微专题1 一元二次不等式恒(能)成立问题 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“一元二次不等式恒（能）成立问题”专题，依据高考评价体系梳理了实数集R上恒成立、给定区间恒成立、变换主元、能成立四大核心考点，通过例题与跟踪训练明确恒成立问题占比60%的高频考查权重，归纳参数范围求解等常考题型，体现高考备考的针对性和实用性。 课件亮点在于“分层突破+素养渗透”的复习策略，如通过分离参数法、分类讨论法解析给定区间恒成立问题，培养学生的数学思维（推理能力、运算能力）和数学语言（模型观念）。特设高考模拟题训练与易错点警示，帮助学生熟练答题技巧，教师可据此系统指导学生高效突破考点，提升备考效率。

微专题1　一元二次不等式恒(能)成立问题 1 多元视角·拓展教材　开放式拓展 实现一个“广” 视角一　在实数集R上的恒成立问题 例1 不等式(a－2)x2＋(a－2)x－1<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．(－2，2) B．(－2，2] C．(－∞，－2) D．(－∞，－2) 答案：B 2 解析：由题意，不等式(a－2)x2＋(a－2)x－1<0对一切x∈R恒成立，当a－2＝0时，即a＝2时，不等式－1<0恒成立，符合题意；当a－2≠0时，即a≠2时，要使得不等式(a－2)·+ (a2)x1<0对一切 x恒成立，则满足 解得－2<a<2.综上，实数a的取值范围是(－2，2].故选B. 3 学霸笔记：不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象来决定． (1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔或 (2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔或 4 　跟踪训练　(衔接·人教A版必修一P58T6)不等式2kx2＋kx－<0对一切x∈R恒成立，则实数k的取值范围是________． 答案：(－3，0] 解析：当k＝0时，－<0恒成立，符合题意；当k≠0， 则解得－3<k<0.综上，实数k的取值范围是(－3，0]. 5 视角二　在给定区间上的恒成立问题 例2 (1)若不等式x2＋ax＋1>0对任意x∈(0，2]恒成立，求实数a的取值范围． 答案：不等式x2＋ax＋1>0对任意的x∈(0，2]恒成立， 等价于－a<x＋对任意的x∈(0，2]恒成立， 记f(x)＝x＋，则原恒成立问题等价于－a<f(x)min， 因为x∈(0，2]，由基本不等式可得f(x)＝x＋≥2 ＝2， 当且仅当x＝(0<x≤2)时，即当x＝1时，等号成立． 所以，－a<2，解得a>－2. 因此，实数a的取值范围是{a|a>－2}． 6 (2)已知f(x)＝x2＋ax＋3－a，若x∈[－2，2]时，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围． 答案：f(x)＝x2＋ax＋3－a的图象开口向上，对称轴为直线x＝－，当x∈[－2，2]时，f(x)≥0恒成立，则有当－≤－2，即a≥4时，f(x)≥f(－2)＝7－3a≥0，解得a≤，即a≥4不合题意；当－2<－<2，即－4<a<4时，f(x)≥f＝≥0，解得－6≤a≤2，即－4<a≤2；当－≥2，即a≤－4时，f(x)≥f(2)＝7＋a≥0，解得a≥－7，即－7≤a≤－4.综上所述，a的取值范围为[－7，2]. 7 学霸笔记： (1)若欲求范围的参数能够分离到不等式的一边，那么这时可以通过求出不等式另一边式子的最值(范围)来得到不等式恒成立时参数的取值范围．一般地，a≥f(x)恒成立时，应有a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立时，应有a≤f(x)min. (2)若参数不能分离出来，则要利用二次函数的图象根据对称轴分类讨论． 8 　跟踪训练　(1)已知满足x2－2x≤0的x使得ax2＋2x－1≤0恒成立，则a的取值范围为(　　) A．(－∞，－1] B．(－，1] C．[0，＋∞) D．[－1，－] 答案：A　 9 解析：由x2－2x≤0，求出0≤x≤2， ax2＋2x－1≤0在x∈[0，2]上恒成立， ax2＋2x－1≤0⇒ax2≤1－2x，当x＝0时，0≤1，a∈R； 当x∈(0，2]时，ax2≤1－2x⇒a≤＝2－1， 其中2－1≥－1，当且仅当x＝1时，等号成立，故a≤－1. 综上，a的取值范围为(－∞，－1]. 故选A. 10 (2)若对任意x∈[－1，]，x2＋ax＋1>0恒成立，则实数a的取值范围为________． 答案： 解析：设f(x)＝x2＋ax＋1，x∈，则f(x)min>0， (ⅰ)当－≤－1，即a≥2时，f(x)min＝f(－1)＝2－a>0，解得a<2，无解； (ⅱ)当－1<－<，即－1<a<2时，f(x)min＝f＝－＋1>0，解得－2<a<2，则－1<a<2；(ⅲ)当－，即a≤－1时，f(x)min＝f＝>0，解得a>－，则－<a≤－1，所以实数a的取值范围为. 11 视角三　变换主元解决恒成立问题 例3 已知a∈[－1，1]，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，则x的取值范围为__________． 答案：(－∞，1)∪(3，＋∞) 解析：当a∈[－1，1]时，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，即当a∈[－1，1]时，不等式(x－2)a＋x2－4x＋4>0恒成立． 设f(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4，即当a∈[－1，1]时，f(a)>0恒成立， 所以即解得x>3或x<1. 12 学霸笔记：给定参数范围的恒成立问题，常采用变更主元的方法，即交换主元与参数的位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．常见的是转化为一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)在[m，n]上恒成立问题，若f(x)>0恒成立⇔即直线上两点的函数值均大于零，则由直线的特点可知，两点之间的所有点的函数值均大于零，同理，若f(x)<0恒成立⇔ 13 跟踪训练　若不等式2x－1>m(x2－1)对满足－2≤m≤2的所有m都成立，求x的取值范围． 答案：改变主元，将m视为主变元，将原不等式化为－(2x－1)<0， 令f(m)＝m(x2－1)－(2x－1)，则当－2≤m≤2时，f(m)<0恒成立， 只需即 解得得<x<，故x的取值范围是. 14 视角四　一元二次不等式能成立问题 例4 已知函数f(x)＝(m＋1)x2－(m－1)x＋m－1． (1)命题p：∃x∈R，f(x)<x为假命题，求实数m的取值范围； 答案：由已知命题为假命题，则∀x∈R，(m＋1)x2－mx＋m－1≥0， 当m＋1＝0，即m＝－1时，x－2≥0，显然在R上不恒成立； 当m＋1<0，即m<－1时，此时y＝(m＋1)x2－mx＋m－1的图像开口向下，故不等式在R上不恒成立； 当m＋1>0时，则 即⇒m≥，综上，m的取值范围是. 15 (2)当1≤x≤3时，不等式f(x)≤x2＋2x有解，求实数m的取值范围． 答案：不等式f(x)≤x2＋2x，即(m＋1)x2－(m－1)x＋m－1≤x2＋2x，即m(x2－x＋1)≤x＋1. 由x2－x＋1>0恒成立，则m≤在1≤x≤3时有解，m≤， 设x＋1＝t，有2≤t≤4，＝＝＝， 而y＝t＋－3在[2，4]上单调递增，则y∈，故∈， 所以m≤2，实数m的取值范围为(－∞，2]. 16 学霸笔记：当不等式中含有参数和变量，且能将参数与变量分离到不等式两边时，可使用分离参数法． 根据能成立的条件确定参数的取值范围．若a>f(x)能成立，则a>f(x)min；若a<f(x)能成立，则a<f(x)max. 17 　跟踪训练　已知函数f(x)＝2x2－1，g(x)＝6x＋a，a∈R.若存在x∈[－2，2]，使不等式f(x)<g(x)成立，求a的取值范围． 答案：因为存在x∈[－2，2]，使不等式f(x)<g(x)成立， 即存在x∈[－2，2]，使不等式2x2－6x－1<a成立， 令h(x)＝2x2－6x－1，x∈[－2，2]， 所以a>h(x)min＝－，所以a的取值范围为. 18 1．已知不等式x2－mx＋4<0的解集为空集，则m的取值集合为(　　) A．(－4，4) B．(－∞，－4)∪(4，＋∞) C．(－∞，－4]∪[4，＋∞) D．[－4，4] 答案：D 解析：∵不等式x2－mx＋4<0的解集为空集，∴不等式x2－mx＋4≥0在R上恒成立，∴Δ＝m2－4×1×4≤0，∴－4≤m≤4，即m的取值范围是[－4，4].故选D. 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 19 2．(2026·临沂模拟)若关于x的不等式mx2－5x＋m≤0的解集为R，则实数m的取值范围是(　　) A． B． C． D． 答案：A 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 20 解析：当m＝0时，不等式－5x≤0，解得x≥0，显然解集不是R，不符合题意；当m≠0，由不等式的解集为R，则m<0，Δ＝－4m2≤0，解得m≤－，即m的取值范围为.故选A. 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 21 3．已知当1≤x≤2时，x2－ax>0恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．a≥1 B．a>1 C．a≤1 D．a<1 答案：D 解析：因为1≤x≤2，所以由x2－ax>0⇒x－a>0⇒a<x，当1≤x≤2时，x2－ax>0恒成立，等价于当1≤x≤2时，a<x恒成立，则有a<1.故选D. 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 22 4．若不等式ax2＋2ax－4<2x2＋4x对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是(　　) A．－2<a<2 B．a<－2或a>2 C．－2<a≤2 D．a≤－2 答案：C 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 23 解析：不等式ax2＋2ax－4<2x2＋4x可化为(a－2)x2＋(2a－4)x－4<0，当a－2＝0，即a＝2时，不等式为－4<0，恒成立，∴a＝2满足题意；当a－2≠0，即a≠2时，要使不等式恒成立，则需解得－2<a<2.综上所述，a的取值范围为－2<a≤2.故选C. 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 24 5．(2026·青岛模拟)若集合A＝{x∈N*|x2＋x＋a≤0}非空集，则a的取值范围是(　　) A． B．(－∞，0] C．(－∞，－1] D．(－∞，－2] 答案：D 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 25 解析：因为集合A＝{x∈N*|x2＋x＋a≤0}非空集，所以x2＋x＋a≤0在[1，＋∞)上有解，则a≤－x2－x在[1，＋∞)上有解，令f(x)＝－x2－x，由二次函数性质得f(x)在[1，＋∞)上单调递减，可得f(x)max＝－1－1＝－2，即a∈(－∞，－2].故D正确．故选D. 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 26 6．当1≤x≤3时，关于x的不等式x2－ax＋4≥0有解，则实数a的取值范围是(　　) A．a≤4 B．a≤－4或a≥4 C．a≤5 D．a≤ 答案：C 解析：由1≤x≤3时，x2－ax＋4≥0有解，所以a≤，又y＝x＋在[1，2]上单调递减，在[2，3]上单调递增，且x＝1时，y＝5，x＝3时，y＝，所以a≤＝5.故选C. 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 27 7．若关于x的不等式x2－6x＋2－a>0在区间[0，5]内有解，则实数a的取值可以是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案：AB 解析：不等式x2－6x＋2－a>0在区间[0，5]内有解，仅需(x2－6x＋2)max>a即可，令f(x)＝x2－6x＋2，因为f(x)的对称轴为x＝－＝3，f(0)＝2，f(5)＝－3，所以(x2－6x＋2)max＝2，所以a<2.故选AB. 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 28 8．“关于x的不等式ax2－2ax＋1>0对∀x∈R恒成立”的充分不必要条件有(　　) A．0<a<1 B．0≤a<1 C．0≤a< D．－1≤a<1 答案：AC 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 29 解析：ax2－2ax＋1>0，当a＝0时，ax2－2ax＋1>0转化为1>0，不等式ax2－2ax＋1>0对∀x∈R恒成立，当a≠0时，ax2－2ax＋1>0对∀x∈R恒成立，则有解得0<a<1，综上可知，不等式恒成立，a的范围的集合为0≤a<1}，“关于x的不等式ax2－2ax＋1>0对∀x∈R恒成立”的充分不必要条件，须是集合{a|0≤a<1}的真子集，故选项A和C正确．故选AC. 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 30 三、填空题(每小题5分，共10分) 9．命题p：“∃x∈[－1，3]，x2－2x－m≤0”是假命题，则m的取值范围是________． 答案：(－∞，－1) 解析：由题，¬p：∀x∈[－1，3]，x2－2x－m>0为真命题，所以m<x2－2x，在x∈[－1，3]上恒成立，又y＝x2－2x在x∈[－1，3]上的最小值为－1，∴m<－1，所以实数m的取值范围为(－∞，－1)． 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 31 10．若命题“∃a∈[－1，3]，ax2－(2a－1)x＋3－a<0”为假命题，则实数x的取值范围为________． 答案：[－1，0]∪ 解析：由题意可得，命题“∀a∈[－1，3]，ax2－(2a－1)x＋3－a≥0”为真命题，即ax2－(2a－1)x＋3－a＝(x2－2x－1)a＋x＋3≥0.当a∈[－1，3]时恒成立，则解得－1≤x≤0或≤x≤4.故实数x的取值范围为[－1，0]∪. 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 32 11．(13分)已知关于x的不等式2x－1>m(x2－1)． (1)是否存在实数m，使不等式对任意x∈R恒成立，并说明理由； 答案：原不等式等价于mx2－2x＋(1－m)<0， 当m＝0时，－2x＋1<0不恒成立， 当m≠0时，不等式对于x∈R恒成立， 则需m<0且4－4m(1－m)<0，无解， 所以不存在实数m对任意x∈R恒成立． 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 33 (2)若不等式对于x∈(1，＋∞)恒成立，求m的取值范围． 答案：因为x>1，所以m<. 设2x－1＝t(t>1)，则x2－1＝，所以m<. 设g(t)＝t－＋2，t∈(1，＋∞)，显然g(t)在(1，＋∞)上单调递增， 当t→＋∞时，t－＋2→＋∞，→0，且>0， 所以m≤0，所以m的取值范围是(－∞，0]. 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 34 12．(15分)(2026·保定模拟)已知函数f(x)＝ax2－ax，(a∈R)， (1)若f(x)<2对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围． 答案：因为f(x)<2对任意x∈R恒成立，即ax2－ax－2<0对任意x∈R恒成立， 令g(x)＝ax2－ax－2，则g(x)<0对任意x∈R恒成立， ①当a＝0时，则g(x)＝－2<0对任意x∈R恒成立，即a＝0满足题意； ②当a>0时，函数g(x)＝ax2－ax－2的图象为抛物线，开口向上， 所以ax2－ax－2<0对任意x∈R不恒成立，所以不满足题意； ③当a<0时，函数g(x)＝ax2－ax－2的图象为抛物线，开口向下， 要使得ax2－ax－2<0对任意x∈R恒成立，则Δ＝a2＋8a<0，解得－8<a<0. 综上由①②③可得a的取值范围为(－8，0]. 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 35 (2)若存在x∈[0，2]，使得f(x)<－a＋4成立，求此时实数a的取值范围． 答案：不等式f(x)<－a＋4，即a(x2－x＋1)<4， 因为x2－x＋1＝>0，所以a<， 因为存在x∈[0，2]，使得f(x)<－a＋4成立， 即存在x∈[0，2]，使得a<成立，当x∈[0，2]时，≤3， 得，当x＝时，有最大值，则有a<， 即实数a的取值范围为. 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 36 $