精品解析：福建莆田第九中学2025-2026学年下学期八年级数学期中考试

2025－2026学年下学期莆田第九中学八年级期中考试 数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（　　） A. 2，3，4 B. 3，4，5 C. 4，5，6 D. 5，6，7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理判断即可，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：A、，不能组成直角三角形，故选项不符合题意； B、，能组成直角三角形，故选项符合题意； C、，不能组成直角三角形，故选项不符合题意； D、，不能组成直角三角形，故选项不符合题意； 故选：B． 2. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义，需满足被开方数不含能开方的因数且分母不含根号求解即可． 【详解】解：A． ，可化简为整数，不是最简二次根式． B． ，被开方数含分母，需有理化，不是最简二次根式． C． ，7是质数，无平方因数，无法化简，是最简二次根式． D． ，含平方因数4，可化简，不是最简二次根式． 故选C． 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算和性质； 根据二次根式的运算法则和性质逐项判断即可． 【详解】解：A.，原式错误； B.，原式错误； C.，正确； D.，原式错误； 故选：C． 4. 已知一个凸多边形的内角和是外角和的4倍，则该多边形的边数为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和，熟知多边形的内角和与外角和公式是解题的关键， 根据多边形内角和与外角和公式，建立方程求解边数即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n，根据题意可得： 解方程，得 因此，该多边形的边数为10， 故选：A． 5. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. AB//DC，AD//BC B. AB=DC，AD=BC C. AO=CO，BO=DO D. AB//DC，AD=BC 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、由“AB//DC，AD//BC”可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意； B、由“AB=DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意； C、由“AO=CO，BO=DO”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意； D、由“AB//DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形．故本选项符合题意． 故选D． 6. 如图，已知两正方形的面积分别是25和169，则字母B所代表的正方形的面积是（ ） A. 12 B. 13 C. 144 D. 194 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理．结合勾股定理和正方形的面积公式，得字母B所代表的正方形的面积等于其它两个正方形的面积差． 【详解】解：字母B所代表的正方形的面积， 故选：C． 7. 如图，在综合实践课上，小华用四根长度相同的木条制作成一个能够活动的菱形学具．他先将该学具活动成如图（1）所示的菱形，并测得∠B＝60°，AB＝1cm，接着又将该学具活动成如图（2）所示的正方形．从图（1）到图（2），关于点A、C之间的距离的说法正确的是（　　） A. 保持不变 B. 增加1cm C. 减少 D. 增加 【答案】D 【解析】 【分析】在菱形ABCD中，证明△ABC是等边三角形，求出对角线AC的长，在正方形ABCD中利用勾股定理求出对角线AC的长，然后比较即可． 【详解】解：在菱形ABCD中，连接AC， ∵AB＝BC，∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB＝1cm， 当学具由菱形变成正方形后，它们的边长不变， 即正方形的边长AB＝BC＝1cm， 在正方形ABCD中，连接AC， ∵∠B＝90°， ∴AC＝（cm）， ∵， ∴点A、C之间的距离变化为增加cm， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形与菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟记正方形，菱形的性质是解题的关键． 8. 如图，在矩形中，点的坐标是，则的长是（ ） A. 3 B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理求出，根据矩形的性质得出，即可得出答案． 【详解】解：连接，过作轴于， 点的坐标是， ，，由勾股定理得：， 四边形是矩形， ， ． 9. 如图，正方形中，，直线交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意易得，然后根据等腰三角形的性质可得，进而根据三角形内角和及角的和差关系可进行求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，且， ∴， ∴， ∴． 10. 如图，点P是矩形的对角线上一点，过点P作，分别交，于E、F，连接、．若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 10 B. 12 C. 16 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 作于M，交于N．则有四边形，四边形，四边形都是矩形，根据矩形的性质得到，，，，，从而得出，即可求解． 【详解】解：作于M，交于N． 则有四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴，，，，， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 二次根式中，x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数大于等于0即可得出答案． 【详解】解：根据题意可知：， 解得：， 故答案为： 12. 如图，O为数轴的原点，点C表示的数为2，于点C，，以O为圆心、为半径画弧交数轴于点A，则点A表示的数是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理；由勾股定理得，再由数轴知点A表示的数． 【详解】解：由勾股定理得：，则点A表示的数是； 故答案为：． 13. 菱形的边长为5，一条对角线长为8，另一条对角线长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质及勾股定理即可求得另一条对角线的长． 【详解】解：∵菱形的两条对角线互相垂直平分， 根据勾股定理，可求得，另一对角线的一半为3， 则另一条对角线长为6． 故答案为6． 【点睛】此题主要考查菱形的基本性质及勾股定理的运用． 14. 如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生正对门，缓慢走到离门米的地方时（米），感应门自动打开，则______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用；过点作于点，构造，利用勾股定理求得的长度即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 米，米，米， （米）． 在中，由勾股定理得到（米）， 故答案为：． 15. 如图，的对角线、相交于点O，，若，则四边形的周长为_________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，根据平行四边形对角线互相平分得出、的长，再证明四边形是平行四边形即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形的周长， 故答案为：． 16. 把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，如果图2和图3每个图形中间的正方形面积分别为7和1，则图1中菱形的面积为________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，完全平方公式，设菱形较长对角线长为，较短对角线长为，根据两种拼图得到等式，计算得出的值，后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，计算即可． 【详解】解：设菱形较长对角线长为，较短对角线长为， 由图2得 由图3得，即 所以菱形的面积为： 故答案为：6． 三、解答题（共86分） 17. 计算： ； 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，先根据二次根式的乘法法则计算，同时化成最简二次根式，再根据二次根式加减法则计算． 【详解】原式 ． 18. 某住宅小区有一块草坪如图所示．已知米，米，米，米，且，求这块草坪的面积． 【答案】36平方米． 【解析】 【分析】连接AC，根据勾股定理，求得AC，再根据勾股定理的逆定理，判断 是直角三角形．这块草坪的面积等于两个直角三角形的面积之和 【详解】解：连接AC，如图， ∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°． ∵AB=3米，BC=4米， ∴AC==5米． ∵CD=12米，DA=13米， ∴CD2+AC2=144+25=169=132=DA2， ∴∠ACD=90°， ∴△ACD为直角三角形， ∴草坪的面积等于=S△ABC+S△ACD=3×4÷2+5×12÷2=6+30=36（米2）． 【点睛】本题考主要查了勾股定理和勾股定理的逆定理．构造直角三角形是解题关键． 19. 如图，在平行四边形中，E，F分别是，的中点，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】根据四边形是平行四边形，可得到，再由E，F分别是，的中点，可得，从而得到四边形是平行四边形，进而证得． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ， ∵E，F分别是，的中点， ，， ， ∴四边形是平行四边形， ． 20. 如图，在中，． （1）求作：的一条中位线，与交于D点，与交于E点（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）： （2）若，连接，求的长度． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）分别以B、C为圆点,以大于线段一半的长度在线段上下方画弧线，连接弧线交点交于D，于E，则即为所求作图形； （2）根据中位线性质可知，点D为中点，得到，结合已知可得，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半即可求解． 【小问1详解】 解：如下图，分别以B、C为圆点,以大于线段一半的长度在线段上下方画弧线，连接弧线交点交于D，于E，则即为所求作图形， 【小问2详解】 如图，连接， 是的中位线， 分别为中点， ， 为直角三角形， ， 又， ， ． 【点睛】本题考查了作图，作垂线段，中位线的性质定理，含30度角的直角三角形特征，直角三角形斜边中线等于斜边一半，平行线的性质，正确作出中位线是解答本题的关键． 21. 《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题： “平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良正高士素好奇，算出索长有几．”（注：1步尺） 译文： “有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，问绳索有多长．” 【答案】14.5尺 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质与判定，勾股定理的应用、理解题意能力，关键是能构造出直角三角形，用勾股定理来解．设绳索有x尺长，根据勾股定理列方程即可得到结果． 【详解】解：延长到地面于，过作地面于，如图所示： 设绳索有x尺长， 根据题意及所作辅助线，根据三个角都是直角，故四边形是矩形， 则， 依题意，，， 则， 在中，， ∴， 解得：， 即绳索长14.5尺， 22. 如图，矩形中，，点E、F分别在上，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）求线段EF的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． （1）根据矩形的性质得到，，求得，根据勾股定理得到，于是得到结论； （2）过F作于H，得到四边形是矩形，根据矩形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 证明：∵在矩形中，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：过F作于H， 则四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 23. 观察下列等式： 第一个等式： 第二个等式： 第三个等式： 按上述规律，回答以下问题： （1）按上面规律填空：_________________； （2）利用以上规律计算：； （3）求的值． 【答案】（1）；； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查规律型—数字的变化类，二次根式的混合运算， （1）先根据所给的式子找出第一、第二、第三个式子的规律，进而可求出第四个等式； （2）把所给式子相加，找出规律即可进行计算； （3）根据所给规律探索将原式转化为，再根据平方差公式易得结果； 解题的关键是通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题． 【小问1详解】 解：， 故答案为：；；； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 ． 24. 如图，在中，点为线段的中点，延长交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接．若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质证明，证明四边形是平行四边形，再根据得到结论即可； （2）过点作于点，由矩形的性质得到，证明为的中位线，求出，再根据勾股定理进行计算即可． 【小问1详解】 证明：为的中点， ， 四边形是平行四边形， ， 又， ， 四边形是平行四边形， ， ， 平行四边形是矩形； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点， 四边形是矩形， ， ， ， ， 为的中位线， ， 四边形是平行四边形， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即的长为． 25. 在正方形中，对角线与交于点，是对角线上一动点，过点作，交射线于点．如图①，当点与点重合时，易证（不需证明）： （1）当点在线段上时，如图②； ①连接，求证：； ②求证：； （2）当点在线段上时，如图③，求证：． 【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析； （2）证明见解析． 【解析】 【分析】本题为正方形综合题，考查了正方形的性质及判定，全等三角形的性质及判定，等腰三角形的性质及判定，勾股定理等知识点，合理作出辅助线是解题的关键． （1）利用正方形的性质去判定出即可得到①；过点作的平行线交于，交于点，过点作的平行线交于，交于点，连接，利用等腰三角形的判定方法可得到和为等腰直角三角形，从而得到四边形为正方形，同理可证四边形为正方形，然后利用全等三角形的判定方法即可判定出，再利用边的比例关系即可求证②； （2）过点作的平行线交于，交于点，过点作的平行线交于，交于点，连接，根据（1）中的解法同理可得：，，，再利用推导即可． 【小问1详解】 解：过点作的平行线交于，交于点，过点作的平行线交于，交于点，连接，如图所示： ①解：∵是正方形， ∴，， ∴在和中： ， ∴（SAS）， ∴； ②解：∵是正方形，是对角线， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴和为等腰直角三角形， ∴四边形为正方形， ∴， 同理可证四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中： ， ∴（AAS）， ∴， 由①得：， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：解：过点作的平行线交于，交于点，过点作的平行线交于，交于点，连接，如图所示： ∴根据（1）中的解法同理可得：，，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年下学期莆田第九中学八年级期中考试 数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（　　） A. 2，3，4 B. 3，4，5 C. 4，5，6 D. 5，6，7 2. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 已知一个凸多边形的内角和是外角和的4倍，则该多边形的边数为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 5. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. AB//DC，AD//BC B. AB=DC，AD=BC C. AO=CO，BO=DO D. AB//DC，AD=BC 6. 如图，已知两正方形的面积分别是25和169，则字母B所代表的正方形的面积是（ ） A. 12 B. 13 C. 144 D. 194 7. 如图，在综合实践课上，小华用四根长度相同的木条制作成一个能够活动的菱形学具．他先将该学具活动成如图（1）所示的菱形，并测得∠B＝60°，AB＝1cm，接着又将该学具活动成如图（2）所示的正方形．从图（1）到图（2），关于点A、C之间的距离的说法正确的是（　　） A. 保持不变 B. 增加1cm C. 减少 D. 增加 8. 如图，在矩形中，点的坐标是，则的长是（ ） A. 3 B. C. D. 4 9. 如图，正方形中，，直线交于点，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点P是矩形的对角线上一点，过点P作，分别交，于E、F，连接、．若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 10 B. 12 C. 16 D. 18 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 二次根式中，x的取值范围是______． 12. 如图，O为数轴的原点，点C表示的数为2，于点C，，以O为圆心、为半径画弧交数轴于点A，则点A表示的数是________． 13. 菱形的边长为5，一条对角线长为8，另一条对角线长为_____． 14. 如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生正对门，缓慢走到离门米的地方时（米），感应门自动打开，则______米． 15. 如图，的对角线、相交于点O，，若，则四边形的周长为_________． 16. 把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，如果图2和图3每个图形中间的正方形面积分别为7和1，则图1中菱形的面积为________． 三、解答题（共86分） 17. 计算： ； 18. 某住宅小区有一块草坪如图所示．已知米，米，米，米，且，求这块草坪的面积． 19. 如图，在平行四边形中，E，F分别是，的中点，求证：． 20. 如图，在中，． （1）求作：的一条中位线，与交于D点，与交于E点（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）： （2）若，连接，求的长度． 21. 《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题： “平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良正高士素好奇，算出索长有几．”（注：1步尺） 译文： “有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，问绳索有多长．” 22. 如图，矩形中，，点E、F分别在上，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）求线段EF的长． 23. 观察下列等式： 第一个等式： 第二个等式： 第三个等式： 按上述规律，回答以下问题： （1）按上面规律填空：_________________； （2）利用以上规律计算：； （3）求的值． 24. 如图，在中，点为线段的中点，延长交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接．若，求的长． 25. 在正方形中，对角线与交于点，是对角线上一动点，过点作，交射线于点．如图①，当点与点重合时，易证（不需证明）： （1）当点在线段上时，如图②； ①连接，求证：； ②求证：； （2）当点在线段上时，如图③，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $