图所示进行标注： ∵三角板是个的三角板， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 8. 如图所示，下列说法一定正确的是（ ） A. 和互为余角 B. 和是内错角 C. 和互为补角 D. 和是同位角 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查互为余角、互为补角、内错角、同位角以及同旁内角，熟练掌握相关定义是解题关键．根据互为余角、互为补角、内错角、同位角以及同旁内角的定义结合具体图形进行判断即可． 【详解】解：A．由于与的和不一定是，所以和不一定是互为余角，因此选项A不符合题意； B．和不是两条直线被第三条直线所截得的角，不符合内错角的定，因此选项B不符合题意； C．和是一组同旁内角，但和不一定互补，因此选项C不符合题意； D．和是两条直线被第三条直线所截的同位角，因此选项D符合题意． 故选：D． 9. 下面命题为真命题的是（ ） A. 如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等； B. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等； C. 过直线外一点向直线作垂线段，这条垂线段就是点到直线的距离； D. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 【答案】D 【解析】 【详解】解：选项A、两个角的两边互相平行时，这两个角相等或互补，故A是假命题； 选项B、只有两条平行直线被第三条直线所截，同位角才相等，选项未说明两直线平行，故B是假命题； 选项C、点P到直线m的距离是这条垂线段的长度，不是垂线段本身，故C是假命题； 选项D、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，符合垂直的基本性质，故D是真命题． 10. 如图，已知坐标系中四点，则四边形的面积是（ ） A. 4 B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】过点作轴于点，根据点的坐标求出相关线段的长度，然后根据三角形和梯形面积公式进行求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 由得，， ∴， ， ， ∴． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 4的平方根是________；的算术平方根是________． 【答案】 ①. ②. 2 【解析】 【详解】解：计算的平方根，得； 先化简，得，再计算的算术平方根，得． 12. 如图，货船与港口相距30海里，从港口看，货船的位置可描述为________方向． 【答案】南偏东 【解析】 【分析】根据方位角的定义，通常以正北或正南方向为基准线，图中给出了与正东方向的夹角，利用互余关系求出与正南方向的夹角即可确定方向． 【详解】解：由图可知，射线与正东方向的夹角为， 正东方向与正南方向互相垂直，夹角为， 射线与正南方向的夹角为， 货船B在港口A的南偏东方向． 13. 判断命题“如果为有理数，那么是假命题，可以举出一个反例是___________． 【答案】（即可） 【解析】 【分析】根据绝对值的定义，当a为负数时，，因此命题不成立． 本题考查了绝对值的意义，熟练掌握意义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得当时，， 故命题是假命题； 故答案为：（答案不唯一）． 14. 已知，那么约等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了立方根，解决本题的关键是熟记立方根的性质．根据立方根的性质，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 15. 将一副三角板按如图所示放置，，．则下列结论：①；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的有________（填序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据三角板的性质，平行线的判定和性质，直角三角形的性质解答即可． 此题主要考查学生对平行线判定与性质、余角和补角的理解和掌握，解答此题时要明确两种三角板各角的度数． 【详解】解：根据题意，得，，，， 故， ∴， 故①正确； ∵，， ∴， ∴， ∴，不平行， 故②正确；③错误； ∵， ∴， ∴， ∴． 故④正确； 故答案为：①②④． 三、解答题（一）：本大题共3小题，共27分． 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，已知，，，求证：． 阅读下面的解答过程，填空并填写理由． 证明：∵（已知） ∴______（______） ∴（______） ∵（已知） ∴（______） ∴______ ∴______（______） 又∵（已知） ∴ ∴ 【答案】，同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；；，两直线平行，同旁内角互补． 【解析】 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质是解题的关键． 根据平行线的判定与性质求解即可． 【详解】证明：∵（已知） ∴（同位角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，内错角相等） ∵（已知） ∴（等量代换） ∴， ∴（两直线平行，同旁内角互补） 又∵（已知） ∴， ∴， 故答案为：，同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；；，两直线平行，同旁内角互补． 18. 如图是某校部分场所的平面示意图其中大门的坐标为，行政楼的坐标为． （1）在图中建立平面直角坐标系，并写出教学楼和图书馆的坐标； （2）已知状元亭在图书馆的正北方向，在实验楼的正东方向，请在图中标出状元亭的位置，并写出其坐标． 【答案】（1）见详解，教学楼的坐标为，图书馆的坐标为 （2）见详解，状元亭的坐标为 【解析】 【分析】本题考查了坐标确定位置，熟练堂握平面直角坐标系和点的坐标的关系是解题的关键． （1）参照所给点的坐标推断坐标轴的位置，写出点的坐标即可； （2）按照题中描述的位置关系，在坐标系中标出状元亭的位置，写出其坐标即可． 【小问1详解】 解：如图，教学楼的坐标为，图书馆的坐标为； 【小问2详解】 解：如上图，状元亭的坐标为． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 的算术平方根是3，的立方根是2． （1）求，的值； （2）求的平方根； （3）若，求的值． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查算术平方根、立方根、平方根、绝对值的基本概念，先根据算术平方根和立方根的定义求出a和b的值，再依次代入求解后续两个问题即可． 【小问1详解】 解：根据题意得： 解得：； 【小问2详解】 解：由（1）知，，， 则， 因此，的平方根为：； 【小问3详解】 解：由（1）知，，， 则，即， 令或， 解得：或． 20. 如图，为宣传旅游资源，我县一中学课外活动小组制作了精美的景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特色封皮．小组成员制作正方形卡片，小组成员制作长方形封皮． 课题 景点卡片及封皮制作 图示 相关数据及说明 正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为，面积为，卡片必须与封皮边平行放置（不折叠、不裁剪、不超出封皮）． （1）通过计算判断正方形卡片能否以常规方式装入长方形封皮，并说明理由； （2）若能装入，求该封皮在不折叠、不裁剪条件下可容纳的最大正方形卡片边长；若不能装入，请在不改变封皮长宽比的前提下，通过调整正方形面积或封皮面积，提出一种使卡片可装入的方案． 【答案】（1）不能，理由见解析 （2）保持封皮长、宽和面积不变，将正方形卡片面积调整为即可装入 【解析】 【分析】（1）先求出正方形卡片和长方形封皮的边长，再将正方形卡片的边长与长方形封皮的宽进行比较即可； （2）根据题意可知，可容纳的最大正方形边长等于封皮宽，据此调整即可． 【小问1详解】 解：不能，理由如下： 设长方形的长为、宽为， 根据题意得：， 解得：或（舍去）， 长方形的长为、宽为， 正方形卡片的面积为， 正方形卡片的边长为， ， 正方形卡片不能装入封皮； 【小问2详解】 解：由（1）知，封皮的宽为，可容纳的最大正方形边长等于封皮宽， 此时正方形面积为， 因此方案为：保持封皮长、宽和面积不变，将正方形卡片面积调整为即可装入． 21. 如图，已知，．点是射线上一动点（与点不重合），平分，平分，分别交射线于点，． （1）求，的度数； （2）当点运动时，试判断与的度数有怎样的关系，并说明理由． 【答案】（1）， （2），见解析 【解析】 【分析】（1）由得到，即可得到，则，由角平分线的定义得到，，则，即可得到； （2）得到，，由平分得到，即可得到，结论成立． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， 平分，平分， ，， ， ； 【小问2详解】 与之间数量关系是：． 理由：， ，， 平分， ， ． 【点睛】此题考查了平行线的性质、角平分线的相关计算等知识，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 综合与探究 问题情境：如图1，根据光的反射定律，当一束光线照射到平面镜上发生反射现象时，始终有．潜望镜是从海面下伸出海面或从低洼坑道伸出地面，用以窥探海面或地面上活动的装置． （1）操作猜想：如图2，是一个潜望镜的示意图，、是两面互相平行的镜面，光线照射到镜面上，反射光线为；照射到镜面上，反射光线为．试判断光线和的位置关系，并说明理由． （2）类比探究：如图3，将两块平面镜、的一个端点重合于点，一束光线照射在镜面上，经过两次反射后得到光线．若，，求及的度数． （3）拓展探究：如图4，光线与光线交于点，设两面镜子的夹角，根据光的反射定律，求． 【答案】（1），理由见解析 （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）利用光的反射定律，结合内错角相等得到反射角相关的角的关系，再依据平行线的判定定理判断和的位置关系； （2）利用平角的性质求出的度数，根据平行线的性质求出的度数，再利用三角形内角和定理求出的度数； （3）根据三角形内角和定理求出，再根据反射定律推出的度数，结合平角定义、三角形内角和定理计算的度数． 【小问1详解】 解：，理由如下： 由题意得：、， ， ， ， 、， ， ； 【小问2详解】 解：由题意得：、， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：由题意得：、， ， ， ， ． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，、、，其中a、b满足：．平移线段得到线段，使得C、D两点分别落在y轴和x轴上． （1）点C坐标 ，点D坐标 ； （2）如图1，将点E向下移动1个单位得到点P，连接、，在y轴上是否存在点Q，使得与面积相等？若存在，求出点Q坐标；若不存在，说明理由； （3）如图2，点H是射线上一动点，与点O、D不重合，连接不过点C，若与的平分线交于点M，直接写出与的数量关系． 【答案】（1）， （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据非负数的性质求得点A，B的坐标，再根据平移的性质即可得出点C，D的坐标； （2）连接，利用求得的面积，设点，则，利用与面积相等建立方程求解即可； （3）当点H在延长线上时，由角平分线的性质得，，由平移的性质得， 从而得，由外角的性质得，则，根据三角形内角和得，利用等角代换可证；同理可证当点H在线段上时，，再利用平角的性质和等角代换得； 【小问1详解】 解：∵， ∴， 解得， ∴，， ∵平移线段得到线段，且C、D两点分别落在y轴和x轴上， 则线段先向左平移1个单位长度后，再向下平移3个单位长度， ∴，． 故答案为：，． 【小问2详解】 如图，连接， ∵，， ∴， ∵将点向下移动1个单位得到点P， ∴点， ∴ ， 设点，则， ∵与面积相等， ∴， 即， 解得或， ∴或． 【小问3详解】 如图，当点H在延长线上时，延长交于G，令交于K， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，当点H在线段上时，令交于K，交于G． ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 综上，或． 【点睛】本题是坐标与图形综合问题，主要考查了非负数的性质、平移的性质、三角形的面积，平行线的性质和坐标系中的动点问题，熟练掌握以上性质并灵活运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $