2026年中考数学终极冲刺09：锐角三角函数专项（全国通用）

该初中数学中考复习讲义聚焦“锐角三角函数”专题，覆盖锐角三角函数定义、特殊角三角函数值、三角函数间关系三大核心考点，对应中考6至12分分值，题型含选择、填空及解答题。通过“考情分析-考点梳理-题型突破-真题演练”四环节，帮助学生系统构建知识体系，突破边角互化等难点。 亮点在于“定义辨析+特殊角记忆+关系转化”三阶突破策略，如结合网格图形强化几何直观，通过仰角俯角实际问题培养应用意识。设置典例变式与分层真题训练，精准提升运算能力与推理意识，助力学生短时间内掌握解题套路，教师可依此把控复习节奏实现高效提分。

中考数学终极冲刺，全力以赴，备战中考！ 中考数学终极冲刺09 锐角三角函数 中考全国考情分析 A B C LOREM LOREM LOREM 1、 考察方向与分值占比： 锐角三角函数是中考数学核心必考模块，属于几何计算重点内容，全国命题稳定，总分占6至12分，题型涵盖选择、填空与解答大题，难度以基础、中档为主，偶尔结合几何综合考查拔高题型。基础题型重点考查特殊角三角函数值计算、三角函数定义辨析与简单求值，是试卷基础得分点。解答题常以解直角三角形为核心，结合仰角、俯角、坡度、方位角等实际生活场景，考查高度、距离、坡度的实际测量计算。压轴题型常与四边形、圆、二次函数、几何动点综合，融合相似、勾股定理进行边角转化计算。本板块侧重考查数形结合与转化思想，解题套路固定、规律性强，极少出现偏难怪题，是中考性价比极高的提分板块，熟练掌握公式与模型即可稳拿满分。 2、核心考查内容： 锐角的三角函数、特殊角的三角函数的值、锐角的三角函数间的关系。 （1） 锐角的三角函数：核心考查在直角三角形中，依托锐角定义三种三角函数：正弦、余弦、正切。掌握边角对应关系，正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边。明确三角函数仅与锐角度数有关，与直角三角形大小、边长无关。考查利用边长求三角函数值、已知三角函数值求边长，结合网格、坐标系、几何图形进行边角互化，是所有三角函数题型的基础核心。 （2） 特殊角的三角函数的值：重点考查30°、45°、60°三类特殊锐角的三角函数固定数值，要求精准熟记、零失误运算。常考直接代入数值进行混合计算、化简求值、解方程。同时考查特殊角在几何计算、实际测量、图形折叠、圆和二次函数综合题中的应用，是中考基础计算题必考内容，数值记忆错误为高频失分点。 （3） 锐角的三角函数间的关系：考查同角三角函数关系与互余两角三角函数关系。同角关系包含平方关系、商数关系，用于式子化简、求值、恒等变形；互余关系即一个锐角的正弦等于它余角的余弦，余弦等于它余角的正弦。主要用于边角转化、复杂式子化简、隐藏角度推导，多用于中档填空、选择压轴与几何综合计算，实现快速简化解题步骤。 核心知识点及具体题型 A B C LOREM LOREM LOREM 【题型一】锐角的三角函数 1. 正弦、余弦、正切的定义 如图所示，在中，，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做的正弦，记作，即． 把锐角A的邻边与斜边的比叫做的余弦，记作，即． 把锐角A的对边与邻边的比叫做的正切，记作，即． 2. 锐角A的正切、正弦、余弦都是锐角A的三角函数． 3. 由于直角三角形的斜边大于任意一条直角边，所以有且，． 【典例1】（2026·安徽阜阳·模拟预测）如图，已知，，点到线段的距离为，，则的长度为（    ） A． B．1 C．2 D． 【变式1】（2026·云南普洱·二模）在中，若，，，，则下列式子正确的是（     ） A． B． C． D． 【题型二】特殊角的三角函数的值 1. 根据锐角的三角函数的定义和直角三角形的性质可得下表： 三角函数 【典例2】（2026·云南昆明·二模）计算：． 【变式2】（2026·湖北襄阳·一模）计算：． 【题型三】锐角的三角函数间的关系 在中，，，的对边分别为a，b，c．由勾股定理可得． （1）同角三角函数间的关系：． （2）与，间的关系： 【典例3】（2026·河南周口·模拟预测）如图，将扇形纸片沿着的平分线平移，两半径与圆周交于、两点，当时平移停止．若，则图中阴影部分的周长为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·陕西榆林·一模）如图，在菱形中，，对角线，相交于点O，且．延长到点E，在内作射线，使得，过点B作，垂足为H，则的长为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 链接中考 A B C LOREM LOREM LOREM 1．（2025·山东济南·中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E都在网格的格点上，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·四川广元·中考真题）如图，是的弦，过圆心O作于点H，交于点A，，点M是上异于C，D的一点，连接，，则的值是（   ） A． B． C． D． 3．（2023·陕西·中考真题）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·山东青岛·中考真题）如图，在三角形纸片中，，，将纸片沿着过点A的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕交于点；再将纸片沿着过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕交于点．下列结论成立的是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·广东·中考真题）如图，在矩形中，，是边上的三等分点，连接，相交于点，连接．若，，则的值是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·湖北·中考真题）如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则的长是（   ） A． B．2 C． D． 7．（2025·青海西宁·中考真题）如图，用四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到大正方形和小正方形，连接交于点P．若，则的值是（   ） A． B． C． D． 8．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，在中，，，，过点A作直线，点是直线上一动点，连结，过点作，连结使．当最短时，则的长度为（　　）    A． B．4 C． D． 9．（2024·四川绵阳·中考真题）如图，在边长为2的正六边形中，连接，点H在上运动，点G为的中点，当的周长最小时，（   ） A． B． C．12 D．13 10．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，四边形内接于，，，，则的半径是（    ） A． B． C． D． 11．（2025·山东滨州·中考真题）如图，点A，B，C，D在上，，，则的值为______． 12．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，与相切于点，连接，过点作的垂线，交于点，连接，交线段于点．若，则的值为___________． 13．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，中，，，．在和上分别截取，，使．分别以M，N为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F．作射线交于点D，则点D到的距离为_____． 14．（2025·江苏南京·中考真题）如图，点，在矩形内，．若，，，则的长为____________． 15．（2025·山东淄博·中考真题）已知矩形，，，是边的中点，是边上的动点，线段分别与，相交于点，．若，则的长为_______． 16．（2024·江苏淮安·中考真题）如图，点P是正六边形的边的中点，一束光线从点P出发，照射到镜面上的点Q处，经反射后恰好经过顶点C，已知正六边形的边长为2，则________． 17．（2025·四川雅安·中考真题）如图，中，是角平分线，O是上一点，经过点A、点M的分别交于点E，点F． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)求证：； (3)若，，求的长． 18．（2023·湖南张家界·中考真题）如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，，且．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 19．（2025·江苏南京·中考真题）某纸杯的尺寸（单位：）如图（1）所示，展开它的侧面得到扇环纸片（可以看作扇形纸片剪去扇形纸片后剩余的部分）． (1)的长为____________，____________； (2)记表示两边长分别为，（，单位：）的矩形纸片的大小． ①图（2）是可以剪出扇环纸片的一张矩形纸片，它的一边与相切，点，在对边上，点，分别在另外两边上，直接写出，的值； ②用一张的矩形纸片可以剪出扇环纸片吗？说明理由； ③若一张的矩形纸片可以剪出扇环纸片，写出求的范围的思路（无需算出最终结果）． 20．（2025·山东滨州·中考真题）【背景资料】 最小覆盖圆在几何学和计算机科学中有着广泛的应用．我们把能完全覆盖某平面图形的最小的圆称为该平面图形的最小覆盖圆．如线段的最小覆盖圆是以线段为直径的圆，锐角三角形的最小覆盖圆是这个三角形的外接圆，直角三角形的最小覆盖圆是以斜边为直径的圆，钝角三角形的最小覆盖圆是以最长边为直径的圆，正方形的最小覆盖圆是以对角线为直径的圆． 【动手操作】 如图1，中，，请作出的最小覆盖圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．） 【迁移运用】 正方形的边长为7，在边上截取，以为边向外作正方形． （1）如图2，连接，求的最小覆盖圆的直径； （2）将图2中的正方形绕点C逆时针旋转（如图3），经过A，D，F三点，且与边分别交于点I，L，求的最小覆盖圆的直径； （3）将正方形绕点C旋转，分别取的中点M，N，P，Q，顺次连接各中点，得到四边形（如图4）．在旋转过程中，四边形的最小覆盖圆的直径d的值是否发生变化？如果不变，请直接写出d的值；如果变化，请直接写出d的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $中考数学终极冲刺，全力以赴，备战中考！ 中考数学终极冲刺09 锐角三角函数 中考全国考情分析 A B C LOREM LOREM LOREM 1、 考察方向与分值占比： 锐角三角函数是中考数学核心必考模块，属于几何计算重点内容，全国命题稳定，总分占6至12分，题型涵盖选择、填空与解答大题，难度以基础、中档为主，偶尔结合几何综合考查拔高题型。基础题型重点考查特殊角三角函数值计算、三角函数定义辨析与简单求值，是试卷基础得分点。解答题常以解直角三角形为核心，结合仰角、俯角、坡度、方位角等实际生活场景，考查高度、距离、坡度的实际测量计算。压轴题型常与四边形、圆、二次函数、几何动点综合，融合相似、勾股定理进行边角转化计算。本板块侧重考查数形结合与转化思想，解题套路固定、规律性强，极少出现偏难怪题，是中考性价比极高的提分板块，熟练掌握公式与模型即可稳拿满分。 2、核心考查内容： 锐角的三角函数、特殊角的三角函数的值、锐角的三角函数间的关系。 （1） 锐角的三角函数：核心考查在直角三角形中，依托锐角定义三种三角函数：正弦、余弦、正切。掌握边角对应关系，正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边。明确三角函数仅与锐角度数有关，与直角三角形大小、边长无关。考查利用边长求三角函数值、已知三角函数值求边长，结合网格、坐标系、几何图形进行边角互化，是所有三角函数题型的基础核心。 （2） 特殊角的三角函数的值：重点考查30°、45°、60°三类特殊锐角的三角函数固定数值，要求精准熟记、零失误运算。常考直接代入数值进行混合计算、化简求值、解方程。同时考查特殊角在几何计算、实际测量、图形折叠、圆和二次函数综合题中的应用，是中考基础计算题必考内容，数值记忆错误为高频失分点。 （3） 锐角的三角函数间的关系：考查同角三角函数关系与互余两角三角函数关系。同角关系包含平方关系、商数关系，用于式子化简、求值、恒等变形；互余关系即一个锐角的正弦等于它余角的余弦，余弦等于它余角的正弦。主要用于边角转化、复杂式子化简、隐藏角度推导，多用于中档填空、选择压轴与几何综合计算，实现快速简化解题步骤。 核心知识点及具体题型 A B C LOREM LOREM LOREM 【题型一】锐角的三角函数 1. 正弦、余弦、正切的定义 如图所示，在中，，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做的正弦，记作，即． 把锐角A的邻边与斜边的比叫做的余弦，记作，即． 把锐角A的对边与邻边的比叫做的正切，记作，即． 2. 锐角A的正切、正弦、余弦都是锐角A的三角函数． 3. 由于直角三角形的斜边大于任意一条直角边，所以有且，． 【典例1】（2026·安徽阜阳·模拟预测）如图，已知，，点到线段的距离为，，则的长度为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】连接，延长交于点E，可知是线段的垂直平分线，根据三线合一得到，，根据三角函数可知的长度． 【详解】解：如图，连接，延长交于点E， ∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵点到线段的距离为， ∴， ∴． 【变式1】（2026·云南普洱·二模）在中，若，，，，则下列式子正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直角三角形中锐角三角函数的定义，即可求解． 【详解】解：如图， 在中，，斜边，，， ，，， 则只有选项D符合题意． 【题型二】特殊角的三角函数的值 1. 根据锐角的三角函数的定义和直角三角形的性质可得下表： 三角函数 【典例2】（2026·云南昆明·二模）计算：． 【答案】 【分析】先计算乘方，特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，绝对值，再进行实数的混合运算即可． 【详解】解：原式 ． 【变式2】（2026·湖北襄阳·一模）计算：． 【答案】2026 【详解】解：原式. 【题型三】锐角的三角函数间的关系 在中，，，的对边分别为a，b，c．由勾股定理可得． （1）同角三角函数间的关系：． （2）与，间的关系： 【典例3】（2026·河南周口·模拟预测）如图，将扇形纸片沿着的平分线平移，两半径与圆周交于、两点，当时平移停止．若，则图中阴影部分的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，证明，可求，过点P作于点H，利用等腰三角形的三线合一性质，三角函数求解即可； 【详解】解： ∵平分，且， ∴，， ∵扇形纸片沿着的平分线平移， ∴， 连接， ∴， ∵， ∴，， ∴， 同理可证，， 故， ∴， 过点P作于点H， ∵，， ∴， ∴， 故， 故阴影部分的周长为：； 【变式3】（2026·陕西榆林·一模）如图，在菱形中，，对角线，相交于点O，且．延长到点E，在内作射线，使得，过点B作，垂足为H，则的长为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】根据菱形的性质得到，再利用三角函数得到，证明即可得到答案． 【详解】解：菱形中，， ，点为中点，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 链接中考 A B C LOREM LOREM LOREM 1．（2025·山东济南·中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E都在网格的格点上，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求角的正切值，根据网格可知，，即可知，即可得出，由即可推出． 【详解】解：由网格可知：，， ， ∴， ∵， ∴ ∴， 故选C 2．（2025·四川广元·中考真题）如图，是的弦，过圆心O作于点H，交于点A，，点M是上异于C，D的一点，连接，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查勾股定理，圆周角定理，垂径定理的应用以及求角的正弦值，关键是根据垂径定理和勾股定理解答． 只要证明，求出即可． 【详解】解：连接，如图， 是的弦，， ， ， ， 和所对的弧都为， ， ， 设， ，， ，， ， ． 故选：B． 3．（2023·陕西·中考真题）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理的逆定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接，先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：如图：连接， 由题意得：， ， ， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 在中，，， ∴， 故选：A． 4．（2025·山东青岛·中考真题）如图，在三角形纸片中，，，将纸片沿着过点A的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕交于点；再将纸片沿着过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕交于点．下列结论成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的翻折问题，垂直的定义，等腰三角形的判定与性质以及直角三角形中正弦值的求解，在翻折过程中由边长和角度不变，可求解翻折前后的角度是解决本题的关键．根据是由翻折得到可求解的度数，由此判断C选项；根据翻折前后角度的求解，可求解与的度数，由“等角对等边”可判断A选项，求解的度数可判断B选项；假设结论成立，根据直角三角形中的正弦值求解边长即可判断D选项． 【详解】解：C选项，在中，，， ∴， ∵是由翻折得到， ∴，故C选项错误； A选项，∵是由翻折得到，， ∴， ∴， ∴， ∵是由翻折得到， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴，故A选项正确； B选项，∵， 即， ∴与不垂直，故B错误； D选项，过点G作交于点M，如图， 假设， ∵是由翻折得到， ∴， ∵， ∴为等腰三角形， ∵， ∴，即， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 又∵，与已知不符，故D选项错误． 故选：A． 5．（2025·广东·中考真题）如图，在矩形中，，是边上的三等分点，连接，相交于点，连接．若，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，求角的正切值，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据矩形的性质，证明，得到，然后过点作，得到，根据相似三角形对应边成比例分别求出的长，进而求出的长，再利用正切的定义求解即可． 【详解】解：∵矩形，，是边上的三等分点，，， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴， 过点作，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故选：B． 6．（2025·湖北·中考真题）如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则的长是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】如图，过作于，由对折可得：，，，，证明，而，可得，求解，，证明，，可得，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，过作于， ∵正方形， ∴，，，，，， 由对折可得：，，，， ∴，而， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴； 故选：B. 7．（2025·青海西宁·中考真题）如图，用四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到大正方形和小正方形，连接交于点P．若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求角的正切值，相似三角形的判定和性质，三线合一，全等三角形的性质，根据题意，设，，则：，三线合一，得到，进而得到，证明，得到，进而求出的数量关系，再根据正切的定义，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴设，，则：， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， 解得或（不合题意，舍去）； 在中，； 故选A． 8．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，在中，，，，过点A作直线，点是直线上一动点，连结，过点作，连结使．当最短时，则的长度为（　　）    A． B．4 C． D． 【答案】B 【分析】在点A的右侧取一点G，使得，连结，，过点F作于点H，先根据相似三角形的判定与性质，推得都是定值，点F在射线上运动，从而得到当时，最短，并画出图形，再通过设未知数列方程，逐步求得和的长，最后根据相似三角形的性质，即可求得答案． 【详解】解：如图1，在点A的右侧取一点G，使得，连结，，过点F作于点H， 直线，， ， ，， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ，， ， ， 和都是定值， 点F在射线上运动， 当时，最短（如图2所示）， 延长，相交于点N， ， 四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ， ， ， ， ， ， 解得， ，，，， ，， ， ， ， 解得， 当最短时，则的长度为4． 故选：B．    9．（2024·四川绵阳·中考真题）如图，在边长为2的正六边形中，连接，点H在上运动，点G为的中点，当的周长最小时，（   ） A． B． C．12 D．13 【答案】B 【分析】此题主要考查了正多边形和圆以及轴对称最短路线问题，得出点位置是解题关键．要使△的周长最小时，最小，利用正六边形的性质可得点关于的对称点为点，连接交于点，连接，，那么有，最小，再根据正六边形的性质和勾股定理计算即可． 【详解】解：如图， 要使的周长的最小，即最小， 利用正六边形的性质可得点关于的对称点为点，连接交于点，连接，，作，垂足为， 那么有，最小， ，，， ， ∴，， ，， ， 故当的周长最小时，． 故选：B． 10．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，四边形内接于，，，，则的半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长至点E，使，连接，连接并延长交于点F，连接，即可证得，进而可求得，再利用圆周角定理得到，结合三角函数即可求解． 【详解】解：延长至点E，使，连接，连接并延长交于点F，连接， ∵四边形内接于， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴是的直径， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴ ∴，, ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：A． 11．（2025·山东滨州·中考真题）如图，点A，B，C，D在上，，，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，特殊角的三角函数值，根据垂径定理，圆周角定理推出，再根据特殊角的三角函数值即可得出结果． 【详解】解：连接， ∵， ∴为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 12．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，与相切于点，连接，过点作的垂线，交于点，连接，交线段于点．若，则的值为___________． 【答案】 【分析】利用平行线的判定与性质证明，再求得，再利用直角三角形的边角关系解答即可． 【详解】解：∵与相切于点B， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． 故答案为：． 13．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，中，，，．在和上分别截取，，使．分别以M，N为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F．作射线交于点D，则点D到的距离为_____． 【答案】/ 【分析】本题考查了角平分线的作法和角平分线的性质，解直角三角形等知识点．由作图可知，平分，求得，，解直角三角形即可求解． 【详解】解：作于点，则点D到的距离为的长， 由作图可知，平分， ∵， ∴， ∵中，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 14．（2025·江苏南京·中考真题）如图，点，在矩形内，．若，，，则的长为____________． 【答案】 【分析】延长，交于点，利用勾股定理求得，计算和，借助矩形内角为直角、全等三角形的角相等，证得，，利用和得出、长，进而得、，利用勾股定理即可求的长． 【详解】解：如图，延长，交于点， 在中，，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∵， ∴，，， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴，，， ∴，， ∴． 15．（2025·山东淄博·中考真题）已知矩形，，，是边的中点，是边上的动点，线段分别与，相交于点，．若，则的长为_______． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，解直角三角形，平行四边形的判定和性质；过点A作交于点G，过点A作交的延长线于点K，过点G作于点H，即可得到为平行四边形，进而得到，然后根据正切的定义得到，，利用勾股定理求出，然后根据求出的长解答即可． 【详解】解：过点A作交于点G，过点A作交的延长线于点K，过点G作于点H， 则，， ∵是矩形， ∴，，，， ∴为平行四边形， ∴， ∵点P是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（2024·江苏淮安·中考真题）如图，点P是正六边形的边的中点，一束光线从点P出发，照射到镜面上的点Q处，经反射后恰好经过顶点C，已知正六边形的边长为2，则________． 【答案】/ 【分析】延长、交于点，作于点，于点，如图所示，由正六边形的性质及等腰三角形的判定与性质得到，设，再由正六边形的性质得到相应边与角度，在中，由三角函数求出和长度，连接，如图所示，易证是矩形，得到，过点作，如图所示，由等腰三角形性质，解直角三角形得到，最后利用的性质列式求参数即可得到答案． 【详解】解：延长、交于点，作于点，于点，如图所示： 则， 在正六边形中，，则， 由反射光线的性质可知， ，即， ， ， ， 设，则， ， 六边形为正六边形， ， ， 是中点， ， 在中，，， ， 在正六边形中，，， ， ， ， 四边形是矩形， ，， 过点作，如图所示： 由等腰三角形三线合一性质可知平分，且是边上的中线， 在中，， ， ， ，则，解得， ， ， 故答案为：． 17．（2025·四川雅安·中考真题）如图，中，是角平分线，O是上一点，经过点A、点M的分别交于点E，点F． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)求证：； (3)若，，求的长． 【答案】(1)相切，见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接，由角平分线的性质及等腰三角形的性质得，再由即可得，从而得与的位置关系是相切； （2）连接，证明即可； （3）连接，在中，由，设，则，从而，求得a的值，则可得，再由正弦函数关系即可求得的值． 【详解】（1）解：与的位置关系是相切； 理由如下： 如图，连接， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵为圆的半径， ∴与的位置关系是相切． （2）证明：如图，连接， ∵是圆的直径， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：如图，连接， 由（1）知， 在中，， 设，则， ∴， 解得， ∴，， ∵为圆的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 18．（2023·湖南张家界·中考真题）如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，，且．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形及相似三角形的判定与性质，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质是正确解答的前提． （1）根据切线的判定，连接，证明出即可，利用直径所得的圆周角为直角，三角形的内角和以及等腰三角形的性质可得答案； （2）由，根据锐角三角函数的意义和勾股定理可得，再根据相似三角形的性质可求出答案． 【详解】（1）证明：连接，如图所示：   是的直径， ， ， 又， ， 又． ，即， 是的切线； （2）解：，， ， 在中，，， ，则， ， ，， ， ， 设，则，， ，即， 解得或（舍去）， ． 19．（2025·江苏南京·中考真题）某纸杯的尺寸（单位：）如图（1）所示，展开它的侧面得到扇环纸片（可以看作扇形纸片剪去扇形纸片后剩余的部分）． (1)的长为____________，____________； (2)记表示两边长分别为，（，单位：）的矩形纸片的大小． ①图（2）是可以剪出扇环纸片的一张矩形纸片，它的一边与相切，点，在对边上，点，分别在另外两边上，直接写出，的值； ②用一张的矩形纸片可以剪出扇环纸片吗？说明理由； ③若一张的矩形纸片可以剪出扇环纸片，写出求的范围的思路（无需算出最终结果）． 【答案】(1)， (2)①，②可以，理由见解析③见解析 【分析】（1）设，，则，利用圆的周长公式和弧长公式解答即可； （2）①延长，，延长线交于点，设矩形的边与相切于点，连接，交于点，利用圆的切线的性质定理，矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系定理解答即可； ②将扇环纸片按如图所示放置，在矩形的边上，延长，，延长线交于点，过点作于点，过点作于点，利用直角三角形的边角关系定理求得，的长度，再利用它们与的矩形纸片的长与宽作比较即可； ③设计出能够放置扇环纸片的最小的的矩形纸片即可． 【详解】（1）解：由题意得：的长为，的长为， 设，，则， ， ， ． 故答案为：，； （2）解：①延长，，延长线交于点，设矩形的边与相切于点，连接，交于点，如图， 则， 四边形为矩形， 四边形，为矩形， ， 由题意得：，，，， 为等边三角形， ，，， ，， ，， ， ． ②用一张的矩形纸片可以剪出扇环纸片，理由： 将扇环纸片按如图所示放置，在矩形的边上，延长，，延长线交于点，过点作于点，过点作于点， 由题意得：，，，， ，，， ， ，， ，， 用一张的矩形纸片可以剪出扇环纸片． ③设的矩形纸片为矩形，，将扇环纸片如图放置，使点在边上，点在边上，点在边上，与边相切于点， 则此时的值最小，若求的范围，则此时的为的最小值． 延长，，延长线交于点，连接，交于点，过点作于点，过点作于点，设交于点， 由题意得：，，，， 与边相切于点， ， ，，四边形为矩形， 四边形，四边形，四边形为矩形， ，，， ，． 求得，的值即可求得的最小值； 由于，解和即可求得结论． 20．（2025·山东滨州·中考真题）【背景资料】 最小覆盖圆在几何学和计算机科学中有着广泛的应用．我们把能完全覆盖某平面图形的最小的圆称为该平面图形的最小覆盖圆．如线段的最小覆盖圆是以线段为直径的圆，锐角三角形的最小覆盖圆是这个三角形的外接圆，直角三角形的最小覆盖圆是以斜边为直径的圆，钝角三角形的最小覆盖圆是以最长边为直径的圆，正方形的最小覆盖圆是以对角线为直径的圆． 【动手操作】 如图1，中，，请作出的最小覆盖圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．） 【迁移运用】 正方形的边长为7，在边上截取，以为边向外作正方形． （1）如图2，连接，求的最小覆盖圆的直径； （2）将图2中的正方形绕点C逆时针旋转（如图3），经过A，D，F三点，且与边分别交于点I，L，求的最小覆盖圆的直径； （3）将正方形绕点C旋转，分别取的中点M，N，P，Q，顺次连接各中点，得到四边形（如图4）．在旋转过程中，四边形的最小覆盖圆的直径d的值是否发生变化？如果不变，请直接写出d的值；如果变化，请直接写出d的取值范围． 【答案】【动手操作】图见解析；【迁移运用】（1）；（2）；（3）变化， 【分析】动手操作：作的中垂线，再以中垂线与的交点为圆心，交点与点之间的距离为半径画圆即可； （1）延长交于点，求得为钝角，根据题意得到为的最小覆盖圆的直径，在中，利用勾股定理进行求解即可； （2）连接，根据题意，易得为锐角三角形，的外接圆为其最小覆盖圆，根据正方形的性质，得到，进而得到即为的外接圆的直径，进行求解即可； （3）连接，交于点，交于点，连接，根据三角形的中位线定理，证明四边形为平行四边形，证明，推出四边形为正方形，进而得到四边形的最小覆盖圆的直径为的长，根据正方形的性质得到，根据，求出的范围，即可得出结果． 【详解】解：动手操作：∵中，， ∴是钝角三角形， ∴的最小覆盖圆为以为直径的圆，作图如下： 迁移运用： （1）∵正方形的边长为7，正方形， ∴， ∴， ∴为钝角三角形， ∴为最小覆盖圆的直径， 延长交于点，则：， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴； （2）连接，作于点，延长交于点， 则：四边形为矩形， ∴，， ∴，， 在中，， ∴， ∵，即：， ∴， ∵过点，， ∴，为的直径， 又∵， ∴为锐角三角形， ∴即为的最小覆盖圆， ∵， ∴，即：， ∴， ∴，即的最小覆盖圆的直径为； （3）变化； 连接，交于点，交于点，连接， ∵分别取的中点M，N，P，Q，顺次连接各中点，得到四边形， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵正方形，正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形为菱形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∴，四边形的最小覆盖圆的直径为， ∴随着的变化而变化， ∵，即， ∴， ∴，即． 1 学科网（北京）股份有限公司 $