精品解析：海南东方市西南大学东方实验中学2026届高三第四次综合检测数学试题

西南大学东方实验中学2026届第四次综合检测数学科试题 一、单选题（每题5分） 1. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【详解】，故在复平面内对应的点为， 该点在第一象限. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得集合，然后根据交集的知识求得正确答案. 【详解】集合，所以. 3. 为发展某市旅游业以带动民生经济，某文旅采用线上直播的方式进行景色展示与农产品售卖，已知其在5天内售卖的农产品的数量分别为210，224，202，244，252，则这组数据的第70百分位数为（ ） A. 210 B. 224 C. 234 D. 244 【答案】D 【解析】 【分析】先从小到大排列这组数据，再由百分位数计算方法即可计算求解. 【详解】这组数据从小到大排列为202，210，224，244，252， 因为，故这组数据的第70百分位数为从小到大第四个数，即为244. 故选：D. 4. 若函数在区间上存在一个零点，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数零点的判定定理及一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】当时，，在上没有零点，不符合题意； 当时，为一次函数， 函数在区间上存在零点的充要条件为， 即， 即．解得或． 故选： 5. 在的展开式中，含的项的系数是（ ） A. B. 4 C. D. 16 【答案】D 【解析】 【详解】对于的展开式， 含的项为， 故该项的系数为16. 6. 设点为坐标原点，过双曲线的右焦点作其一条渐近线的垂线，垂足为点，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【详解】如图所示，由双曲线方程可知，， 则其右焦点的坐标为，渐近线方程为， 取其中一条渐近线，过右焦点作渐近线的垂线，垂足为， 则右焦点到该渐近线的距离为，且为直角三角形，， 所以， 因此. 7. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，解得， 原式. 8. 在直三棱柱中，点满足，若经过，，三点的平面将棱柱分为，两部分的体积较小，则与的体积之比为（    ） A. 4∶5 B. 5∶7 C. 10∶17 D. 8∶19 【答案】D 【解析】 【分析】根据，确定点的位置，经过，，三点的平面将三棱柱分为两部分，通过补形确定经过三点的平面，利用棱柱、棱台的体积计算方法，得到，两部分的体积，最终求得比值. 【详解】取的中点，连接，； ，，即点在线段上，. 过点作，分别交，于点，. 平面是过点，，三点的平面. 设，直三棱柱的高为. . ，，； ； 直三棱柱被平面分成，两部分的体积较小）， ，则； . 二、多选题（每题6分） 9. 记为等差数列的前项和，若，，则（ ） A. B. C. D. 当或5时，最大 【答案】AC 【解析】 【分析】由题意列方程组求得，根据等差数列通项公式计算可判断AB；根据等差数列前项和公式计算可判断C；根据等差数列性质可判断D. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 由题意可得，解得， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，因为， 所以数列单调递增， 当时，，当时，，且， 所以当或5时，最小，故D错误. 10. 已知为函数的一个零点，则（ ） A. B. 是的极小值点 C. 方程有3个不同的实数解 D. ，使得成立 【答案】AC 【解析】 【分析】由为函数的一个零点，可判断A；通过分析函数的单调性，可知是函数的极大值点，从而判断B；把方程转化为曲线与直线的交点个数，可判断C；通过数形结合，分析与图象的变化关系，即可判断D. 【详解】对于A，因为为函数的一个零点， 所以，解得，故A正确； 对于B，因为函数的定义域为，， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在和上单调递增，故是函数的极大值点，故B错误； 对于C，如图所示，曲线与直线有个不同的交点，所以方程有个不同的实数解，故C正确； 对于D，如图，当时，， ，， 所以当时，，故D错误. 故选:AC. 11. 如图，在等边三角形ABC中，，点是靠近的三等分点，过的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N，，则下列选项中正确的是（   ） A. B. C. D. 的最小值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理、向量共线的定义、余弦定理、向量的模的计算、基本不等式的性质逐项计算判断即可. 【详解】对于A， ，故A正确； 对于B，由A选项知， 则 ， 在中，利用余弦定理得 ，故B错误； 对于C，因为点三点共线，所以存在实数使得， 因为，由A知， 所以，所以 ，即，故C正确； 对于D，由C可知，结合题意可知， 所以 当且仅当，即时，等号成立， 此时取最小值为，故D正确. 三、填空题（每题5分） 12. 已知向量，，则________. 【答案】 【解析】 【详解】由，，得， 则. 13. 已知数列的前项和为，且，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由条件易判断出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，求出其通项公式，再利用，即可求出的通项公式. 【详解】由题意知，由可得，所以， 因此数列是以为首项，为公比的等比数列，所以. 当且时，， 又不满足上式，所以. 14. 如图，在棱长为2a的正方体中，P，Q分别为的中点，过P，Q，B三点的截面将正方体分为两部分，则这两部分几何体的体积比（小于1）为_________ 【答案】 【解析】 【分析】先作出完整的截面，求出两部分的体积即可. 【详解】由题意可知，延长PQ与的延长线交于点E，与的延长线交于点连接，分别交于点，由此作出完整的截面,易得，则，又，则， 则过点的截面上方的体积， 另一部分体积为，故. 四、解答题 15. 为激发学习数学的兴趣，高二年级举行数学知识竞赛，赛制规定：共进行5轮比赛，每轮比赛每个班可以从、两个题库中任选1题作答，在前两轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，后三轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，题库每题20分，题库每题30分，一班能正确回答、题库每题的概率分别为、，且每轮答题结果互不影响. （1）若一班前两轮选题库，后三轮选题库，求其总分不少于100分的概率； （2）若一班在前两轮比赛中选了题库，而且两轮得分60分，后三轮换成题库，设一班最后的总分为，求的分布､期望及方差. 【答案】（1） （2）分布列见解析，， 【解析】 【分析】（1）由概率的乘法公式与加法公式求解； （2）随机变量的可能取值为，，，，求出相应的概率，即可求出分布列、期望与方差. 【小问1详解】 由条件知，若一班在前两轮得分，后三轮得分，总分为分， 其概率为， 若一班在前两轮得分，后三轮得分或分，总分为或分， 其概率为， 于是一班总分不少于分的概率为 . 【小问2详解】 依题意随机变量的可能取值为，，，， 所以，， ，． 所以的分布列为： 60 80 100 120 所以， . 16. 已知函数在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C、D为图象与x轴的交点，且△ABC为等腰直角三角形. （1）求的解析式 （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简，由为等腰直角三角形得到，解得,又，解得，从而得到. （2）求最高点坐标，求图像零点坐标，求出，,利用平面向量数量积求出即可得解. 【小问1详解】 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为图象的最高点，则的纵坐标为2， 又为等腰直角三角形，则为的纵坐标的2倍，即， 且，解得，则，解得， 则. 【小问2详解】 =2， ， ， 取图像中最靠近原点的最高点，即， 得：，解得，即， ，即，化简得， 可得：， 当时：，解得，即零点， 当时：，解得，即零点， ， ， . 17. 如图，在三棱锥P-ABC中，△ABC是边长为2的正三角形，D为BC的中点，E为AD的中点，且平面PAD⊥底面ABC，PE⊥AD.设PA=t（t>0） （1）求证：PE⊥底面ABC； （2）设O为ABC的重心，.求证：O是三棱锥P-ABC外接球的球心； （3）若平面PCB与平面PCA所成夹角的正弦值的平方等于，求t的值. 【答案】（1）证明过程见详解 （2）证明过程见详解 （3）或 【解析】 【分析】（1）运用面面垂直性质可证； （2）根据平面图形的性质结合勾股定理即可；建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，再运用题目条件求出t值. 【小问1详解】 因为面底面，面底面， 且面,，故底面. 【小问2详解】 因为为的中点，为的中点，且为的重心， 可得，则， 又因为，在中，， 故, 因此是三棱锥外接球的球心. 【小问3详解】 以点为原点，所在方向为轴，过A点且垂直于底面的方向为z轴， 建立如下图的空间直角坐标系，则， 设，则， 故， 设面和面的法向量分别为， 则，令，则 同理求得，故， 则，化简得， 解得或， 当时，，； 同理当时，. 18. 已知函数，其中e为自然对数的底数， （1）当时，求在处的切线； （2）若为实数，，求的最小值； （3）已知，且在单调递增，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）最小值为1 （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解； （2）利用导数确定单调性后可得最小值； （3），.注意，令，求出，分类讨论：时，由的单调性得出（）不可能恒成立，时，证明（）恒成立，从而可得参数范围． 【小问1详解】 ∵，∴， ∴，， ∴切线方程为， 整理得； 【小问2详解】 ∵，令，，则， ∴，∴时，，时，， ∴在单调递减，在单调递增，∴的最小值为，即的最小值为1； 【小问3详解】 当时， ∵，∴， 令，则， 依题意，，，. 若，即时，使得时， 所以即在单调递减，∴时，不合题意， ∴，即，下面证明时符合题意. ∵，，，∴当时， 即在单调递增，∴，， 综上，实数a的取值范围为． 19. 已知，抛物线的准线与交于，两点，且. （1）求抛物线的方程； （2）已知圆心在轴上，半径为的与外切，且与抛物线有且仅有两个公共点. （i）证明：数列为等差数列； （ii）过点作斜率为1的直线，交抛物线于，两点，且，求的值. 【答案】（1） （2）（i）证明：设，则的方程为 因为与抛物线有且仅有两个公共点，则由得： ，即 ，即， 同理当时有， 将两等式相减可得：， 而与外切，则有， 即有，又，则 则，故数列为等差数列. （ii） 【解析】 【分析】（1）根据题意，，，再代入即可求解； （2）（i）设，联立得，结合相切得到即可证明； （ii）由相切得到，进而得到，结合得到，再解方程即可． 【小问1详解】 解：由题知抛物线的准线方程为， 又，所以，， ，则， 所以抛物线的方程为； 【小问2详解】 （i）略 （ii）因为与抛物线有且仅有两个公共点，则由得： 即，由，即， 由数列为等差数列，公差为2，则， 则. 斜率为1的直线，交抛物线于，两点， 由得：，则，，， 所以，则， 由，则或（舍去） 综上，． 【点睛】 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西南大学东方实验中学2026届第四次综合检测数学科试题 一、单选题（每题5分） 1. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 为发展某市旅游业以带动民生经济，某文旅采用线上直播方式进行景色展示与农产品售卖，已知其在5天内售卖的农产品的数量分别为210，224，202，244，252，则这组数据的第70百分位数为（ ） A. 210 B. 224 C. 234 D. 244 4. 若函数在区间上存在一个零点，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 5. 在的展开式中，含的项的系数是（ ） A. B. 4 C. D. 16 6. 设点为坐标原点，过双曲线的右焦点作其一条渐近线的垂线，垂足为点，则（ ） A. B. C. 2 D. 7. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 在直三棱柱中，点满足，若经过，，三点平面将棱柱分为，两部分的体积较小，则与的体积之比为（    ） A. 4∶5 B. 5∶7 C. 10∶17 D. 8∶19 二、多选题（每题6分） 9. 记为等差数列的前项和，若，，则（ ） A. B. C. D. 当或5时，最大 10. 已知为函数的一个零点，则（ ） A. B. 是的极小值点 C. 方程有3个不同的实数解 D. ，使得成立 11. 如图，在等边三角形ABC中，，点是靠近的三等分点，过的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N，，则下列选项中正确的是（   ） A. B. C. D. 最小值是 三、填空题（每题5分） 12. 已知向量，，则________. 13. 已知数列的前项和为，且，，则______． 14. 如图，在棱长为2a的正方体中，P，Q分别为的中点，过P，Q，B三点的截面将正方体分为两部分，则这两部分几何体的体积比（小于1）为_________ 四、解答题 15. 为激发学习数学的兴趣，高二年级举行数学知识竞赛，赛制规定：共进行5轮比赛，每轮比赛每个班可以从、两个题库中任选1题作答，在前两轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，后三轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，题库每题20分，题库每题30分，一班能正确回答、题库每题的概率分别为、，且每轮答题结果互不影响. （1）若一班前两轮选题库，后三轮选题库，求其总分不少于100分的概率； （2）若一班在前两轮比赛中选了题库，而且两轮得分60分，后三轮换成题库，设一班最后的总分为，求的分布､期望及方差. 16. 已知函数在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C、D为图象与x轴的交点，且△ABC为等腰直角三角形. （1）求的解析式 （2）求的值. 17. 如图，在三棱锥P-ABC中，△ABC是边长为2的正三角形，D为BC的中点，E为AD的中点，且平面PAD⊥底面ABC，PE⊥AD.设PA=t（t>0） （1）求证：PE⊥底面ABC； （2）设O为ABC的重心，.求证：O是三棱锥P-ABC外接球的球心； （3）若平面PCB与平面PCA所成夹角正弦值的平方等于，求t的值. 18. 已知函数，其中e为自然对数的底数， （1）当时，求在处切线； （2）若为实数，，求的最小值； （3）已知，且在单调递增，求实数的取值范围. 19. 已知，抛物线的准线与交于，两点，且. （1）求抛物线的方程； （2）已知圆心在轴上，半径为的与外切，且与抛物线有且仅有两个公共点. （i）证明：数列为等差数列； （ii）过点作斜率为1的直线，交抛物线于，两点，且，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $