精品解析：贵州省织金县第二中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

织金二中2026年春季学期高一数学半期考试试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（本大题共40分，每小题5分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，解得，则 ， 而，所以. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】由复数除法即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：A. 3. 求值（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据辅助角公式，化简计算即可得出答案. 【详解】. 故选：A． 4. 已知命题p：，，则命题p的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定，即可得到结论． 【详解】全称命题，它的否定是特称命题， 所以题中全称量词命题的否定为：“”改为存在量词“”，结论改为， 而定义域保持不变，因此，命题p的否定为． 故选：C． 5. 在矩形中，为线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用向量线性运算的数乘和减法、加法法则即可得解. 【详解】在矩形中，为的中点， 故选：C． 6. 以边长为2的正三角形的一边所在直线为旋转轴，将该正三角形旋转一周所得几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以正三角形绕一边所在直线为旋转轴旋转一周，得到几何体是两个同底的圆锥,利用圆锥的侧面积公式即可求解． 【详解】如图，正三角形绕所在直线为旋转轴旋转一周， 得到几何体是两个同底的圆锥， 圆锥的底面半径为， 所得几何体的表面积为． 故选：D． 7. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若直线a与平面平行，则a平行于内的任何直线 B. 若两直线a，b都与平面平行，则 C. 若直线a平行于平面，直线b在平面内，则 D. 若直线l与平面平行，则平面内有无数条直线与l平行 【答案】D 【解析】 【分析】利用直线与直线，直线与平面的位置关系逐项判断即可. 【详解】对于A，若直线a与平面平行，则也可能与平面内某直线异面，错误； 对于B，若两直线a，b都与平面α平行，则两直线可以平行、相交，也可以异面，错误； 对于C，若直线a平行于平面α，直线b在平面α内，则或两直线异面，错误； 对于D，如果一条直线与一个平面平行，那么平面内必有一条直线与给定直线平行，而平面内与一条直线平行的直线有无数条，根据平行的传递性，这些直线都与给定直线平行，所以有无数条，正确. 故选：D 8. 已知某函数的大致图象如图所示，则该函数的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析各选项中函数的奇偶性、函数值符号、单调性，结合图象分析可得答案. 【详解】对于A选项，当时，，与题中函数图象不符，故A错误； 对于B选项，， 所以函数为上的增函数，与题中函数图象不符，故B错误； 对于C选项，设，该函数的定义域为， ，故函数为偶函数，与题干中函数图象不符，故C错误； 对于D选项，设，该函数的定义域为， ，所以函数为奇函数， 当时，，， 由，可得；由，可得或， 所以函数的单调递减区间为、，单调递增区间为， 与题中函数图象相符，故D正确. 二、多项选择题（本大题共18分，每小题6分，少选得部份分，错选不得分） 9. 若且，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据不等式的性质即可判断ABD，利用作差法即可判断C. 【详解】对于AB，因为，所以，，故AB正确； 对于C，， 当时，， 此时，故C错误； 对于D，因为，所以， 又，所以，故D正确. 故选：ABD. 10. 在中，角，，的对边分别是，，，若，，，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由，求得，正弦定理求出，可得的值. 【详解】因为，且，所以. 由正弦定理可得，则， 又，有，故或. 故选：AD 11. 如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点，是线段上的动点，则下列说法中正确的是（ ） A. 存在点，使，，，四点共面 B. 存在点，使∥平面 C. 三棱锥的体积为 D. 此正方体外接球的表面积为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用平行公理推理判断A；利用线面平行的判定推理判断B；求出三棱锥的体积判断C；求出正方体外接球直径计算判断D. 【详解】对于A，在正方体中，连接，由分别是的中点， 得，又，则，因此四点共面， 即当Q与点重合时，四点共面，A正确； 对于B，连接，当Q是的中点时，由，得， 而平面平面，则平面，B正确； 对于C，，而平面，，则，C正确； 对于D，正方体外接球直径等于，该球表面积，D错误. 三、填空题（本大题共15分，每小题5分） 12. 已知，，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用向量坐标的线性运算，得，再利用垂直的坐标表示，即可求解. 【详解】因为，，所以， 又，所以，解得， 故答案为：. 13. 已知i是虚数单位，则 ________． 【答案】 【解析】 【分析】先由复数除法运算化简，再由复数模长公式即可计算求解. 【详解】先由题得，所以. 故答案为： 14. 如图，小明为了测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测得，则塔高_______． 【答案】 【解析】 【分析】设塔高，由题设可得，，再结合余弦定理求解即可. 【详解】设塔高，由， 则，， 在中，由余弦定理得， 则，解得或（舍去）. 故答案为：. 四、解答题（本大题共77分，其中15题13分，16题17题15分，18题19题17分） 15. 已知向量，. （I）求向量与向量夹角的余弦值 （II）若，求实数的值. 【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ). 【解析】 【分析】(Ⅰ) 求得，利用平面向量夹角余弦公式可得结果； （II） 由向量垂直可得 ，即，从而可得结果. 【详解】(Ⅰ) ，设与的夹角为， 所以 ， （II）由题可得，又， ∴， ， 解得， ∴实数的值为1. 16. 如图，四边形是平行四边形，点P是平面外一点． （1）求证：平面； （2）是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于HG，求证： 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可； （2）由线面平行的判定定理证明平面，再由线面平行的性质定理得证. 【小问1详解】 因为四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 连接，交于，连接 因为四边形是平行四边形， 所以是的中点，又因为M是的中点，所以 又因为平面，平面， 所以，平面 又因为平面，平面平面， 所以， 17. 如图，在中，是上的点，，，，. （1）求角的大小； （2）求的面积. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）在中，利用余弦定理即可求解. （2）由（1）可得，从而可得，，即，再利用三角形的面积公式即可求解. 【详解】解：（1）在中， 又，所以. （2）由（1）知，，所以， 又，所以，， 由，知， 所以 18. 如图，在正方体中，是的中点，，，分别是，，的中点，求证： （1）平面∥平面； （2）平面. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先证，再由线面平行的判定即可证平面，同理可证平面，再由面面平行的判定证明即可； （2）根据题意可证平面，再结合平面∥平面，即可得到平面． 【小问1详解】 证明：连接， ∵分别是 的中点， ∴，又∵平面，平面， ∴平面， 同理可证平面， 且平面，平面，， ∴平面平面； 【小问2详解】 证明：在正方体中，是的中点， ，平面，平面， ，又平面， 平面，又平面平面， 平面． 19. 意大利著名天文学家伽利略曾错误的猜测链条在自然下垂时的形状是抛物线．直到1690年雅各布伯努利正式提出该问题为“悬链线”，并向数学界征求答案．1961年他的弟弟约翰伯努利和莱布尼茨、惠更斯三人各自得到了正确答案．至今这类函数在物理及生活中有广泛的应用，人们称这类函数为双曲函数，是一类与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数．记双曲正弦函数为，双曲余弦函数为，已知这两个最基本的双曲函数为， （1）对任意实数，是否为定值，若是定值，请求出定值； （2）证明：两角和的双曲余弦公式； （3）证明：有唯一的正零点，并比较和的大小． 【答案】（1）为定值，定值为 （2）证明见解析 （3）证明见解析， 【解析】 【分析】（1）将解析式代入计算可证明； （2）利用指数幂的运算性质证明即可； （3）利用零点存在性定理可证明在上有唯一的正零点，利用作差法并由二次函数性质计算可得. 【小问1详解】 ∵，， ∴， ∴对任意实数，为定值，定值为. 【小问2详解】 ， ，得证. 【小问3详解】 依题意可得， 因为在上均单调递增， 易知在上单调递增， 且，即， 由零点存在定理可得在上存在唯一实数，使得， 可得有唯一的正零点，且，， 可得，两边同时取对数可得， 所以， 因为在上单调递增， 所以， 因此， 可得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 织金二中2026年春季学期高一数学半期考试试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（本大题共40分，每小题5分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 1 3. 求值（ ） A. B. C. D. 4. 已知命题p：，，则命题p的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 在矩形中，为线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 6. 以边长为2的正三角形的一边所在直线为旋转轴，将该正三角形旋转一周所得几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若直线a与平面平行，则a平行于内的任何直线 B. 若两直线a，b都与平面平行，则 C. 若直线a平行于平面，直线b在平面内，则 D. 若直线l与平面平行，则平面内有无数条直线与l平行 8. 已知某函数的大致图象如图所示，则该函数的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共18分，每小题6分，少选得部份分，错选不得分） 9. 若且，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 在中，角，，的对边分别是，，，若，，，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点，是线段上的动点，则下列说法中正确的是（ ） A. 存在点，使，，，四点共面 B. 存在点，使∥平面 C. 三棱锥的体积为 D. 此正方体外接球的表面积为 三、填空题（本大题共15分，每小题5分） 12. 已知，，若，则________． 13. 已知i是虚数单位，则 ________． 14. 如图，小明为了测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测得，则塔高_______． 四、解答题（本大题共77分，其中15题13分，16题17题15分，18题19题17分） 15. 已知向量，. （I）求向量与向量夹角的余弦值 （II）若，求实数的值. 16. 如图，四边形是平行四边形，点P是平面外一点． （1）求证：平面； （2）是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于HG，求证： 17. 如图，在中，是上的点，，，，. （1）求角的大小； （2）求的面积. 18. 如图，在正方体中，是的中点，，，分别是，，的中点，求证： （1）平面∥平面； （2）平面. 19. 意大利著名天文学家伽利略曾错误的猜测链条在自然下垂时的形状是抛物线．直到1690年雅各布伯努利正式提出该问题为“悬链线”，并向数学界征求答案．1961年他的弟弟约翰伯努利和莱布尼茨、惠更斯三人各自得到了正确答案．至今这类函数在物理及生活中有广泛的应用，人们称这类函数为双曲函数，是一类与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数．记双曲正弦函数为，双曲余弦函数为，已知这两个最基本的双曲函数为， （1）对任意实数，是否为定值，若是定值，请求出定值； （2）证明：两角和的双曲余弦公式； （3）证明：有唯一的正零点，并比较和的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $