精品解析：天津市五十中学2025-2026学年八年级下学期数学学科阶段性练习试题

天津市五十中学2025-2026学年八年级下学期数学 学科阶段性练习试题 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列的取值中，可以使有意义的是（ ） A. 13 B. 10 C. 7 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，理解有意义的条件为是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ， 选项中符合条件的数是； 故选：D． 2. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式是被开方数不含分母，被开方数不含开的尽方的因数或因式，可得答案． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、的被开方数含有开的尽的因数4，故不是最简二次根式，不符合题意； C、的被开方数含有分母，故不是最简二次根式，不符合题意； D、=，故不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查最简二次根式，熟知最简二次根式满足的条件是解答的关键． 3. 下列计算正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的加减以及二次根式的除法判断，可得答案. 【详解】解：A、不是同类二次根式不能相加，故A错误; B、，故B错误； C、，故C正确； D、，故D错误； 故选：C. 【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键. 4. 在直角坐标系中，点到原点的距离是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵原点坐标为，点P坐标为， ∴点P到x轴的距离为，点P到y轴的距离为， ∴由勾股定理得，点P到原点的距离． 5. 如图，一棵树在一次强台风中于离地面2米处折断倒下，倒下部分与地面成角，这棵树在折断前的高度为（ ） A. 10米 B. 8米 C. 6米 D. 4米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的边长的性质，牢牢掌握该性质是解答本题的关键．根据含30度角的直角三角形的边长的性质，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意得：，，米， ∴米， ∴这棵大树在折断前的高度为米． 故选：C． 6. 一个多边形的每个内角都等于，则这个多边形的边数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了多边形的内角与外角的关系，先求出这个多边形的每一个外角的度数，然后根据任意多边形外角和等于，用除以外角的度数，即可得到边数，掌握多边形外角和等于是解题的关键． 【详解】解：∵多边形的每个内角都等于， ∴多边形的每个外角都等于， ∴这个多边形的边数为， 故选：． 7. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形 B. 两条对角线相等的四边形是矩形 C. 两条对角线相互平分的四边形是矩形 D. 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理的知识，利用熟知平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法是正确解答此题的关键． 根据菱形的判定判断A；根据矩形的判定定理判断B、C；根据正方形的判定判断D． 【详解】解：A． 两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原命题是真命题，故符合题意； B． 两条对角线相等的平行四边形是矩形，原命题是假命题，故不符合题意； C． 两条对角线相互平分且相等的四边形是矩形，原命题是假命题，不符合题意； D．两条对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，原命题是假命题，故不符合题意； 故选：A． 8. 在菱形中，，分别是，的中点，如果，那么线段的长是（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、三角形中位线的性质，掌握菱形的四条边相等是解题的关键． 先证明是的中位线，再根据三角形中位线的性质求出长，再根据菱形的性质作答即可． 【详解】解：，分别是，的中点， 是的中位线， ． ， ． 四边形是菱形， ． 故选：A． 9. 如图所示，在正方形的外部作等边三角形，连接，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形和等边三角形的性质，等边对等角等知识点，解题的关键是熟练掌握正方形和等边三角形的性质． 利用正方形和等边三角形的性质得出的度数，再利用等边对等角求出的度数，利用角的和差进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形，三角形是等边三角形， ，, 故选：C． 10. 如图，在平行四边形中，、是上两点，，连接、、、，添加一个条件，使四边形是矩形，这个条件是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可知：，，再证明即可证明四边形是平行四边形． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵对角线上的两点、满足， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 11. 如图，在中，，分别以A点，B点为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于E，F，连接交于点D，交于点H．连接，以C为圆心，长为半径作弧，交于G点，若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据直角三角形的性质得出，根据勾股定理求出，求出，设，则，根据勾股定理得出，求出，最后求出结果即可． 【详解】解：连接，如图所示： 根据作图可知，垂直平分， ∴，， ∵为直角三角形， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，尺规作垂直平分线，垂直平分线的性质，直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 12. 如图，点是正方形对角线上一点，过点作交于点，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作与，根据正方形性质得到，，根据角平分线性质得到，利用等腰三角形的性质推出，得到，利用勾股定理求得的长进而得到正方形的边长，利用勾股定理即可得到正方形的对角线． 【详解】解：如下图，过点作与， 四边形是正方形，是正方形的对角线， ，， ， ，， ， ， ， ， 同理， ， ，， ， ， 在中，，， ， ， ， 在中，． 故选：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，角平分线的性质，勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键． 二、填空题（每小题3分，共18分，请考生将答案填写在答题纸上） 13. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是_______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，熟练掌握二次根式中被开方数是非负数，分式分母不为0是解题的关键．根据二次根式和分式有意义的条件求解即可． 【详解】解：由题意，得且， 且， 故答案为：且． 14. 直角三角形两边长为和，则第三边长为__________ 【答案】或 【解析】 【分析】本题未明确已知两边是否均为直角边，需分两种情况讨论，利用勾股定理计算第三边长. 【详解】解：分两种情况讨论： 当边长为和的边都是直角边时， ∴第三边长为：； 当边长为的边为斜边时， ∴第三边长为：， 综上：第三边长为或. 15. 如图，在平行四边形中，，的平分线交于点E，则的长为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的性质结合角平分线平分角，推出，再用求出即可． 【详解】解：∵平行四边形中，， ∴， ∴， ∵的平分线交于点E， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2． 16. 如图，四边形是菱形，，对角线，相交于点，于，连接，则______度． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形对角线相互垂直平分，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半判定，利用直角三角形两锐角互余及等腰三角形等边对等角数形结合求角度即可得到答案． 【详解】解：四边形是菱形，对角线，相交于点， ，且， ， ， ， 在中，，则， 在菱形中，，， ，则， 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形中求角度，涉及菱性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的判定与性质、直角三角形两锐角互余等知识，熟练掌握菱形性质、直角三角形性质，数形结合表示出角度之间的关系是解决问题的关键． 17. 如图，正方形的边长为8，点在上，，为对角线上一动点，则周长的最小值为______． 【答案】12 【解析】 【分析】连接ED交AC于一点F，连接BF，根据正方形的对称性得到此时△BFE的周长最小，利用勾股定理求出DE即可得到答案． 【详解】解：连接交于一点，连接， ∵四边形是正方形， ∴点与点关于对称， ∴， ∴的周长，此时周长最小， ∵正方形的边长为8， ∴，， ∵点在上且， ∴， ∴， ∴的周长 故答案为：12． 【点睛】此题考查正方形的性质：四条边都相等，四个角都是直角以及正方形的对称性质，还考查了勾股定理的计算．依据正方形的对称性，连接DE交AC于点F时△BFE的周长有最小值，这是解题的关键． 18. 如图，正方形的边长为4，点E在边上，，作等腰直角三角形． （1）的长_______． （2）若为的中点，连接，则的长为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）在上取一点，使，连接，延长交延长线于点，证明，求出，，可得等腰直角，为的中位线，求出的长，进而求出的长即可解题． 【详解】解：（1）在正方形的边长为4， ∴，， ∵， ∴， ∵在等腰直角中，， ∴； （2）在上取一点，使，连接，延长交延长线于点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，即点为的中点，且点为的中点， ∴为的中位线， ∴． 三、解答题：本题共7小题，共66分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算， （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 某开发区有一空地，如图所示，现计划在空地上种草皮，经测量，，，，，，求 （1）此四边形空地的面积． （2）若每种植平方米草皮需要元，问总共需要投入多少元？ 【答案】（1）36平方米 （2）3600元 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理： （1）如图，连接，由勾股定理得，，由，可得是直角三角形，且，根据，求面积即可； （2）根据，计算求解即可． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵，，， ∴由勾股定理得，， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）得共需要投入元， 答：共需要投入元． 21. 如图是可调躺椅示意图，与的交点为C，测得． （1）若，求的长； （2）为躺着更加舒服，准备将躺椅高度进行调节，调整后测得，求此时的长度． 【答案】（1）的长为； （2）此时的长为 ． 【解析】 【分析】（1）直接利用勾股定理即可求解； （2）过点作于点，利用勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 解：∵， ， ∴， 答：的长为； 【小问2详解】 解：过点作于点，如图： ∵，，，， ∴， ∴，， ∴ ， 答：此时的长为 ． 22. 如图，正方形中，点为的中点，点为上一点，且，设的长为． （1）用含有的式子表示和； （2）求的大小． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理及其逆定理； （1）由正方形的性质得，，由勾股定理得，，即可求解； （2），连接，由勾股定理得 ，可得，即可求解； 掌握正方形的性质，勾股定理及其逆定理是解题的关键． 【小问1详解】 解：， ， 四边形是正方形， ，， 是的中点， ， ， ， ，； 【小问2详解】 解：如图，连接 四边形是正方形， ， 由（1）得， ， ， 由（1）得：，， ， 是直角三角形， ． 23. 菱形的对角线，相交于点，取中点，连接并延长，使得，连接，． （1）如图1，求证：四边形为矩形； （2）如图2，若，，连接．求：的面积和菱形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）的面积为，菱形的面积为 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定，含度角的直角三角形的性质； （1）根据菱形的性质可得，证明得出，即可得出，，即可证明四边形是平行四边形，进而根据，即可得证； （2）过点作于点，根据含30度角的直角三角形的性质得出，进而根据三角形的面积公式求得的面积，根据（1）的结论可得矩形的面积等于的面积，进而可得菱形的面积，即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， ∵是的中点，则 又∵，， ∴ ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵ ∴四边形为矩形； 【小问2详解】 解：如图所示，过点作于点， ∵四边形是菱形， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 又∵， ∴， ∴菱形的面积， ∴的面积为，菱形的面积为． 24. 如图，已知在中，动点P在边上，以每秒的速度从点A向点D运动． （1）如图 ①， 在运动过程中， 若平分， 且满足， 求的度数； （2）如图 ②，在（1）的条件下，连结并延长与的延长线交于点F，连结，若，求的面积． （3）如图 ③，另一动点Q在边上，以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止运动），若，求当运动时间为多少秒时，以P，D，Q，B四点为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】（1） （2） （3）或或 【解析】 【分析】本题考查四边形综合题、平行四边形的性质、勾股定理，等边三角形的判定和性质、角直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，第二个问题的关键是灵活应用同底等高的两个三角形面积相等，学会用分类讨论的思想思考问题． （1）证明是等边三角形即可； （2）根据平行四边形的性质可得，，从而得到，由此即可解决问题； （3）理解题意，运用分类讨论思想，分四种情形，列出方程，再解方程，即可作答． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ∴ ； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， ， 如图，过点C作于点K， ∴， ∴， ∴， ； 【小问3详解】 解：如图③所示： ， 当时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． ①当时，，， ，解得：（舍）； ②当时，，， ，解得：； ③当时，，， ，解得：； ④当时，，， ，解得：； 或或时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市五十中学2025-2026学年八年级下学期数学 学科阶段性练习试题 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列的取值中，可以使有意义的是（ ） A. 13 B. 10 C. 7 D. 4 2. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是( ) A. B. C. D. 4. 在直角坐标系中，点到原点的距离是（ ） A. B. C. D. 2 5. 如图，一棵树在一次强台风中于离地面2米处折断倒下，倒下部分与地面成角，这棵树在折断前的高度为（ ） A. 10米 B. 8米 C. 6米 D. 4米 6. 一个多边形的每个内角都等于，则这个多边形的边数为（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形 B. 两条对角线相等的四边形是矩形 C. 两条对角线相互平分的四边形是矩形 D. 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 8. 在菱形中，，分别是，的中点，如果，那么线段的长是（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 9. 如图所示，在正方形的外部作等边三角形，连接，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平行四边形中，、是上两点，，连接、、、，添加一个条件，使四边形是矩形，这个条件是( ) A. B. C. D. 11. 如图，在中，，分别以A点，B点为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于E，F，连接交于点D，交于点H．连接，以C为圆心，长为半径作弧，交于G点，若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，点是正方形对角线上一点，过点作交于点，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分，请考生将答案填写在答题纸上） 13. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是_______． 14. 直角三角形两边长为和，则第三边长为__________ 15. 如图，在平行四边形中，，的平分线交于点E，则的长为_______． 16. 如图，四边形是菱形，，对角线，相交于点，于，连接，则______度． 17. 如图，正方形的边长为8，点在上，，为对角线上一动点，则周长的最小值为______． 18. 如图，正方形的边长为4，点E在边上，，作等腰直角三角形． （1）的长_______． （2）若为的中点，连接，则的长为______． 三、解答题：本题共7小题，共66分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算， （1） （2） 20. 某开发区有一空地，如图所示，现计划在空地上种草皮，经测量，，，，，，求 （1）此四边形空地的面积． （2）若每种植平方米草皮需要元，问总共需要投入多少元？ 21. 如图是可调躺椅示意图，与的交点为C，测得． （1）若，求的长； （2）为躺着更加舒服，准备将躺椅高度进行调节，调整后测得，求此时的长度． 22. 如图，正方形中，点为的中点，点为上一点，且，设的长为． （1）用含有的式子表示和； （2）求的大小． 23. 菱形的对角线，相交于点，取中点，连接并延长，使得，连接，． （1）如图1，求证：四边形为矩形； （2）如图2，若，，连接．求：的面积和菱形的面积． 24. 如图，已知在中，动点P在边上，以每秒的速度从点A向点D运动． （1）如图 ①， 在运动过程中， 若平分， 且满足， 求的度数； （2）如图 ②，在（1）的条件下，连结并延长与的延长线交于点F，连结，若，求的面积． （3）如图 ③，另一动点Q在边上，以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止运动），若，求当运动时间为多少秒时，以P，D，Q，B四点为顶点的四边形是平行四边形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $