精品解析：广东汕头市潮阳区汕头市潮阳区铭星实验学校2025-2026学年度第二学期八年级数学期中试卷

2025－2026学年度第二学期八年级数学期中试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 若代数式有意义，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 点到原点的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 下列各组数，可以作为直角三角形的三边长的是（ ） A. 2，3，4 B. 3，4，5 C. 8，12，20 D. 5，13，15 6. 如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（ ） A. 12米 B. 13米 C. 14米 D. 15米 7. 不能判定四边形为平行四边形的题设是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 如图，△ABC中，已知AB＝8，∠C＝90°，∠A＝30°，DE是中位线，则DE的长为（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 2 9. 已知，则（　　） A. B. C. D. 10. 如图，已知的顶点，，点在轴正半轴上按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边，于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交边于点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 一个直角三角形的两条直角边分别为  和 ，则斜边的长为__________． 12. 计算：________． 13. 已知菱形的两条对角线长分别为4和9，则菱形的面积为_____． 14. 如图，，点是斜边的中点，平分，，则的长是______． 15. 将折叠书架画出侧面示意图，AB面板架，CD为支撑架，EF为锁定杆，F可在CD上移动或固定，已知BC＝CE＝8cm，如图1，将面板AB竖直固定时（AB⊥BD），点F恰为CD的中点，如图2，当CF＝17cm，EF⊥AB，则支撑架CD的长度为___cm． 三、解答题（一）（每小题各7分，共21分） 16. 计算：． 17. 如图，要从电线杆离地面处向地面拉一条钢索，若地面钢索固定点到电线杆底部的距离为，求钢索的长度． 18. 如图，，分别是的边，上的点，且．求证：四边形是平行四边形． 三、解答题（二）（每小题9分，共27分） 19. 如图，每个小正方形的边长都是1，△ABC的三个顶点分别在正方形网格的格点上． （1）求AB，BC的长； （2）判断△ABC的形状，并说明理由． 20. 如图，在菱形中，，E、F分别是、的中点，若，求菱形的周长． 21. 如图，在四边形中，，，，，． （1）求的长； （2）求四边形的面积． 五、解答题（三）（第22小题13分，第23小题14分，共27分） 22. 综合与实践． 【实践背景】小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，利用数学知识对其作了进一步的探究． 【实践素材】实验支架、细绳、小球、卷尺． 【实践操作】步骤一：如图1，在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，让小球可以自由摆动，表示小球静止时的位置； 步骤二：先用发声物体靠近小球，使小球从摆到位置； 步骤三：再次用发声物体靠近小球，让小球摆到位置，使得． 【实验记录】如图2，在笔记本上记录点和点的位置（图中的，，，在同一平面上），并过点作于点，过点作于点，测得，． 【实践探索】 （1）求证：； （2）求的长． 23. 综合与实践 【问题情境】在学校活动课上，樊老师让同学们探究特殊平行四边形的性质，小明和他的小伙伴们准备了如图1所示的正方形，连接对角线，在上取一点P，连接，延长至点E，连接，交于点F，且． （1）如图1，小明连接了，小伙伴们发现了与之间存在一定的关系，其数量关系为________，位置关系为________． （2）如图2，小明连接了，小伙伴们发现了和之间存在一定的数量关系，请你帮助小明和小伙伴们探究和之间的数量关系，并说明理由． （3）如图3．小明将正方形改为菱形，当时，请直接写出与之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第二学期八年级数学期中试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 若代数式有意义，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数非负列不等式求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得． 2. 下列二次根式中，最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】A、=，被开方数含分母，不是最简二次根式；故A选项不符合题意； B、=，被开方数为小数，不是最简二次根式；故B选项不符合题意； C、，是最简二次根式；故C选项符合题意； D．=，被开方数，含能开得尽方的因数或因式，故D选项不符合题意； 故选C． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同类二次根式，二次根式的乘法，二次根式的性质逐一判断即可． 【详解】A、 和 不是同类二次根式，不能合并，故A错误； B、，故B正确； C、，故C错误； D、，故D错误． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了同类二次根式，二次根式的乘法，二次根式的性质，熟练掌握同类二次根式的定义，二次根式的乘法法则，二次根式的性质是解题的关键． 4. 点到原点的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点A的横纵坐标的距离与其到原点的距离构成直角三角形，利用勾股定理求解即可. 【详解】∵点A的坐标为， ∴点A到原点的距离=， 所以答案为C选项. 【点睛】本题主要考查了点的坐标与勾股定理的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键. 5. 下列各组数，可以作为直角三角形的三边长的是（ ） A. 2，3，4 B. 3，4，5 C. 8，12，20 D. 5，13，15 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理，求出两小边的平方和，再求出大边的平方，看是否相等，即可得出答案． 【详解】A项，，所以该三角形不是直角三角形，不合题意； B项，，所以该三角形是直角三角形，符合题意； C项，，所以不能构成三角形，不合题意； D项，，所以该三角形不是直角三角形，不合题意， 故选B. 【点睛】本题考查了对勾股定理的逆定理的运用，勾股定理的逆定理是：如果一个三角形的三边分别是a、b、c（c最大）满足a2＋b2＝c2，则三角形是直角三角形． 6. 如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（ ） A. 12米 B. 13米 C. 14米 D. 15米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 根据题意画出图形，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，∵梯子的底端离建筑物5米，梯子长为13米， ∴(米)． 故选：A． 7. 不能判定四边形为平行四边形的题设是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理逐一进行判定即可；（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形；（4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（5）两组对角分别相等 的四边形是平行四边形． 【详解】．，， 四边形为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）； 故本选项能判定四边形为平行四边形，不合题意； ．，， 四边形为平行四边形（两组对角分别相等的四边形是平行四边形）； 故本选项能判定四边形为平行四边形，不合题意； ．，， 四边形为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）； 故本选项能判定四边形为平行四边形，不合题意； ．，不能判定四边形为平行四边形， 故此选项符合题意； 故选：． 【点睛】本题考查平行四边形的判定定理，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题关键． 8. 如图，△ABC中，已知AB＝8，∠C＝90°，∠A＝30°，DE是中位线，则DE的长为（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】先由含30°角的直角三角形的性质，得出BC，再由三角形的中位线定理得出DE即可． 【详解】解：∵∠C=90°，∠A=30°， ∴BC=AB=4， 又∵DE是中位线， ∴DE=BC=2． 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，解答本题的关键是掌握含30°角的直角三角形的性质及三角形的中位线定理． 9. 已知，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据的值计算出的值，再代入原式计算可得． 【详解】解： ， ， ， 则原式． 故选：B． 【点评】本题主要考查二次根式的运算，关键是根据平方差公式进行二次根式的运算，然后进行代值求解即可． 10. 如图，已知的顶点，，点在轴正半轴上按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边，于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交边于点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据作图步骤可知是的角平分线，利用平行四边形对边平行的性质及角平分线定义可证为等腰三角形，从而得到，利用勾股定理求出的长，结合点坐标即可求出点坐标． 【详解】解：由作图步骤可知，平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点在边上，且轴， ∴点的纵坐标为， 又∵点的横坐标为，点在点右侧， ∴点的横坐标为， ∴点的坐标为． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 一个直角三角形的两条直角边分别为  和 ，则斜边的长为__________． 【答案】10 【解析】 【详解】解：由勾股定理得，斜边的长为． 12. 计算：________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据非零实数的零指数幂等于1求解即可． 【详解】解：． 13. 已知菱形的两条对角线长分别为4和9，则菱形的面积为_____． 【答案】18 【解析】 【分析】利用菱形的面积等于对角线乘积的一半求解． 【详解】菱形的面积=×4×9=18． 故答案为18． 【点睛】此题考查菱形的性质，难度不大 14. 如图，，点是斜边的中点，平分，，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质、三角形的中位线定理，根据直角三角形斜边上的中线性质可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，最后利用三角形的中位线定理进行计算即可解答，熟练掌握直角三角形斜边上的中线，以及三角形的中位线定理是解题的关键． 【详解】解：∵，点是斜边的中点， ∴， ∵平分， ∴， ∴为的中位线， ∴， 故答案为：． 15. 将折叠书架画出侧面示意图，AB面板架，CD为支撑架，EF为锁定杆，F可在CD上移动或固定，已知BC＝CE＝8cm，如图1，将面板AB竖直固定时（AB⊥BD），点F恰为CD的中点，如图2，当CF＝17cm，EF⊥AB，则支撑架CD的长度为___cm． 【答案】2 【解析】 【分析】根据勾股定理得出EF的长，进而利用勾股定理得出CF，进而得出CD的长即可． 【详解】解：∵EF⊥AB，CF=17cm，BC=CE=8cm， ∴EF= ＝15cm， 过F作FG⊥AB， ∵AB⊥BD， ∴FG∥BD， ∵点F恰为CD的中点， ∴CG=BC=4cm， ∴EG=8+4=12cm， ∵EF=15cm， ∴FG=＝9cm， ∴BD=2FG=18cm， ∴CD=＝2 ， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，解决本题的关键是根据勾股定理得出EF的长解答． 三、解答题（一）（每小题各7分，共21分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 17. 如图，要从电线杆离地面处向地面拉一条钢索，若地面钢索固定点到电线杆底部的距离为，求钢索的长度． 【答案】钢索的长度为 【解析】 【分析】本题是勾股定理的实际应用，电线杆垂直地面，可构成直角三角形，已知两条直角边的长度，利用勾股定理即可求出钢索的长度． 【详解】解：由题意得， 钢索的长度为   答：钢索的长度为． 18. 如图，，分别是的边，上的点，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，可证，，再证，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，即可求证． 【详解】证明：， ，， ， ，即， ，即， 四边形是平行四边形． 三、解答题（二）（每小题9分，共27分） 19. 如图，每个小正方形的边长都是1，△ABC的三个顶点分别在正方形网格的格点上． （1）求AB，BC的长； （2）判断△ABC的形状，并说明理由． 【答案】（1）AB＝2，BC＝，（2）△ABC是直角三角形，见解析． 【解析】 【分析】（1）先利用勾股定理分别计算两边的长即可； （2）利用勾股定理的逆定理得到三角形为直角三角形． 【详解】解：（1）AB＝，BC＝， （2）AC＝5， ∵， ∴AB2＋BC2＝AC2， ∴△ABC是直角三角形． 【点睛】此题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 20. 如图，在菱形中，，E、F分别是、的中点，若，求菱形的周长． 【答案】16 【解析】 【分析】根据以及可得为等边三角形，根据中点可得为的中位线，则，得到菱形的边长，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵E、F分别是、的中点，， ∴， ∴， ∴菱形的周长为． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定，菱形的性质和三角形中位线的性质，菱形的四边相等，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边长度的一半． 21. 如图，在四边形中，，，，，． （1）求的长； （2）求四边形的面积． 【答案】（1）4 （2）3 【解析】 【分析】过点作于点E，先证明四边形是矩形，再由等腰三角形三线合一求解即可； （2）根据梯形面积公式求解． 【小问1详解】 解：过点作于点E，则， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：四边形的面积． 五、解答题（三）（第22小题13分，第23小题14分，共27分） 22. 综合与实践． 【实践背景】小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，利用数学知识对其作了进一步的探究． 【实践素材】实验支架、细绳、小球、卷尺． 【实践操作】步骤一：如图1，在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，让小球可以自由摆动，表示小球静止时的位置； 步骤二：先用发声物体靠近小球，使小球从摆到位置； 步骤三：再次用发声物体靠近小球，让小球摆到位置，使得． 【实验记录】如图2，在笔记本上记录点和点的位置（图中的，，，在同一平面上），并过点作于点，过点作于点，测得，． 【实践探索】 （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据垂线性质得到，根据同角的余角相等得到，即可证明，从而得到结论； （2）根据勾股定理求出的长，由（1）可知，利用求出结果即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：在中，， ∴， 由（1）得， ∴． 23. 综合与实践 【问题情境】在学校活动课上，樊老师让同学们探究特殊平行四边形的性质，小明和他的小伙伴们准备了如图1所示的正方形，连接对角线，在上取一点P，连接，延长至点E，连接，交于点F，且． （1）如图1，小明连接了，小伙伴们发现了与之间存在一定的关系，其数量关系为________，位置关系为________． （2）如图2，小明连接了，小伙伴们发现了和之间存在一定的数量关系，请你帮助小明和小伙伴们探究和之间的数量关系，并说明理由． （3）如图3．小明将正方形改为菱形，当时，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】（1） （2），理由见解析． （3） 【解析】 【分析】（1）可先证，得，进而可得到和的数量关系；根据和的数量关系以及和数量关系，可求得的度数，进而可判断和的位置关系． （2）根据，，即可求得答案． （3）根据，，，结合菱形的性质，可求得的度数，进而可求得答案． 【小问1详解】 ∵四边形为正方形， ∴，． 在和中， ∴． ∴，． 又， ∴． ∵， ∴． ∴． 又，， ∴． ∴． ∴． 故答案为： 【小问2详解】 ． 理由如下： 由（1）证明可知，， ∴． ∴． 【小问3详解】 ． 理由如下： ∵四边形为菱形， ∴，． ∴． 类比（1）的证明过程，可知，， ∴． ∵，， ∴． ． 又， ∴为等边三角形． ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定及性质、平行线的性质，牢记正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定定理及性质、平行线的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $