精品解析：广东汕头金中海湾学校2026届高三第二学期校模数学试卷

2023级高三第二学期校模 数学科 试卷 命题人：杨锴淳 黄玲子 审题人：陈晓洁 一、单选题 1. 设集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由分式不等式求解，及指数函数的值域，确定集合，再由交集运算即可求解. 【详解】由题意， ， 故选：C 2. 设复数（为虚数单位），的共轭复数是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用共轭复数的意义及复数除法求解. 【详解】由，得， 所以. 故选：C 3. 已知锐角，满足，，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用两角和的余弦公式得，再由基本不等式求得的最小值. 【详解】由题意得， 故. 于是，当且仅当时取等号， 故选：A.. 4. 在数列中，，若数列是公比为2的等比数列，则（ ）． A. 2048 B. 2047 C. 1024 D. 1023 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列定义得数列的奇数项是以1为首项，2为公比的等比数列，再应用等比数列前n项和公式求解即可． 【详解】数列是公比为2的等比数列，则有，所以， 因此数列的奇数项是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以. 故选：D 5. 在如图的平面图形中，已知,则的值为 A. B. C. D. 0 【答案】C 【解析】 【详解】分析：连结MN，结合几何性质和平面向量的运算法则整理计算即可求得最终结果. 详解：如图所示，连结MN， 由 可知点分别为线段上靠近点的三等分点， 则， 由题意可知： ，， 结合数量积的运算法则可得： . 本题选择C选项. 点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 6. 我省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展．某校高一新生中的五名同学打算参加“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、“篮球之家”、“围棋苑”四个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将 人按分组，分甲单独一组、甲和他人一组两类，分别用组合排列算出对应方法数，结合甲不参加围棋苑的限制排除不合情况，两类相加得到总方法数为. 【详解】五名同学参加四个社团，每个社团至少一人，必为分组，分两类讨论： ①甲单独一组：从其余人中选人成组，有种. 甲不参加围棋苑，有种选择，剩余组全排列. 方法数为. ②甲与另一人成组：选同伴有种，四组分到四社团，排除甲组去围棋苑. 方法数为. 总计方法数为. 7. 已知函数，设甲：是偶函数，乙：是奇函数，则（ ） A. 甲是乙的必要不充分条件 B. 甲是乙的充分不必要条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲是乙的既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性求出的取值，再根据充分、必要条件求解即可. 【详解】由是偶函数得，， 得， 由是奇函数得，， 得， 若甲条件成立，取甲条件中，得， 代入乙条件验证，所以不是整数，不满足乙，即甲推不出乙； 若乙条件成立，，代入甲条件得， 所以满足时，乙可以推出甲； 所以甲是乙的必要不充分条件. 8. 过双曲线：（）的右焦点作渐近线的垂线，垂足为，若点关于点的对称点恰好落在双曲线上，则双曲线的渐近线的方程为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先将直线和其中一条渐近线方程联立，求出点的坐标，再根据中点坐标公式求出对称点的坐标，最后由于对称点恰好落在双曲线上，将的坐标代入双曲线的方程即可求解. 【详解】如图所示，令双曲线的右焦点为，， 由对称性，不妨设过右焦点作渐近线的垂线，垂足为， 则直线的方程为，由，解得， 即点，由为线段的中点，得， 由点在双曲线上，得，即， 解得，因此，即， 所以双曲线的渐近线为，A正确. 二、多选题 9. 下列命题中，真命题的是（ ） A. 一个样本的平均数为3，若添加一个新数据3组成一个新样本，则新样本的平均数不变，方差变小 B. 数据组成一个样本，其回归直线方程为，其中，去除一个异常点后，得到新的回归直线必过点 C. 若随机变量服从正态分布，，则 D. 数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23； 【答案】BD 【解析】 【分析】选项A：利用平均数公式计算新样本平均数，再利用方差公式分析方差变化；选项B：结合回归直线必过样本中心点，先计算原样本的中心点，再去除异常点后计算新的样本中心点，验证是否为给定的点；选项C：结合正态分布关于均值对称，利用对称性求出和，再计算；选项D：将数据排序，再根据百分位数的计算规则确定位置，进而找到对应数值. 【详解】选项A，设原样本有个数据，原平均数，总和为； 添加数据后，新总和为，新平均数，平均数不变. 当原方差为0时，每个数据为3，由新增数据也为3， 可知新方差； 当原方差不为0时，原方差， 新方差，方差变小，错误. 选项B，原回归直线必过原样本中心点，代入， 得原. 原10个点总，总；去掉异常点后， 新样本中心点：，，即新中心点为， 回归直线必过样本中心点，正确. 选项C，，正态曲线对称轴为，， 则，由对称性得， 因此： ，错误. 选项D，将数据从小到大排序：，共个数据， 计算，不是整数，根据百分位数计算规则， 向上取整得第个数据为第70百分位数，第6个数据，正确. 10. 如图，已知圆台的轴截面为四边形EFGH，FG=4，EH=2，EF=3，沿着该圆台侧面从E到G的路径的长度为a.在该圆台内有一个棱长为b的正方体，且该正方体在圆台内能任意转动，则（ ） A. 圆台的高为 B. 圆台的体积为 C. a的最小值为 D. b的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据高与上下底面半径以及母线的几何关系可判断A；根据圆台的体积公式可判断B；根据侧面展开图结合弦长公式以及余弦定理可判断C；根据正方体的外接球直径不大于圆台的内切球直径可判断D . 【详解】已知圆台的轴截面是等腰梯形，下底底半径，上底上底半径，母线长， 圆台的高，A错误； 圆台的体积，B正确； 将圆台补成圆锥，由相似比得小圆锥母线长，大圆锥母线长， 侧面展开圆心角。 设圆锥顶点为，展开后，，， 由余弦定理： 得， 故，C正确； 正方体能任意转动等价于：正方体的外接球完全容纳在圆台内，且圆台恰好有内切球（满足母线长）， 内切球半径， 正方体外接球直径等于体对角线：，解得， 故最大值为，D正确. 11. 已知，若分别是方程和的根，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过验证函数对称性，可得到图象关于对称，作出、与的图象，设，，结合图象，通过说明可得的范围，知A正确；由对称性可确定，代入整理可得B错误；根据、可得的范围，结合可知C正确；利用基本不等式，根据取等条件不成立可知D正确. 【详解】，， 的图象是由的图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到， 在上单调递减； 设点是上的一点，则，， ，即也是上的点，图象关于直线对称， 由得：， 又与图象关于对称， 则可作出，与图象如下图所示， 对于A，当时，， 设，则， ，，， ，即，，即； 与的交点横坐标落在区间中，即， ，A正确； 对于B，分别是方程和的根，设， 与图象的交点为，与图象的交点为， 又图象关于直线对称，与关于直线对称， 或，整理可得：，，B错误； 对于C，当时，，，则； 当时，，，由A知：，； 与图象交点的横坐标落在区间中，即， 又，，C正确； 对于D，是方程的根，则， （当且仅当，即时取等号）， 由C知：，等号不成立，即，D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题考查与方程的根有关的取值范围问题的求解，本题求解的关键是能够说明图象关于对称，进而确定其与的交点也关于对称，利用对称关系可得满足的关系式. 三、填空题 12. 已知，则曲线在点处的切线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】求出导函数，根据导数的几何意义求解切线斜率，进而利用点斜式直线方程求解即可. 【详解】由题意，则，， 所以所求切线方程为，即. 13. 在政府发布的光伏发电补贴政策的引导下，西北某地光伏发电装机量急剧上升，现对2016年至2023年的新增光伏装机量进行调查，根据散点图选择了两个模型进行拟合，并得到相应的经验回归方程．为判断模型的拟合效果，甲、乙、丙三位同学进行了如下分析： （1）甲同学通过计算残差作出了两个模型的残差图，如图所示； （2）乙同学求出模型①的残差平方和为0.4175、模型②的残差平方和为1.5625； （3）丙同学分别求出模型①的决定系数、模型②的决定系数为； 经检验，模型①拟合效果最佳，则甲、乙、丙三位同学中，运算结果肯定出错的同学是________．（填“甲”或“乙”或“丙”） 【答案】丙 【解析】 【分析】应用残差图，残差平方和，决定系数的性质判定即可. 【详解】甲的残差图中，模型①的残差点更均匀地分布在以横轴为对称轴的水平带状区域内，且水平带状区域更窄，说明模型①拟合效果更好； 残差平方和越大，即决定系数越小，说明数据点越离散， 所以乙的计算结果显示模型①的拟合效果更好，而丙的计算结果显示模型②的拟合效果更好． 故答案为：丙. 14. 甲、乙、丙三人相互做传球训练，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人．若第一次由甲传出，共传5次结束，记表示5次传球过程中，甲接到球的总次数，则X的数学期望________． 【答案】## 【解析】 【分析】记第次传球后球在甲手中的概率为，则不在甲手中的概率为，所以第次传球后球在甲手中，当且仅当第次传球后球不在甲手中，且传球者将球传给甲，所以，根据题意可求出，因为每一次传球后球在甲手中的次数都服从两点分布，根据期望的线性性质可求得. 【详解】记第次传球后球在甲手中的概率为，则不在甲手中的概率为，所以第次传球后球在甲手中，当且仅当第次传球后球不在甲手中，且传球者将球传给甲，所以， 根据题意第一次由甲传出，所以第一次传球后球肯定不在甲手中，所以， 又共传5次结束， 所以. 记为示性变量，当第次传球后球在甲手中时，否则，即每次传球后球在甲手中的次数服从两点分布， 所以， 所以 . 故答案为：. 四、解答题 15. 已知中，内角，，的对边分别为，，，且. （1）求； （2）若的角平分线与交于点，且，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用同角三角函数平方关系化简三角等式，得到，再由正弦定理把角的关系转化为边的关系式，接着代入余弦定理求出，结合角的范围即可求得角的值为. （2）由角平分线得两角均为，利用三角形面积拆分相等建立等式，化简推出，再将乘上定值式子展开，用基本不等式放缩求出最小值并验证等号成立条件. 【小问1详解】 ； 根据正弦定理化简得：，再由余弦定理， 代入上式得：，因为，所以. 【小问2详解】 因为的角平分线与交于点， 所以，因为， 所以， 得，故； 所以， 当且仅当，即，时，等号成立； 故的最小值为. 16. 已知函数 （1）设，分别讨论函数与在上的单调性； （2）证明：当时，. 【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减. （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数计算即可； （2）分，两种情况，利用结合函数单调性计算即可证明. 【小问1详解】 由题意得， 令，得；令，得. 所以在上单调递增，在上单调递减. 由，得， 令，得；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 因为，所以， ①当时，，由（1）知在上单调递增， 所以，因为，所以 ， 所以； ②当时，令， 则，， 由（1）知在上单调递增， 所以，所以， 所以在上单调递减，所以 ， 即当时，. 综上，当时，. 17. 如图三棱锥中，，平面平面，平面平面. （1）证明：平面； （2）若二面角的正切值为2，求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2）2 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，由面面垂直得到线面垂直，线线垂直，证明出线面垂直； （2）作出辅助线，得到二面角的平面角，根据正切值得到各边长，求出三棱锥的体积. 【小问1详解】 证明：在内任取一点P，过点P作于， 因为平面平面，平面平面，所以平面， 又平面，所以. 过作于，同理可得， 又平面，平面，， 所以平面. 【小问2详解】 过点作于，由平面平面， 平面平面知平面. 又平面，所以 再过点作于，连接， 因为 ， 平面， 则平面， 所以即为二面角的平面角. 所以， 又，故为等边三角形， 所以，， 故， 又中，，所以，故， 所以，又为等边三角形，故， 所以三棱锥的体积. 18. 有个编号分别为的盒子，第1个盒子中有3个红球2个蓝球，其余盒子中均为2个红球1个蓝球.现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推.在以上取球过程中，记从第个盒子中取出蓝球的概率为. （1）求； （2）求； （3）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用全概率公式，分从第1个盒子取出红球/蓝球两种情况，计算得到； （2）通过全概率公式建立递推关系，构造等比数列，从而求出； （3）将拆分为两部分，分别用错位相减法和等差数列求和，合并得到前项和. 【小问1详解】 记事件表示从第个盒子里取出蓝球，则 ， 所以. 【小问2详解】 由（1）知， 所以. 因为，所以， 所以是首项为，公比为的等比数列. 所以，即. 【小问3详解】 由（2）得. 设的前项和分别是， ， ， 以上两式相减，得 , 所以. ， 所以， 即数列的前项和为. 19. 已知圆心在坐标原点的圆O与直线相切. （1）求圆O的方程. （2）设点A是圆O与x轴正半轴的交点，点B是圆O与y轴正半轴的交点，点P，Q分别是圆O上在第二象限、第一象限的动点，点是点Q关于y轴的对称点.将圆O的左半部分沿着y轴翻折，使得点分别到达点的位置，记二面角的大小为θ，且.以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.将线段在平面上的正投影的中点记为点M. （i）证明：点M的轨迹为椭圆的一部分. （ii）若求（i）中椭圆离心率的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）易得圆的半径为点到直线的距离，即可求解； （2）（i）设,的坐标为,则，在平面的正投影的坐标分别为，，故的坐标为，所以，由题意知，故 ，化简即可证明. （ii）由题意得，结合正弦函数的图象即可求解. 【小问1详解】 由题意知圆的半径即为点到直线的距离，即 ， 可得圆的方程为. 【小问2详解】 （i）如图，作出符合题意的图形， 设,的坐标为, 则在平面的正投影的坐标为， 得到在平面的正投影的坐标为， 线段在平面上的正投影的中点的坐标为， 所以，即， 由题意知,故 ， 化简得. 所以点M的轨迹为椭圆的一部分. （ii）由题意得， 因为，所以，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023级高三第二学期校模 数学科 试卷 命题人：杨锴淳 黄玲子 审题人：陈晓洁 一、单选题 1. 设集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设复数（为虚数单位），的共轭复数是，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知锐角，满足，，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 4. 在数列中，，若数列是公比为2的等比数列，则（ ）． A. 2048 B. 2047 C. 1024 D. 1023 5. 在如图的平面图形中，已知,则的值为 A. B. C. D. 0 6. 我省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展．某校高一新生中的五名同学打算参加“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、“篮球之家”、“围棋苑”四个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，设甲：是偶函数，乙：是奇函数，则（ ） A. 甲是乙的必要不充分条件 B. 甲是乙的充分不必要条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲是乙的既不充分也不必要条件 8. 过双曲线：（）的右焦点作渐近线的垂线，垂足为，若点关于点的对称点恰好落在双曲线上，则双曲线的渐近线的方程为（    ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列命题中，真命题的是（ ） A. 一个样本的平均数为3，若添加一个新数据3组成一个新样本，则新样本的平均数不变，方差变小 B. 数据组成一个样本，其回归直线方程为，其中，去除一个异常点后，得到新的回归直线必过点 C. 若随机变量服从正态分布，，则 D. 数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23； 10. 如图，已知圆台的轴截面为四边形EFGH，FG=4，EH=2，EF=3，沿着该圆台侧面从E到G的路径的长度为a.在该圆台内有一个棱长为b的正方体，且该正方体在圆台内能任意转动，则（ ） A. 圆台的高为 B. 圆台的体积为 C. a的最小值为 D. b的最大值为 11. 已知，若分别是方程和的根，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题 12. 已知，则曲线在点处的切线方程为______． 13. 在政府发布的光伏发电补贴政策的引导下，西北某地光伏发电装机量急剧上升，现对2016年至2023年的新增光伏装机量进行调查，根据散点图选择了两个模型进行拟合，并得到相应的经验回归方程．为判断模型的拟合效果，甲、乙、丙三位同学进行了如下分析： （1）甲同学通过计算残差作出了两个模型的残差图，如图所示； （2）乙同学求出模型①的残差平方和为0.4175、模型②的残差平方和为1.5625； （3）丙同学分别求出模型①的决定系数、模型②的决定系数为； 经检验，模型①拟合效果最佳，则甲、乙、丙三位同学中，运算结果肯定出错的同学是________．（填“甲”或“乙”或“丙”） 14. 甲、乙、丙三人相互做传球训练，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人．若第一次由甲传出，共传5次结束，记表示5次传球过程中，甲接到球的总次数，则X的数学期望________． 四、解答题 15. 已知中，内角，，的对边分别为，，，且. （1）求； （2）若的角平分线与交于点，且，求的最小值. 16. 已知函数 （1）设，分别讨论函数与在上的单调性； （2）证明：当时，. 17. 如图三棱锥中，，平面平面，平面平面. （1）证明：平面； （2）若二面角的正切值为2，求三棱锥的体积. 18. 有个编号分别为的盒子，第1个盒子中有3个红球2个蓝球，其余盒子中均为2个红球1个蓝球.现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推.在以上取球过程中，记从第个盒子中取出蓝球的概率为. （1）求； （2）求； （3）求数列的前项和. 19. 已知圆心在坐标原点的圆O与直线相切. （1）求圆O的方程. （2）设点A是圆O与x轴正半轴的交点，点B是圆O与y轴正半轴的交点，点P，Q分别是圆O上在第二象限、第一象限的动点，点是点Q关于y轴的对称点.将圆O的左半部分沿着y轴翻折，使得点分别到达点的位置，记二面角的大小为θ，且.以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.将线段在平面上的正投影的中点记为点M. （i）证明：点M的轨迹为椭圆的一部分. （ii）若求（i）中椭圆离心率的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $