精品解析：河北石家庄市第一中学等校2025-2026学年高二下学期期中联考数学试卷

石家庄市第一中学2026下学期高二数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合，根据集合的交集和补集求解即可. 【详解】因为，，所以. 2. 已知复数 ，则（ ） A. 8 B. C. 10 D. 【答案】C 【解析】 【详解】根据题意可得 ． 3. 若一个圆柱的底面半径r与一个球的半径相等，且这两个几何体的体积相等，则该圆柱的高为（ ） A. B. 2r C. D. 3r 【答案】A 【解析】 【详解】设该圆柱的高为，则，得． 4. 对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下表，根据表中数据，利用最小二乘法得到经验回归方程，据此模型预测当x=20时，y的估计值为（ ） x 7 9 11 13 y 2 3 5 6 A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可得： ， 因经验回归方程经过样本中心点,故，解得， 所以经验回归方程为 ， 当时， ． 5. 现要发行10000张彩票，其中中奖金额为5元的彩票1000张，10元的彩票500张，50元的彩票100张，100元的彩票50张，1000元的彩票10张，其余彩票均未中奖，若从这10000张彩票中随机选取1张，则这张彩票奖金的均值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】根据题意可得1张彩票奖金的均值为 6. 已知抛物线：的焦点为，点在上，过点作的准线的垂线，垂足为．若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】抛物线的定义与几何性质 【详解】由题意得， 设，则，，． 因为，所以 ，解得， 所以 ． 7. 以正五棱柱的顶点为顶点的三棱锥的个数是（ ） A. 210 B. 190 C. 195 D. 180 【答案】D 【解析】 【分析】应用组合数求从10个顶点任选4个的情况数，再排除4点共面的情况数，即可得. 【详解】正五棱柱共10个顶点，任取4个顶点，有种不同选法， 底面为正五边形，任取4个顶点，有种不同选法， 5条侧棱互相平行，任取2条，有种不同选法， 四点共面中，出现底面对角线（不含侧棱与侧棱平行）的共有10种情况， 则以正五棱柱的顶点为顶点的三棱锥的个数为. 8. 若函数的最大值为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对求导分析函数单调性得到最大值，得到函数取最大值时的，进而建立关于的方程并求解. 【详解】的定义域为， 易得在上单调递减，当时，，当时，， 所以存在，使得，即， 则当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以 ， 即 ， 易得函数在上单调递增，且0，所以， 所以，解得． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某校高二年级某次数学周测成绩，且，现随机抽取100名学生的成绩，统计两个变量：①变量A指是否坚持课前预习（“是”与“否”各50人）；②变量B指该次数学周测成绩是否在内．整理列联表，计算得 ，则参考临界值： （ ） A. B. C. 根据小概率值0.10的独立性检验，认为变量A与变量B不独立 D. 根据小概率值0.05的独立性检验，认为变量A与变量B不独立 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据已知及正态分布的对称性判断A、B，应用独立性检验基本思想判断C、D. 【详解】正态分布密度曲线关于直线对称，且， 所以，则，A、B正确． 因为 ， 在显著性水平为的独立性检验中，认为变量A与变量B不独立， 在显著性水平为的独立性检验中，认为变量A与变量B独立， C正确，D错误． 10. 已知，，三点，点在圆上运动，则的值可能为（ ） A. 64 B. 72 C. 84 D. 85 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据两点间距离公式求解即可. 【详解】设，则， 则 ， 所以， 即的取值范围为． 11. 在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且，则（ ） A. B. C. D. 的最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A：由，得，构造函数，结合导数与最值的关系得到，结合正弦函数的值域得到，即可求解；对于B：求出的范围，结合余弦函数的单调性判断即可；对于C：结合正弦定理、两角和的正弦公式得到，进而得到，即可得证；对于D：根据余弦定理及基本不等式求解即可. 【详解】由，得，即． 设函数，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以，则，即. 又 ，得，解得，故A错误． 因为是锐角三角形，所以，所以. 又在上单调递减，所以，故B正确． 由正弦定理及三角形内角和为可得， ， 因为为锐角，所以，即，故C正确． 由余弦定理可得，所以， 当且仅当时，等号成立，此时符合为锐角三角形，故D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式的第3项是___________． 【答案】 【解析】 【详解】由的展开式的第3项是． 13. 已知函数，其中且，若的值域是，则的取值范围是___________ 【答案】 【解析】 【分析】结合基本不等式及指数函数的性质分别求出各段的范围后可得参数满足的不等式组，从而可求其范围. 【详解】当时， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以在上的值域为. 若的值域是，则，解得． 14. 设O为坐标原点，点，点，线段AB以每秒2个单位长度的速度向右水平移动，点A，B的对应点分别为．经过t秒后，点在y轴的两侧，且的面积为，此时点恰好分别落在双曲线的左支、右支上，则___________，C的离心率为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】作轴，垂足为，作轴，垂足为，由列方程求参数t，从而确定坐标，再由点在双曲线上求参数值，即可得离心率. 【详解】如图，作轴，垂足为，作轴，垂足为， 当线段平移秒后，， 所以， 即，解得， 此时，则，解得， 所以的离心率为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在正项数列中，. （1）证明：是等差数列． （2）记，数列的前n项和为，证明： 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知得，结合等差数列的定义即可得证； （2）应用裂项相消法求，即可得证. 【小问1详解】 由 ，得， 因为为正项数列，所以，即， 所以是以13为首项，4为公差的等差数列； 【小问2详解】 由（1）可知， ， 则， 所以， 因为，所以，所以. 16. 如图，在四棱台中，平面ABCD，四边形ABCD为正方形，AA1为AC的中点． （1）证明：平面 （2）求直线与平面所成角的正切值． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）解法一：通过证明四边形 为平行四边形得到，利用线面平行的判定定理得到证明.解法二：通过证明四边形为平行四边形得到 ，利用线面平行的判定定理得到证明. （2）解法一：以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，从而得到直线与平面所成角的正切值．解法二：作出合理辅助线，利用定义法从而得到直线与平面所成角的正切值． 【小问1详解】 解法一：因为四边形是正方形，，所以． 因为四边形是正方形，，所以，所以 ， 又因为，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面平面， 所以平面． 解法二： 证明：取的中点，连接， 易得是的中位线，所以． 根据棱台的性质可得，所以 ， 因为，所以，则， 所以四边形为平行四边形，所以 ， 因为平面平面， 所以平面． 【小问2详解】 解法一：以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 所以 ，． 设平面的法向量为，则， 令，则， 则 设直线与平面所成的角为， 则 ， 故直线与平面所成角的正切值为． 解法二：设与交于点，连接．过点作，交于． 因为四边形为正方形，所以四边形为正方形，所以． 因为平面，所以平面， 又平面，则． 因为，平面，平面， 所以平面． 因为平面，所以， 因为 ，平面，平面， 所以平面， 所以即为直线与平面所成的角， 因为，所以即为直线与平面所成的角． 连接，则， 所以， 所以，故直线与平面所成角的正切值为． 17. 已知椭圆C的左、右焦点分别为，点A是C上位于第一象限的点，，点在C上． （1）求C的方程； （2）设，直线的斜率分别为，求的取值范围； （3）设直线与C交于P，Q两点，线段的中点为H，若，求k的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义可得，再代入点即可求解； （2）设，再计算得到，结合即可求解； （3）设，，联立可得，进而得到，又，则 ，再解方程即可． 【小问1详解】 由题意得，即， 因为点在上，所以， 故的方程为； 【小问2详解】 设， 则， 所以， 因为，所以 ，则， 所以的取值范围是； 【小问3详解】 设，，则， 由，得， 所以， ，解得， 则， 因为，所以 ， 解得，满足，所以． 18. 已知函数 （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若，函数有两个零点，求的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为． （3） 【解析】 【分析】（1）结合导数求解切线斜率，再根据点斜式写出切线方程； （2）求的导数，再对参数进行分类讨论，分别判断各区间内导数的符号，确定对应区间的单调性； （3）写出的表达式并求导，分析的单调性得到最小值，结合最小值构造函数 ，继续求导分析函数单调性和极值，再利用零点存在定理确定的取值范围. 【小问1详解】 当时，，， 所以 ， 则曲线在点处的切线方程为，即． 【小问2详解】 的定义域为，． 当时，恒成立，在上单调递增； 当时，由，得，由，得， 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为． 【小问3详解】 由题意得 ，． 因为，所以关于的方程恰有一个正根和一个负根， 因为的定义域为，所以设关于的方程的正根为， 则，得 ，解得． 当时，单调递减； 当时，单调递增． 因为有两个零点，所以 . 因为 ，所以 ，即 ． 设函数，则． 当时，单调递增； 当时，单调递减． 因为，所以由 ，得． 当时，， 因为，所以在上有唯一零点1， 因为 ， 所以 ，所以在上有唯一零点， 此时有两个零点，符合题意． 当时， ， 因为，所以在上有唯一零点1， 设函数， 则单调递增，，且 ， 所以. 由函数在上单调递增， 得 所以 ，所以在上有唯一零点， 此时有两个零点，符合题意． 故的取值范围为． 19. 某农科院针对高产抗病水稻开展了太空诱变筛选实验，所有实验相互独立，实验规则如下： 1．诱变强度量化：将种子的基因损伤修复效率对应为诱变强度等级（记为S），等级范围为0至6． 2．初始状态：选取遗传稳定的“优等”种子，初始诱变强度等级． 3．每轮筛选：对种子进行太空辐射模拟和地面性状检测，达标（修复效率提升）则S增加1，不达标（修复效率下降）则S减少1． 4．终止条件：当S=6时，种子获得稳定有益突变（记为“实验成功”）；当时，种子基因损伤不可逆（记为“实验失败”）． 5．概率设定：每轮筛选达标概率为，不达标概率为 记实验终止时的筛选轮次为X．对任意正整数n，定义：第n轮筛选后，的概率为第n轮筛选后，的概率为 （1）证明：X为奇数． （2）求 （3）试问当n为奇数时，是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）是定值，定值为3. 【解析】 【分析】（1）初始诱变强度等级，每轮筛选变化或，即每轮的奇偶性改变一次，实验终止时，（偶数）或（偶数），而初始，设实验终止时种子经历了次达标，次不达标，，则或，从而得到 或，得到证明. （2）列出或，解得的值，求出． （3）列出方程组，通过计算得到，由得到，从而得到，从而得到结论. 【小问1详解】 初始诱变强度等级，每轮筛选变化或， 即每轮的奇偶性改变一次， 实验终止时，（偶数）或（偶数），而初始， 设实验终止时种子经历了次达标，次不达标，， 则或， 则或，所以或， 因为为整数，所以为奇数． 【小问2详解】 由或，解得或， 所以 ． 【小问3详解】 当为奇数时，是定值，定值为3. 理由如下： 依题意可得， 即， 所以， 因为，所以， 所以，即，所以当为奇数时，是定值，定值为3. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石家庄市第一中学2026下学期高二数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数 ，则（ ） A. 8 B. C. 10 D. 3. 若一个圆柱的底面半径r与一个球的半径相等，且这两个几何体的体积相等，则该圆柱的高为（ ） A. B. 2r C. D. 3r 4. 对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下表，根据表中数据，利用最小二乘法得到经验回归方程，据此模型预测当x=20时，y的估计值为（ ） x 7 9 11 13 y 2 3 5 6 A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 5. 现要发行10000张彩票，其中中奖金额为5元的彩票1000张，10元的彩票500张，50元的彩票100张，100元的彩票50张，1000元的彩票10张，其余彩票均未中奖，若从这10000张彩票中随机选取1张，则这张彩票奖金的均值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 6. 已知抛物线：的焦点为，点在上，过点作的准线的垂线，垂足为．若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 7. 以正五棱柱的顶点为顶点的三棱锥的个数是（ ） A. 210 B. 190 C. 195 D. 180 8. 若函数的最大值为，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某校高二年级某次数学周测成绩，且，现随机抽取100名学生的成绩，统计两个变量：①变量A指是否坚持课前预习（“是”与“否”各50人）；②变量B指该次数学周测成绩是否在内．整理列联表，计算得 ，则参考临界值： （ ） A. B. C. 根据小概率值0.10的独立性检验，认为变量A与变量B不独立 D. 根据小概率值0.05的独立性检验，认为变量A与变量B不独立 10. 已知，，三点，点在圆上运动，则的值可能为（ ） A. 64 B. 72 C. 84 D. 85 11. 在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且，则（ ） A. B. C. D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式的第3项是___________． 13. 已知函数，其中且，若的值域是，则的取值范围是___________ 14. 设O为坐标原点，点，点，线段AB以每秒2个单位长度的速度向右水平移动，点A，B的对应点分别为．经过t秒后，点在y轴的两侧，且的面积为，此时点恰好分别落在双曲线的左支、右支上，则___________，C的离心率为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在正项数列中，. （1）证明：是等差数列． （2）记，数列的前n项和为，证明： 16. 如图，在四棱台中，平面ABCD，四边形ABCD为正方形，AA1为AC的中点． （1）证明：平面 （2）求直线与平面所成角的正切值． 17. 已知椭圆C的左、右焦点分别为，点A是C上位于第一象限的点，，点在C上． （1）求C的方程； （2）设，直线的斜率分别为，求的取值范围； （3）设直线与C交于P，Q两点，线段的中点为H，若，求k的值． 18. 已知函数 （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若，函数有两个零点，求的取值范围． 19. 某农科院针对高产抗病水稻开展了太空诱变筛选实验，所有实验相互独立，实验规则如下： 1．诱变强度量化：将种子的基因损伤修复效率对应为诱变强度等级（记为S），等级范围为0至6． 2．初始状态：选取遗传稳定的“优等”种子，初始诱变强度等级． 3．每轮筛选：对种子进行太空辐射模拟和地面性状检测，达标（修复效率提升）则S增加1，不达标（修复效率下降）则S减少1． 4．终止条件：当S=6时，种子获得稳定有益突变（记为“实验成功”）；当时，种子基因损伤不可逆（记为“实验失败”）． 5．概率设定：每轮筛选达标概率为，不达标概率为 记实验终止时的筛选轮次为X．对任意正整数n，定义：第n轮筛选后，的概率为第n轮筛选后，的概率为 （1）证明：X为奇数． （2）求 （3）试问当n为奇数时，是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $