2026年吉林省长春市2025-2026学年第二学期 九年级(数学)学科模考大练习试题

**基本信息** 九年级数学模考练习，以《九章算术》负数引入、风力发电机测量、冰雪经济统计为情境，覆盖函数、几何、统计等核心知识，通过基础题与综合题梯度设计，考查数学抽象、几何直观与数据分析能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|实数（科学记数法）、函数概念、概率|第1题结合《九章算术》体现文化传承，第7题行程图像考查数学眼光| |填空题|6/18|对称点、平行四边形性质、菱形计算|第12题菱形高计算考查几何直观，第14题正方形综合题培养推理意识| |解答题|10/78|解直角三角形、统计分析、函数综合|第17题无人机测高（解直角三角形）关联科技情境，第19题冰雪经济统计培养数据意识，第24题函数与平行四边形存在性问题贴合中考命题趋势|

九年级（数学）学科模考大练习答题卡 2025—2026学年第二学期 姓名:_____________班级：__________ 条 码 粘 贴 处 准 考 证 号 缺考标记，考生禁填！由监考老师负责用黑色字迹的签字笔填涂。 □ 注意事项 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。 2. 请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内。 3. 选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整。 4. 请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。 5. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 填涂样例 正确填涂 错误填涂 第一部分　选择题(请用2B铅笔填涂) 1 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 1 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 第二部分　非选择题(请用0.5mm黑色签字笔作答) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 二、填空题（共18分) 9．______________________ 12．______________________ 10．_____________________ 13．______________________ 11．_____________________ 14．______________________ 三、解答题（共58分） 15．解下列不等式（组）（每小题2分，共8分） （1） （2） 三、解答题（共78分） 15．（6分） 16.（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 17．（6分） 18.（7分） （1） （2） \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ 19.（7分） （1）______________________ ______________________ （2）______________________ （3）______________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 20.（7分） 21．（8分） （1） （2） （3） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 22.（9分） （1） （2）______________________ （3）______________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 23.（10分） （1） （2） 14、（7分） （1）(1分) （1分） （2）(1分) （1分） （3）(1分) （1分） （4）（1分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 （3） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 24. （12分） （1） （2） （3） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 （4） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 北京五岳鑫信息技术股份有限公司绘制 北京五岳鑫信息技术股份有限公司绘制 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025--2026学年第二学期 九年级（数学）学科模考大练习试题 本试卷包括三道大题，共24道小题，共6页，满分120分，考试时间为120分钟。考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2.答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效。 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．我国古代的《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数.若气温零上1℃记作+1 ℃，则气温零下10℃记作 A．-10℃ B．-1℃ C．+1℃ D．+10℃ 2．绿色植物靠吸收光量子来进行光合作用．已知每个光量子的波长约为0.000698毫米，将数据“0.000698”用科学记数法表示为 A．0.698×10﹣3 B．6.98×10﹣4 C．0.698×10﹣6 D．6.98×10﹣7 3．下列各曲线表示的y与x的关系中，y不是x的函数的是 A． B． C． D． 4．若关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围 A． B． C． D． 5．已知点Q（3n−6，n+1）在x轴上，则点Q的坐标是 A．（−3，0） B．（0，−3） C．（3，0） D．（0，3） 6．下列事件中，不可能事件是（ ） A．打开电视时正在播放广告 B．风大时轮渡会停航 C．自然状态下的水从低处向高处流 D．清明时节雨纷纷 7．如图是小旺从家到学校行进的路程s（米）与时间t（分）之间关系的图象．观察图象，以下信息错误的是（　　） A．学校距小旺家1000米； B．小旺用了20分钟到学校； C．小旺前10分钟走了总路程的一多半； D．小旺后10分钟比前10分钟走得快． 8．如图，点A在反比例函数y（x＞0），的图象上，点B在反比例函数y（x＞0）的图象上，AB⊥x轴于点M．且MB＝2AM，则k的值为 A．﹣3 B．﹣6 C．2 D．6 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）. 9．分解因式： ． 10．点A （-2, -5） 关于x轴的对称点的坐标为________________. 11．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝7，∠ABC的平分线交CD的延长线于点E，交AD于点F，则DF的值为　 　． （第11题） （第12题） 12．如图，菱形ABCD对角线AC，BD相交于点O，测得AC＝4cm，BD＝8cm，过点A作AH⊥BC于点H，则AH的长为　 　cm． 13．已知一次函数，当0≤x≤5时，函数的最大值是　 　． 14．如图，在正方形ABCD中，点M、P、Q分别在边AB、BC、CD上，连接AP、MQ交于一点，且AP=MQ，N为AD延长线上一点，连接NQ、AN，下列结论： ①AP⊥MQ； ②若M为AB中点，则P一定是BC中点； ③S△APN​=S△AQN； ④若AP平分∠BAC，则MQ平分∠DMQ。 其中正确的结论是__________（填写所有正确结论的序号）。 （第14题） 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15．（6分），其中． 16．（6分）甲、乙两名同学参与长春城市志愿活动，随机分配到交通劝导A、景区讲解B、文明宣传C三个岗位，每人岗位分配相互独立。请用树状图或列表法，求甲乙两人至少一人被分到文明宣传C岗位的概率。 17．（6分）图1是一座风力发电机，图2是使用无人机测量该风力发电机塔筒高度（轮毂中心高度）的示意图。已知无人机在距塔筒AB水平距离120m的地面点C处竖直升至点D处悬停，点D距离地面的高度为60m，在点D处测得塔筒顶端A的仰角∠ADE为37∘。求这座风电塔筒AB的高度（结果取整数）。（参考数据：sin37∘≈0.602，cos37∘≈0.799，tan37∘≈0.750） 图1 图2 （第17题） 18．（7分）将一把刻度尺如图放置，刻度尺有一边分别与的顶点，重合，另一边分别交于点．连接分别与相交于点． （1）求证：四边形DEBF是平行四边形； （2）求证：AE∥CF。 （第18题） 19．（7分）冰雪经济是吉林省新质生产力重要板块．如图为年吉林省冰雪经济市场规模及同比增速的统计图． （第19题） 根据以上信息，回答下列问题： （1）2022-2026年吉林省冰雪经济市场规模数据（单位：亿元）为1700，1008，2419，2951，3414，这组数据的平均数是______，中位数是______。（2分） （2）下列判断合理的是______（填序号）。（3分） ①2022-2026年，市场规模的同比增速先下降后上升再下降。 ②2024年吉林省冰雪经济市场规模同比增速最高。③ 2023年市场规模同比增速为-40.7%，表示2023年市场规模比2022年减少了40.7%。 （3）若2027年吉林省冰雪经济市场规模同比增速与2026年持平，则2027年吉林省冰雪经济市场规模约为______亿元（只填算式，不计算结果）。（2分） 20．（7分）如图，由小正方形构成的6×6网格中，每个正方形的顶点叫做格点。△ABC的顶点都在格点上，⊙O经过A、B、C三点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）。 （1）在图①中，画出⊙O的圆心O； （2）在图②中，画出直径AD； （3）在图③中，画出弦BC的中点M。 图① 图② 图③ （第20题） 21．（8分）如图，直线l:y=kx+b经过点（4，1），并且与直线平行，与x轴交于点B。 （1）求直线l的解析式和点B的坐标。 （2）求直线l与y轴交点A的坐标，并求线段AB的长度。 （3）若点P是直线l上的一个动点，横坐标为t，过点P分别作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，在四边形PMON上分别截取：OE=ON，ND=NP，PC=PM，BM=OM，求证：四边形BCDE是平行四边形。 （第21题） 22．（9分） 【定义】 如图，是半径为的的弦，，点在弦上（点不与，重合），交于，使点和点在的同侧，规定：为点对应的“弦垂和”． （第22题） （1）为了解决“弦垂和”问题，如图小李同学过作直线使其与的夹角为，延长交直线于点，过点作，垂足为点．求证：． 证明：， 又， 是等腰直角三角形． 证明过程缺失 请你帮助小李完成上述过程． 【应用】 （2）过圆心O作OH⊥AB于点H，则OH的长度为______； （3）当点C在弦AB上运动时，“弦垂和”AC+CD的最大值为______。 23．（10分） 【问题背景】 如图 1，在中，，点在边上，，，。 （第23题） (1) 【特例探究】 如图2，当时，将绕点顺时针旋转得到，连接。求证：。 (2) 【特例求解】 在（1）的条件下，直接写出的长。 (3) 【类比迁移】 如图 3，当时，直接写出的长。 24.（12分）在平面直角坐标系中，直线l：y=kx+b经过点A(−2,3)和点B(4,−3)，且与x轴交于点C，与y轴交于点D。 （1）求直线l的解析式； （2）求点C、D的坐标，并计算线段CD的长度； （3）若点P是直线l上的一个动点，横坐标为t，当点P到x轴的距离为2时，求点P的坐标； （4）在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使得以A、B、C、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。 （第23题） 第5页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026 学年第二学期九年级数学模考大练习 参考答案与评分标准 一、选择题（共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B C B A C C B 二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 9. 10. 11. 12. 13. 14. 三、解答题（共 10 小题，共 78 分） 15.（6 分）先化简，再求值 题目：， 解答： 原式 当时，原式。 评分标准： 通分正确（2 分）→因式分解约分正确（2 分）→代入求值正确（2 分）。 16.（6 分）概率题 解答： 列表如下： 甲 \ 乙 A B C A （A，A） （A，B） （A，C） B （B，A） （B，B） （B，C） C （C，A） （C，B） （C，C） 共有9 种等可能结果，至少一人分到 C 岗的有5 种。 。 评分标准： 列表 / 树状图正确（3 分）→总结果数与符合条件数正确（1 分）→概率正确（2 分）。 17.（6 分）解直角三角形 解答： 由题意：，，。 在中， ， 。 评分标准： 线段转化正确（1 分）→三角函数计算正确（3 分）→结果正确（2 分）。 18.（7 分）平行四边形证明 （1）证明：四边形是平行四边形 四边形是平行四边形，。 又， 四边形是平行四边形。 （2）证明： 由 （1）得，，，即。 又， 四边形是平行四边形，。 评分标准： （1）两组对边平行判定（3 分）； （2）证一组对边平行且相等（4 分）。 19.（7 分）统计题 解答： （1）平均数：； 排序：，中位数：。 （2）合理：。 （3）算式：。 评分标准： （1）每空 1 分，共 2 分； （2）全对 3 分，错一个不得分； （3）算式正确 2 分。 20.（7 分）网格作图 解答： （1）作两条弦的垂直平分线，交点为圆心； （2）连接并延长交圆于，为直径； （3）过作的垂线，垂足为中点。 评分标准： （1）圆心正确（2 分）；（2）直径正确（2 分）；（3）中点正确（3 分）。 21.（8 分）一次函数综合 （1）求解析式与坐标 ，。 代入：。 解析式：。 令：，。 （2）求坐标与长 令：，。 。 （3）证明：四边形是平行四边形 设，由截取比例得： ，， ，。 可得， 四边形是平行四边形。 评分标准： （1）解析式 2 分，坐标 1 分； （2）坐标 1 分，长 2 分； （3）证明完整 2 分。 22.（9 分）新定义・弦垂和 （1）证明： ，，是等腰直角三角形，。 。 ，，， 。 （2）求 连接，， 。 （3）弦垂和最大值 由 （1）转化为点到直线距离最大，得最大值：。 评分标准： （1）证明完整 4 分；（2）（2 分）；（3）最大值 3 分。 23.（10 分）旋转全等 （1）证明： 由旋转：，。 ，。 又，。 （2） （3） 评分标准： （1）全等证明 4 分；（2）（3）各 3 分。 24.（12 分）一次函数压轴 （1）解析式 代入、： ， 解析式：。 （2）、坐标与长 ，，。 （3）求坐标 ，， 解得：或， 或。 （4）平行四边形坐标 存在，：、、。 评分标准： （1）3 分；（2）3 分；（3）3 分；（4）3 分（少一个扣 1 分）。 学科网（北京）股份有限公司 $2025--2026学年第二学期 九年级（数学）学科模考大练习试题 本试卷包括三道大题，共24道小题，共6页，满分120分，考试时间为120分钟。 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘 贴在条形码区域内。 2.答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷 上答题无效。 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1.我国古代的《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数.若气温零上1℃记作+1℃， 则气温零下10℃记作 A.-10C B.-1C C.+1C D.+10C 2.绿色植物靠吸收光量子来进行光合作用.已知每个光量子的波长约为0.000698毫米， 将数据“0.000698”用科学记数法表示为 A.0.698×103 B.6.98×104 C.0.698×106 D.6.98×107 3.下列各曲线表示的y与x的关系中，y不是x的函数的是 4.若关于x的方程(3-a)x2-x=0是一元二次方程，则a的取值范围 A.a≠0 B.a≠3 C.a<3 D.a>3 5.已知点Q(3m6,什1)在x轴上，则点Q的坐标是 A.(-3,0)B.(0,-3) C.(3,0) D.(0,3) 6.下列事件中，不可能事件是() A.打开电视时正在播放广告 B.风大时轮渡会停航 C.自然状态下的水从低处向高处流 D.清明时节雨纷纷 7.如图是小旺从家到学校行进的路程s(米)与时间t(分)之间关系的图象.观察图象， 以下信息错误的是() s(米) 1000---- A.学校距小旺家1000米： B.小旺用了20分钟到学校： C.小旺前10分钟走了总路程的一多半： D.小旺后10分钟比前10分钟走得快. 10 20t(分) 第1页（共8页） 8.如图，点A在反比例函数y=3(x>0),的图象上，点B在反比例函数y=(x>0) 的图象上，AB⊥x轴于点M.且MB=2AM,则k的值为 A.-3 B.-6 C.2 D.6 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）. 9.分解因式：a2-7a= 10.点A(-2,5)关于x轴的对称点的坐标为 11.如图，在平行四边形ABCD中，AB=4,BC=7,∠ABC的平分线交CD的延长线于 点E,交AD于点F,则DF的值为 B (第11题) (第12题) 12.如图，菱形ABCD对角线AC,BD相交于点O,测得AC=4c,BD=8cm,过点A 作AH⊥BC于点H,则AH的长为」 cnl. 13.已知一次函数y=-2x+3,当0≤x≤5时，函数y的最大值是 14.如图，在正方形ABCD中，点MP、Q分别在边AB、BC、CD上，连接AP、MQ 交于一点，且AP=MQ,N为AD延长线上一点，连接NQ、AN,下列结论： ①AP⊥MQ: A ②若M为AB中点，则P一定是BC中点： ③S△APN=S△AON: M ④若AP平分∠BAC,则MQ平分∠DMQ。 B 其中正确的结论是 (填写所有正确结论的序号)。 （第14题) 第2页（共8页） 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15,6分)先化简，再求值0+之4，其中x=4. 16.(6分)甲、乙两名同学参与长春城市志愿活动，随机分配到交通劝导A、景区讲解 B、文明宣传C三个岗位，每人岗位分配相互独立。请用树状图或列表法，求甲乙两 人至少一人被分到文明宣传C岗位的概率。 17.(6分)图1是一座风力发电机，图2是使用无人机测量该风力发电机塔筒高度（轮 毂中心高度)的示意图。已知无人机在距塔筒AB水平距离120m的地面点C处竖直 升至点D处悬停，点D距离地面的高度为60，在点D处测得塔筒项端A的仰角 ∠ADE为37°。求这座风电塔筒AB的高度（结果取整数）。（参考数据：si37°≈0.602， cos37°≈0.799，t37°≈0.750) 42D 图1 图2 (第17题) 18.(7分)将一把刻度尺(DF∥BE)如图放置，刻度尺有一边分别与口ABCD的顶点D, B重合，另一边分别交CD,AB于点E,F.连接AE,CF分别与DF,BE相交于点M,N. (1)求证：四边形DEBF是平行四边形； (2)求证：AE∥CF。 F (第18题) 第3页（共8页） 19.(7分)冰雪经济是吉林省新质生产力重要板块.如图为2022-2026年吉林省冰雪 经济市场规模及同比增速的统计图. 同比增速(%) 市场规模（亿元） 150% 140% 125% 4000 3414 100% -86% 3500 2951 3000 75% 2500 2419 50% 2000 --1700 25% 24-157%- 1500 0% 1008 2022 02 20242025 2026 年份 1000 25% 020222023202420252026 年存 -50% -407% (第19题) 根据以上信息，回答下列问题： (1)2022-2026年吉林省冰雪经济市场规模数据（单位：亿元)为1700,1008,2419， 2951,3414,这组数据的平均数是 ，中位数是 。(2分) (2)下列判断合理的是 (填序号)。(3分) ①2022-2026年，市场规模的同比增速先下降后上升再下降。 ②2024年吉林省冰雪经济市场规模同比增速最高。③ 2023年市场规模同比增速为-40.7%，表示2023年市场规模比2022年减少了40.7%。 (3)若2027年吉林省冰雪经济市场规模同比增速与2026年持平，则2027年吉林省 冰雪经济市场规模约为 亿元（只填算式，不计算结果）。(2分) 20.(7分)如图，由小正方形构成的6×6网格中，每个正方形的顶点叫做格点。△ABC 的顶点都在格点上，⊙O经过A、B、C三点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按 要求作图（不写作法，保留作图痕迹）。 (1)在图①中，画出⊙0的圆心O: (2)在图②中，画出直径AD: (3)在图③中，画出弦BC的中点M。 图① 图② 图③ (第20题) 第4页（共8页） 21.(8分)如图，直线y=+b经过点(4,1)，并且与直线y=- 二x+2平行，与x 轴交于点B。 (1)求直线1的解析式和点B的坐标。 (2)求直线I与y轴交点A的坐标，并求线段AB的长度。 (3)若点P是直线1上的一个动点，横坐标为t,过点P分别作PM⊥x轴于M,PN⊥y 轴于N在四边形ON上分别取：oEoN0号NP,Pes. 2 求证：四边形BCDE是平行四边形。 y个 6 5 4 、A(0,3) 3 2 N 0 E B M BC6,0) 123456789x 0 (第21题) 第5页（共8页） 22.(9分) 【定义】 如图，AB是半径为5√2的OO的弦，AB=14,点C在弦AB上（点C不与A,B重 合)，CD⊥AB交OO于D,使点D和点O在AB的同侧，规定：AC+CD为点C对应 的弦垂和”. ○ B (第22题) (1)为了解决“弦垂和问题，如图小李同学过A作直线使其与AB的夹角为45°，延 长DC交直线I于点E,过点D作DF⊥I,垂足为点F.求证：AC+CD=V2DF. 证明：CD⊥AB, .∠ACE=90° 又∠BAE=45°， △ACE是等腰直角三角形. 证明过程缺失 请你帮助小李完成上述过程. 【应用】 (2)过圆心O作OH⊥AB于点H,则OH的长度为 (3)当点C在弦AB上运动时，“弦垂和”AC+CD的最大值为 第6页（共8页） 23.（10分) 【问题背景】 如图1，在△ABC中，AB=AC,点D,E在边BC上，BD=1,CE=2,∠BAC=2∠DAE。 B D E E B D E 图1 图2 图3 (第23题) (1)【特例探究】 如图2，当∠BAC=90°时，将△ACE绕点A顺时针旋转90°得到△ABF,连接 DF。求证：△ADE三△ADF。 (2)【特例求解】 在(1)的条件下，直接写出DE的长。 (3)【类比迁移】 如图3，当∠BAC=60°时，直接写出DE的长。 第7页（共8页） 24.(12分)在平面直角坐标系中，直线：y=+b经过点A(-2,3)和点B(4,-3),且与x 轴交于点C,与y轴交于点D。 (1)求直线1的解析式： (2)求点C、D的坐标，并计算线段CD的长度； (3)若点P是直线1上的一个动点，横坐标为t,当点P到x轴的距离为2时，求 点P的坐标； (4)在平面直角坐标系中，是否存在点Q,使得以A、B、C、Q为顶点的四边形是 平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。 y 5 4 3 2 1 -5-4-3-2-1012345x -1 -2 -3 -4 -5 (第23题) 第8页（共8页）