精品解析：2026年河南信阳市中招模拟考试试卷数学(备用卷)

2026年河南省中招模拟考试试卷 数 学（备用卷） 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 若的运算结果为正数8，则□内的数字可以是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先根据乘积为正判断两个因数同号，再结合选项特征筛选，最后计算验证即可得到答案. 【详解】解：∵ 有理数乘法中，乘积为正数时，两个因数同号，已知其中一个因数是负数， ∴ 方框内的数一定是负数， 观察选项，只有A选项是负数， 验证计算得：，符合题意. 2. 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ） A. 圆柱 B. 长方体 C. 圆锥 D. 四棱柱 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由几何体的三视图还原几何体，熟知常见几何体的三视图是解题的关键； 由题目给出的三视图可知，这个几何体是圆柱，即得答案. 【详解】解：根据题意可得：这个几何体是圆柱； 故选：A. 3. 通常晶体具有固定的熔点，当晶体达到纳米尺寸时却截然不同．例如：金的熔点为，而直径为的金粉熔点降低到，此特性可应用于粉末冶金工业．已知，则用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是熟记科学记数法的定义：将一个数表示成的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数． 【详解】解：用科学记数法可表示为． 故选：D． 4. 如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．春分日兰州正午太阳光线与水平面的夹角为．若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂直的定义，余角的性质．由题意得，代入数据计算即可求解． 【详解】解：∵集热板与太阳光线垂直， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 5. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．根据一元二次方程的定义和根的判别式求解．首先确保二次项系数不为零，再计算判别式并使其非负． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴二次项系数，即． 令，即， 解得． ∴且 故选：C． 6. 某校七年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳成绩的平均数（单位：个）及方差（单位：个2）如下表所示： 甲 乙 丙 丁 平均数 205 217 208 217 方差 4.6 4.6 6.9 9.6 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是方差和算术平均数，掌握方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，方差越小，数据越稳定是解题的关键．根据平均环数比较成绩的优劣，根据方差比较数据的稳定程度． 结合表中数据，先找出平均数最大的同学；再根据方差的意义，找出方差最小的同学即可． 【详解】解：从平均数的角度分析，乙和丁同学平均成绩最高， 从方差角度分析，乙和甲方差最小，最稳定， ∴选择乙同学参加比赛， 故选：B． 7. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．先解一元一次不等式组，再在数轴上表示即可． 【详解】解：， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的解集在数轴上表示是： 故选：C． 8. 如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，平行线的性质与判定，当时，可证明，由平行线的性质得到，，则可证明，据此可判断A、B；由平行线的性质可得，则，同理可判断C；D中条件结合已给条件不能证明． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故A不符合题意； B、∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故B不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故C不符合题意； D、根据结合已知条件不能证明，故D符合题意； 故选：D． 9. 如图，在矩形中，，是边上的三等分点，连接，相交于点，连接．若，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，求角的正切值，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据矩形的性质，证明，得到，然后过点作，得到，根据相似三角形对应边成比例分别求出的长，进而求出的长，再利用正切的定义求解即可． 【详解】解：∵矩形，，是边上的三等分点，，， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴， 过点作，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故选：B． 10. 如图1，在矩形中，，E是边上的一个动点，，交于点F，设，，图2是点E从点B运动到点C的过程中，y关于x的函数图象，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图象，确定当时，，即有，再证明，即可作答． 【详解】解：根据函数图象有：当时，， 此时：， ∵， ∴， ∴， ∵矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个使分式有意义的的值________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【详解】解：要使分式有意义， 分母， 解得：， 故可取，（答案不唯一）． 12. 勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第5个图形中共有_______个正方形． 【答案】31 【解析】 【分析】本题考查图形类规律探究，观察可知，第一个图形有1个正方形，第2个图形有个正方形，第3个图形有个正方形，依次类推求出第5个图形中小正方形的个数即可． 【详解】解：由图可知：第一个图形有1个正方形， 第2个图形有个正方形， 第3个图形有个正方形， ∴第5个图形中共有个正方形， 故答案为：31． 13. 如图是创新小组设计的一款小程序的界面示意图，程序规则为：每点击一次按钮，“”就从一个格子向左或向右随机移动到相邻的一个格子．当“”位于格子A时，小明连续点击两次按钮，“”回到格子A的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了画树状图或列表法求概率；根据题意画出树状图，求出所有可能的结果数及事件发生的可能结果数，利用概率公式即可求解． 【详解】解：画出树状图如下： 由图知，所有可能的结果数为4，其中回到回到格子A的可能结果数为2， 则回到格子A的概率为； 故答案为：． 14. “苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，共设有28个回转式太空舱全景轿厢，其示意图如图所示．该摩天轮高（即最高点离水面平台的距离），圆心O到的距离为，摩天轮匀速旋转一圈用时．某轿厢从点A出发，后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径（即）长度为________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了弧长计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．先求出摩天轮半径，再求出，最后根据弧长公式求出结果即可． 【详解】解：∵最高点离水面平台的距离为，圆心O到的距离为， ∴摩天轮的半径为， ∵摩天轮匀速旋转一圈用时，轿厢从点A出发，后到达点B， ∴， ∴该轿厢所经过的路径长度为： ． 故答案为：． 15. 矩形中，，将边绕点A逆时针旋转得到线段，过点E作交直线于点F（旋转角为α，），当点F、E、D三点共线时，线段的长为_____． 【答案】1或9 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理等知识，分为：当点E在上时，连接，可证得，从而，设，则，可求得，在中列出，进而求得的值；当点E在的延长线上时，同样方法求得结果． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ 当点E在上时，连接，如图， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 由旋转得：， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴， 如图， 当点E在的延长线上时， 同理上可得：，， 设，则，， ∴， ∴， ∴， 综上所述：或9． 故答案为：1或9 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）先计算零次幂，乘方，绝对值，负整数指数幂，代入特殊角的三角函数值，再合并即可； （2）先计算分式的除法运算，再把代入计算即可. 【小问1详解】 解： . 【小问2详解】 解： . 当时，原式. 17. 双减政策下，中学中午配餐服务的主要目的是为了解决学生在校期间的午餐和午休问题，确保学生的饮食安全和营养均衡，同时减轻家长的经济负担．中午配餐的质量备受家长们的关注，甲、乙两中学为了解学生对中午配餐的满意度，随机抽查了各名学生进行问卷调查．综合评分记为，将所得数据分为组（“很满意”：；“满意”：；“比较满意”：；“不太满意”：；“不满意”：），区教委对数据进行分析后，得到如下部分信息： ．甲中学午餐学生打分情况．乙中学午餐学生打分情况 ．甲、乙两中学午餐学生满意度得分的平均数、中位数、众数如表： 学校 平均数 中位数 众数 甲 乙 ．乙中学“满意”组的分数从高到低排列，排在最后的个数分别是： ，，，，，，，，，． ．甲、乙两中学“满意”组的人数一样多． 请你根据以上信息，回答下列问题： （1）直接写出和的值； （2）根据以上数据，你认为哪所中学的午餐更好？并说明理由（一条即可）； （3）午餐学生满意度综合得分在分及以上才算合格，请你估计甲中学名学生中认为该校午餐合格的人数． 【答案】（1），； （2）乙中学的午餐更好，理由见解析（答案不唯一）； （3）估计甲中学名学生中认为该校午餐合格的人数为人． 【解析】 【分析】（）甲、乙两中学“满意”组的人数一样多，求出“满意”组所占的百分比，然后利用即可得到的值，再根据中位数定义，即可得到的值； （）根据甲中学和乙中学满意度得分的平均数进行比较即可； （）通过样本估计总体即可求解． 【小问1详解】 解：∵甲、乙两中学“满意”组的人数一样多， ∴甲中学“满意”组的人数为人，所占的百分比为， ∴甲中学“很满意”组的人数 （人）， 将乙中学的满意度得分从高到低排列后，处在中间位置的两个数为和，因此中位数； 【小问2详解】 解：乙中学的午餐更好，理由如下： 因为乙中学午餐学生满意度得分的平均数比甲中学的高，所以乙中学的午餐更好．(答案不唯一) 【小问3详解】 解： （人）， 答：估计甲中学名学生中认为该校午餐合格的人数为人． 18. 在平面直角坐标系中，反比例函数的图象过点． （1）求k的值； （2）一次函数的图象过，与的图象交于两点，两函数图象交点之间的部分组成的封闭图形称作图象“”，该图象内横纵坐标均为整数的点称为“区域点”（不含边界）； ①当一次函数图象过时，存在______个“区域点”； ②如果“区域点”的个数为3个，画出示意图，直接写出a的取值范围． 【答案】（1） （2）①2个；②见解析， 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题等知识点， （1）把代入中可得k的值； （2）①将代入可得：直线解析式为，画图可得结论；②画图计算边界时a的值，即可得解； 熟练掌握整点的定义，并利用数形结合的思想是解决此题的关键． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象过点， ∴； ∴k的值为1； 【小问2详解】 解：①一次函数的图象过，， ∴，解得， ∴直线l的解析式为， 画出图形，如图所示， 区域G内的整点有和共两个； 故存在2个“G区域点”； 故答案为：2； ②如图，直线l：过时，， 解得， 直线l：过时，， 解得， 观察图象可知：“G区域点”的个数为3个时，a的取值范围是． 19. 已知是的高，是的外接圆． （1）请你在图1中用无刻度的直尺和圆规，作的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）； （2）如图2，若的半径为，求证：； （3）如图3，延长交于点，过点的切线交的延长线于点．若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了作三角形的外接圆，相似三角形的性质与判定，切线的性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）分别作的垂直平分线交于点，以为半径作圆，即可求解． （2）作的直径，连接，证明，根据相似三角形的性质，即可求解； （3）连接，根据为的切线，得出，进而证明是等边三角形，得出，在，中分别求得，根据（2）的结论求得，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示， 【小问2详解】 解：如图2，作的直径，连接， ∴，， ∵是的高， ∴． ∵， ∴． ∴，即， ∴． 【小问3详解】 如图3，连接， ∵为的切线， ∴． ∵，， ∴， ∴，． ∵， ∴是等边三角形，， ∴，， ∴． 在中，，，， ∴，， 在中，， 在中，， 代入，得， 即． 20. 信阳毛尖是中国十大名茶之一：春茶鲜嫩，清香高雅，适合喜欢口感清爽的人；秋茶叶老深沉，沉香味较重，适合喜欢浓重口感的人．用元从信阳某茶园购进的春茶与用元购进的秋茶的斤数相同，春茶每斤进价比秋茶进价多元． （1）求春茶，秋茶每斤的进价各是多少元？ （2）某茶叶商店计划用不超过元的总费用购进春茶和秋茶共斤进行销售，每斤春茶售价为元，秋茶每斤售价为元． 问：①怎样进货才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是多少元？ ②按①中的方案购进茶叶，并全部销售完后的利润率是多少？ 【答案】（1）春茶每斤的进价为元，秋茶每斤的进价为元 （2）①购进春茶斤，购进秋茶斤，销售完后利润最大，最大利润是元；② 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，有理数的计算，熟练根据题意正确列出式子是解题的关键． （1）设秋茶每斤的进价为元，由“春茶每斤进价比秋茶进价多元”得春茶每斤的进价为元，再根据“用元从信阳某茶园购进的春茶与用元购进的秋茶的斤数相同”列式求解即可； （2）①设购进春茶斤，销售完后利润为元， 得出购进秋茶斤，利用“用不超过元的总费用购进春茶和秋茶共斤进行销售”列不等式求出的取值范围，再列式求出关于的一次函数，利用一次函数的性质即可求出最值，即可求解；②利用 利润率进行计算即可． 【小问1详解】 解：设秋茶每斤的进价为元，则春茶每斤的进价为元， 根据题意，得， 解得：， 经检验，是方程的解，且符合题意， （元）. 答：春茶每斤的进价为元，秋茶每斤的进价为元； 【小问2详解】 解：①设购进春茶斤，销售完后利润为元， 则购进秋茶斤， 由题意，得， 解得：， ∴， 由题意，得， ∵， ∴ 当时，（元）， ， 即购进春茶斤，购进秋茶斤，销售完后利润最大，最大利润是元； ②全部销售完后的利润率， 即全部销售完后的利润率是． 21. 小明同学计划测量小河对面一幢大楼的高度．测量方案如图所示：先从自家的阳台点C处测得大楼顶部点B的仰角的度数，大楼底部点A的俯角的度数．然后在点C正下方点D处，测得大楼顶部点B的仰角的度数．若，，，，求大楼的高度．（精确到）．参考数据：，，；，，） 【答案】大楼的高度约为． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，等腰直角三角形的性质，矩形的性质等知识，过作于，过作于，则四边形是矩形，根据矩形的性质得到，根据等腰直角三角形的性质得到，设，解直角三角形即可得到结论，正确地添加辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于，过作于，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 设， 在中，， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：大楼的高度约为． 22. 我们约定：当满足，且时，称点与点为一对“对偶点”．若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”．请你根据该约定，解答下列问题： （1）请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）： ①函数（k是非零常数）的图象上存在无数对“对偶点”；（ ） ②函数一定不是“对偶函数”；（ ） ③函数的图象上至少存在两对“对偶点”．（ ） （2）若关于x的一次函数与（都是常数，且）均是“对偶函数”，求这两个函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形的面积之和； （3）若关于x的二次函数是“对偶函数”，求实数a的取值范围． 【答案】（1）①（√）；②（√）；③（×） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题目中给出的“对偶点”， “对偶函数”的定义结合反比例函数，一次函数，二次函数的性质进行分析得出结果； （2）由题意可得，，得出从而求出，，得出两个一次函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形是有公共直角顶点的分别位于二、四象限的两个等腰直角三角形，画出图形得出结果； （3）由题意可得，且时，有，整理得到，利用关于的一元二次方程必有实数根，分别根据判别式等于零和大于零求解即可． 【小问1详解】 解：，且，， ，， ，， ①函数（k是非零常数）的图象上，， 满足，，故①正确； ②由题意可得，， 则点与点且是一对“对偶点”， 函数的图像如下图： 函数中不存在“对偶点”，一定不是“对偶函数”，故②正确； 函数的图象如下图， 由题意可得，，则 ∴“对偶点”在反比例函数图象上， ∴函数的图象上存在一对“对偶点”， 至少存在两对“对偶点”说法错误，故③错误； 故答案为：①（√）；②（√）；③（×） 【小问2详解】 由题意可得，，点与点且是一对 “对偶点”，由于是“对偶函数”，则其图象上必存在一对“对偶点”． 从而有，两式相减可得，同理可得． 两个一次函数为，，由于，都是常数，且， 两个一次函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形是有公共直角顶点的分别位于二、四象限的两个等腰直角三角形，如下图所示 求得其面积之和； 【小问3详解】 由题意可得，且时，有， 以上两式相减可得， 从而将， 代入①整理可得， 此关于的一元二次方程必有实数根， 由于时，（不符合题意）． 从而必有，解得． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一次函数，反比例函数，二次函数的图形与性质，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握相关性质定理为解题关键． 23. 综合与实践 小唯根据学习轴对称的经验，利用矩形纸片折叠对线段之间的关系进行拓展探究． 第一步：在矩形中，E是边的中点，将沿折叠，得到，延长交射线于点F． 【观察发现】 （1）如图①，连接，则的度数为___________； 【拓展探究】 第二步：如图②，更换另一张矩形纸片，E仍然是中点，将沿折叠，此时点落在矩形的外部． （2）求线段，，之间的数量关系； 【拓展应用】 第三步：在探究过程中，小唯画出了延长交直线于点G的图形，当时，测得． （3）请直接写出的长． 【答案】（1）90；（2）；（3）4或2 【解析】 【分析】（1）首先得到，，然后结合折叠的性质得到，，证明出，得到，进而求解即可； （2）如解图①，连接，证明出，得到，，求出，然后证明出，得到，然后等量代换求解即可； （3）根据题意分两种情况讨论：①当点落在矩形内部时，②当点落在矩形外部时，然后分别求出，证明出，即可求出． 【详解】解：（1）∵E是边的中点， ∴． ∵四边形是矩形， ∴． 由折叠得，，， ∴， 又∵ ∴ ； （2）如解图①，连接， ∵E是边的中点， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质得，，， ∴，， ∴，都是直角三角形， 在和中， ， 又∵， ∴． ∴， ∴ ； （3）分两种情况讨论：①当点落在矩形内部时，如解图②，连接， 设， ∴． 由（1）得，则 在中，，， ∴ 解得，即． ∵E为的中点， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴； ②当点落在矩形外部时，如解图③，连接， 由（2）知， 设，则， 解得（负值已舍去）， ∴． 同理可得， 综上所述，的长为4或2． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，折叠的性质，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年河南省中招模拟考试试卷 数 学（备用卷） 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 若的运算结果为正数8，则□内的数字可以是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 2. 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ） A. 圆柱 B. 长方体 C. 圆锥 D. 四棱柱 3. 通常晶体具有固定的熔点，当晶体达到纳米尺寸时却截然不同．例如：金的熔点为，而直径为的金粉熔点降低到，此特性可应用于粉末冶金工业．已知，则用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．春分日兰州正午太阳光线与水平面的夹角为．若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角度数是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 6. 某校七年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳成绩的平均数（单位：个）及方差（单位：个2）如下表所示： 甲 乙 丙 丁 平均数 205 217 208 217 方差 4.6 4.6 6.9 9.6 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 7. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，，是边上的三等分点，连接，相交于点，连接．若，，则的值是（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在矩形中，，E是边上的一个动点，，交于点F，设，，图2是点E从点B运动到点C的过程中，y关于x的函数图象，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个使分式有意义的的值________． 12. 勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第5个图形中共有_______个正方形． 13. 如图是创新小组设计的一款小程序的界面示意图，程序规则为：每点击一次按钮，“”就从一个格子向左或向右随机移动到相邻的一个格子．当“”位于格子A时，小明连续点击两次按钮，“”回到格子A的概率是________． 14. “苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，共设有28个回转式太空舱全景轿厢，其示意图如图所示．该摩天轮高（即最高点离水面平台的距离），圆心O到的距离为，摩天轮匀速旋转一圈用时．某轿厢从点A出发，后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径（即）长度为________．（结果保留） 15. 矩形中，，将边绕点A逆时针旋转得到线段，过点E作交直线于点F（旋转角为α，），当点F、E、D三点共线时，线段的长为_____． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 17. 双减政策下，中学中午配餐服务的主要目的是为了解决学生在校期间的午餐和午休问题，确保学生的饮食安全和营养均衡，同时减轻家长的经济负担．中午配餐的质量备受家长们的关注，甲、乙两中学为了解学生对中午配餐的满意度，随机抽查了各名学生进行问卷调查．综合评分记为，将所得数据分为组（“很满意”：；“满意”：；“比较满意”：；“不太满意”：；“不满意”：），区教委对数据进行分析后，得到如下部分信息： ．甲中学午餐学生打分情况．乙中学午餐学生打分情况 ．甲、乙两中学午餐学生满意度得分的平均数、中位数、众数如表： 学校 平均数 中位数 众数 甲 乙 ．乙中学“满意”组的分数从高到低排列，排在最后的个数分别是： ，，，，，，，，，． ．甲、乙两中学“满意”组的人数一样多． 请你根据以上信息，回答下列问题： （1）直接写出和的值； （2）根据以上数据，你认为哪所中学的午餐更好？并说明理由（一条即可）； （3）午餐学生满意度综合得分在分及以上才算合格，请你估计甲中学名学生中认为该校午餐合格的人数． 18. 在平面直角坐标系中，反比例函数的图象过点． （1）求k的值； （2）一次函数的图象过，与的图象交于两点，两函数图象交点之间的部分组成的封闭图形称作图象“”，该图象内横纵坐标均为整数的点称为“区域点”（不含边界）； ①当一次函数图象过时，存在______个“区域点”； ②如果“区域点”的个数为3个，画出示意图，直接写出a的取值范围． 19. 已知是的高，是的外接圆． （1）请你在图1中用无刻度的直尺和圆规，作的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）； （2）如图2，若的半径为，求证：； （3）如图3，延长交于点，过点的切线交的延长线于点．若，，，求的长． 20. 信阳毛尖是中国十大名茶之一：春茶鲜嫩，清香高雅，适合喜欢口感清爽的人；秋茶叶老深沉，沉香味较重，适合喜欢浓重口感的人．用元从信阳某茶园购进的春茶与用元购进的秋茶的斤数相同，春茶每斤进价比秋茶进价多元． （1）求春茶，秋茶每斤的进价各是多少元？ （2）某茶叶商店计划用不超过元的总费用购进春茶和秋茶共斤进行销售，每斤春茶售价为元，秋茶每斤售价为元． 问：①怎样进货才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是多少元？ ②按①中的方案购进茶叶，并全部销售完后的利润率是多少？ 21. 小明同学计划测量小河对面一幢大楼的高度．测量方案如图所示：先从自家的阳台点C处测得大楼顶部点B的仰角的度数，大楼底部点A的俯角的度数．然后在点C正下方点D处，测得大楼顶部点B的仰角的度数．若，，，，求大楼的高度．（精确到）．参考数据：，，；，，） 22. 我们约定：当满足，且时，称点与点为一对“对偶点”．若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”．请你根据该约定，解答下列问题： （1）请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）： ①函数（k是非零常数）的图象上存在无数对“对偶点”；（ ） ②函数一定不是“对偶函数”；（ ） ③函数的图象上至少存在两对“对偶点”．（ ） （2）若关于x的一次函数与（都是常数，且）均是“对偶函数”，求这两个函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形的面积之和； （3）若关于x的二次函数是“对偶函数”，求实数a的取值范围． 23. 综合与实践 小唯根据学习轴对称的经验，利用矩形纸片折叠对线段之间的关系进行拓展探究． 第一步：在矩形中，E是边的中点，将沿折叠，得到，延长交射线于点F． 【观察发现】 （1）如图①，连接，则的度数为___________； 【拓展探究】 第二步：如图②，更换另一张矩形纸片，E仍然是中点，将沿折叠，此时点落在矩形的外部． （2）求线段，，之间的数量关系； 【拓展应用】 第三步：在探究过程中，小唯画出了延长交直线于点G的图形，当时，测得． （3）请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $