精品解析：湖南长沙市立信中学2025-2026学年下学期第一次核心素养七年级数学试卷

长沙市立信中学2025-2026学年第二学期第一次核心素养 初一数学试卷 时量：120分钟 总分：120分 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列实数中，是无理数的是（    ） A. B. C. 0.1010010001 D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知直线，直角三角板的直角顶点C在直线b上，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，要使，则需要添加的条件是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在数轴上与数最靠近的点是（ ）     A. A点 B. B点 C. C点 D. D点 6. 点在轴上，则点的坐标为（　　） A. B. C. D. 7. 如图是一轰炸机群的飞行队形示意图，若在图上建立平面直角坐标，使最后两架轰炸机分别位于点M（﹣1，1）和点N（﹣1，﹣3），则第一架轰炸机位于的点P的坐标是（　　） A. （﹣1，﹣3） B. （3，﹣1） C. （﹣1，3） D. （3，0） 8. 下列命题是真命题的是（ ） A. 平方根是本身的数是和0 B. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C. 如果，那么 D. 在同一平面内，若，，则 9. “燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计，他编写的《燕几图》一书，是组合家具设计图册，也是现代益智玩具七巧板的萌芽．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．如图给出了《燕几图》中名为“屏山”的桌面组合方式，若设每张桌面的宽为尺，每张长桌的长为尺，根据图中信息，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，直线经过点，点，，，，，，…均为格点，且按如图所示的规律排列在直线上．若点的纵坐标为，则的值为（ ） A. 4048 B. 4049 C. 4050 D. 4051 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 64的算术平方根是______． 12. 已知a为正整数，，则_____ ． 13. 如图，直线，相交于点O，．若，则的度数为____． 14. 若是方程的一个解，则______． 15. 如图，渔船与港口相距17海里，我们用有序数对（南偏西，17海里）来描述渔船相对港口的位置，那么港口相对渔船的位置可描述为______． 16. 如图，小明在走廊上看到一个“安全出口”标志，他从中抽象出这样一个数学图形，其中，，，，，则_________． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20题、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．） 17. 计算：． 18. 解方程组、解方程： （1） （2） 19. 若关于x、y的二元一次方程组的解满足 （1）求a的值； （2）m为任意实数，当m为何值时，有最小值？求出这个最小值． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知点、、、是三角形的边上任意一点，三角形经过平移后得到三角形，点A、B、C的对应点分别为、、，点P的对应点为． （1）直接写出点的坐标； （2）在图中画出三角形； （3）求三角形的面积． 21. 如图，是一个潜望镜模型示意图，光线经过互相平行的镜子和镜子反射后，形成光线，人眼在D点即可看到A点的光线．已知，，求证．请完成下面的证明，在括号内的横线上补充正确的结论或推理的依据． 证明：∵（已知）， ∴（_________）． ∵，（已知）， ∴（__________）． ∴（等式的性质）． ∵，（平角的定义）， ∴_________． ∴（__________）． 22. 如图，在四边形中， ，是上一点，平分交的延长线于点． （1）若，，求的度数； （2）若，试说明：． 23. 长沙市立信中学拟组织七、八年级师生去参观长沙博物馆，请根据以下素材完成相应的任务． 项目主题 探究“租车方案”问题 素材1 客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用．60座客车每辆每天的租金比45座的贵220元． 素材2 八年级师生在这个客运公司租了5辆60座和3辆45座的客车到长沙博物馆，一天的租金共计8620元． 素材3 如果七年级租用45座的客车a辆，则恰好所有师生都有座位，且无多余空位；如果租用60座的客车则可少租2辆，且有一辆车上空余15个座位． 解决问题： （1）任务1：根据素材1、2，解决下列问题： 客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ （2）任务2：根据素材3，并结合任务1的结论，解决下列问题： 七年级若同时租用两种客车，要使每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，应该怎样租用才合算？ 24. 定义：在平面直角坐标系中，把满足关系式的点称为“立信点”． （1）判断：点___（填“是”或“不是”）“立信点”；若点是“立信点”，则__________． （2）已知点、均为“立信点”，且关于x，y的两个方程组与的解相同，求a，b，m，n的值． （3）若点满足关系式（其中k为常数），同时点C到x轴的距离是到y轴距离的2倍．试问：点C能否成为“立信点”？若能，请求出此时点C的坐标及对应的k的值；若不能，请说明理由． 25. 如图1，长方形在平面直角坐标系中，点，，． （1）请直接写出D点的坐标_____． （2）如图1，连接，，交于点E，的平分线和的平分线交于点F． ①当的度数为n，的度数为m时，求的度数（用含m、n的式子表示）． ②请直接写出和之间的数量关系． （3）如图2，若长方形以每秒2个单位的速度向下运动，设运动的时间为t秒．在边上取一点G，使得的面积是面积的2倍，连接，若的面积等于的面积，求t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长沙市立信中学2025-2026学年第二学期第一次核心素养 初一数学试卷 时量：120分钟 总分：120分 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列实数中，是无理数的是（    ） A. B. C. 0.1010010001 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查无理数的定义，算术平方根，无限不循环小数叫做无理数，据此进行判断即可． 【详解】解：A. 是有限小数，是有理数； B. ，5不是完全平方数，是无理数； C. 0.1010010001是有限小数，是有理数； D. ，是整数，是有理数． 故选：B． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，去括号，根据合并同类项与去括号的运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 3. 如图，已知直线，直角三角板的直角顶点C在直线b上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质可得等于与直线的夹角，进而利用直角的定义即可求解． 【详解】解：如图， 设与直线的夹角为，  直线，，  ， ， ．  4. 如图，要使，则需要添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，即可得到添加的条件． 【详解】解：A．∵∠A=∠CBE， ∴AD∥BC，符合题意； B．由∠A=∠C无法得到AD∥BC，不符合题意； C．由∠C=∠CBE，只能得到AB∥CD，无法得到AD∥BC，不符合题意； D．由∠A+∠D=180°，只能得到AB∥CD，无法得到AD∥BC，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 5. 如图，在数轴上与数最靠近的点是（ ）     A. A点 B. B点 C. C点 D. D点 【答案】D 【解析】 【分析】先得出，进而得出在数轴上的对应点在2与3之间，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴在数轴上的对应点在2与3之间，最靠近的点是D点， 故选：D． 【点睛】本题考查实数与数轴上的点一一对应，无理数大小的估算，正确估算无理数的大小是解题的关键． 6. 点在轴上，则点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查坐标轴上点坐标的特点，掌握相关知识是解决问题的关键．轴上的点纵坐标为0，据此解答即可． 【详解】解：点在轴上， 则， ， ． 故选：D． 7. 如图是一轰炸机群的飞行队形示意图，若在图上建立平面直角坐标，使最后两架轰炸机分别位于点M（﹣1，1）和点N（﹣1，﹣3），则第一架轰炸机位于的点P的坐标是（　　） A. （﹣1，﹣3） B. （3，﹣1） C. （﹣1，3） D. （3，0） 【答案】B 【解析】 【分析】根据M（﹣1，1）和点N（﹣1，﹣3）的坐标建立坐标系，根据坐标系解答即可． 【详解】解：因为M（﹣1，1）和点N（﹣1，﹣3），所以可建立如下图所示平面直角坐标系： 所以可得点P的坐标为（3，﹣1）， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系的实际应用，正确根据M（﹣1，1）和点N（﹣1，﹣3）的坐标建立坐标系是解题的关键． 8. 下列命题是真命题的是（ ） A. 平方根是本身的数是和0 B. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C. 如果，那么 D. 在同一平面内，若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据平方根定义、平行线的基本性质、绝对值的性质逐一判断各选项命题的真假，即可选出正确答案． 【详解】平方根等于本身的数只有0．1的平方根为，没有平方根； 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上，无法作出与已知直线平行的直线； 若，可得或，例如，但； 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． 9. “燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计，他编写的《燕几图》一书，是组合家具设计图册，也是现代益智玩具七巧板的萌芽．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．如图给出了《燕几图》中名为“屏山”的桌面组合方式，若设每张桌面的宽为尺，每张长桌的长为尺，根据图中信息，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的运用，理解图示，正确列式是关键． 根据每张桌面的宽都相等，设每张桌面的宽为尺，每张长桌的长为尺，由图形结合列式即可． 【详解】解：每张桌面的宽都相等，设每张桌面的宽为尺，每张长桌的长为尺，且， ∴横轴方向，， 纵轴方向，， ∴方程组为， 故选：B ． 10. 在平面直角坐标系中，直线经过点，点，，，，，，…均为格点，且按如图所示的规律排列在直线上．若点的纵坐标为，则的值为（ ） A. 4048 B. 4049 C. 4050 D. 4051 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了 用坐标描述平面内点的位置，熟练掌握用坐标描述点的位置是解题的关键； 观察坐标系，得出点，，，，，，…的坐标，根据规律得出奇数点和偶数点的坐标规律即可得出纵坐标为的点． 【详解】解：由题图可知，点，，，，，，，… 根据规律可知，奇数格点的坐标为，（为自然数）， 偶数格点的坐标为（为自然数）． 点的纵坐标为， 为偶数格点， ， 解得， ． 故选：A． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 64的算术平方根是______． 【答案】8 【解析】 【详解】解：的算术平方根是． 12. 已知a为正整数，，则_____ ． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查估算无理数的大小，熟练掌握算术平方根的定义是正确解答的关键．根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可． 【详解】解：∵，，而， ∴， 又∵a为正整数，， ∴． 故答案为：3． 13. 如图，直线，相交于点O，．若，则的度数为____． 【答案】##130度 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 14. 若是方程的一个解，则______． 【答案】7 【解析】 【分析】把方程的解代入得3a+b=1，从而确定9a+3b=3，整体代入计算即可． 【详解】∵是方程的一个解， ∴3a+b=1， ∴9a+3b=3， ∴7， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了二元一次方程解的定义即使得二元一次方程左右相等的一组未知数的值，熟练掌握定义，灵活变形计算是解题的关键． 15. 如图，渔船与港口相距17海里，我们用有序数对（南偏西，17海里）来描述渔船相对港口的位置，那么港口相对渔船的位置可描述为______． 【答案】（北偏东，17海里） 【解析】 【分析】以为中心，来描述点的方向和距离，南与北相对，东与西相对，距离不变，角度不变，据此即可作答． 【详解】解：由题意知：港口A相对货船B的位置可描述为：（北偏东，47海里）， 故答案为：（北偏东，17海里）． 【点睛】本题考查坐标确定位置，用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西． 16. 如图，小明在走廊上看到一个“安全出口”标志，他从中抽象出这样一个数学图形，其中，，，，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，得出，由平行线的性质得出，，，根据角的和差关系即可得答案．能正确作出辅助线是解题关键． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20题、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式． 18. 解方程组、解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先给，利用加减消元法将，求出未知数，再将代入②，即可求得未知数，则此方程组得解； （2）先系数化为1，再直接开平方即可． 【小问1详解】 解：， ，得， ，得， 解得， 将代入②，得， 解得， ∴原方程组的解为； 【小问2详解】 解：， ， 解得． 19. 若关于x、y的二元一次方程组的解满足 （1）求a的值； （2）m为任意实数，当m为何值时，有最小值？求出这个最小值． 【答案】（1）3；（2）m=-1，2 【解析】 【分析】（1）将方程组两个方程相加，用的代数式表示，再由列方程即可求解； （2）将代入得，，故时原式有最小值2． 【详解】解：（1）， ①②得：， ， ， ，解得； （2）时，， 当，即时，有最小值，最小值为2． 【点睛】本题考查二元一次方程组的变形、代数式的最小值等知识，整体代入是解题的关键． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知点、、、是三角形的边上任意一点，三角形经过平移后得到三角形，点A、B、C的对应点分别为、、，点P的对应点为． （1）直接写出点的坐标； （2）在图中画出三角形； （3）求三角形的面积． 【答案】（1） （2）图形见解析 （3） 【解析】 【小问1详解】 解：∵平移后的对应点为， ∴平移后的对应点为，即； 【小问2详解】 解：三角形如图所示： 【小问3详解】 解：如图，： 三角形的面积为． 21. 如图，是一个潜望镜模型示意图，光线经过互相平行的镜子和镜子反射后，形成光线，人眼在D点即可看到A点的光线．已知，，求证．请完成下面的证明，在括号内的横线上补充正确的结论或推理的依据． 证明：∵（已知）， ∴（_________）． ∵，（已知）， ∴（__________）． ∴（等式的性质）． ∵，（平角的定义）， ∴_________． ∴（__________）． 【答案】两直线平行，内错角相等；等量代换；；内错角相等，两直线平行 【解析】 【详解】证明：∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵，（已知）， ∴（等量代换）． ∴（等式的性质）． ∵，（平角的定义）， ∴． ∴（内错角相等，两直线平行）． 22. 如图，在四边形中， ，是上一点，平分交的延长线于点． （1）若，，求的度数； （2）若，试说明：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质得出，根据即可求解； （2）根据，可得，，根据已知得出，即可得出，根据平行线的性质得出，，根据角平分线的定义，即可求解． 【小问1详解】 解：∵平分，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键． 23. 长沙市立信中学拟组织七、八年级师生去参观长沙博物馆，请根据以下素材完成相应的任务． 项目主题 探究“租车方案”问题 素材1 客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用．60座客车每辆每天的租金比45座的贵220元． 素材2 八年级师生在这个客运公司租了5辆60座和3辆45座的客车到长沙博物馆，一天的租金共计8620元． 素材3 如果七年级租用45座的客车a辆，则恰好所有师生都有座位，且无多余空位；如果租用60座的客车则可少租2辆，且有一辆车上空余15个座位． 解决问题： （1）任务1：根据素材1、2，解决下列问题： 客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ （2）任务2：根据素材3，并结合任务1的结论，解决下列问题： 七年级若同时租用两种客车，要使每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，应该怎样租用才合算？ 【答案】（1）60座和45座的客车每辆每天的租金分别是1160元和940元； （2）租用6辆60座客车和1辆45座客车最合算． 【解析】 【分析】（1）设出两种客车的租金，根据租金差和总租金列出二元一次方程组，求解得出单价； （2）设七年级租用45座客车数量，根据人数不变列出一元一次方程求出总人数，再设租用45座客车m辆，60座客车n辆，列出二元一次方程，据此计算即可求解． 【小问1详解】 解：设60座和45座的客车每辆每天的租金分别是元、元， 由题意得：， 解得：， 答：60座和45座的客车每辆每天的租金分别是1160元和940元； 【小问2详解】 解：由题意得：， 解得：， 所以七年级共人， 设租用45座客车m辆，60座客车n辆，满足： ， 化简得：， 因为m、n为正整数， 当时，，总租金为； 当时，，总租金为； ∵， ∴租用6辆60座客车和1辆45座客车最合算． 24. 定义：在平面直角坐标系中，把满足关系式的点称为“立信点”． （1）判断：点___（填“是”或“不是”）“立信点”；若点是“立信点”，则__________． （2）已知点、均为“立信点”，且关于x，y的两个方程组与的解相同，求a，b，m，n的值． （3）若点满足关系式（其中k为常数），同时点C到x轴的距离是到y轴距离的2倍．试问：点C能否成为“立信点”？若能，请求出此时点C的坐标及对应的k的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1）不是；9 （2），，，； （3）能，点的坐标为，；点的坐标为，． 【解析】 【分析】（1）根据“立信点”的定义求解即可； （2）根据“立信点”的定义和同解方程的定义得到方程组，据此求解即可； （3）分两种情况讨论即可求解． 【小问1详解】 解：对于点， 代入关系式，右边，左边，左右不相等， ∴不是“立信点”； 若点是“立信点”， ∴，解得； 【小问2详解】 解：由题意得， 解得， ∵点、均为“立信点”， ∴，， 将，代入， 得， 将，代入得， 整理得， 将①代入②得， 解得， 则， ， ； 【小问3详解】 解：已知点满足，且，同时若C是“立信点”，则， 分两种情况讨论： 情况1：， 联立，解得， 点的坐标为， 代入，解得； 情况2：， 联立，解得， 点的坐标为， 代入，解得． 25. 如图1，长方形在平面直角坐标系中，点，，． （1）请直接写出D点的坐标_____． （2）如图1，连接，，交于点E，的平分线和的平分线交于点F． ①当的度数为n，的度数为m时，求的度数（用含m、n的式子表示）． ②请直接写出和之间的数量关系． （3）如图2，若长方形以每秒2个单位的速度向下运动，设运动的时间为t秒．在边上取一点G，使得的面积是面积的2倍，连接，若的面积等于的面积，求t的值． 【答案】（1） （2）①；② （3）或 【解析】 【分析】（1）因为长方形对边平行且相等，点A与D纵坐标相同，点C与D横坐标相同，所以直接根据已知点坐标推导D点坐标； （2）①因为平分，平分，所以先得到两个角平分线分出来的角与m、n的关系；如果过F作x轴平行线，那么可以利用平行线的内错角相等，将转化为两个角的和，进而用m、n表示； ②先根据角的和差关系表示出，再找出与的关系； （3）首先根据运动规则写出运动t秒后B、C、D三点的坐标，因为和同高，面积比等于底与的比，再分别用割补法表示和的面积，根据面积相等列方程求解t． 【小问1详解】 解：∵四边形是长方形， ∴，， 且，，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：过点F作轴， ∵轴， ∴轴， ∴，， 又∵的平分线和的平分线交于点F， 且的度数为n，的度数为m ∴，， ∴， ∴， ∴； ②由图可得，， 且，， ∴， 又∵， ∴． 【小问3详解】 解：连接， ∵的面积是面积的2倍， 且，， ∴， ∴，， ∵长方形以每秒2个单位的速度向下运动，设运动的时间为t秒， ∴，，，， ∴， ， ∵， ∴ ， 整理得 ， 当时，上式 ，解得， 当时，上式 ，解得（舍去）， 当时，上式 ，解得， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了长方形的性质、平面直角坐标系中点的坐标确定、角平分线的定义、三角形外角性质、图形平移的坐标变化规律以及三角形面积计算等知识点，其中结合图形性质理清点坐标、角度与面积之间的数量关系，对应利用相关性质和公式推导计算是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $