精品解析：2026年河南省实验中学九年级五月检测数学试题

数学九年级 （时间：100分钟满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共10小题，共30分） 1. 的倒数是（ ） A. 2026 B. C. D. 2. 根据央视新闻发布的数据显示，截至月日时，总台年春晚在新媒体端直播收视次数达亿次，比去年同期提升．数据亿用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图为洲际导弹的部分图片及其示意图，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与俯视图相同 B. 主视图与左视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都不相同 4. 将一块直角三角尺按如图所示的方式放置，其中点、分别落在直线、上，若，，则的度数为（　　） A. 27° B. 53° C. 60° D. 63° 5. 甲、乙、丙、丁四人各进行了10次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是，，，，，则射击成绩最稳定的是（    ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 6. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 以上结论都有可能 7. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点均在格点上，连接，，则的值是（ ） A. B. C. D. 8. 在一个不透明的口袋中，放入标有数字，，，的四个小球除数字外完全相同，从中随机摸出一个小球后放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球标号之和为的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，，则菱形的面积为（ ） A. 48 B. 60 C. 72 D. 96 10. 如图1，在中，是边上的定点．点从点出发，依次沿两边匀速运动，运动到点时停止．设点运动的路程为，的长为，关于的函数图象如图2所示．其中分别是两段曲线的最低点．点的纵坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共5小题，共15分） 11. 若有意义，则x的取值范围是__________． 12. 定义新运算：，则的运算结果是___________． 13. 一列单项式按以下规律排列：，，，，，，，，则第20个单项式是________． 14. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在小正方形的顶点上，且点D在上，，则的长为_________． 15. 中，，，，E是AC的中点，MN分别是边AB、BC上的动点，D也是BC边上的一个动点，以CD为直径作，连接ED交于F，连接FM，MN，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 6月5日是世界环境日，某学校举办了以“生态文明与环境保护”为主题的相关知识测试．为了了解学生对“生态文明与环境保护”相关知识的掌握情况，现从八年级和九年级参与竞赛的学生中各随机选出20名同学的成绩进行分析（单位：分，满分100分），将学生竞赛成绩分为A，B，C，D四个等级，分别是： A：，B：，C：，D：． 其中，八年级学生的竞赛成绩为：66，75，76，78，79，81，82，83，84，86，86，88，88，88，91，92，94，95，96，96； 九年级等级C的学生成绩为：81，82，83，86，87，88，89． 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表： 学生 平均数 中位数 众数 八年级 85.2 86 b 九年级 85.2 a 91 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________，________； （2）若九年级有700名学生参赛，估计九年级参赛学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有多少人？ （3）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由． 18. 如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点． （1）如尺规作图：作直线，使，与反比例函数图象在第一象限内交于点；（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）求（1）中点的坐标； （3）结合图像请直接写出时的取值范围． 19. 端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测某粽子能够畅销．根据预测，每千克该粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进这种粽子的数量是节后用相同金额购进的数量的倍．根据以上信息，解答下列问题： （1）该商场节后每千克这种粽子的进价是多少元？ （2）如果该商场在节前和节后共购进这粽子400千克，且总费用不超过3800元，并按照节前每千克18元，节后每千克14元全部售出，那么该商场节前购进多少千克这种粽子获得利润最大?最大利润是多少? 20. 一天晚上，小明和爸爸带着测角仪和皮尺去公园测量一景观灯（灯杆底部不可到达）的高．如图所示，当小明爸爸站在点处时，他在该景观灯照射下的影子长为，测得；当小明站在爸爸影子的顶端处时，测得点的仰角为．已知爸爸的身高，小明眼睛到地面的距离，点、、在同一条直线上，，，．求该景观灯的高．（参考数据：，， 21. 如图，在中，，以为直径的交于点，过点作，垂足为点，延长交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求图中阴影部分的面积． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线：经过点和点，点在该抛物线上，其横坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，把抛物线沿轴向上平移得到抛物线，平移的距离为，在平移过程中，抛物线与直线始终有交点，求的最大值； （3）若抛物线在点右侧部分（含点）的最低点的纵坐标为，请直接写出的值． 23. 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究几何图形的经验，请运用已有经验，对“腰分双等四边形”进行研究． 【图形定义】 若四边形的一条对角线把其分割成两个等腰三角形．且这条对角线是这两个等腰三角形的腰，那么我们称这个四边形为“腰分双等四边形”，这条对角线为“腰分线”． （1）【概念理解】如图1，在四边形中，，连接，点是的中点，连接，．则： ①四边形________（填“是”或“不是”）腰分双等四边形； ②若，的度数为________；的度数为________． （2）【性质探究】如图2，正方形边长为6，点为其内部一点（不含中心），四边形为腰分双等四边形，为腰分线（和均不是等边三角形），过点作直线的垂线，垂足为点，连接，若，求的面积． （3）【拓展应用】如图3，在矩形中，，点是其内部一点，点是边上一点，四边形是腰分双等四边形，为腰分线，且，延长交线段于点，连接．若，，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学九年级 （时间：100分钟满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共10小题，共30分） 1. 的倒数是（ ） A. 2026 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据倒数的概念计算即可得到结果． 【详解】解：乘积为的两个数互为倒数， 故的倒数为． 2. 根据央视新闻发布的数据显示，截至月日时，总台年春晚在新媒体端直播收视次数达亿次，比去年同期提升．数据亿用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：亿， 亿． 3. 如图为洲际导弹的部分图片及其示意图，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与俯视图相同 B. 主视图与左视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都不相同 【答案】A 【解析】 【详解】解：从正面看和从上面看，看到的轮廓形状相同， ∴主视图与俯视图相同， 从左面看，看到的图形为圆，与主视图与俯视图不同． 4. 将一块直角三角尺按如图所示的方式放置，其中点、分别落在直线、上，若，，则的度数为（　　） A. 27° B. 53° C. 60° D. 63° 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线的知识，解题的关键是掌握平行线的性质，两直线平行，内错角相等，即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 5. 甲、乙、丙、丁四人各进行了10次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是，，，，，则射击成绩最稳定的是（    ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】 【详解】本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．根据方差的意义求解即可． 【分析】解：∵， 射击成绩最稳定的是丙， 故选：C． 6. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 以上结论都有可能 【答案】A 【解析】 【分析】一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根． 【详解】解：由题意可得：， 故一元二次方程的根的情况是有两个不相等的实数根． 7. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点均在格点上，连接，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了网格与勾股定理，锐角三角函数的计算，合理构造直角三角形是关键． 如图所示，在线段上取格点，得到是正方形方格的对角线，，由勾股定理得到，根据余弦值的计算即可求解． 【详解】解：如图所示，在线段上取格点， 根据网格格点得到，是正方形方格的对角线， ∴， 根据网格得到，， ∴， 故选：D ． 8. 在一个不透明的口袋中，放入标有数字，，，的四个小球除数字外完全相同，从中随机摸出一个小球后放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球标号之和为的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比；解题关键是准确画出表格，列出所有等可能结果． 列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解可得． 【详解】解：列表如下： 1 2 3 3 1 2 3 4 4 2 3 4 5 5 3 4 5 6 6 3 4 5 6 6 由表知，共有16种等可能结果，其中两次摸出的小球标号之和为5的有4种结果，所以两次摸出的小球标号之和为5的概率为， 故选B． 9. 如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，，则菱形的面积为（ ） A. 48 B. 60 C. 72 D. 96 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形的性质得到，求出，再根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半得到，再根据菱形的面积进行计算即可． 【详解】解：菱形， ， ， ， ， ， 是的中点， 是斜边上的中线， ， ， ， 菱形的面积为． 10. 如图1，在中，是边上的定点．点从点出发，依次沿两边匀速运动，运动到点时停止．设点运动的路程为，的长为，关于的函数图象如图2所示．其中分别是两段曲线的最低点．点的纵坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查动点问题的函数图象，根据图2得到的长度及点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离，掌握勾股定理及其逆定理、三角形面积计算公式是解题的关键．由图2可知的长度及点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离，再根据勾股定理及其逆定理、三角形面积公式求出点D到的距离即可． 【详解】解：根据图2，，点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离．如图： 在中，利用勾股定理，得， 在中利用勾股定理，得， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中利用勾股定理，得， 则， 解得， ∴点N的纵坐标是． 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共5小题，共15分） 11. 若有意义，则x的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 12. 定义新运算：，则的运算结果是___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了整式混合运算新定义问题的解决能力，关键是能准确理解并运用运算定义进行代入、求解．运用计算定义进行代入、求解即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 13. 一列单项式按以下规律排列：，，，，，，，，则第20个单项式是________． 【答案】 【解析】 【分析】分别从系数的符号、系数的绝对值、的指数三个方面，找出单项式随项数变化的规律，再将项数代入规律计算即可. 【详解】解：观察这列单项式：，，，，，，，， 可得第个单项式的规律：系数的符号：奇数项为正，偶数项为负，可表示为； 系数的绝对值：是从开始的连续奇数，可表示为； 的指数：等于项数，可表示为； 因此第个单项式可写为， 将代入得：. 14. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在小正方形的顶点上，且点D在上，，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】连接AC，确定弧所对的圆心O，可知AC为直径，连接OB、OD，利用勾股定理求得，，则，根据圆周角定理可得，从而求得，即可求解． 【详解】解：连接AC，确定弧所对的圆心O，连接OB、OD，如下图： 由勾股定理可得：，， ∴ ∴为直角三角形， ∴AC为直径，，， ∴ ∵ ∴， ∴， 所以的长为 故答案为： 【点睛】此题考查了弧长的计算，涉及了勾股定理，圆周角定理等性质，解题的关键是确定圆心的位置，正确求得半径以及圆心角，熟记弧长公式． 15. 中，，，，E是AC的中点，MN分别是边AB、BC上的动点，D也是BC边上的一个动点，以CD为直径作，连接ED交于F，连接FM，MN，则的最小值为______． 【答案】4.5#### 【解析】 【分析】连接CF，由CD是☉O的直径可知∠CFD=90°，从而得出△CEF是直角三角形，再取CE的中点G，可知，故F点在以G为圆心的单位圆上，作出这个单位圆．将△ABC沿AB向下翻折得到，并取N点对称点N'，连接MN'，显然MN= MN'，要求FM+MN的最小值就是求FM+MN'的最小值．过点G作G N'⊥BC'于N'，交☉G于F，交AB于M，根据垂线段最短可知此时FM+MN取最小值，延长线段N'G，BA交于点P，利用含30°角的直角三角形的性质可以求出FM+MN取最小值． 【详解】如图，连接CF，取CE的中点G，连接FG，将将△ABC沿AB向下翻折得到，并取N点对称点N'，连接MN'，则MN= MN'，∠CBC'=2∠ABC=60°． ∵CD是☉O的直径， ∴∠CFD=90°， ∴∠CFE=90°， ∴△CEF是直角三角形， ∴． 又∵AC=4，E是AC的中点， ∴， ∴， ∴F点在以G为圆心的单位圆上． 如下图，以G为圆心画出这个单位圆． ∵GF为定值，要求FM+MN的最小值可先求GF+FM+MN的最小值，即GF+FM+MN'的最小值． 根据垂线段最短可知，GF+FM+MN'的最小值是G到BC的距离． 如下图，过点G作G N'⊥BC'于N'，交☉G于F，交AB于M，延长线段N'G，BA交于点P．（将原图剩余线段与圆补齐） ∵∠CBC'=60°， ∴∠P=30°． 又∵CG=， ∴PG=2，PC=， 在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=4， ∴BC=， ∴PB= BC + PC=． 在△PBN'中，∠PN'B =90°，∠PBN'=∠CBC'=60°，PB=， ∴P N'=， ∴GF+FM+MN'的最小值也就是G到BC的距离GN'= =， ∴FM+MN'的最小值= =， 即FM+MN的最小值是． 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，直角三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，垂线段最短．能推出F在以G为圆心的单位圆上和灵活运用垂线段最短是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】（1）先计算乘方和开方，注意负指数和零指数幂的计算； （2）先将括号内的通分计算出结果，再与后面的分式进行除法计算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 17. 6月5日是世界环境日，某学校举办了以“生态文明与环境保护”为主题的相关知识测试．为了了解学生对“生态文明与环境保护”相关知识的掌握情况，现从八年级和九年级参与竞赛的学生中各随机选出20名同学的成绩进行分析（单位：分，满分100分），将学生竞赛成绩分为A，B，C，D四个等级，分别是： A：，B：，C：，D：． 其中，八年级学生的竞赛成绩为：66，75，76，78，79，81，82，83，84，86，86，88，88，88，91，92，94，95，96，96； 九年级等级C的学生成绩为：81，82，83，86，87，88，89． 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表： 学生 平均数 中位数 众数 八年级 85.2 86 b 九年级 85.2 a 91 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________，________； （2）若九年级有700名学生参赛，估计九年级参赛学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有多少人？ （3）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由． 【答案】（1）87.5；88；35； （2）280人； （3）九年级的成绩更好，理由见详解 【解析】 【分析】（1）分别根据中位数和众数的定义可得a和b的值，根据九年级等级C的学生人数求出其所占百分比，可得m的值； （2）用样本估计总体即可求解 （3）依据表格中平均数、中位数、众数，方差做出判断，合理即可． 【小问1详解】 解：由题意得：九年级等级A的学生人数为（人）， 等级B的学生人数为（人）， ∴九年级20名同学的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为87、88，故九年级学生成绩的中位数； 八年级20名同学的成绩出现次数最多的是88，故众数； 由题意可得：， 故， 故答案为：87.5；88；35； 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计九年级参赛学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有280人． 【小问3详解】 解：九年级的成绩更好， 理由：因为两个年级的平均数相同，而九年级的成绩的中位数和众数均大于八年级. 18. 如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点． （1）如尺规作图：作直线，使，与反比例函数图象在第一象限内交于点；（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）求（1）中点的坐标； （3）结合图像请直接写出时的取值范围． 【答案】（1）作图见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用基本尺规作图作两个角相等，由两条直线平行的判定即可得到答案； （2）根据题意，由待定系数法求出函数表达式，再联立方程组求一次函数与反比例函数图象交点即可得到答案； （3）由得，算出一次函数的图象在反比例函数的图象的下方的部分即可． 【小问1详解】 解：如图所示： 直线即为所求； 【小问2详解】 解：平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点， ∴将代入一次函数，得到， 解得， ∴一次函数为， ∵一次函数为的图象与反比例函数的图象交于点， ∴将代入一次函数为，得到， 解得，则， ∴， ∴反比例函数为， 由（1）知，则直线， ∴联立， 解得或（为负值，舍去）， ∴点的坐标； 【小问3详解】 解：， ∴， ∴一次函数的图象在反比例函数的图象的下方， ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点， ∴． 19. 端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测某粽子能够畅销．根据预测，每千克该粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进这种粽子的数量是节后用相同金额购进的数量的倍．根据以上信息，解答下列问题： （1）该商场节后每千克这种粽子的进价是多少元？ （2）如果该商场在节前和节后共购进这粽子400千克，且总费用不超过3800元，并按照节前每千克18元，节后每千克14元全部售出，那么该商场节前购进多少千克这种粽子获得利润最大?最大利润是多少? 【答案】（1）8元 （2）该商场节前购进300千克这种粽子获得利润最大，最大利润3000元 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程和关系式． （1）设节后这种粽子进价元，则节前该粽子的进价为元，根据题意，列出方程，解方程即可； （2）设利润元，节前购进这种粽子千克，则节后购进该粽子千克，根据利润售价进价列出关系式，根据总费用不超过3800元，求出m的范围，根据一次函数函数增减性，求出最大利润即可． 【小问1详解】 解：设节后这种粽子进价为元，则节前该粽子的进价为元， 根据题意得： 解得： 经检验是原方程的解， 答：节后每千克这种粽子的进价为8元． 【小问2详解】 设利润元，节前购进这种粽子千克，则节后购进该粽子千克， 由（1）可知，节前该粽子的进价为（元） 根据题意得： 解得：； ∵， 随增大而增大， ， 当时，有最大值，最大值为元． 答：该商场节前购进300千克这种粽子获得利润最大，最大利润是3000元． 20. 一天晚上，小明和爸爸带着测角仪和皮尺去公园测量一景观灯（灯杆底部不可到达）的高．如图所示，当小明爸爸站在点处时，他在该景观灯照射下的影子长为，测得；当小明站在爸爸影子的顶端处时，测得点的仰角为．已知爸爸的身高，小明眼睛到地面的距离，点、、在同一条直线上，，，．求该景观灯的高．（参考数据：，， 【答案】 【解析】 【分析】过点作，垂足为，根据题意可得：，，然后设，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再根据垂直定义可得，从而证明字模型相似三角形，最后利用相似三角形的性质可得，从而列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为， 由题意得：，， 设， 在中，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 该景观灯的高约为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，相似三角形的应用，中心投影，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 21. 如图，在中，，以为直径的交于点，过点作，垂足为点，延长交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的判定、等腰三角形的性质、圆周角定理、扇形面积与三角形面积的计算，解题关键是通过连接辅助线，利用等腰三角形性质证平行，进而证明切线；再结合含角的直角三角形性质与扇形面积公式计算阴影部分面积． （1）通过连接，利用等腰三角形性质证，结合得，从而证是切线； （2）连接由得，进而，由得是等边三角形，从而的半径为4；再由是直径得，由三线合一得，在中可求及；最后连接，由得，证为等边三角形，求出扇形与的面积，用即得阴影面积． 【小问1详解】 证明：连接． ， ， ， ， ， ， ， ， 又是的半径， 是的切线． 【小问2详解】 解：连接， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ，即的半径为4， 是的直径， ，即， ， ，即， 又， ， 在中，， ，， ， 连接，由(1)知 又 是等边三角形，， ，， ， ， 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线：经过点和点，点在该抛物线上，其横坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，把抛物线沿轴向上平移得到抛物线，平移的距离为，在平移过程中，抛物线与直线始终有交点，求的最大值； （3）若抛物线在点右侧部分（含点）的最低点的纵坐标为，请直接写出的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法将点代入解析式中求解； （2）利用二次函数的平移性质将抛物线的解析式表示出来，再用待定系数法求出直线的解析式，联立两个解析式，转化为一元二次方程，通过判别式求出的取值范围，从而找出的最大值； （3）根据二次函数图像的性质，将点的位置分为对称轴左侧和对称轴右侧两组情况，利用二次函数的增减性确定取得最小值时点的坐标，将坐标代入解析式求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线：经过点和点， ∴将点和点分别代入抛物线中，得， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵点在抛物线上，且横坐标为，， 将代入二次函数解析式中，得， 解得， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点和点分别代入解析式中，得， 解得， ∴直线的解析式为； ∵抛物线是由抛物线沿轴向上平移的单位长度得到的， ∴抛物线的解析式为， 联立解析式，得， ∵抛物线与直线始终有交点， ∴判别式， 解得， 又∵， ∴的取值范围为，的最大值为； 【小问3详解】 解：二次函数的对称轴为，开口向上， ①当点在对称轴的左侧，则在顶点处取得最小值， 即当时，，代入解析式中， 得，解得； ②当点在对称轴的右侧，则在点处取得最小值， 即当时，，代入解析式中， 得， 解得， ∵点在对称轴的右侧， ∴， ∴， 综上所述，的值为1或． 23. 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究几何图形的经验，请运用已有经验，对“腰分双等四边形”进行研究． 【图形定义】 若四边形的一条对角线把其分割成两个等腰三角形．且这条对角线是这两个等腰三角形的腰，那么我们称这个四边形为“腰分双等四边形”，这条对角线为“腰分线”． （1）【概念理解】如图1，在四边形中，，连接，点是的中点，连接，．则： ①四边形________（填“是”或“不是”）腰分双等四边形； ②若，的度数为________；的度数为________． （2）【性质探究】如图2，正方形边长为6，点为其内部一点（不含中心），四边形为腰分双等四边形，为腰分线（和均不是等边三角形），过点作直线的垂线，垂足为点，连接，若，求的面积． （3）【拓展应用】如图3，在矩形中，，点是其内部一点，点是边上一点，四边形是腰分双等四边形，为腰分线，且，延长交线段于点，连接．若，，请直接写出的长． 【答案】（1）①是；②45，135 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）①根据直角三角形斜边中线的性质得到，即可证明； ②首先得到点A，B，C，D在以点E为圆心的圆上，然后根据圆周角定理和圆内接四边形的性质求解； （2）首先得到点B，F，D在以点A为圆心的圆上，由（1）②可得，证明，可得，根据勾股定理可得，进而可得面积； （3）分两种情况讨论，当和当时，分别利用勾股定理和解直角三角形求解． 【小问1详解】 解：①∵，点是的中点， ∴， ∴四边形是腰分双等四边形； ②∵， ∴点A，B，C，D在以点E为圆心的圆上， ∵， ∴， ； 【小问2详解】 解：连接，过点作交于点G， ∵四边形为腰分双等四边形，为腰分线， ∴， ∴点B，F，D在以点A为圆心的圆上， ∵四边形是正方形， ∴， 由（1）②可得，， ∴ ∵， ∴，即是等腰直角三角形， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：①当时，过点作于点H，如图， ∴， ∵ ∴， ， ， 设，， ∴ ∴ 解得 ∴，， ∴， 由（1）②可得，， ， ∴， ∴， ， ∵四边形是矩形， ∴， ∴； ②当时， 过点作，，，垂足分别是， ∴四边形，都是矩形， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ， ∴， 设，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ， ∴， 解得：，经检验是原方程的解， ∴． 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $