重庆市2026届高考物理必刷题 电磁学计算题

**基本信息** 聚焦电磁学综合应用，通过20道典型题构建"模型建构-规律应用-多过程分析"的解题逻辑链，强化科学思维与问题解决能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |带电粒子运动|6题|组合场中轨迹分析、临界条件判断|从洛伦兹力公式推导到几何关系构建，体现运动与相互作用观念| |电磁感应|7题|导体棒切割、动量定理与能量守恒综合|电磁感应定律与力学规律整合，强化能量观念与科学推理| |复合场应用|7题|场力平衡、多过程动态分析|电场力与磁场力特性对比，培养模型建构与质疑创新能力|

2026年重庆市高考必刷题 电磁学计算题 1．如图所示，纸面内竖直边界1、2之间有磁感应强度大小为、方向垂直纸面向里的匀强磁场，边界1的左侧（紧挨边界1）放置极板垂直边界1的平行板电容器，一电子紧贴下极板水平向右射入电容器，经板间电场偏转后从电容器右上端点沿与边界1夹角（斜向上）的方向射入磁场，电子从点射出磁场时的速度方向与边界2的夹角（斜向下）。电子的质量为、电荷量为，电容器的极板长度以及磁场的宽度均为，不计电子所受的重力，取，。求： (1)电子通过点时的速度大小； (2)电容器两极板间的电压以及两极板间的距离。 2．如图所示，平行金属导轨与，两导轨间距与段是竖直四分之一光滑圆弧，半径与是水平光滑足够长的直导轨，直导轨上接有一单刀双掷开关S，接在1端的定值电阻，接在2端电容器的电容，整个空间内存在垂直向下的匀强磁场B，磁感应强度。现在外力作用下，使质量、长度为L的金属棒从圆弧最高点开始，以大小为沿圆弧轨道做匀速圆周运动，当金属棒运动至时，撤去外力的同时将开关S拨至2，运动过程中金属棒始终与轨道垂直且接触良好，金属棒及导轨电阻不计。求： (1)金属棒运动至时产生的瞬时感应电动势E的大小； (2)金属棒从运动至的过程中，通过定值电阻R的电荷量q； (3)金属棒稳定后的最终速度v的大小。 3．如图所示，矩形区域内充满垂直该区域向里的匀强磁场，其中，。ad边的中点S处有一可视为质点的粒子源，在该区域内沿ab方向持续发射出质量均为m、电荷量均为q、速率范围为的所有带电粒子，其中速率为的粒子恰好从b点射出磁场。若在该区域内叠加一平行于该区域且范围足够大的匀强电场（未画出），则速率为的粒子恰好做匀速直线运动。不计粒子重力、粒子间的相互作用及碰撞。 (1)求匀强磁场的磁感应强度大小B。 (2)求匀强电场的电场强度E。 (3)若保留电场、撤去磁场，其他条件不变，求粒子在该区域内运动的最长时间与最短时间之比。 4．光滑足够大的水平桌面上右侧，有一边长为的等腰直角三角形区域，其内分布着垂直桌面的匀强磁场，磁感应强度大小为。以、、为边界分布着与边垂直、方向由指向的匀强电场，俯视图如图所示。三个可视为质点的小球、、在的延长线上，小球质量均为，小球带电量为，、不带电。小球位于绝缘轻质弹簧的右端，与弹簧接触但是不粘连，弹簧的左端系着小球。初始时弹簧处于原长状态，以初速度沿着连线方向与发生碰撞，碰撞后、粘连在一起，小球与弹簧分离后进入磁场，此后不再与、相碰。求： (1)弹簧弹性势能的最大值； (2)若小球能进入电场区，小球的初速度应满足的条件； (3)要使小球穿过分界面次数最少并从点离开电场，则电场强度随初速度变化的表达式。 5．如图所示的xOy平面内，轴上方存在平行于轴向下的匀强电场，轴下方存在垂直xOy平面向外的匀强磁场，在轴上坐标为处的点有一质量为、电荷量为的带电粒子，以的速度平行轴进入电场强度为的电场。从轴上的点（图中未标出）首次进入磁场中，粒子在磁场中做匀速圆周运动，随后从轴上的点（图中未标出）首次离开磁场，且恰能回到点，不计粒子重力，求： (1)点到点的距离； (2)粒子从点首次进入磁场时的速度及方向； (3)匀强磁场的磁感应强度大小以及粒子第一次在磁场中运动的时间。 6．某粒子束选择装置的原理模型如图所示。平行金属板 、 间存在竖直向上的匀强电场与垂直纸面向里的匀强磁场，半径为 的圆形区域和矩形区域 PQMN 内分别有垂直纸面向外、向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为 B 。D 板延长线过圆心 O， C 板延长线、两板左边缘连线均与圆相切， PN 边与圆相切于中点 A。一束宽度等于板间距、比荷为 的负粒子（粒子重力、粒子间的相互作用均忽略不计）水平射入板间，恰能做匀速直线运动，之后进入圆形区域偏转均通过 A 点。已知 。求： (1)平行金属板 C、D 间的电压 ； (2)沿金属板 C、D 中轴线运动的粒子在圆形磁场中运动的时间 t ； (3)QM 边上有粒子穿出的长度。 7．如图所示，倾斜平行光滑金属导轨轨道间距，与水平面成，下端连接水平光滑金属导轨，连接处导通。倾斜导轨、水平导轨处均有垂直轨道向上的的匀强磁场。定滑轮距水平导轨中点正上方，距导轨连接处水平距离，不可伸长绝缘轻绳连接cd棒中心。两相同金属棒ab和cd（质量、电阻）分别置于倾斜轨道和水平导轨上。金属棒cd固定在轨道连接处，由静止释放金属棒ab，经t0=3s达到最大速度。再经一段时间后，金属棒ab滑至水平导轨与金属棒cd发生弹性碰撞。碰撞前瞬间释放金属棒cd，碰后金属棒ab位置固定，金属棒cd在轻绳牵引下以的加速度沿导轨向右做匀加速直线运动。已知，重力加速度，导轨电阻不计，忽略轨道衔接处动能变化，求： (1)金属棒ab在倾斜轨道上的速度最大值； (2)金属棒ab释放后经过，还未运动到水平轨道，求金属棒ab中产生的热量； (3)从金属棒cd开始运动到对导轨压力恰好为零时，轻绳拉力对金属棒cd的水平冲量大小。 8．如图所示，在光滑绝缘水平面上建立直角坐标系，足够长的收集板置于y轴上。在y>0区域存在方向竖直向下、磁感应强度大小B=1T的匀强磁场。绝缘挡板MN表面光滑，长度L=2 m。一质量m=0.1 kg，电荷量q=0.1 C的带正电小球紧贴挡板放置，初始位置与M端的距离为d。现用挡板推动小球沿y轴正方向运动，运动中挡板始终平行于x轴，小球紧贴挡板。进入磁场后，挡板保持速度沿y轴正方向做匀速直线运动，经过一段时间带电小球离开挡板M端。小球可视为质点，运动中带电量保持不变，且到达收集板立即被收集。 (1)当d=1.25 m时，求带电小球离开挡板M端时的速度大小v； (2)调节挡板M端与y轴距离为时，无论d多大，都可以让小球垂直打在收集板上。 ①求； ②求小球垂直打在收集板上的位置坐标y与d之间的函数关系。 9．如题图所示，一倾角的光滑固定斜面上放有形导体框；一质量为的金属杆的两端置于导体框上，与导体框构成矩形回路CDEF；EF长度。初始时CD与EF相距，金属杆与导体框同时由静止开始下滑，导体框下滑后，EF边进入一方向垂直于斜面的匀强磁场区域，磁场边界（图中虚线）与斜面底边平行；EF边在磁场中以大小为的速度做匀速运动，直至离开磁场区域。当EF边离开磁场的瞬间，金属杆CD正好进入磁场，并做匀速直线运动；金属杆离开磁场瞬间，导体框恰好运动到斜面底端并被锁定，金属杆运动到斜面底端时也立刻被锁定。已知金属杆与导体框之间始终接触良好，框的EF边与杆CD始终与斜面底边平行，金属杆接入电路的电阻为，导体框的电阻忽略不计，磁场的磁感应强度大小，重力加速度大小g，。求： (1)的大小； (2)导体框的质量及导体框与金属杆之间的滑动摩擦因数； (3)从开始运动到金属杆被锁定，金属杆产生的焦耳热及导体框与金属杆由于摩擦产生的热量。 10．电磁聚焦和发散技术多用于高端科技领域。如图所示，在x、y轴组成的平面内有组合电场和磁场，可以实现带电粒子的聚焦和发散。质量为m、电荷量为+q的同种带电粒子以相同的速度v0平行于x轴射入第三象限的匀强电场中，电场强度大小未知，方向沿y轴负方向，边界分别与x轴、y轴交于P（-2L，0）、Q（0，-L）两点。其边界均有粒子射入，且所有粒子都从Q点射出电场，进入第四象限的匀强磁场，其中速度平行x轴方向射入磁场的粒子恰能垂直打到x轴的正半轴上。不计粒子的重力和粒子间的相互作用，不考虑电磁场的边缘效应。求： (1)第三象限内匀强电场的场强大小E0； (2)所有粒子打到x轴正半轴上的区域长度d； (3)第一象限交替分布着沿y轴正方向的匀强电场和垂直xOy平面向外的匀强磁场，电场、磁场的宽度均为L，边界与y轴垂直，电场强度、磁感应强度分别为B、2B、3B……，其中。求射入第一象限的粒子离x轴的最远距离y。 11．某半导体离子掺杂装置的粒子筛选系统，其结构俯视图可简化为如题图所示。Ⅰ区为加速区，平行金属板C、D间距为，C、D中心有两小孔，分别为S、O，板间有匀强电场；Ⅱ区为偏转磁场区，宽度为（未知），方向垂直纸面向外；Ⅲ区为筛选磁场区，宽度为，方向垂直纸面向里，边缘有拦截挡板，Ⅱ、Ⅲ区域磁感应强度大小均为。一带正电的粒子质量为，电量为，由Ⅰ区域中的S点静止释放，加速后依次进入Ⅱ、Ⅲ区，恰好不与Ⅲ区挡板碰撞，并能从O点沿直线返回S。不计粒子重力，求： (1)Ⅱ区的磁场宽度； (2)Ⅰ区电场强度大小； (3)粒子在Ⅱ、Ⅲ两区磁场中运动的总路程。 12．如图1所示，某圆柱体绝热气缸开口向上竖直放置，缸内用一质量为、横截面积为的水平绝热活塞封闭着一定质量的理想气体。时刻活塞静止，活塞距气缸底部的高度为。一阻值为的电热丝密封在气缸内，电热丝两端与匝横截面积为的线圈相连，线圈总电阻为，其余电阻不计。线圈内充满垂直线圈平面的匀强磁场，其磁感应强度按图2所示规律变化（其中、已知）；时刻撤去磁场，经过足够长时间后，活塞距气缸底部的高度变为。已知外界大气压强恒为，重力加速度为，活塞可在气缸内无摩擦滑动且不漏气，电热丝的体积、活塞及气缸底部的厚度均忽略不计，电热丝产生的焦耳热完全被气体吸收。求： (1)时间段内，通过电热丝的电荷量及电热丝产生的焦耳热； (2)从时刻开始，经过足够长时间后，气缸内气体内能的增加量。 13．未来长征十号载人登月火箭可能采用“电磁撬”弹射发射技术，其试验核心过程可概括为储能准备、电磁弹射加速、制动与分离三个阶段，装置如图所示。试验前，向一组总电容为C的电容器充电至电荷量为Q。同时，将质量为m的模拟火箭箭体置于“加速区”中足够长的光滑平行金属导轨上，箭体可视为一根长为L、电阻为r的导体棒，且与导轨垂直。整个“加速区”施加竖直向下的匀强磁场，大小为。闭合开关，箭体从静止开始加速，一段时间后达到最大速度，并以最大速度驶入“制动区”，两区连接处绝缘。整个“制动区”分为两段，电磁阻尼段存在竖直向上的匀强磁场，大小为，外接一电阻大小为R的定值电阻，导轨光滑；机械制动段无磁场，但箭体受到大小为的阻力作用，其中k已知，x为箭体在机械制动区向前运动的位移。不计空气阻力和所有导轨电阻，忽略回路电流对原磁场的影响，试求： (1)箭体加速过程中的最大加速度； (2)箭体能达到的最大速度； (3)若要求箭体在恰好驶离电磁阻尼段时，速度降至安全值，并最终停在机械制动段的某一位置，则箭体在制动区运动的总位移为多大？（结果可用、等物理量表示） 14．在可控核聚变装置中，中性束注入（NBI）是加热等离子体的重要手段。装置简化模型如图甲所示。三维坐标系中；x轴水平向右，y轴竖直向上，z轴垂直纸面向外。区域Ⅰ存在方向沿轴的匀强电场，区域Ⅱ存在方向沿轴的匀强磁场（未画出）。一个质量为m、电荷量为的离子，从区域Ⅰ中的点静止释放，不计重力。 (1)若区域Ⅰ的电场强度为E，求离子到达区域Ⅱ时的速度大小； (2)若已知，离子进入磁场后从坐标原点O穿出区域Ⅱ，求区域Ⅱ的磁感应强度大小B及到达O点时速度与轴的夹角； (3)满足（2）的条件，离子到达O点时，立即撤去区域Ⅰ中的电场和区域Ⅱ中的磁场，同时在的区域加如图乙所示磁镜。该磁镜为轴向对称分布的非匀强磁场。其对称轴沿方向，轴向（方向）的分磁感应强度大小随x线性增大，满足，其中为处的轴向分磁感应强度。已知粒子在此非匀强磁场中运动满足“磁矩不变量”：常量，其中是垂直于x轴方向的分速度大小。 ①证明：离子在磁镜中运动时，其平行于x轴的速度分量与的关系为：； ②离子在磁镜中沿x方向的分运动为减速运动，最终减为0后被磁场“反射”。若磁镜区域的长度有限，仅为，为了使离子不能穿透磁场逃逸（即被“反射”），求k（称为磁场的梯度系数）应满足的条件（用、L表示）。 15．如图甲所示，在xOy平面内存在平行于x轴的电场和垂直于xOy平面的磁场，电场强度 （以沿 x 轴正方向为正） 和磁感应强度 （以垂直于 xOy 平面向里为正） 随时间的变化规律如图乙所示，电场和磁场交替出现，电场强度大小为上次出现时的一半，方向与上次相反，每次出现的磁感应强度大小方向均不变。在坐标原点 放置一粒子源，可连续均匀释放质量为 m、电荷量为q（q>0）、初速度为零的粒子，不计粒子重力及粒子间的相互作用，图中物理量均为已知量。求: (1)零时刻释放的粒子，从释放到再次经过y 轴过程中，电场力对粒子所做的功； (2)时刻释放的粒子，首次离开 轴后，再次经过 x轴正半轴的横坐标值； (3)在 处垂直于x轴放置一足够大的粒子接收屏，在0∼时间内释放的粒子中，不会被接收的粒子所占百分比η。 16．如图所示，xOy平面内，第一、二象限内充满垂直xOy平面向里的相同匀强磁场，第三象限内存在沿y轴正方向的匀强电场，第四象限内的匀强电场与第三象限内的匀强电场等大反向，两电场范围均足够大。两个质量均为m、带异种电荷且电荷量大小均为q的粒子，同时从y轴正半轴上A点以大小均为v0的速度射出，其中带正电的粒子射入第二象限，带负电的粒子射入第一象限，速度方向与y轴正方向的夹角均为30°。当这两个粒子第一次穿过x轴时，速度方向与x轴的夹角均为60°，之后它们在y轴负半轴上C点第一次相遇，且相遇时的速度方向与y轴负方向的夹角均为60°。已知A点到坐标原点O的距离为d，不计粒子重力，不考虑粒子间的相互作用和碰撞对粒子运动的影响。 (1)求这两个粒子从A点射出到第一次相遇所经过的时间。 (2)求磁场的磁感应强度大小B与电场强度大小E的比值。 (3)若撤去带负电粒子，让带正电粒子依旧以原来的速度从A点射出，并在它到达C点瞬间，保持整个空间磁场不变，第四象限的电场强度大小不变、方向反向。 ①分析判断该粒子通过C点后，能否再次穿过y轴。 ②求该粒子第2026次穿过x轴时到坐标原点的距离。 17．如图所示的平面直角坐标系中，第一、二象限仅存在沿轴负方向的匀强电场，第三、四象限仅存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为。在轴正半轴分布有2026块挡板，每块挡板长为，厚度不计，相邻挡板间距为，第一块挡板左边缘位于坐标原点。离子源的纵坐标为，可以平行轴移动。离子源不停地沿轴正方向发射大量同种正离子，正离子比荷为，速度均匀的分布在与（，大小未知）之间。所有离子射入磁场时的速度竖直分量均为；不计离子间的相互作用力和离子的重力，不考虑离子间的碰撞，离子打到挡板（含边缘）即被吸收。求： (1)电场强度的大小； (2)离子源处于某位置时，以速度释放的粒子在出磁场时恰打在第一块挡板的左边缘；当离子源向轴负方向平移，以速度释放的粒子在出磁场时恰打在第一块挡板的右边缘，而且两个离子进出磁场的次数相同。求的可能取值； (3)已知。当离子源在移动时，有的位置，会使离子源发出的所有离子都直接打在挡板上，未进入磁场。现限制离子源仅在区域移动，发现有离子运动全程不打任何挡板。求当不打任何挡板离子占比最大时离子源的横坐标（用表示），以及此时不打板离子的占比。 18．物理气相沉积镀膜是芯片制作的关键环节之一，该设备的结构简化如图所示， 方向足够长，晶圆 (截面为直线 ) 固定放置于 坐标系的第一象限内， 点和 点到原点 的距离均为 。OMN 区域内有匀强磁场，磁感应强度 ，方向沿 轴负方向；第二象限内有匀强电场，场强 ，方向沿 轴负方向。初速度可忽略的氩离子 (比荷 ) 经电压为 的电场加速后，从距 轴 的 点沿 轴正方向进入匀强电场 中，恰好打到位于原点 处的金属靶材并被全部吸收，靶材溅射出的带正电的金属离子 从 点沿各个方向飞入磁场区域，速度大小均为 ，并沉积在晶圆上。忽略离子重力及其离子间的相互作用力，求 (1) 点的纵坐标 ； (2)晶圆 方向上的镀膜(金属离子打中的区域) 长度; (3)打在晶圆上且用时间最短的粒子在磁场中运动轨迹的圆心角的正弦值。 19．如图所示，xOy平面内，第一象限充满垂直纸面向外的匀强磁场，第二象限充满垂直纸面向里的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小相同，x轴下方充满匀强电场（方向与y轴正方向的夹角为37°），在x轴上某点固定一粒子收集器（图中未画出）。从y轴上坐标为的M点发射比荷均为的带正电粒子。粒子A速度大小为，方向沿x轴正方向，第1次经过x轴时速度方向与电场方向相反，到达y轴时速度恰好减为0，第3次到达x轴时被收集器收集；粒子B速度大小为，方向斜向上与x轴负方向成37°角。忽略粒子间相互作用和粒子重力，不考虑边界效应，取。 (1)求磁感应强度大小及收集器的位置； (2)求粒子A从发射到被收集的时间； (3)若粒子B第一次经过x轴时，第二象限的磁场方向变为垂直纸面向外（大小不变），调节电场强度大小，使粒子B到达收集器，求调节后可能的电场强度大小。 20．如图所示，AB为足够大的光滑圆弧轨道，BC、EF均为光滑水平平台，CD是半径为R上端切线水平的光滑圆弧轨道。质量为m的滑块甲从AB不同高度H处自由释放，与静止在水平面上质量为nm（，且为定值）的滑块乙发生弹性正碰，两平台间高度差h可调，重力加速度为g。已知时，碰撞后乙恰能过C点做平抛运动。 (1)求n的值； (2)若、，求甲、乙在EF上落点间的水平距离；（结果用分式及根号表示） (3)若、h已知，甲带正电、电量为q，不加电场时甲落点在乙左侧，欲使甲落点在乙右侧，在C点右侧空间加一竖直向上的匀强电场，甲仅受重力和电场力，乙除受重力外还受始终与运动方向相反的某种阻力（k为常数）。已知在右侧空间运动时甲乙均不与轨道CDE相碰，乙刚过C点时，落到EF上时，乙的水平速度大小为且方向向右，求场强E的取值范围。（结果用m、g、q、h、R表示） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1) (2)， 【详解】（1）设电子在磁场中做匀速圆周运动的半径为，根据几何关系有 解得 洛伦兹力提供向心力可得 解得电子通过点时的速度大小 （2）电子射入电容器时的速度大小 解得 对电子在电容器中运动的过程，根据动能定理有 解得 电子在电容器中运动的时间 解得 又 解得 2．(1)20V (2)1C (3)1m/s 【详解】（1）金属棒运动至时， （2）金属棒从运动至的过程中， 通过定值电阻R的电荷量 （3）金属棒在水平光滑足够长的直导轨运动过程中，对电容器充电，最终金属棒两端电动势大小等于电容器两端电压 对金属棒列动量定理 3．(1) (2) (3) 【详解】（1）速率为2v0的粒子在磁场中运动的轨迹如答图所示     设该粒子在磁场中做圆周运动的半径为R，由几何关系有 解得R=4L 又由洛伦兹力提供向心力，有 解得 （2）粒子仅在磁场中运动时向上方偏转，由左手定则知粒子带正电。 加上匀强电场后，根据平衡条件，有 解得，方向沿ad方向。 （3）设速度大小为v的粒子恰好从c点离开矩形区域，如图所示 由类平抛运动，有 竖直方向     联立解得 由分析易知的粒子将从bc边离开 的粒子将从dc边(含c点)离开 速度为3v0的粒子在电场中运动的时间最短 的粒子在电场中运动的时间最长且相等，由 可得 因此粒子在矩形区域内运动的最长时间与最短时间之比 4．(1) (2) (3)，其中 【详解】（1）与发生碰撞粘连在一起，满足动量守恒，即 解得 与向右运动压缩弹簧，当、、三球共速时，弹簧弹性势能最大；根据动量守恒可知，此时三球的速度大小满足 解得 根据能量守恒可知，此时弹簧的弹性势能为 （2）小球与弹簧分离时，弹簧处于原长状态，设此时、的速度大小为，球的速度为，根据动量守恒有 因分离时弹簧的弹性势能为0，由能量守恒可知 解得 若小球能进入电场区，则需满足小球不从边离开，即 由洛伦兹力提供小球在磁场中做圆周运动的向心力可知 联立得 即 （3）A进入电场后，在磁场中运动的圆，第一次进入电场，减速后加速回到第一次离开边界的点，速度方向与进入时相反，接着进入磁场运动的圆，第二次进入电场做类平抛运动(需要满足)，沿电场方向做匀加速，垂直电场方向做匀速运动，要使小球穿过分界面次数最少并从点离开电场，则要求小球A在该次类平抛运动中到达点。 小球从点离开电场，水平位移，竖直位移，初速度方向有 电场方向有 代入解得 由得到速度需要满足 5．(1) (2)，与水平夹角为 (3)， 【详解】（1）粒子从到做类平抛运动，有， 根据牛顿第二定律有 联立解得 （2）粒子在点速度大小为 与水平方向的夹角满足 可得 （3）粒子在磁场中做匀速圆周运动，随后从轴上的点首次离开磁场，且恰能回到点，粒子在磁场中的运动轨迹如图所示 根据洛伦兹力提供向心力有 又有 联立解得 6．(1) (2) (3) 【详解】（1）若粒子束能做匀速直线运动，受到的电场力与洛伦兹力平衡，由几何关系知板间距与磁场半径相等，即 解得 式中为未知量，需要通过后续条件求出。在磁场中由洛伦兹力提供向心力知 整理得 所有粒子偏转均通过点，取一种情况为例，如最上端的粒子，其入射点与连接为直径，由几何关系可知 由此可知，粒子在磁场中做圆周运动的半径与磁场半径相同，即 代入运动半径表达式可解得 将速度代入电压表达式得 （2）的宽度为R，因此中轴线到的距离应为，设中轴线与磁场的交点为，连接、，作于，由几何关系知，， 即 由此可知 磁场的半径与运动轨迹的半径相同，因此运动轨道对应的圆心角 在磁场中运动的周期 因此运动的时间 （3）由几何关系可知，从点入射的粒子沿方向出射，从点入射的粒子从出射时垂直于，其他粒子的出射范围在两者之间。的长度为，大于运动轨迹的半径，因此沿方向入射的粒子不会从出射，而是从出射，可设其出射点为，此点为出射范围右侧边缘。同理由几何关系可知垂直于方向入射的粒子运动轨迹不能与相交，因此从沿方向到垂直于方向中间存在一个方向，使得运动轨迹与相切，设其出射点为，此为运动轨迹的左侧边缘。作于，由几何关系知 在上取使得长度为的点，由几何关系知为沿方向出射时的轨迹圆心，为半径，此时 对于相切的情况，设轨迹的圆心为，作于，由几何关系知，此时为矩形， 由几何关系知 综上，有粒子穿出的长度 7．(1) (2) (3) 【详解】（1）由静止释放后，金属棒ab做加速度减小的加速运动；当时，金属棒ab的速度最大，设最大速度为，则有，， 根据平衡条件可得 联立解得 （2）加速阶段沿轨道向下运动位移为，由， 可得 根据动量定理可得 根据能量守恒可得 金属棒ab产生的热量为 联立解得 匀速阶段，向下运动的位移为 由能量守恒可得 金属棒ab产生的热量为 故金属棒ab中产生的热量为 （3）两相同金属棒发生弹性碰撞，碰后速度交换，金属棒cd的初速度为 设金属棒cd保持匀加速直线运动的最大位移为，此时绳子拉力为，与竖直方向的夹角为，金属棒cd的速度为；对金属棒受力分析如图所示 竖直方向由平衡条件可得 水平方向根据牛顿第二定律可得 根据位移时间公式 速度时间公式 如图所示 根据位置关系有 联立解得，， 安培力的冲量为 对金属棒cd，由动量定理可得 解得轻绳拉力对金属棒cd的水平冲量大小为 8．(1)3m/s (2)①2m；②（0≤d≤2m） 【详解】（1）进入磁场后，小球做匀加速运动，根据牛顿第二定律有 解得 离开挡板时，沿挡板方向速度为 离开挡板时，小球速度大小为 （2）①由题可知，无论d多大，小球都能垂直打在收集板上，根据洛伦兹力提供向心力有 解得 根据几何关系可得 ②小球离开挡板前，根据 解得 则有 小球离开挡板后，根据几何关系有 根据几何关系可得y与d有关系为（0≤d≤2m） 9．(1) (2)， (3)， 【详解】（1）对金属杆受力关系，由牛顿第二定律有 解得 由运动学公式有 解得 （2）对导体框：因为EF进入磁场匀速，所受合力等于0，感应电流 则 对金属杆CD：EF进入磁场到CD进入磁场前，由牛顿第二定律有 由运动学公式有 金属杆CD进入磁场后匀速运动，则 解得， （3）设磁场的宽度为，在磁场中运动的时间为，则， 金属杆在磁场中运动时，对有 解得 设进入磁场经，与共速,则 此过程的位移 解得 所以匀速通过磁场，故焦耳热 解得 整个过程，与相对运动的方向未发生变化，故摩擦生热 10．(1) (2) (3) 【详解】（1）从P点入射的粒子在电场中做类平抛运动至Q点，则有 联立解得 （2）经分析，所有入射粒子从Q点进入磁场，经磁场偏转后均垂直打在x轴的正半轴上：速度平行x轴入射磁场的粒子，轨迹圆半径且满足 从P点入射电场的粒子，在Q点处速度方向与y轴负向成且大小为，根据 联立解得 由几何关系可得，该粒子打在x轴的正半轴上距O点处，则所有粒子打在x轴正半轴上的区域长度 （3）经分析：以v的速度进入第一象限的粒子在第一象限可运动至离x轴最远： 设该粒子在第n个磁场中达到离x轴最远，此时速度与x轴正方向平行，在电场中加速，根据动能定理有 联立解得 在磁场中，根据水平方向动量定理有 若恰好经n个磁场偏转有 代入数据变形可得 应满足，联立可得 n=6时，满足要求，即在第6个磁场中达到离x轴最远，设在第6个磁场中沿y轴方向位移为，则有 解得 则离x轴最远距离 11．(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子在Ⅲ区磁场中恰好不与挡板碰撞，且能沿直线返回点，说明粒子在Ⅲ区的轨迹圆心角为。设粒子在磁场中做圆周运动的半径为，由几何关系有 解得 所以Ⅱ区的磁场宽度。 （2）粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有 由（1）可知 粒子在Ⅰ区由电场加速，由动能定理可得 联立解得。 （3）粒子在Ⅲ区磁场运动转过的圆心角为，所以粒子在Ⅲ区磁场运动的弧长为 粒子在Ⅱ区磁场运动转过的圆心角为，所以粒子在Ⅱ区磁场运动的弧长为 所以粒子在Ⅱ、Ⅲ区磁场运动的总路程为。 12．(1)， (2) 【详解】（1）由图2可知，对时间求导有 则线圈中感应电动势 又，则 根据， 分步解得， （2）对气体初末状态进行分析： 初态，有， 末态，压强仍为， 气体吸热并对外做功，有，又 联立解得 13．(1) (2) (3) 【详解】（1）因为导轨电阻不计，则有，， 综上可得 （2）达到最大速度时有 又因电容器释放的电荷量等于流过等效导体棒的电荷量，则有 根据动量定理 综上可得 （3）在电磁阻尼段 在机械制动段 综上可得 14．(1) (2)， (3)①证明见解析；② 【详解】（1）离子在区域Ⅰ中做匀加速直线运动，电场力做功等于动能增量 解得 （2）设离子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r，则几何关系可知 解得 则 解得 磁场中 联立解得 （3）①离子进入磁镜约束区后，磁矩不变量给出 洛伦兹力不做功 所以 ②反射点处轴向速度，由上问结论可得 因为 所以 所以 由题意 联立可得 15．(1) (2) (3) 【详解】（1）时间内粒子仅在电场中做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律可得粒子加速度为 位移为 时刻的速度为 粒子在磁场中做半个圆周运动，结束时位置为，半径 后进入电场，，加速度大小为 设经过回到y轴，则有 解得 电场力总功为两段电场做功之和 （2）时刻释放的粒子运动轨迹如图所示 粒子在第一段电场中加速时间为 时刻位移为 时刻的速度为 粒子首次在磁场中运动半径为 时刻粒子速度大小为 第二次在磁场中运动的半径为 第二次在电场中运动的距离为 ,粒子在电场中做匀加速直线运动，加速度大小为 时刻粒子的速度为 粒子第三次在磁场中运动半径为 粒子第三次在电场中运动的距离为 则 轴方向的位移为 横坐标 （3）设粒子时刻释放，则粒子在第一个电场中的位移为 时粒子的速度为（取0，1，2，3，……） 过程中粒子在轴方向的位移为 过程中粒子在轴方向的位移为 过程中粒子在轴方向的位移为 …… 过程中粒子在轴方向的位移为 故时间内粒子在轴方向的位移为 设该粒子第次进入磁场时轨迹半径为 则该粒子沿轴正方向能够到达的位置为 当足够大时 当时粒子无法被接收 即 解得 故在时间内，时间内释放的粒子无法被接收，所占百分比为 16．(1) (2) (3)①不能；② 【详解】（1）粒子运行轨迹如图 由分析知，这两个粒子在磁场和电场中的运动轨迹关于y轴对称设两粒子在磁场中运动的半径为R，则 解得 第一次经过x轴时，在磁场中运动的时间 进入电场后，两粒子在沿x轴方向做匀速直线运动。第一次在C点相遇时 因此从A点到C点共历时 （2）由洛伦兹力提供向心力，有 解得 第一次进入电场时 到达C点时 沿y轴方向做匀减速直线运动，有 联立解得 因此 （3）①撤去负粒子后，正粒子仍先从A点运动到C点。第1次穿过x轴时，横坐标 到达C点后，电场方向反向，加速度 方向竖直向上。 第2次穿过x轴时，沿y轴方向有 沿x轴方向有 解得 由动能定理知，此时该粒子的速度仍为，方向与x轴正方向夹60°角，该粒子再次进入磁场后，仍做半径为d的匀速圆周运动。由 可知，该粒子经过C点后不能再次穿过y轴。 ②该粒子的部分运动轨迹如图所示 结合图像可知，该粒子第3次穿过x轴时 随后粒子再次进入电场，由运动规律和分析可得，第4次穿过x轴时 第5次穿过x轴时 以此类推....该粒子第2n次穿过x轴时（其中n=1，2，3，…） 因此该粒子第2026次穿过x轴时到坐标原点的距离 17．(1) (2) (3) 【详解】（1）离子在电场中做类平抛运动，对竖直方向列式， 解得 （2）对任意一个离子分析轨迹，发现在电场中为抛物线，在磁场中被截得一段圆周运动的弧线；由对称性，每段电场中轨迹相同，每段磁场中轨迹相同；一段电场轨迹和一段磁场轨迹视为一个周期。 每个离子在磁场中运动的水平位移为，从离子进入磁场到下次离开磁场，对水平方向列动量定理，得 所以每个离子在磁场中的水平位移均相同 当离子初速度为，在电场中平抛的水平位移为 则若离子初速度为kv0，在电场中平抛的水平位移为 每个周期里，电场中的水平位移差就是总的水平位移差。假设两个离子进出磁场n次，有 解得 （3）①翻译信息:“当离子源在0≤x≤888d移动时，刚好有一半的区域，会使离子源发出的所有离子仅在电场中运动就打在板上。”因挡板分布是每4d具有一个周期，所以分析粒子源在0≤x≤4d的移动即可。 已知平抛最大位移为最小位移的2倍。假设最小位移为x，则最大位移与最小位移差为x，如图所示 当P平移，相当于x平移相同距离；当x每平移4d，整个x都在有挡板区域的位置占比为 则x=d 说明的平抛水平位移为2d，的平抛水平位移为d。 ②让所有离子第一次平抛后恰通过空隙，是能保证不打任何挡板离子占比最大的前提。所以此刻P的横坐标为2d ③想要有更多的离子运动全程不打任何板，分析发现，对于初速度为的离子，在电场中水平位移、在磁场中水平位移均为4d，这说明只要它第一次经过电场时没打到板，之后就全程不打板，它是最容易全程不打板的离子; 若初速度小于，因每个周期在电场中位移小于4d，每经过一个周期，经过宽为d的空的相对位置都会往左移一点。临界情况:假设速度为的离子经过多周期平移后，恰经过2025块挡板的左边缘。这个离子第一次经过空隙，与左侧挡板间距为(p-1)d每经过电场一次，与左挡板间距缩小(4-2p)d 解得 则当不打任何挡板离子占比最大， 18．(1) (2) (3) 【详解】（1）氩离子先经加速电场加速，由动能定理 进入第二象限匀强电场后做类平抛运动，方向匀速 方向匀加速有 其中加速度 联立解得 （2）金属离子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力 解得 设速度方向与正方向夹角为，圆心坐标为，轨迹方程与（）联立。当时，交点为，即上最大值为（可打到点）； 当时，交点为，即上最小值为。 倾斜，镀膜长度为两点间距 （3）粒子在磁场中周期 所有粒子周期相同，运动时间 因此时间最短对应圆心角最小。弦长 最小对应弦长最短，到的最短距离为到的垂线段，即 对圆心三角形（），由余弦定理 可得 因此 19．(1)， (2) (3)见解析 【详解】（1）对粒子A，由几何关系有 解得 由 解得 收集装置到O点距离为 （2）粒子A在电场中减速的距离由几何关系得 在电场中的运动时间 磁场中圆周运动周期 磁场中对应的圆心角为 磁场中运动时间 总时间 （3）粒子B经半个圆周进入电场，进电场位置到坐标原点距离 设从第一次进电场开始，过电场n次，磁场k次到收集器。 磁场中：设某次进入磁场时速度为v，与x轴夹角为，由得 沿x轴前进的距离为 粒子每次经过x轴时y方向速度大小不变，即 解得 电场中： x方向： y方向： 解得 （i）若粒子从电场中到达收集器，，则 ①当时，   ②当时，   ③当时， （ii）若粒子从磁场中到达收集器，，则 ④当时， ⑤当时， 20．(1) (2) (3) 【详解】（1）甲滑下，由动能定理有 甲、乙弹性碰撞 乙在C点，有 联立解得 （2） 时，由（1）有、 ，甲先沿圆弧轨道运动后脱离，假设在P点脱离，PO与CO夹角为θ C→P过程有 P点有 联立得、 又， 联立得 乙做平抛运动，由平抛运动规律有、 联立得 又，代入数据解得 （3）甲下滑得 碰后， 对乙水平方向应用动量定理，水平方向阻力冲量等于动量变化： 代入 得： 由初始 得 代入得乙水平位移： 对甲，电场竖直向上，加速度 竖直方向 水平位移 得： 要求 且甲能落到，需 对 平方整理得： 结合题目“不加电场甲落点在乙左侧”，得 故范围： 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $