精品解析：宁夏吴忠市第四中学 2025－2026 学年第二学期八年级数学阶段性学情调研

吴忠市第四中学2025—2026学年第二学期 八年级数学阶段性学情调研 （时间120分钟 满分120分） 一、单选题（本题共8小题，每小题3分，共计24分） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ） A. 0.3，0.4，0.5 B. 1，3，2 C. 4，5，6 D. 9，40，41 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 四边形，当，时，在下列选项中，添加一个条件，使得四边形是矩形的是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线平分每一组对角 5. 如图五个正方形和两个直角三角形按如图所示的方式排列．三个正方形内的数3、8和22表示它们的面积．问含有问号的那个正方形的面积是多少？（ ） A. 17 B. 14 C. 15 D. 16 6. 如图，在平行四边形中，、分别是、的中点，若，则的长为（ ） A. 12 B. 13 C. 10 D. 15 7. 我们知道，四边形具有不稳定性，如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的边在x轴上，的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点处，则点C的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共计24分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是___________． 10. 若，，则的值是________． 11. 直角三角形两边长为和，则第三边长为__________ 12. 如图，菱形的对角线的长分别为和，是对角线上任一点（点不与点、重合）且交于，交于，那么阴影部分的面积是______． 13. 如图，将矩形沿对角线折叠，点B的对应点为点E，与交于点F，其中，则的长为____． 14. 如图，将一根长为的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为，则h的最小值是___________． 15. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为129．则小正方形的边长为______． 16. 如图，正方形的边长为8，点M在上，且，N是上的一动点，则的最小值为______． 三、解答题（本题共有6小题，其中17题8分，18，19，20，21，22每小题6分，共38分） 17. 计算 （1） （2） 18. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是几边形？ 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 某居民小区有块形状为长方形的绿地，绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（图中阴影部分），花坛的长为，宽为． （1）求长方形绿地的周长； （2）除去修建花坛的地方，其它地方全部修建成通道，通道上铺地砖的造价为80元，求通道铺地砖需要花费多少元？ 21. 如图，E，F，G，H是四边形各边的中点．求证：四边形为平行四边形． 22. 不少家长在选择婴儿车时，不仅关注其舒适性和便捷性，更关注婴儿车的安全性．图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得，其中与之间由一个固定为的零件连接（即），通过计算说明该车是否符合安全标准． 四、解答题（本题共4题，其中23题6分、24题8分，25、26题每题10分，共34分） 23. 如图，四边形ABCD是一个正方形花园，E、F是它的两个门，且，要修建两条路BE和AF，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？请证明你的猜想． 24. 如图，在菱形中，对角线与相交于点O，过点C作的平行线，过点B作的平行线，两直线相交于点E． （1）求证：四边形是矩形． （2）若 ，，求菱形的面积． 25. ．阅读材料： 在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如： 【类比归纳】 （1）填空： ①（______）（________）； ②（______±______）（，）． （2）请你仿照小明的方法，将化成一个式子的平方； 【拓展提升】 （3）如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，求剩余部分的面积． 26. 综合与实践 折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧．定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的长方形，这样的长方形称为完美长方形． （1）操作发现： 如图1，将纸片按所示折叠成完美长方形，若的面积为18，，则此完美长方形的边长_____，面积为_____． （2）类比探究： 如图2，将纸片按所示折叠成完美长方形，若的面积为40，，求完美长方形的周长． （3）拓展延伸： 如图3，将纸片按所示折叠成完美长方形，若，，求此完美长方形的周长与面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吴忠市第四中学2025—2026学年第二学期 八年级数学阶段性学情调研 （时间120分钟 满分120分） 一、单选题（本题共8小题，每小题3分，共计24分） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】最简二次根式需满足两个条件：1、被开方数不含分母；2、被开方数不含能开得尽方的因数或因式，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：A、，被开方数含能开得尽方的因数，因此不是最简二次根式； B、，被开方数是的平方，能开得尽方，因此不是最简二次根式； C、的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的条件，因此是最简二次根式； D、，被开方数是的平方，能开得尽方，因此不是最简二次根式． 2. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ） A. 0.3，0.4，0.5 B. 1，3，2 C. 4，5，6 D. 9，40，41 【答案】D 【解析】 【分析】勾股数的定义为：满足两个较小正整数的平方和等于最大正整数的平方的三个正整数，称为勾股数. 根据定义逐一验证各选项即可得到答案． 【详解】解：勾股数要求三个数均为正整数，选项A中三个数均为小数，因此不是勾股数； 对其余选项从小到大排序后验证： B、，不能构成三角形，不符合题意； C、，故选项C的三个数不是勾股数； D、，且三个数均为正整数，故选项D的三个数是勾股数． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．，原计算错误，不符合题意； B．，无意义，不符合题意； C．，原计算错误，不符合题意； D．，原计算正确，符合题意． 4. 四边形，当，时，在下列选项中，添加一个条件，使得四边形是矩形的是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线平分每一组对角 【答案】B 【解析】 【分析】先根据已知条件证明四边形是平行四边形，再结合矩形、菱形的判定定理对各选项逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴ 四边形是平行四边形， A、平行四边形对角线本来互相平分，添加该条件无法判定四边形是矩形，故该选项不符合题意； B、对角线相等的平行四边形是矩形，因此添加对角线相等可判定四边形是矩形，故该选项符合题意； C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不是矩形，故该选项不符合题意； D、对角线平分每一组对角的平行四边形是菱形，不是矩形，故该选项不符合题意． 5. 如图五个正方形和两个直角三角形按如图所示的方式排列．三个正方形内的数3、8和22表示它们的面积．问含有问号的那个正方形的面积是多少？（ ） A. 17 B. 14 C. 15 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出，则，然后根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意，得，，，，，， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴含有问号的那个正方形的面积是17． 6. 如图，在平行四边形中，、分别是、的中点，若，则的长为（ ） A. 12 B. 13 C. 10 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理求解． 【详解】解：、分别是、的中点， 是的中位线， ． 7. 我们知道，四边形具有不稳定性，如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的边在x轴上，的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点处，则点C的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知条件得到，，根据勾股定理得到，于是得到结论． 【详解】解：， ， ， ，， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键． 8. 如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，直角三角形的性质，掌握菱形和直角三角形的性质是解题关键． 先利用菱形的面积公式求出对角线的长度，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，得出，从而计算出的长度． 【详解】解：四边形是菱形， ， ，， ， ， ， ． 故选：． 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共计24分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据被开方数是非负数列式求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴． 10. 若，，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】结合，化简，即可作答． 【详解】解：∵，， ， 11. 直角三角形两边长为和，则第三边长为__________ 【答案】或 【解析】 【分析】本题未明确已知两边是否均为直角边，需分两种情况讨论，利用勾股定理计算第三边长. 【详解】解：分两种情况讨论： 当边长为和的边都是直角边时， ∴第三边长为：； 当边长为的边为斜边时， ∴第三边长为：， 综上：第三边长为或. 12. 如图，菱形的对角线的长分别为和，是对角线上任一点（点不与点、重合）且交于，交于，那么阴影部分的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得阴影部分的面积等于的面积，因为的面积是菱形面积的一半，根据已知可求得菱形的面积则不难求得阴影部分的面积． 【详解】解：设与相交于点． 四边形为菱形， ，． ，， ，． 四边形是平行四边形． 则，，， ∴， ∴， 阴影部分的面积等于的面积． 的面积等于菱形的面积的一半， 菱形的面积， 图中阴影部分的面积为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的面积的计算方法，根据菱形是中心对称图形，得到阴影部分的面积等于菱形面积的一半是解题的关键． 13. 如图，将矩形沿对角线折叠，点B的对应点为点E，与交于点F，其中，则的长为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定，由矩形和折叠的性质得到，，结合，得到，得到，据此根据勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 由折叠知，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 14. 如图，将一根长为的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为，则h的最小值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题将勾股定理与实际问题相结合，考查了同学们的观察力和由具体到抽象的推理能力，有一定难度． 先根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可． 【详解】解：当筷子与杯底垂直时最大，最大． 当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时最小， 如图所示： 此时，， 故． 故的最小值是． 故答案为：． 15. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为129．则小正方形的边长为______． 【答案】9 【解析】 【分析】根据勾股定理得到大正方形的面积为，结合，利用完全平方公式求出的值即可． 【详解】解：由题意，，， ∴， ∵， ∴， ∴，即小正方形的边长为9． 16. 如图，正方形的边长为8，点M在上，且，N是上的一动点，则的最小值为______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查轴对称的应用和勾股定理的基本概念．解答本题的关键是读懂题意，知道根据正方形的性质得到的最小值即为线段的长． 连接，，根据点与点关于对称和正方形的性质得到的最小值即为线段的长． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴点关于的对称点是点． 连接，，且交于点，与交于点，此时的值最小． ∵，正方形的边长为8， ∴，． 由，知． 又∵点与点关于对称， ∴且平分． ∴． ∴． ∴的最小值是10． 故答案为：10 三、解答题（本题共有6小题，其中17题8分，18，19，20，21，22每小题6分，共38分） 17. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先运算负整数指数幂，化简绝对值，运用二次根式的性质化简，再运算加减法，即可作答． （2）根据平方差公式以及完全平方公式进行展开，再运算加减法，即可作答． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 18. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是几边形？ 【答案】这个多边形是六边形 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和，熟练掌握多边形的内角和公式以及多边形的外角和为是解题的关键． 设这个多边形是边形，根据多边形的内角和与外角和公式列出方程，求出的值即可解答． 【详解】解：设这个多边形是边形， ∵多边形的内角和是外角和的2倍， ∴， 解得， 答：这个多边形是六边形． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算、分母有理化等知识．先把括号内通分，并把除法转化为乘法，然后约分化简，再把代入即可即可． 【详解】解： ． 当时， 原式． 20. 某居民小区有块形状为长方形的绿地，绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（图中阴影部分），花坛的长为，宽为． （1）求长方形绿地的周长； （2）除去修建花坛的地方，其它地方全部修建成通道，通道上铺地砖的造价为80元，求通道铺地砖需要花费多少元？ 【答案】（1） （2）2240元 【解析】 【分析】本题考查二次根式的应用，长方形的周长和面积，平方差公式．解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及其性质． （1）根据长方形的周长列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算即可； （2）先计算出空白部分的面积，然后再用空白部分的面积乘以单价即可得出结论． 【小问1详解】 解：由题意，长方形绿地的周长为： ， 答：长方形绿地的周长为； 【小问2详解】 解： ， ， 答：铺地砖需要花费2240元． 21. 如图，E，F，G，H是四边形各边的中点．求证：四边形为平行四边形． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查中点四边形，三角形的中位线定理，根据三角形的中位线定理以及一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，进行求证即可． 【详解】证明：∵E，F，G，H是四边形各边的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． 22. 不少家长在选择婴儿车时，不仅关注其舒适性和便捷性，更关注婴儿车的安全性．图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得，其中与之间由一个固定为的零件连接（即），通过计算说明该车是否符合安全标准． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理的内容是解题的关键． 先在中，利用勾股定理求出的长度；再在中，通过勾股定理的逆定理判断是否为，从而验证是否成立． 【详解】解：在中， ∵，，， ∴， . 在中，∵，， ∴，. ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 故该车符合安全标准． 四、解答题（本题共4题，其中23题6分、24题8分，25、26题每题10分，共34分） 23. 如图，四边形ABCD是一个正方形花园，E、F是它的两个门，且，要修建两条路BE和AF，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？请证明你的猜想． 【答案】BE＝AF，BE⊥AF，证明见解析 【解析】 【分析】根据正方形性质可得，AB=AD=CD，又有，因此可以得到，因此可以证明得到，从而证明得到BE＝AF，∠AEB=∠DFA，根据三角形内角和定理可以得到∠EAO+∠DFA=90°，等量代换即可得到∠EAO+∠AEB=90°，因此证明得到∠AOE =90°，从而证明得到结论． 【详解】解：猜想BE＝AF，BE⊥AF，理由如下： ∵四边形ABCD是正方形 ∴AB=AD=CD，∠D=∠BAD=90° ∵， ∴AD-DE=CD-CF，即 在和中， ∴(SAS) ∴BE＝AF，∠AEB=∠DFA， ∵∠D=90° ∴∠EAO+∠DFA=90° ∴∠EAO+∠AEB=90° ∴∠AOE=90° ∴BE⊥AF 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，综合运用知识分析推导结论是本题的关键． 24. 如图，在菱形中，对角线与相交于点O，过点C作的平行线，过点B作的平行线，两直线相交于点E． （1）求证：四边形是矩形． （2）若 ，，求菱形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）首先可根据，判定四边形是平行四边形，然后根据菱形的性质，得到，可判定四边形是矩形； （2）根据矩形的性质，菱形的性质解答即可． 本题主要考查矩形的判定，平行四边形、菱形的性质，菱形面积的求法，解题的关键是熟记矩形的各种判断方法． 【小问1详解】 证明：四边形是矩形．理由如下： ∵为菱形对角线的交点， ∴，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴． 25. ．阅读材料： 在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如： 【类比归纳】 （1）填空： ①（______）（________）； ②（______±______）（，）． （2）请你仿照小明的方法，将化成一个式子的平方； 【拓展提升】 （3）如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，求剩余部分的面积． 【答案】（1）①；；②；； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可； （2）结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可； （3）设小正方形的边长为，大正方形的边长为，根据题意得：，，即可得x、y的值，再根据剩余部分的面积为，代值计算即可． 【小问1详解】 解：①； ②； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 根据题意得：，， ∴，， 剩余部分的面积为：． 26. 综合与实践 折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧．定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的长方形，这样的长方形称为完美长方形． （1）操作发现： 如图1，将纸片按所示折叠成完美长方形，若的面积为18，，则此完美长方形的边长_____，面积为_____． （2）类比探究： 如图2，将纸片按所示折叠成完美长方形，若的面积为40，，求完美长方形的周长． （3）拓展延伸： 如图3，将纸片按所示折叠成完美长方形，若，，求此完美长方形的周长与面积． 【答案】（1）3；9 （2）18 （3）周长为70，面积是300 【解析】 【分析】（1）根据折叠得到是中点，过点作于，根据△的面积求出的长，推出是的中位线，得到，即可求出完美长方形的面积； （2）根据折叠可知，，从而求出的长，根据平行四边形的面积求出的长，即可求出周长； （3）根据折叠可证点、分别是、的中点，判定四边形是平行四边形，推出，推出矩形的对角线长后根据、之间的数量关系，利用勾股定理求出、的长后即可求出此完美矩形的周长． 【小问1详解】 解：由折叠可知，，，， ，点是中点， ， 如图，过点作于，交于点， ， ， 由折叠可知：， ， 完美矩形的面积为：． 故答案为：3；9； 【小问2详解】 解：由折叠可知：，， ， 同理可知：，， 矩形的面积为：， ， 矩形的周长； 【小问3详解】 解：如图，连接， 由折叠可知：点、分别是、的中点， ，， 由题意可知：，， ，， 四边形是平行四边形， ， 在中，设，则， 根据勾股定理得：， ， 解得：， ，， 此完美矩形的周长为．面积是． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查新定义问题，平行四边形的性质，折叠的性质，矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识点，深入理解题意是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $