2026年广东省深圳市北京师范大学南山附属学校中考数学二模试题

北京师范大学南山附属学校初中部 2025−2026学年第二学期期中学业质量监测九年级数学试卷 【时间：90分钟  总分：100分】 一．选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1．现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列美术字是轴对称图形的是（  ） A．梦   B．想    C．成    D．真 的相反数是（  ） A．     B．     C．     D． 3．宋•苏轼《赤壁赋》：“寄蜉蝣于天地，渺沧海之一粟．”比喻非常渺小，据测量，一粒粟的重量大约为千克，用科学记数法表示一粒粟的重量约为（  ） A．千克 B．千克     C．千克 D．千克 4．下列计算正确的是（  ） A．     B．     C．     D． 5．下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法． （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则． 上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（  ） A．三边分别相等的两个三角形全等     B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 6．小明有两根长度分别为和的木棒，他想钉一个三角形的木框．现在有根木棒供他选择，其长度分别为、、、．小明随手拿了一根，恰好能够组成一个三角形的概率为（ ） A． B． C． D． 7．某型号手机原来每部售价为元，经过连续两次降价后，该手机每部售价为元，设平均每次降价的百分率为，根据题意，所列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 8．如图①，在正方形中，点是的中点，设，．已知与之间的函数图象如图②所示，点（，）是图象上的最低点，那么正方形的边长的值为（ ） A． B． C． D． 二．填空题（共5小题，每题3分，共15分） 9．若分式有意义，则的取值范围是________． 10．《哪吒之魔童闹海》上映后火爆全球，截至目前全球票房已破亿．哪吒的可爱形象被众人所喜爱，而其各部分结构的长度设计都与黄金分割有关，如图，点为的黄金分割点（＞），已知哪吒在剧中的身高设定为，则其头部的长度是________． 11．如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测“步云阁”的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，边与点在同一直线上．已知直角三角纸板中，，测得眼睛离地面的高度为，他与“步云阁”的水平距离为，则“步云阁”的高度是________． 12．将一块含角的直角三角板按如图所示摆放在平面直角坐标系中，直角顶点在轴上，反比例函数的图象恰好经过点，且，若，，则的值为________． 13．如图，一张矩形纸片中，（为常数）．将矩形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，点的对应点为点，与交于点．当点落在的中点时，且，则________． 三．解答题（共7小题，第14题5分，第15题7分，第16题10分，第17题8分，第18题9分，第19题11分，第20题11分） 14．计算：． 15．观察下面习题的解答过程． 题目：先化简，再求值：，其中 解：原式…① …② …③ …④． （1）解答过程中开始出现错误的步骤是________（填序号），这一步错误的原因是_________________，请写出正确的化简过程； （2）若代入求值后的计算结果为，求题目中被墨水遮住的的值． 16．根据以下调查报告解决问题： 调查主题 本校九年级学生运动健康情况调查 背景介绍 某学习小组为了解本校九年级学生的运动健康状况，随机选取了该年级部分学生进行每周运动时长数据收集． 调查结果 调查学生的每周运动时长频数分布表 每周运动时长 频数 ≤＜ ≤＜ ≤＜ ≤＜ ≤＜ ≤＜ ≥ 合计 建议：… （说明：以上仅展示部分报告内容） （1）本次调查活动采用的调查方式是________（填写“普查”或“抽样调查”），如果想要直观展示不同运动时长区间的学生人数占调查总人数的百分比，选择制作最合适________（填写“条形统计图”、“扇形统计图”或“折线统计图”）； （2）若每周运动时长小时被认为是运动较为合理的区间，该区间的数据为：、、、、、、、、、，这组数据的众数是________，中位数是________； （3）若每周运动时长小于小时被认为运动不足，该年级共有学生人，估计该年级运动不足的学生人数； （4）请结合上述数据，分析该年级学生的运动情况，并为提高学生运动水平，促进学生健康发展提出一条合理的建议． 17．在年春晚舞台，宇树科技的与两款机器人表演《武》、松延动力的仿生人形机器人参演小品《奶奶的最爱》等节目惊艳亮相．某酒店受此启发，为吸引顾客，提高服务质量，决定购买机器人来代替部分人工服务．已知购买甲型机器人台，乙型机器人台共需万元；购买甲型机器人台，乙型机器人台共需万元． （1）甲、乙两种型号机器人的单价各为多少万元？ （2）已知台甲型和台乙型机器人每天服务的客人数量分别是人和人，该公司计划用不超过万元的价格购买台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人台，如何购买才能使每天服务客人的数量最大？ 18．在学习完《直线与圆的位置关系》后，某位老师布置一道作图题如下： 已知：如图，及外一点． 求作：直线，使与相切于点． 小悦同学经过探索，给出了一种作图方法（如下）： ①连接，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于，两点（点，分别位于直线的上下两侧）； ②作直线交于点； ③以点为圆心，为半径作，交于点（点位于直线的上侧）；④作直线，交于点，则直线即为所求作直线． 请根据小悦同学作图方法，解答下面问题： （1）完成作图，并准确标注字母（尺规作图，保留作图痕迹）； （2）结合作图，请说明是切线； （3）若半径为，，求的长． 19．对于一个函数给出如下定义：对于函数，若当，函数值的取值范围为，且满足，则称此函数为“拉伸函数”． 例如：正比例函数，当时，，则，解得，所以函数为“拉伸函数”． （1）①一次函数为“拉伸函数”，则的值为________； ②若一次函数为“拉伸函数”，则的值为________； （2）反比例函数，且是“拉伸函数”，且，请求出的值； （3）已知二次函数，当时，是“拉伸函数”，求的取值范围． 20．【定义】平行四边形一组邻边的中点与不在这组邻边上的顶点顺次连接而成的三角形．如果是直角三角形，则称这个三角形为平行四边形的“中直三角形”． 【初步感知】（1）如图，四边形为矩形，为其“中直三角形”，其中，若，求的长；小轩同学由题目中所给三个“垂直”的条件，发现，从而轻松解决了这个问题；小君同学提出了不同的解决方法，她由题目中所给“中点”这个条件联想到“倍长中线”解决了这个问题，请你参考这两个同学的方法解决这个问题．你得出________； 【深入探究】（2）如图，为平行四边形的“中直三角形”，其中，连接交于点，，，求的长； 【拓展延伸】（3）在中，，，以为中直三角形的平行四边形的一组邻边的长记为，，其中，请直接写出的值． 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年第二学期期中学业质量检测九年级数学试卷答案 一.选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1 3 4 5 6 7 8 D A 0 C A B C B 填空题（共5小题，每题3分，共15分） 20 2W7 9.x≠2 10.120-40W5 11.77.812.3 13.7 三.解答题（共7小题，第14题5分，第15题7分，第16题10分，第17题8分，第18 题9分，第19题11分，第20题11分) 14.【解答】解：原武=1-2×5+V2-1+4 ..4分 2 =1-V2+V2-1+4 、` 15.【答案】(1)①… .1分 加括号时，括号内的第二项没有变号； ….2分 正确的解答过程如下所示： x2 x-I-x+1 -(x-明 x2-(x-1)(x-1 x-1 x2-x2+2x-1 x-1 =2x-1x-1; …5分 2x-1 =3 (2)当x-1时， 解得x=2, 经检验，x=2是原分式方程的解， 即若代入求值后的计算结果为3，题目中被墨水遮住的x的值为2.…7分 16.【答案】(1)抽样调查…l分 扇形统计图… …2分 (2)4.5 …4分 4.45.… …6分 (3)175人… …8分 (4)答案不唯一，合理即可.…10分 17.【答案】解：(1)设甲型机器人的单价是x万元，乙型机器人的单价是y万元， x+2y=10 依题意，得3x+y=15, x=4 解得y=3, 答：甲型机器人的单价是4万元，乙型机器人的单价是3万元.…4分 (2)已知1台甲型和1台乙型机器人每天服务的客人数量分别是200人和150人，该公司计划用不超过22 万元的价格购买6台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人2台， 设购买甲型机器人m台， m≥2 依题意，得4m+3(6-m)≤22 解得2≤m≤4. 设6台机器人每天服务客人的人数为w, 则w=200m+150(6-m)=50m+900 .50>0, .w随m的增大而增大， ∴.当m=4时，w取得最大值，此时w=50×4+900=1100, 购买甲型机器人4台，乙型机器人2台时，才能使每天服务的客人数量最大.…8分 18.【答案】解：(1)如图所示； Q …3分 (2)理由：连接OQ, 由作图知，OP是⊙C的直径， ∠0QP=90°， :O2是⊙O的半径， .PQ是⊙O切线： …6分 (3)连接OD,由(2)知，∠0QP=90°， 00=3,OP=9, P0=V0p2-PQ2=92-32=6V2, 由作图知，直线AB是OP的垂直平分线， Cp=0p=45 在Rt△DCP和Rt△OQP中， :tan∠DCP=tan∠OPg, ..CD.CP=00.PO, CD4.5=36V2, CD= W2 8 9分 19.【答案】解：（1)①2..... 2分 ②3或-3； 4分 (2)由条件可知在a≤x≤b时，反比例函数随x的增大而减小， ms卫 .最大值”a,最小值”b, ∴n-m=P-2=pb-a a b ab, :.P(b-a)-k(b-a) ab :pb-a-k6-d→k=卫 ab ab 函数是“p-拉伸函数”，即k=p, ps卫 ab, ∴.ab=1. 又：a+b=V2028=V4×169×3=26V3, .a2+b2=(a+b)2-2ab=(26V3)2-2=2028-2=2026.…7分 (3)二次函数y=-2x2+4+d2+2d,开口向下， 4d 对称轴为 x=2x2-4.3--1=4. X=- k=n-m 4, 分情况讨论： 当d<-1时，对称轴在-1≤x≤3的左侧，在-1≤x≤3内函数y随x的增大而减小， ∴.n-m=-2×(-1)2+4d.(-1)+d2+2d-(-2×32+4d×3+d2+2d)=-16d+16, ∴.k=-4d+4, 又d<-1, .k>8; 当-1≤d≤3时，对称轴在-1≤x≤3内，最大值在顶点x=d处，ymx=3d2+2d, k=d-3)2 若-1≤d≤1，最小值在x=3,得 2,范围为2≤k≤8； k=(d+1)2 若1<d≤3，最小值在x=-1,得2，范围为2<k≤8： .-1≤d≤3时，2≤k≤8： 当d>3时，对称轴在-1≤x≤3右侧，在-1≤x≤3内函数y随x的增大而增大， ∴.n-m=16d-16, .k=4d-4, 又.d>3, k>8. 综上，合并所有情况得k之2.…11分 20.【答案】解：(1)3V√2： …3分 (2)延长FE、CB交于点M,延长EF、CD交于点N, D Q M B C :△BEF为其“中直三角形”， :△BEM≌△AEF(ASA),△AEF≌△DNF(ASA), :BM AF =DF,BE=AE =DN, ,四边形ABCD是平行四边形， ∴.ADI∥BC,BC=AD,AB=CD, .CM=BC+BM=AD+BM =3AF,CN=CD+DN=AB+DN=3DN, AG FG AF 1 .CG MG CM 3, AG=1,FG=5 .CG=3,MG=35, :EM EF FN=25, 在Rt△CFG中，CG2=CF2+FG, .CF=2, 在Rt△CFN中，CN2=CF2+FN2, .CN=2W6, ,cD=2cN=2x26=46 3 3 3 4B=CD=4V6 3； …8分 (3)①△ABC是平行四边形CDFE的“中直三角形”， 作BH⊥DF,交DF的延长线于点H,作CG⊥DF于G, AG D E .∠H=∠G=90°， ,四边形CDFE是平行四边形， .∠D=∠BFH, ∴.△CDG∽△BFH, DG CG CDCD EF -=2 FH BH BF 1, 设FH=x,BH=y,则DG=2x,CG=2y, .△ACG∽△BAH, ..AG-CG_AC 3 BH AH AB 4, :.AG-3BH-y AH-3CG=3y 3 3 4 8 4 4 3 8 3 AF-AH-FH-3y-x AD-DG+AG-2x+ AF =AD, 8 3 3y-x-2x+3y 4 23 ∴.X= Y 36, x=8y22y=7 AD三x三3少、 Y 36 36 BF=VBr+FH=F+ 23 36 36y 73 m 2AD AD 36 V73 n 2BF BF 5V73 5 y 36 ②设FH=x,CH=y,则DG=2x,BG=2y, H A E B △ABG∽△CAH, AG BG AB 4 "CH-AH-AC-3, 4 C.AG-4CH-AH-38G-3 3 4 AF=AH-FH=3y 2y-xAD=AG+DG三气y+2x AF AD, 3 4 2y-x=3y+2x, .y=18x, AD-4x18x+2x=26x CF-FH+CH-+(18x)53x 3 m26x2W13 n513x5; m_V7323 综上所述：n5或5.…11分