精品解析：湖南湘潭市第一中学2025-2026学年高二下学期五月检测数学试题

2026年上学期高二年级五月检测 数学 时间：120分钟 满分：150分 本试卷共4页，19题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，得； 由，得； . 2. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数，利用共轭复数的定义和复数的概念可得结果. 【详解】由题意可得，故， 故复数的虚部为. 3. 已知向量，，且，则实数的值为（ ） A. 5 B. C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量平行列方程，由此求得. 【详解】由于，所以， 解得. 4. 从5人中选出4人分别到吉林、沈阳、大连、哈尔滨四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这5人中甲、乙两人不去沈阳游览，则不同的选择方案共有（ ） A. 48种 B. 72种 C. 96种 D. 120种 【答案】B 【解析】 【分析】先确定去沈阳游览的人，再确定剩下三个城市游览的人，即可求解． 【详解】先从除甲、乙两人之外的3人中选1人去沈阳游览，共有种， 再从剩余4人中选3人到其他三个城市游览，共有种， 所以不同的选择方案共有种． 故选：B 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】. 6. 在数列中，，且，，则（ ） A. B. 21 C. D. 40 【答案】B 【解析】 【分析】由，得到奇数项之间的递推关系，得到等差数列的通项公式，先求出再根据计算出. 【详解】，， ，即； 数列是以为首项，为公差的等差数列， ， 当时，； . 7. 已知是抛物线的焦点，是上一点，直线交轴于点．若为的中点，则（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【详解】 由抛物线得焦点，设， 因为是的中点，所以的坐标为， 因为在抛物线上，将坐标代入得： ， 再由两点间距离公式： . 8. 若恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在进行两边取对数和换元法化简后，再通过求导求出函数极值来判断的范围. 【详解】因为，当时，能够得出. 设，，那么得到，. 设，. 因为，， ， 所以在上单调递增，上单调递减，最大值为. 因此. 若，对于任意恒成立. 若，，所以对于任意恒成立. 综上所述，. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，下列结论正确的是 （ ） A. B. 若， ，则有两解 C. 当时为直角三角形 D. 的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】利用正弦定理、诱导公式、二倍角公式及辅助角公式化简求解即可判断A；利用余弦定理求解即可判断B；通过余弦定理及可得或（舍），再利用正弦定理即可判断C；化简得，结合的取值范围即可判断D. 【详解】对于A， ， 由及正弦定理得，， 由诱导公式得，， 因为，所以，所以， ，， 即， 所以或，即（舍）或，故A正确； 对于B，由余弦定理得，即，整理得， 由，所以或（舍），即有一解，故B错误； 对于C，因为，所以， 两边平方得，即， 由余弦定理得， 所以，即，解得或（舍）， ，则，由正弦定理有，解得， 故为直角三角形，故C正确； 对于D， ， 因为，所以，所以，所以， 所以的取值范围是，故D错误. 10. 在棱长为2的正方体中，点为棱的中点，动点满足，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则平面与平面夹角的余弦值为 B. 若，则平面平面 C. 若，则点到直线的距离的最小值为 D. 存在唯一有序实数对，使得 【答案】BC 【解析】 【分析】先根据题意建立空间直角坐标系，再求出平面的法向量，进而根据二面角的向量求法即可判断选项A；利用空间向量证明面面平行即可判断选项B；根据点到直线距离的向量求法即可判断选项C；根据题意可得点在以为圆心，为半径的圆上，点在以为圆心，为半径的圆上，再数形结合可判断D． 【详解】依题意，以为坐标原点，以，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 由正方体的棱长为，且点为棱的中点， 则，，，，，，， 对于A，若，，则，即点与点重合，即， 则，，， 设平面的法向量为， 则， 令，则，，即， 设平面的法向量为， 则， 令，则，，即， 设平面与平面夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为，故A错误； 对于B，若，则，即， 则，， 设平面的法向量为， 则， 令，则，，即， 结合选项A知平面的法向量为， 所以，即，即平面平面，故B正确； 对于C，若，则，与三点共线，即在线段上， 设，，则， 则，， 所以点到直线的距离为， 所以当，即为线段的中点时，点到直线的距离取最小值，且最小值为，故C正确； 对于D，易知与均垂直于平面，连接，， 则，，若，则， 所以点在以为圆心，为半径的圆上， 若，则，则点在以为圆心，为半径的圆上（均为侧面内部）， 两圆的圆心距，故两圆弧相交（如图所示）， 故符合条件的点有两个，对应的有两组，故D错误． 11. 已知函数，的定义域为，且，，若的图象关于直线对称，则（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过条件推导函数的性质，逐个分析选项即可. 【详解】由关于对称，得， 已知​，将第二个式子换元，代入化简得， 因为，则，将用替换，可得， 将用替换，得， 即，故周期为. 又因为，则，即是偶函数. 由和，得， 且，故是偶函数. 选项A，，，由， 得，A正确； 选项B，对任意，，故，B正确； 选项C，推导得，是偶函数不是奇函数，C错误； 选项D，求和分组方式为为一组，为下一组，以此类推，直至，每组和为，共组，总和为，即，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 展开式中的系数为________． 【答案】 【解析】 【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可得. 【详解】对，有，， 则，， 由， 故所求的系数为. 13. 函数在上单调递增，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】将已知条件转化为恒成立问题，通过分离参数求最值得到的取值范围. 【详解】因为在单调递增， 所以在恒成立， 所以在恒成立，令，则， 因为，当且仅当，即时取等号， 所以，即实数的取值范围是. 14. 在一个袋子中装有4个大小相同的小球，小球上的编号依次为1，2，3，4，现在有放回的抽取n次，每次只取一个小球，记这n次取到的小球的最大编号为X，则______，______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据古典概型概率公式，独立事件的概率乘法公式，以及数学期望的公式计算即得. 【详解】由题意，有放回的抽取n次，每次只取一个小球，取得每个编号的概率都是， 易得； 因，，2，3，4， 故. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前项和为，且；等差数列满足;； （1）求和的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1），，两式相减即可得是等比数列，进而求的通项公式，再结合条件;及是等差数列求解即可； （2）分组后采用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 由已知，当时，，即，． 当时，，， 两式相减，得，即，， ∴由等比数列的定义知，数列是首项，公比的等比数列， ∴数列的通项公式为． ；；， 设等差数列的公差为，则, 所以； 【小问2详解】 由第（1）问，， ∴设，① ①，得，，② ∴①-②，得， ， 另一部分的前n项和为 所以. 16. 如图，在三棱柱中，侧面是正方形，平面，，点是线段的中点，点在线段上，满足平面． （1）求证：是线段的中点； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先判断四点共面，再结合线面平行的性质得到，最后结合平行四边形的性质求解即可. （2）建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，进而利用面面角的向量求法求解即可. （3）利用点到平面距离的向量求法求解即可. 【小问1详解】 在中，过点N作交BC于点Q，连接QM， 如图，作出符合题意的图形， 在三棱柱中，因为，所以， 所以四点共面，因为直线平面，平面， 平面平面，所以． 所以四边形是平行四边形， 得到，所以为的中点． 【小问2详解】 因为平面，平面， 所以，又因为正方形，， 故可以B为原点建立空间直角坐标系，如下图， 因为，所以，，，， ， ，，所以，． 设平面的一个法向量为， 由，得，取，得， 易知平面的法向量， 得到， 故平面与平面夹角的余弦值为． 【小问3详解】 设平面的一个法向量为， 而，由中点坐标公式得，则， 由，得，取，得， 又，设点到平面的距离为， 由点到平面的距离公式得. 17. 流行病学调查表明某种疾病是由致病菌和致病菌共同引起的，且至少杀灭其中一种致病菌即可痊愈. （1）若有某种治疗方案，有的概率能杀灭致病菌.若这种治疗方案能杀灭致病菌，则它有的概率能杀灭致病菌.若这种治疗方案不能杀灭致病菌，则它有的概率能杀灭致病菌.求使用治疗方案痊愈的概率； （2）若市面上仅有两款药物和药物对疾病有疗效，且这两种药物的疗程各均为天（假定药物使用时，均按疗程服用天），超过天无效时需换药进行治疗.若使用完两种药物仍不见效，依靠自身的免疫能力再经过天也能痊愈已知药物杀灭致病菌和致病菌的概率分别为、，且对于同一种药物，杀灭两种致病菌的事件相互独立，药物杀灭致病菌和致病菌的概率均为.请问应先使用哪种药物可使得痊愈的平均天数更短？ 【答案】（1） （2）先使用药物可使得痊愈的平均天数更短 【解析】 【分析】（1）根据条件概率公式求解即可； （2）分别求药物能治愈疾病的概率，再求出分别使用两种药物痊愈的分布列，再求期望，比较即可得解； 【小问1详解】 设使用治疗方案能杀灭致病菌为事件，使用治疗方案能杀灭致病菌为事件，使用治疗方案痊愈为事件 则，， 不能杀灭致病菌的概率为， 不能杀灭致病菌的条件下，不能杀灭致病菌的概率为， 因此，既不能杀灭致病菌也不能杀灭致病菌的概率为， 所以， 即使用治疗方案痊愈的概率为. 【小问2详解】 设表示药物能治愈疾病的概率，表示药物能治愈疾病的概率， 则有，， 设先用药物再用药物来治愈疾病所需的天数为，先用药物再用药物来治愈疾病所需的天数为， 则，，， 所以， 同理得，，， 则有， 从而有，因此需先使用药物可使得痊愈的平均天数更短. 18. 已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点的坐标为，的面积为． （1）求椭圆的离心率； （2）设点在线段上，，延长线段与椭圆交于点，点，在轴上，，且直线与直线间的距离为，四边形的面积为． （i）求直线的斜率； （ii）求椭圆的方程． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据的面积列方程，化简求得椭圆的离心率. （2）（i）设出直线的方程，并与直线的方程联立，求得点的坐标，根据列方程，由此求得直线的斜率. （i i）联立直线的方程与椭圆方程，求得点坐标，求得，判断出直线和都垂直于直线，结合四边形的面积求得椭圆的方程. 【小问1详解】 设椭圆的离心率为，由已知的面积为， 可得，又， 可得，即，又因为，解得， 所以椭圆的离心率为． 【小问2详解】 （ⅰ）依题意，设直线（也即直线）的方程为， 则直线的斜率为． 由（1）知，则，且， 可得直线的方程为， 即，与直线的方程联立， 可解得，，即， 由已知，有， 整理得，而，所以，即直线的斜率为． （ⅱ）由，则，可得，故椭圆方程可以表示为． 由（ⅰ）得直线的方程为， 联立，消去得，解得（舍去），或， 则，可得， 所以， 由已知，直线与直线间的距离为， 则线段的长即为与这两条平行直线间的距离， 故直线和都垂直于直线， 所以， 则的面积为， 而， 则的面积等于， 由四边形的面积为，得，解得，则，， 所以椭圆的方程为. 19. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）证明：； （3）证明：． 【答案】（1） （2）证明过程见解析； （3）证明过程见解析 【解析】 【分析】（1）求导，得到，由导函数几何意义得到切线方程； （2）即证，构造函数，求定义域，得到函数单调性，从而得到不等式； （3）在（2）基础上，得到，求和得到不等式. 【小问1详解】 由题可知， ，则， 故曲线在点处的切线方程为， 即； 【小问2详解】 要证明，即证， 即证， 令，定义域为，显然， 则，其中， 当时，令，则， 其中，，故， 故在上单调递增， 又，故在上恒成立， 故在上单调递减， 当时，， 所以在上单调递增， 所以恒成立，从而，当时，等号成立； 【小问3详解】 由（2）知，当时，， 即，当时，， 故， 故 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上学期高二年级五月检测 数学 时间：120分钟 满分：150分 本试卷共4页，19题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，且，则实数的值为（ ） A. 5 B. C. 7 D. 8 4. 从5人中选出4人分别到吉林、沈阳、大连、哈尔滨四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这5人中甲、乙两人不去沈阳游览，则不同的选择方案共有（ ） A. 48种 B. 72种 C. 96种 D. 120种 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 6. 在数列中，，且，，则（ ） A. B. 21 C. D. 40 7. 已知是抛物线的焦点，是上一点，直线交轴于点．若为的中点，则（ ） A. 3 B. C. 4 D. 8. 若恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，下列结论正确的是 （ ） A. B. 若， ，则有两解 C. 当时为直角三角形 D. 的取值范围是 10. 在棱长为2的正方体中，点为棱的中点，动点满足，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则平面与平面夹角的余弦值为 B. 若，则平面平面 C. 若，则点到直线的距离的最小值为 D. 存在唯一有序实数对，使得 11. 已知函数，的定义域为，且，，若的图象关于直线对称，则（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 展开式中的系数为________． 13. 函数在上单调递增，则实数的取值范围是_____. 14. 在一个袋子中装有4个大小相同的小球，小球上的编号依次为1，2，3，4，现在有放回的抽取n次，每次只取一个小球，记这n次取到的小球的最大编号为X，则______，______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前项和为，且；等差数列满足;； （1）求和的通项公式； （2）求数列的前项和． 16. 如图，在三棱柱中，侧面是正方形，平面，，点是线段的中点，点在线段上，满足平面． （1）求证：是线段的中点； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 17. 流行病学调查表明某种疾病是由致病菌和致病菌共同引起的，且至少杀灭其中一种致病菌即可痊愈. （1）若有某种治疗方案，有的概率能杀灭致病菌.若这种治疗方案能杀灭致病菌，则它有的概率能杀灭致病菌.若这种治疗方案不能杀灭致病菌，则它有的概率能杀灭致病菌.求使用治疗方案痊愈的概率； （2）若市面上仅有两款药物和药物对疾病有疗效，且这两种药物的疗程各均为天（假定药物使用时，均按疗程服用天），超过天无效时需换药进行治疗.若使用完两种药物仍不见效，依靠自身的免疫能力再经过天也能痊愈已知药物杀灭致病菌和致病菌的概率分别为、，且对于同一种药物，杀灭两种致病菌的事件相互独立，药物杀灭致病菌和致病菌的概率均为.请问应先使用哪种药物可使得痊愈的平均天数更短？ 18. 已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点的坐标为，的面积为． （1）求椭圆的离心率； （2）设点在线段上，，延长线段与椭圆交于点，点，在轴上，，且直线与直线间的距离为，四边形的面积为． （i）求直线的斜率； （ii）求椭圆的方程． 19. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）证明：； （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $