精品解析：陕西汉中市仁德学校2025-2026学年高二第二学期5月期中数学试题

汉中市仁德学校高二第二学期期中试题（A） 数学 试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由（选择题）和（非选择题）组成； 卷面总分：150分，考试时间：120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B铅笔将考号准确填涂在“准考证号”栏目内． 2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案：非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 第一部分（选择题 共58分） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件 4. 设为等差数列，为其前项和，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则 A. 是偶函数，且在R上是增函数 B. 是奇函数，且在R上是增函数 C. 是偶函数，且在R上是减函数 D. 是奇函数，且在R上是减函数 6. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 7. 函数的图象在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列满足，则下列结论中不正确的有（ ） A. 为等比数列 B. 的通项公式为 C. 为递增数列 D. 的前项和 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值是 C. 的最小值是 D. 的最小值是 10. 已知等比数列中，满足，，是的前项和，则下列说法正确的是（ ） A. 数列是等比数列 B. 数列是递减数列 C. 数列是等差数列 D. 数列中，，，仍成等比数列 11. 已知函数，其导函数为，则（ ） A. 直线是曲线的切线 B. 有三个零点 C. D. 若在区间上有最大值，则的取值范围为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量,，且，则实数__________． 13. 中，内角的对边分别为，若，，的面积，则______． 14. 已知函数对于任意，都有，且当时，.若函数恰有3个零点，则的取值范围是___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的值； （2）求的单调增区间； （3）求在区间上的最大值和最小值． 16. 某校对2024年高一上学期期末数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照，，，，，分成6组，绘制成如下图所示的频率分布直方图： （1）求频率分布直方图中的值： （2）估计该校高一上学期期末数学考试成绩的平均数： （3）为了进一步了解学生数学学科学习的情况，在成绩位于的学生中用分层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生的分数不在同一组内的概率． 17. 如图，正三角形ABE与菱形ABCD所在的平面互相垂直，，，M是AB的中点． （1）求证:; （2）求二面角的余弦值; （3）在线段EC上是否存在点P，使得直线AP与平面ABE所成的角为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 18. 已知数列中，， （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的通项公式； （3）设数列满足：，求的前项和． 19. 已知函数． （1）当时，求函数的最小值； （2）试讨论函数的单调性； （3）当时，不等式恒成立，求整数a的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 汉中市仁德学校高二第二学期期中试题（A） 数学 试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由（选择题）和（非选择题）组成； 卷面总分：150分，考试时间：120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B铅笔将考号准确填涂在“准考证号”栏目内． 2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案：非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 第一部分（选择题 共58分） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】， ，所以 2. 设，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘法和除法运算，结合共轭复数及复数的概念求解即可. 【详解】. 则，所以的虚部为. 3. 已知集合，，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件 【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合，再根据充分条件和必要条件的定义，分别判断“”能否推出“”以及“”能否推出“”，进而确定“”是“”的什么条件. 【详解】已知，解不等式，即，所以. 判断充分性： 当时，集合，此时集合中的所有元素都在集合中，满足，所以由“”可以推出“”，充分性成立. 判断必要性： 若，因为集合，集合，所以的值可以为，也可以是其他值如，不一定只能是，即由“”不能推出“”，必要性不成立. 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：C. 4. 设为等差数列，为其前项和，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，则，所以. 5. 已知函数，则 A. 是偶函数，且在R上是增函数 B. 是奇函数，且在R上是增函数 C. 是偶函数，且在R上是减函数 D. 是奇函数，且在R上是减函数 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由函数的解析式可得f（﹣x）＝2x﹣（）x＝﹣f（x），则函数f（x）为奇函数，由指数函数的性质可得y＝（）x在R上为减函数，y＝2x在R上为增函数，则函数f（x）＝（）x﹣2x在R上为减函数，据此分析可得答案． 【详解】根据题意，f（x）＝（）x﹣2x， 有f（﹣x）＝2x﹣（）x＝﹣f（x），则函数f（x）为奇函数， 又由y＝（）x在R上为减函数，y＝2x在R上为增函数，则函数f（x）＝（）x﹣2x在R上为减函数， 故选D． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握函数奇偶性、单调性的判断方法，属于基础题． 6. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数定义，结合诱导公式求解可得. 【详解】因为角的终边经过点，所以， 所以. 故选：C 7. 函数的图象在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求出切线的斜率，然后写出切线方程的点斜式，化简即可得解. 【详解】，所以，即切线的斜率为1， 又，所以切点坐标为， 所以所求的切线方程为，化简得： 故选：C. 8. 已知数列满足，则下列结论中不正确的有（ ） A. 为等比数列 B. 的通项公式为 C. 为递增数列 D. 的前项和 【答案】C 【解析】 【分析】原等式变形为，可得是以4为首项，2为公比的等比数列，求出通项公式即可求出及的通项公式，再利用分组求和法及等比数列的前项和即可求出的前项和． 【详解】因为， 所以，又， 所以是以4为首项，2为公比的等比数列，A正确： ，即，B正确； 为递减数列，C错误； 的前项和 ，D正确． 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值是 C. 的最小值是 D. 的最小值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用不等式性质可判断A；根据基本不等式判断BD；结合二次函数性质判断C； 【详解】由，得，因为，所以，解得， 又，所以，故A正确； 因为，故，所以，所以， 当且仅当时取等号，故B正确； 由，得，所以， 当时，取最小值，最小值是，故C错误； ， 当且仅当时，结合，即取时等号，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知等比数列中，满足，，是的前项和，则下列说法正确的是（ ） A. 数列是等比数列 B. 数列是递减数列 C. 数列是等差数列 D. 数列中，，，仍成等比数列 【答案】ABC 【解析】 【分析】先根据等比数列求.对于A：根据等比数列的定义分析判断；对于B：根据数列单调性的定义分析判断；对于C：根据等差数列的定义分析判断；对于D：根据等比中项的定义分析判断. 【详解】依题意可知， 对于选项A：因为，所以数列是等比数列，故A正确； 对于选项B：，所以， 所以数列是递减数列，故B正确； 对于选项C：设，则， 所以数列是等差数列，故C正确； 对于选项D：， 因为， 即，所以，，不成等比数列，所以D错误； 故选：ABC. 11. 已知函数，其导函数为，则（ ） A. 直线是曲线的切线 B. 有三个零点 C. D. 若在区间上有最大值，则的取值范围为 【答案】BC 【解析】 【分析】对求导，根据二次函数的性质计算判断C，根据导函数求出函数的单调性及极值点B；利用导函数求出导数值为即可确定过该点的切线方程，即判断A；根据图象及函数有最大值列式计算即可判断D． 【详解】因为，则，，所以，C正确； 因为，令，得，解得或， 当或时，，当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，在处取得极小值， 且， 图象如图所示： 故有两个极值点，三个零点，故B正确； 设切点的坐标为，则切线斜率为， 则，所以不存在斜率为的切线， 直线不是曲线的切线，故A错误； 因为，所以若在区间上有最大值， 则，所以，故D错误． 故选：BC． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量,，且，则实数__________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据向量的坐标表示，求解出的坐标表示，利用垂直向量的数量积为0即可求解. 【详解】解：因为，，所以， 又，故，解得：. 故答案为：9. 13. 中，内角的对边分别为，若，，的面积，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用的面积求出，再由余弦定理可得答案． 【详解】因为，所以， 由余弦定理可得， 所以. 故答案为：. 14. 已知函数对于任意，都有，且当时，.若函数恰有3个零点，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】把函数零点问题转化为函数图像交点问题，由，可以画出函数以及，根据的情况分类讨论，结合函数图像的交点，即可得解. 【详解】由对任意都成立，所以函数的图像关于直线对称， 先作出函数在上的图像，再作出这部分图像关于直线对称的图像， 得函数的图像，如图所示： 令，得，令，则函数的零点个数即函数的图像与函数的图像的交点个数， 因为，所以的图像关于轴对称， 且恒过定点，当函数的图像过点时，， 过点作函数的图像的切线， 设切点为处的切线方程为， 又切线过点，所以，所以切线的斜率为， 即当时，的图像与函数的图像相切， 由图可知，当且仅当时， 和恰有3个交点，即恰三个零点. 故答案为： 【点睛】本题考查了函数零点问题即函数方程问题，考查了分段函数的性质以及函数对称性，考查了数形结合思想以及利用导数求切线方程，有一定的计算量，属于较难题.本题的关键点为： （1）把函数零点问题转化为函数图像交点问题； （2）掌握过某点求切线方程. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的值； （2）求的单调增区间； （3）求在区间上的最大值和最小值． 【答案】（1），； （2）； （3）最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）由图象观察可得，求出最小正周期可得； （2）根据正弦函数性质列不等式计算求解单调增区间； （3）由，得，根据正弦函数性质求解. 【小问1详解】 由图象可知，函数的最大值为，最小值为，所以， 因为，所以； 【小问2详解】 由（1）可知， 令，解得， 所以函数的单调递增区间为； 【小问3详解】 因为，所以， 当，即时，函数有最大值为， 当，即时，函数有最小值为. 16. 某校对2024年高一上学期期末数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照，，，，，分成6组，绘制成如下图所示的频率分布直方图： （1）求频率分布直方图中的值： （2）估计该校高一上学期期末数学考试成绩的平均数： （3）为了进一步了解学生数学学科学习的情况，在成绩位于的学生中用分层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生的分数不在同一组内的概率． 【答案】（1） （2）93分 （3） 【解析】 【小问1详解】 由题 ， 解得：． 【小问2详解】 由（1）可知，数学成绩在： 频率， 频率， 频率， 频率， 频率， 频率， 样本平均值为：， 可以估计样本数据中数学成绩均值为93分， 据此可以估计该校高一上学期期中数学考试成绩的平均分是93分； 【小问3详解】 由题意可知，分数段的人数为（人）， 分数段的人数为（人）． 用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，则需在［50，70）分数段内抽2人，分别记为，需在分数段内抽3人，分别记为，，， 设“从样本中任取2人，抽取的这2名学生的分数不在同一组内”为事件， 则样本空间共包含10个样本点， 所以事件的对立事件为包含4个样本点 所以， 所以， 即抽取的这2名学生的分数不在同一组内的概率为． 17. 如图，正三角形ABE与菱形ABCD所在的平面互相垂直，，，M是AB的中点． （1）求证:; （2）求二面角的余弦值; （3）在线段EC上是否存在点P，使得直线AP与平面ABE所成的角为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 在线段EC上存在点P,理由见解析. 【解析】 【分析】（1）推导出，从而平面ABCD，由此能证明． （2）推导出，，从而MB、MC、ME两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值． （3）求出和平面ABE的法向量，利用向量法能示出在线段EC上存在点P，使得直线AP与平面ABE所成的角为，且． 【详解】证明：Ⅰ，M是AB的中点，， 平面平面ABCD， 平面平面，平面ABE， 平面ABCD，平面ABCD， 解：（2） 平面ABCD，，是正三角形， 、MC、ME两两垂直． 建立如图所示空间直角坐标系 则0，，0，，0，，，0，， ，0，， 设y，是平面BCE的一个法向量， 则， 令，得， 轴与平面ABE垂直，1，是平面ABE的一个法向量 ， 二面角的余弦值为 （3）假设在线段EC上存在点P，使得直线AP与平面ABE所成的角为． 0，，， 设，， 则， 直线AP与平面ABE所成的角为， ， 由，解得， 在线段EC上存在点P，使得直线AP与平面ABE所成的角为，且 【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，考查创新意识、应用意识，是中档题． 18. 已知数列中，， （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的通项公式； （3）设数列满足：，求的前项和． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 因为，， 可得， 可得数列是首项为1，公差为3的等差数列； 【小问2详解】 由（1）可得， 则； 【小问3详解】 由题可知， 则前项和， ， 两式相减可得 ， 化简可得． 19. 已知函数． （1）当时，求函数的最小值； （2）试讨论函数的单调性； （3）当时，不等式恒成立，求整数a的最大值． 【答案】（1） （2）答案见详解 （3）4 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数判断的单调性和最值； （2）求出原函数的导函数，对进行分类讨论即可得出原函数的单调区间； （3）问题转化为恒成立，令新函数，利用导数求其最小值的范围，即可求得整数的最大值. 【小问1详解】 当时，则， 可知的定义域为，且， 令，解得；令，解得， 可知的单调递减区间是，单调递增区间是， 所以函数的最小值为. 【小问2详解】 由题意可知的定义域为，且， 当时，恒成立， 所以的单调递减区间是，无单调递增区间. 当时，令解得， 令，解得；令，解得， 所以的单调递减区间是，单调递增区间是； 综上所述：当时，的单调递减区间是，无单调递增区间； 当时，的单调递减区间是，单调递增区间是. 【小问3详解】 当时，不等式恒成立， 即，整理可得， 原题意等价于对任意恒成立， 令， 则， 令，则， 所以在区间上单调递增， 因为，， 所以在区间内存在唯一零点， 即，所以， 当时，，即； 当时，，即； 可知在区间上单调递减，在区间上单调递增； 所以， 因为，则，即， 且为整数，则，所以整数的最大值是4. 【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题 （1）分离参数法 第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的最值； 第三步：根据要求得所求范围． （2）函数思想法 第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的极值； 第三步：构建不等式求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $