精品解析：福建龙岩紫金山实验学校2025-2026学年第二学期期中质量监测八年级数学学科

龙岩紫金山实验学校2025-2026学年第二学期期中质量监测 八年级数学学科 （全卷共3页；考试时间：120分钟；满分150分） 一、单选题（共10题，每小题4分，满分40分） 1. 下列四个图象中，不能表示是的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列式子中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 正比例函数（k为常数，）的图象过点，则k的值是（　　） A. 2 B. C. D. 5. 在四边形中，由下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 将直线向下平移4个单位得到的直线解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线经过第一、二、四象限，则直线的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图是某物体在水平面上做直线运动的路程与时间的函数图象，以下结论正确的是（ ） A. 物体在内做变速运动 B. 物体在内运动速度是 C. 物体在前内和后内的速度相等 D. 物体在内的平均速度是 9. 如图，点分别是四边形边的中点．则下列说法： ①若，则四边形为矩形； ②若，则四边形为菱形； ③若四边形是平行四边形，则与互相平分； ④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等． 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，在平面直角坐标系中，动点A，B分别在y，x轴上，以为边长在第一象限内作正方形，连接．若，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 8 二、填空题（共6题，每小题4分，满分24分） 11. 函数中，自变量的取值范围是_____． 12. 如图，的对角线，相交于点O，点E是的中点，连接，若，则的长为 _____． 13. 正八边形的一个内角的度数是____ 度． 14. 已知直线与直线相交于点，则关于的方程组的解是___________． 15. 已知，，则______. 16. 如图，许段长在学习一次函数时发现，两点坐标知道就能求出直线解析式；在平面直角坐标系中，若四边形是长方形，，，，将沿直线折叠，此时点落在点处，与交于点，他的思路是利用勾股定理及等积法求出D的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，数学杨老师说不用那么麻烦，但是具体怎么做，他没说，他只是微微一笑，那么聪明的你，直线的解析式是________． 三、解答题（共9小题，17-21题每小题8分，22-23每小题10分，24小题12分，25小题14分，满分86分） 17. 计算：． 18. 如图，一架2.5米长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时为2.4米． （1）求梯子的底端距墙角多少米？ （2）如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米到，梯子底端外移到，求的长． 19. 如图，四边形为平行四边形，点E、A、C、F在同一条直线上，并且．求证：四边形是平行四边形． 20. 小明、小亮从宝安中心图书馆出发，沿相同的线路跑向宝安体育场，小明先跑一点路程后，小亮开始出发，当小亮超过小明米时，小亮停在此地等候小明．两人相遇后，一起以小明原来的速度跑向宝安体育场．如图，反映了两人所跑路程（米）与所用时间（秒）之间的关系，请根据题意解答下列问题： （1）问题中的自变量是______；小亮比小明晚跑了______秒； （2）小明共跑了______米，小明的速度为______米/秒． （3）图中______米，小亮在途中等候小明的时间是______秒． 21. 已知与成正比例，且时，． （1）求与之间的函数表达式； （2）当时，求的值． 22. 如图，在平行四边形中，对角线交于点O，平分，过点作，交的延长线于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 23. 探究：如图所示，C为线段上一动点，分别过点A，点B作，，分别连接，．已知，，．设． （1）= ，= ；（用含x的代数式表示） （2）探究点D，C，E处于何种位置时，的值最小，并求出其最小值； （3）根据（2）中的探究结果，请构图并求出代数式的最小值．（要求画出示意图） 24. 如图，矩形中，，P，E分别是线段上的点，且四边形为矩形． （1）若是等腰三角形时，求的长； （2）求证：． 25. 如图1，为等腰直角三角形，，，则可证．由于三个直角的顶点都在同一直线上，因此我们将其称为“一线三直角”． （1）如图2，在平面直角坐标系中，将等腰如图放置，直角顶点，点，则B点坐标为　　　　　． （2）如图3，在平面直角坐标系中，直线的函数解析式为分别与y轴，x轴交于点A，B，将直线绕点A顺时针旋转得到，求的函数解析式； （3）如图4，在平面直角坐标系中，点，过点B作轴于点A，作轴于点C，P为线段BC上的中点，点Q是直线上的一动点．若，求Q点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙岩紫金山实验学校2025-2026学年第二学期期中质量监测 八年级数学学科 （全卷共3页；考试时间：120分钟；满分150分） 一、单选题（共10题，每小题4分，满分40分） 1. 下列四个图象中，不能表示是的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：根据函数的定义：对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应； A、B、C选项中，作垂直于轴的直线与图象的交点个数最多1个，是函数关系，故选项不符合题意； D选项中，作垂直于轴的直线，可能与图象有两个交点，即对于同一个值，有两个值与之对应，不符合函数的定义，故本选项符合题意． 2. 下列式子中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义判断，最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐个验证选项即可。 【详解】∵最简二次根式的定义为：满足被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式的二次根式， 对选项A，=，被开方数含有分母，不是最简二次根式， 对选项C，分母含有根式，可化简为，不是最简二次根式， 对选项D，==，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式， 对选项B，的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，符合最简二次根式定义， ∴选B. 3. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股数的定义，满足较小两个正整数的平方和等于最大正整数的平方的三个数是勾股数，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】勾股数要求三个数均为正整数，且满足较小两数的平方和等于最大数的平方． 选项A中0.3, 0.4, 0.5不是正整数，不是勾股数； 选项B中不是整数，不是勾股数； 选项D中，，，，不是勾股数； 选项C中，三个数均为正整数，且，是勾股数，所以选项C正确． 4. 正比例函数（k为常数，）的图象过点，则k的值是（　　） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将已知点坐标代入正比例函数解析式即可求出k的值． 【详解】解：将点满足解析式，得， 解得． 5. 在四边形中，由下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理，逐个分析各选项，找出不能判定四边形是平行四边形的选项即可． 【详解】解：如图， A选项，由，不能判定四边形是平行四边形，等腰梯形也满足该条件，故此选项符合题意； B选项，∵，，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可以判定四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； C选项，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 四边形两组对边分别平行，因此是平行四边形，故此选项不符合题意； D选项，∵，，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可以判定四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； 6. 将直线向下平移4个单位得到的直线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】一次函数图象的平移规律为“上加下减，左加右减”，向下平移只需要对原解析式的常数项减去平移的单位长度即可． 【详解】解：将直线向下平移4个单位得到的直线解析式为． 7. 已知直线经过第一、二、四象限，则直线的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，解题的关键是掌握一次函数的图像与性质．根据题意可得：，，进而得到，推出直线经过第一、二、三象限，即可求解． 【详解】解：直线经过第一、二、四象限， ，， ， 直线经过第一、二、三象限， 故选：B． 8. 如图是某物体在水平面上做直线运动的路程与时间的函数图象，以下结论正确的是（ ） A. 物体在内做变速运动 B. 物体在内运动速度是 C. 物体在前内和后内的速度相等 D. 物体在内的平均速度是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，正确的识别图象、数形结合是解题的关键．根据图象提供的信息逐项求解即可． 【详解】解：由图象可知： A、物体在内做匀速运动，故A选项错误，不符合题意； B、物体在内，距离没有发生变化，则运动速度是，故B选项错误，不符合题意； C、物体在前内的速度为，后内的速度为，故C选项错误，不符合题意； D、物体在内的平均速度为，故D选项正确，符合题意． 故选：D． 9. 如图，点分别是四边形边的中点．则下列说法： ①若，则四边形为矩形； ②若，则四边形为菱形； ③若四边形是平行四边形，则与互相平分； ④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等． 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先根据三角形的中位线性质证明四边形为平行四边形，然后根据矩形、菱形的判定与性质逐项即可解答． 【详解】解：∵点分别是四边形边的中点， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ①若，则， ∴四边形为菱形，即①错误； ②若，则，即， ∴四边形为矩形，即②错误； ③与是否互相平分均能得到四边形是平行四边形，即③错误； ④若四边形是正方形，则，， ∴，，即与互相垂直且相等，故④正确， 故正确的个数是1个． 故选：A． 10. 如图，在平面直角坐标系中，动点A，B分别在y，x轴上，以为边长在第一象限内作正方形，连接．若，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】取的中点E，连接，则，根据正方形的性质及勾股定理得出，，结合图形得出当点E在线段上时，线段的长最大，即可求解． 【详解】解：如图，取的中点E，连接，则， ∵四边形是正方形，边长为4， ∴，则， 在中，，由勾股定理，得， ∵在中， ，点E是斜边的中点， ∴， 由图可知：，当点E在线段上时，线段的长最大，最大值是， 故选A． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，直角三角形斜边上中线的性质，勾股定理解三角形及三角形三边关系，理解题意，熟练掌握运用这些知识点是解题关键． 二、填空题（共6题，每小题4分，满分24分） 11. 函数中，自变量的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据被开方式是非负数列式求解即可. 【详解】解：依题意，得， 解得：， 故答案为． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 12. 如图，的对角线，相交于点O，点E是的中点，连接，若，则的长为 _____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，熟记平行四边形的性质，三角形中位线定理是解题的关键．根据平行四边形的性质得出，再结合点E是的中点得出是的中位线，即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵点E是的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：6． 13. 正八边形的一个内角的度数是____ 度． 【答案】135 【解析】 【分析】根据多边形内角和定理：（n﹣2）•180°（n≥3且n为正整数）求出内角和，然后再计算一个内角的度数即可. 【详解】正八边形的内角和为：（8﹣2）×180°=1080°， 每一个内角的度数为： 1080°÷8=135°， 故答案为135. 14. 已知直线与直线相交于点，则关于的方程组的解是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数图像的交点和方程组的解，理解两条直线的交点坐标的意义是解题的关键． 根据两条直线的交点的意义，即可求解． 【详解】解：直线与直线相交于点， 方程组即的解是， 故答案为：． 15. 已知，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】把，，代入，然后运用平方差公式计算即可. 【详解】解：把，，代入得 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了二次根式的运算，熟练掌握平方差公式是解题的关键. 16. 如图，许段长在学习一次函数时发现，两点坐标知道就能求出直线解析式；在平面直角坐标系中，若四边形是长方形，，，，将沿直线折叠，此时点落在点处，与交于点，他的思路是利用勾股定理及等积法求出D的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，数学杨老师说不用那么麻烦，但是具体怎么做，他没说，他只是微微一笑，那么聪明的你，直线的解析式是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，，，再由平行线的性质和折叠的性质证明，得到，设点E的坐标为，则，，利用勾股定理建立方程求出m值，再根据点E的坐标，利用待定系数法即可求出所在直线的解析式． 【详解】解：∵四边形是长方形，，， ∴，，， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， 设点E的坐标为，则，， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴点E的坐标为， 设所在直线的解析式为， 将点代入中，得， 解得， ∴所在直线的解析式为． 三、解答题（共9小题，17-21题每小题8分，22-23每小题10分，24小题12分，25小题14分，满分86分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先去括号，再计算乘除法，然后根据二次根式的性质化简并加减运算即可求解． 【详解】解：原式 ． 18. 如图，一架2.5米长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时为2.4米． （1）求梯子的底端距墙角多少米？ （2）如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米到，梯子底端外移到，求的长． 【答案】（1）0.7米 （2）0.8米 【解析】 【分析】（1）在中，根据勾股定理直接求解即可； （2）在中，根据勾股定理，然后根据求解即可． 【小问1详解】 解：在中，，，， ∴， 答：梯子的底端到墙角的距离为0.7米； 【小问2详解】 解：根据题意，得，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 答：的长为0.8米． 19. 如图，四边形为平行四边形，点E、A、C、F在同一条直线上，并且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．先由四边形是平行四边形，证得，再根据补角的性质证得，从而证明，最后由全等三角形的性质证得，，从而证得四边形是平行四边形． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴，即， 在和中， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 20. 小明、小亮从宝安中心图书馆出发，沿相同的线路跑向宝安体育场，小明先跑一点路程后，小亮开始出发，当小亮超过小明米时，小亮停在此地等候小明．两人相遇后，一起以小明原来的速度跑向宝安体育场．如图，反映了两人所跑路程（米）与所用时间（秒）之间的关系，请根据题意解答下列问题： （1）问题中的自变量是______；小亮比小明晚跑了______秒； （2）小明共跑了______米，小明的速度为______米/秒． （3）图中______米，小亮在途中等候小明的时间是______秒． 【答案】（1）， （2）， （3）， 【解析】 【分析】（）根据题意和函数图象解答即可求解； （）根据函数图象解答即可求解； （）根据函数图象解答即可求解； 本题考查了函数图象的应用，理解题意并看懂函数图象是解题的关键． 【小问1详解】 解：问题中的自变量是，小亮比小明晚跑了秒， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由函数图象可知，小明共跑了米，小明的速度为米/秒， 故答案为：，； 【小问3详解】 解：由函数图象可得，米，小亮在途中等候小明的时间是秒， 故答案为：，． 21. 已知与成正比例，且时，． （1）求与之间的函数表达式； （2）当时，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）把代入（1）中解析式求解即可． 【小问1详解】 解：设， 把，代入得， 解得， ， 与之间的函数表达式为； 【小问2详解】 解：当时，． 22. 如图，在平行四边形中，对角线交于点O，平分，过点作，交的延长线于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的对边平行和角平分线的定义可证明，则，据此可证明结论； （2）根据菱形的性质和勾股定理求出的长，进而求出的长，再求出菱形的面积即可求出的长． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：由（1）得四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴. 23. 探究：如图所示，C为线段上一动点，分别过点A，点B作，，分别连接，．已知，，．设． （1）= ，= ；（用含x的代数式表示） （2）探究点D，C，E处于何种位置时，的值最小，并求出其最小值； （3）根据（2）中的探究结果，请构图并求出代数式的最小值．（要求画出示意图） 【答案】（1），； （2）当D，C，E三点共线时，的值最小，10 （3）13 【解析】 【分析】对于（1），根据勾股定理计算并表示即可； 对于（2），先根据两点之间线段最短判断，再构造矩形，并结合勾股定理求出答案； 对于（3），根据（2）中的解题思路构造图形，并结合勾股定理计算． 【小问1详解】 根据勾股定理，得，； 故答案为：，； 【小问2详解】 如图，当D，C，E三点共线时，的值最小． 延长，过点E作的平行线交延长线于点F， 此时四边形是矩形 ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴的最小值为10； 【小问3详解】 如图，为上一点，，， ，，． 设，则， ∴． 由（2）知：当，，三点共线时，的值最小． 此时，值为． ∴的最小值为13． 【点睛】本题主要考查了应用勾股定理求最值，根据矩形的性质构造直角三角形是解题的关键． 24. 如图，矩形中，，P，E分别是线段上的点，且四边形为矩形． （1）若是等腰三角形时，求的长； （2）求证：． 【答案】（1）4或5或. （2）见解析 【解析】 【分析】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题关键是分三种情况讨论计算． （1）先求出，再分三种情况讨论计算即可得出结论； （2）连接，记与的交点为O，连接，根据矩形的性质解答即可． 【小问1详解】 在矩形中，，， ∴，； 要使是等腰三角形，有如下三种情况： ①当时， ， ∴； ②当时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 即； ③当时，过D作于Q，则， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴ , ∴ . 综上所述，若是等腰三角形，的长为4或5或. 【小问2详解】 连接，记与的交点为O，连接， 四边形是矩形， 在矩形中, ， ∵, ∴,　 ∴ 又， , ∴． 25. 如图1，为等腰直角三角形，，，则可证．由于三个直角的顶点都在同一直线上，因此我们将其称为“一线三直角”． （1）如图2，在平面直角坐标系中，将等腰如图放置，直角顶点，点，则B点坐标为　　　　　． （2）如图3，在平面直角坐标系中，直线的函数解析式为分别与y轴，x轴交于点A，B，将直线绕点A顺时针旋转得到，求的函数解析式； （3）如图4，在平面直角坐标系中，点，过点B作轴于点A，作轴于点C，P为线段BC上的中点，点Q是直线上的一动点．若，求Q点坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）过点B作交点D，证明得，求出，进而可求出点P的坐标； （2）过点B作交点P，过点P作轴于点Q，证明，确定点P的坐标，设直线的解析式为，求解即可 （3）先求出直线的解析式，得出，然后根据求出即可求解． 【小问1详解】 解：过点B作交点D， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点，点， ∴， ∴， ∴点． 故答案为：； 【小问2详解】 解：过点B作交点P，过点P作轴于点Q， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵直线分别与轴，轴交于点，， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∴， ∵点P在第二象限， ∴点． 设直线的解析式为， ∴， 解得， 故直线的解析式为； 【小问3详解】 解：如图， ∵点，轴，轴， ∴． ∵P为线段BC上的中点， ∴． 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， ∵当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或． 【点睛】本题考查了一线三直角全等模型，等腰直角三角形的判定和性质，一次函数与坐标轴的交点，求一次函数的解析式，坐标与线段的转化，熟练掌握一线三直角全等模型是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $