精品解析：四川南充市五星中学2026年春季4月期中规范性训练八年级数学试卷

南充市五星中学2026年春季4月期中规范性训练八年级数学试卷 一、选择题 1. 要使二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故选：B 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件：二次根式的被开方数为非负数是解题的关键． 2. 以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（ ） A. 1，，2 B. 5，6，7 C. 10，8，6 D. 3，5，4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，由勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【详解】解：A、，故能构成直角三角形； B、，故不能构成直角三角形； C、，故能构成直角三角形； D、，故能构成直角三角形； 故选：B． 3. 如图，一棵大树在一次强台风中离地面4米处折断倒下，倒下后树的顶端位于离树根3米处的点B处，则这种大树原来的高度为（ ） A. 5米 B. 8米 C. 7米 D. 9米 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意构建直角三角形，利用勾股定理求出折断部分的长度，再加上未折断部分的高度即可得出大树原来的高度． 【详解】解：设大树折断处为点，树根为点，树顶落地点为点， 大树离地面米处折断， 米， 树的顶端位于离树根米处的点处， 米， 在中，，由勾股定理得：（米）， 大树原来的高度为： （米）． 4. 如图，在平行四边形中，平分交于点E，若，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据平分，得到，结合得到，得到，结合计算选择即可． 本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选C． 5. 如图，在四边形中，，是四边形的一个外角．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是四边形的内角和定理的应用，邻补角的性质，先证明，结合，进一步可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故选：D 6. 如图，在菱形中，对角线与交于点，于点，连接，若， ，则菱形的边长为（ ） A. 13 B. 11 C. 12 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】此题重点考查菱形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，推导出，进而求得是解题的关键． 由菱形的性质得，，，因为于点，所以，则，所以，，由，求得，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是菱形，对角线与交于点， ，，， 于点，， ， ， ，， ， ， ， ， ， 菱形的边长为13， 故选：A． 7. 如图，数轴上点所表示的数为，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理．熟练掌握勾股定理解直角三角形，数轴上两点之间的距离，实数的运算，是解题的关键． 先根据勾股定理求出直角三角形的斜边长，得到数轴上两点间的距离，再根据两点间的距离公式即可求出A点表示的数． 【详解】解：∵图中的直角三角形的两直角边为1和2， ∴斜边长为：， ∵点A所表示的数为a， ∴, ∴． 故选：D． 8. 如图，在长方形中不重叠无缝隙地放入面积分别为12和18的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的面积与边长的关系、二次根式的运算及长方形面积的计算，解题的关键是根据正方形面积求出边长，结合摆放方式确定长方形的长和宽，进而通过面积差求出空白部分面积． 先由正方形面积求出边长（分别为和）；根据“尽量撑满长方形”可知长方形的长为两正方形边长之和，宽为较大正方形的边长；计算长方形面积与两正方形面积和的差，得到空白部分面积． 【详解】解：两张正方形纸片的面积分别为12和18， ∴它们的边长分别为和． ∵要将两张正方形不重叠无缝隙地放入长方形且尽量撑满， ∴长方形的长为两个正方形边长之和，即，宽为较大正方形的边长． ∴长方形的面积为 ． ∵两张正方形纸片的面积和为， ∴空白部分的面积为． 故选：D． 9. 如图，在的正方形网格中，的顶点是正方形网格的格点，则的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、正弦的定义，连接，，，，得到，推出为直角三角形，，根据正弦的定义计算即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ， ，，， ， 为直角三角形，， ， 故选：A． 10. 正方形中，F正方形边上一个动点，连接交对角线于点E，过点E作，，垂足分别为M，N，连接，过E作交于H，下列说法：①四边形的周长是一个固定值；②；③存在某个F点，使得四边形是菱形；④；⑤当F运动到的中点时，；正确的有（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②⑤ D. ①②④⑤ 【答案】D 【解析】 【分析】证明是等腰直角三角形，得到，证明四边形是矩形，得到，，即可判断①；连接，证明，得到，然后由矩形的性质得到，即可判断②；根据题意直角三角形斜边大于直角边得到，即可得到四边形不可能是菱形，进而判断③；延长交于点G，推出，证明四边形是正方形，得到，证明，得到，然后证明四边形是平行四边形，推出，然后等量代换得到，即可判断④；当F运动到的中点时，设，则然后根据等面积法表示出，然后得到即可判断⑤． 【详解】解：①∵四边形是正方形 ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴四边形是矩形 ∴， ∴四边形的周长，是定值，故①正确； ②如图，连接， ∵四边形是正方形 ∴， 又∵ ∴ ∴ ∵四边形是矩形 ∴ ∴，故②正确； ③∵四边形是矩形 ∴ ∴在中， ∴四边形不可能是菱形，故③错误； ④如图，延长交于点G ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵， ∴四边形是矩形 ∵ ∴四边形是正方形 ∴ ∴，即 ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形 ∴ ∵ ∴，故④正确； ⑤当F运动到的中点时， 设，则 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵四边形是矩形 ∴ ∴ ∴，故⑤正确． 综上所述，正确的有①②④⑤． 二、填空题 11. 如图，A、B两点被池塘隔开，在外选一点C，连接和，并分别找出它们的中点P、，若测得，则A、B两点间的距离为______． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：点P、Q分别为的中点， 是的中位线， ． 故答案为：． 12. 已知，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式和混合运算，先分解因式，再代入计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 13. 如图，将5个边长都为4cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A、B、C、D是正方形的中心，则正方形重叠的部分（阴影部分）面积和为_____． 【答案】16cm2 【解析】 【分析】根据正方形的性质，每一个阴影部分的面积等于正方形的，再根据正方形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：∵点A、B、C、D分别是四个正方形的中心 ∴每一个阴影部分的面积等于正方形的 ∴正方形重叠的部分（阴影部分）面积和 故答案为： 【点睛】本题考查了正方形的性质以及与面积有关的计算，不规则图形的面积可以看成规则图形面积的和或差，正确理解运用正方形的性质是解题的关键． 14. 如图，以正六边形一边为边向外作正方形，连接．则____________． 【答案】##150度 【解析】 【分析】根据正多边形的性质求出，，然后求解即可． 【详解】解：∵六边形为正六边形， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴． 15. 在矩形中，，，P为边上的一个动点，过点P分别作、的垂线，垂足分别为N，M两点，则__________________． 【答案】 【解析】 【分析】设与交于点O，连接，首先利用勾股定理求出，得到，然后求出，然后利用求解即可． 【详解】解：如图，设与交于点O，连接， ∵在矩形中，，， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴， ∵与交于点O， ∴，， ∴ ， ∴． 16. 正方形的边长为6，点E是边上一个动点，连接，作垂直，且，连接，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，过点F作交的延长线于点G，连接，证明，得到，，然后证明是等腰直角三角形，得到，点F在射线上运动，当时，取得最小值，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点F作交的延长线于点G，连接 ∵正方形的边长为6 ∴，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴ ∴点F在的平分线上运动 ∴当时，取得最小值 ∴此时是等腰直角三角形 ∴， ∴ ∴ ∴的最小值为． 三、解答题 17. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由二次根式性质化简，再合并同类二次根式即可； （2）先由完全平方公式、平方差公式展开，再由有理数加减运算计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，等边三角形的边长为6，于D，求这个等边三角形的高和面积． 【答案】高，等边三角形的面积为 【解析】 【分析】利用等边三角形三线合一的性质得到为中点，求出的长度，再在直角三角形中用勾股定理计算高，最后代入三角形面积公式计算面积即可． 【详解】解：∵是边长为的等边三角形，， ∴，，， 在中，由勾股定理可得， ∴这个等边三角形的面积为． 19. 如图，的对角线、相交于点O，E，F在上，且． （1）求证：； （2）求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）见解析 （2），证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，推出，然后利用证明全等即可； （2）根据平行四边形的性质得到，，然后推出，即可证明四边形是平行四边形． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ，， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 证明：四边形是平行四边形， ，， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形． 20. 某运动公园有一块空地，如图，△ABC所示，∠ACB＝90°，公园管理处计划在△ADC区域内安装健身器材，其余部分种植草坪，绿化环境．经测量：CD＝30米，AD＝40米，BC＝120米，AB＝130米． （1）求证：∠ADC＝90°； （2）若种植草坪的费用每平方米300元，求种植草坪的总费用． 【答案】（1）见解析；（2）720000元 【解析】 【分析】（1）首先在中利用勾股定理求出AC的长，再利用勾股定理逆定理证明为直角三角形，即可证得； （2）用S阴影，分别计算出两个直角三角形的面积代入即可． 【详解】（1）证明：在中， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴； （2）S阴影 （平方米）， 总费用：（元） 答：种植草坪的总费用是720000元． 【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理的应用，利用勾股定理的逆定理证明直角三角形是解题的关键． 21. 如图，菱形中，，E、F分别是边和的两点且，连接，，． （1）求证：是等边三角形； （2）若，，求的周长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）如图，连接，证明，得到，，然后推出，即可证明是等边三角形； （2）如图，过点D作于点G，利用勾股定理求出，得到，利用勾股定理求出，然后求出，进而求解即可． 【小问1详解】 解：如图，连接 ∵菱形中， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ ∴ ∴是等边三角形； 【小问2详解】 解：如图，过点D作于点G ∵ ∴ ∴ ∴， ∴ 由（2）得，是等边三角形， ∴ ∴的周长． 22. 某商店需要购进甲、乙两种商品共160件，其进价和售价如下表： 甲 乙 进价（元/件） 15 35 售价（元/件） 20 45 （1）若商店计划销售完这批商品后能获利1100元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件？ （2）若商店计划投入资金少于4300元，且销售完这批商品后获利多于1260元，请问有哪几种购货方案？并直接写出其中获利最大的购货方案． 【答案】（1）甲种商品应购进100件，乙种商品应购进60件 （2）有两种购货方案，方案一：甲种商品购进66件，乙种商品购进94件；方案二：甲种商品购进67件，乙种商品购进93件；获利最大的购货方案是甲种商品购进66件，乙种商品购进94件 【解析】 【分析】（）设甲种商品应购进件，乙种商品应购进件，根据题意，列出二元一次方程组即可求解； （）设甲种商品购进件，则乙种商品购进件，根据题意，列出一元一次不等式组，解不等式组即可求解； 本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，根据题意，正确列出二元一次方程组和一元一次不等式组是解题的关键． 【小问1详解】 解：设甲种商品应购进件，乙种商品应购进件， 由题意得，， 解得， 答：甲种商品应购进件，乙种商品应购进件； 【小问2详解】 解：设甲种商品购进件，则乙种商品购进件， 由题意得，， 解得， ∵为整数， ∴或， 当时，；当时，； ∴有两种购货方案： 方案一：甲种商品购进件，乙种商品购进件； 方案二：甲种商品购进件，乙种商品购进件； 方案一的获利：元； 方案二的获利：元； ∵， ∴甲种商品购进件，乙种商品购进件获利最大． 23. 如图，四边形ABCD为矩形，将矩形ABCD沿MN折叠，折痕为MN，点B的对应点B′落在AD边上，已知AB＝6，AD＝4． (1)若点B′与点D重合，连结DM，BN，求证：四边形BMB′N为菱形； (2)在(1)问条件下求出折痕MN的长． 【答案】(1)证明见解析；(2)MN=. 【解析】 【分析】（1）首先证明四边形BMDN是平行四边形，再证明BM＝DM，即可证明四边形BMB'N为菱形.（2）首先设BM＝x，利用在Rt△AMB′中，结合勾股定理，求解x的值，在计算NQ，在Rt△MNQ中，利用勾股定理，即可得MN的长. 【详解】解：(1)由折叠可得，BM＝DM，∠BMN＝∠DMN， ∵CD∥AB， ∴∠BMN＝∠DNM， ∴∠DMN＝∠DNM， ∴DN＝DM， ∴BM＝MD＝DN， 又∵DN∥BM， ∴四边形BMDN是平行四边形， 又∵BM＝DM， ∴四边形BMB'N为菱形； (2)设BM＝x，则DM＝x，AM＝6﹣x， 在Rt△AMB′中，由勾股定理可得，(6﹣x)2+42＝x2， 求解得x＝， 则DM＝＝DN， 如图，过点M作MQ⊥CD于点Q，则 NQ＝-(6-)＝， 在Rt△MNQ中，利用勾股定理可得MN＝ ＝． 【点睛】本题主要考查矩形的折叠问题，关键在于折叠后那些没有变，那些已知，这是考试的热点，应当熟练掌握. 24. 如图，中，，与射线交于，． （1）判断四边形的形状，并证明． （2）是上的动点，，，，在射线上．求证：线段为定长（长度不变）． 【答案】（1）四边形ACED为正方形，证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的判定与性质和等腰直角三角形的判定与性质证得四边形ACED为平行四边形，再根据正方形的判定即可解答； （2）过点P作PH⊥BM于H，PG⊥AC于G，证明四边形GCHP为正方形得到PG=PH=CG，再证明△PHN≌△PGA得到NH=AG，然后证明PH=MH=CG，进而证明MN=AC即可证得结论． 【小问1详解】 解：四边形ACED为正方形，证明如下： ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC， ∵AC⊥BC， ∴∠ACB=∠ACE=90°， ∴∠DAC=90°， ∵AC=CE， ∴∠CAE=∠CEA=∠DAE=45°， ∵AE⊥CD， ∴∠ACD=∠ADC=45°， ∴AC=AD，即AD=CE，又AD∥CE， ∴四边形ACED是平行四边形， ∵∠ACE=90°， ∴四边形ACED是矩形， ∵AC=CE， ∴四边形ACED是正方形； 【小问2详解】 过点P作PH⊥BM于H，PG⊥AC于G， 则∠PGC=∠PGA=∠PHC=90°，又∠ACE=90°， ∴四边形GCHP为矩形， ∵∠ACD=45°，∠PGC=90°， ∴∠CPG=45°=∠ACP， ∴CG=PG， ∴四边形GCHP为正方形， ∴PG=PH=CG，∠HPG=90°=∠GPN+∠HPN， ∵AP⊥PN， ∴∠GPN+∠GPA=90°， ∴∠HPN=∠GPA， 在△PHN和△PGA中， ， ∴△PHN≌△PGA（ASA）， ∴NH=AG， ∵PM∥AE， ∴∠M=∠CEA=45°，又∠PHM=∠PHC=90°， ∴∠HPM=45°=∠M， ∴PH=MH， ∴MH=CG， ∴MN=NH+MH=AG+CG=AC， ∴MN的长度始终等于AC的长度，即线段MN为定长（长度不变）． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、正方形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，综合性强，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 25. 正方形中，E为射线上一点 （1）如图1，E在延长线上，F为对角线上一点，连接、、、，若，求线段的长； （2）如图2，E、G分别为、的中点，连接和交于点Q，连接，求证： （3）如图3，E在边上运动，将沿翻折到同一平面内得到．点N为的中点，连接和，当的长度最小时，直接写出的值． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质证明，得到，，再由，得到，，则有，利用三角形内角和定理得到，再利用勾股定理即可求解； （2）过点作交延长线于点，根据正方形的性质证明，得到，再证明，得到，，推出是等腰直角三角形，，最后利用线段的和差即可证明； （3）连接，设正方形的边长为，则，，根据翻折的性质得，，，根据线段中点的定义得到，根据两点之间线段最短得到，则有，当的长度最小时，共线，此时点也在线段上，再根据正方形和翻折的性质求出的长，即可求解． 【小问1详解】 解：如图1，设与交于点， ∵正方形， ∴，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：如图2，过点作交延长线于点， ∵正方形， ∴，， ∵E、G分别为、的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形，， ∴； 【小问3详解】 解：如图3，连接， 设正方形的边长为，则， ∴， 由翻折的性质得，，，， ∵点N为的中点， ∴， ∵，即， ∴， ∴当共线时，的长度有最小值，最小值为； 当共线时，点也在线段上， ∴， ∵正方形， ∴，即， ∴是等腰直角三角形，， ∴，， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、翻折的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质与判定、线段最值问题、二次根式的应用，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的几何推理和辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南充市五星中学2026年春季4月期中规范性训练八年级数学试卷 一、选择题 1. 要使二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（ ） A. 1，，2 B. 5，6，7 C. 10，8，6 D. 3，5，4 3. 如图，一棵大树在一次强台风中离地面4米处折断倒下，倒下后树的顶端位于离树根3米处的点B处，则这种大树原来的高度为（ ） A. 5米 B. 8米 C. 7米 D. 9米 4. 如图，在平行四边形中，平分交于点E，若，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 如图，在四边形中，，是四边形的一个外角．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在菱形中，对角线与交于点，于点，连接，若， ，则菱形的边长为（ ） A. 13 B. 11 C. 12 D. 10 7. 如图，数轴上点所表示的数为，则的值是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在长方形中不重叠无缝隙地放入面积分别为12和18的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ） A. 6 B. C. D. 9. 如图，在的正方形网格中，的顶点是正方形网格的格点，则的正弦值为（ ） A. B. C. D. 10. 正方形中，F正方形边上一个动点，连接交对角线于点E，过点E作，，垂足分别为M，N，连接，过E作交于H，下列说法：①四边形的周长是一个固定值；②；③存在某个F点，使得四边形是菱形；④；⑤当F运动到的中点时，；正确的有（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②⑤ D. ①②④⑤ 二、填空题 11. 如图，A、B两点被池塘隔开，在外选一点C，连接和，并分别找出它们的中点P、，若测得，则A、B两点间的距离为______． 12. 已知，，则_____． 13. 如图，将5个边长都为4cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A、B、C、D是正方形的中心，则正方形重叠的部分（阴影部分）面积和为_____． 14. 如图，以正六边形一边为边向外作正方形，连接．则____________． 15. 在矩形中，，，P为边上的一个动点，过点P分别作、的垂线，垂足分别为N，M两点，则__________________． 16. 正方形的边长为6，点E是边上一个动点，连接，作垂直，且，连接，则的最小值为___________． 三、解答题 17. 计算 （1）； （2）． 18. 如图，等边三角形的边长为6，于D，求这个等边三角形的高和面积． 19. 如图，的对角线、相交于点O，E，F在上，且． （1）求证：； （2）求证：四边形是平行四边形． 20. 某运动公园有一块空地，如图，△ABC所示，∠ACB＝90°，公园管理处计划在△ADC区域内安装健身器材，其余部分种植草坪，绿化环境．经测量：CD＝30米，AD＝40米，BC＝120米，AB＝130米． （1）求证：∠ADC＝90°； （2）若种植草坪的费用每平方米300元，求种植草坪的总费用． 21. 如图，菱形中，，E、F分别是边和的两点且，连接，，． （1）求证：是等边三角形； （2）若，，求的周长． 22. 某商店需要购进甲、乙两种商品共160件，其进价和售价如下表： 甲 乙 进价（元/件） 15 35 售价（元/件） 20 45 （1）若商店计划销售完这批商品后能获利1100元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件？ （2）若商店计划投入资金少于4300元，且销售完这批商品后获利多于1260元，请问有哪几种购货方案？并直接写出其中获利最大的购货方案． 23. 如图，四边形ABCD为矩形，将矩形ABCD沿MN折叠，折痕为MN，点B的对应点B′落在AD边上，已知AB＝6，AD＝4． (1)若点B′与点D重合，连结DM，BN，求证：四边形BMB′N为菱形； (2)在(1)问条件下求出折痕MN的长． 24. 如图，中，，与射线交于，． （1）判断四边形的形状，并证明． （2）是上的动点，，，，在射线上．求证：线段为定长（长度不变）． 25. 正方形中，E为射线上一点 （1）如图1，E在延长线上，F为对角线上一点，连接、、、，若，求线段的长； （2）如图2，E、G分别为、的中点，连接和交于点Q，连接，求证： （3）如图3，E在边上运动，将沿翻折到同一平面内得到．点N为的中点，连接和，当的长度最小时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $