2026年山东济南市长清区马山初级中学等校中考数学模拟卷一

**基本信息** 立足核心素养，融合文化传承（三星堆图案、正五边形）与生活情境（游客数据、飞镖游戏），梯度设计考查数学眼光（几何直观）、思维（推理能力）与语言（模型意识）。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|代数（绝对值、科学记数法）、几何（三视图、中心对称）|结合河南游客数据考科学记数法，体现社会热点| |填空题|5/20|因式分解、概率、正多边形性质|飞镖游戏考概率，容器进出水考函数应用，贴近生活| |解答题|10/90|几何证明（平行四边形）、综合实践（光的折射）、动态几何（矩形旋转）|光的折射实验融合物理知识，矩形旋转综合考查空间观念与推理能力，契合中考命题趋势|

九年级数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求。） 1．绝对值等于3的数是（　　） A．﹣3 B．0 C．3 D．3或﹣3 2．如图是一个电风扇的旋钮开关，其俯视图为（　　） A． B． C． D． 3．河南省文化和旅游厅指出，河南五一期间接待游客5518万人次，游客接待量位居全国第一，数据“5518万”用科学记数法表示为（　　） A．5518×104 B．5.518×107 C．551.8×105 D．5.518×108 4．（4分）下列三星堆文物图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 5．下列运算正确的是（　　） A．m2•m3＝m6 B．（m3）2＝m6 C．m（﹣m+2）＝m2+2m D．m2+m3＝2m6 6．将一个直角三角形的三条边长都扩大到原来的2022倍，得到的新三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．形状不能确定 7．若点A（﹣1，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）在反比例函数y的图象上，则y1，y2，y3，的大小关系是（　　） A．y3＜y1＜y2 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y2＜y1 8．投掷两枚质地均匀的骰子，两枚骰子向上一面的点数相同的概率是（　　） A． B． C． D． 9．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC＝2，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，射线BP交AC于点D，则线段CD的长度是（　　） A． B． C． D． 10．如图1，在等边三角形ABC中，点D为边AC的中点．动点P从点A出发，沿边AB→BC方向匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，△APD的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到BC的三等分点时，PD的长为（　　） A． B． C．或 D．或 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案。） 11．把多项式3a﹣3ab分解因式的结果是　 　。 12．如图，飞镖游戏板被等分成若干个相同的小正方形，某位同学向游戏板投掷飞镖，假设飞镖落在游戏板上每个点的概率相同，则落在涂色部分的概率为 　 　。 13．如图，五边形ABCDE是正五边形，F，G是边CD，DE上的点，且BF∥AG．若∠CFB＝57°，则∠AGD＝　 　 。 14．一个容器有进水管和出水管，每分钟的进水量和出水量是两个常数，从某时刻开始4min内只进水不出水，从第4min到第24min内既进水又出水，从第24min开始只出水不进水，容器内水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示，则图中a的值是 　 　。 15．如图，沿EF翻折矩形ABCD，A对应M，D落在CB上的N处，作DH⊥EF于H，AD＝3，DC＝4，则2DH+DM的最小值为　 　 。 三、解答题（本题共10小题，共90分．解答时应写出文字说明，证明或演算步骤．） 16．（7分）计算：。 17．（7分）解不等式组并写出所有的正整数解。 18．（7分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB的延长线上，点F在CD的延长线上，满足BE＝DF．连接EF，分别与BC，AD交于点G，H．求证：AH＝CG。 19．（8分）综合与实践：数学兴趣小组的同学结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】将一束光线从游泳池边点A处发出，经水面点C折射到池底B处。 【测量数据】点A，D，E在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内，MN是法线，点N在BE上．记入射角为α，折射角为β．测得点A到水面的距离AD＝1m，水深 DE＝1.2m，入射角α＝51°16′。 【问题解决】根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： （1）求CD的长； （2）小组的同学发现，根据光的折射物理学知识可知，从而可求得． ①由上可在Rt△BCN中推理求得tanβ＝ 　 　 ； ②求B，E之间的距离．（参考数据：sin51°16′≈0.78，cos51°16′≈0.63，tan51°16′≈1.25） 20．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，OD⊥OC，连接AD，AD＝DE，AC，与OD相交于点E。 （1）求证：AD是⊙O的切线； （2）若，求DE的长。 21．（9分）某校为了解七、八年级学生对垃圾分类知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取了20名学生进行测试，发现成绩都在60分以上（满分100分），把成绩（x）分成A，B，C，D四个等级：A：90≤x≤100，B：80≤x＜90，C：70≤x＜80，D：60≤x＜70。 通过对成绩进行整理，绘制了如下统计图： 已知八年级B等级测试成绩的数据为：81，82，83，84，85，88，88，89． 根据上述信息，解答下列问题： （1）八年级成绩的中位数是 　 　 ； （2）若把每个等级中各个数据用该组的中间值代替（如C等级的中间值为），计算七年级测试成绩的平均数； （3）小明的测试成绩为82分，他的成绩在本年级参加测试的学生中处于中上水平，请判断小明是 　 　 年级的学生，并说明理由。 22．（10分）野生木耳是本市著名特产之一，某土特产专卖店经销A，B两种品牌的野生木耳，进价和售价如表所示： 品牌 A B 进货（元/袋） x x+16 销售（元/袋） 80 100 （1）第一次进货时．a卖店用4800元购进A品牌野生木耳，用6080元购进B品牌野生木耳，且两种品牌所购得的数量相同，求x的值； （2）第二次进货时，A品牌每袋上涨5元，该土特产专卖店计划购进A，B两种品牌共180袋，销售时A、B两种品牌售价不变，则该土特产专卖店至少购进B品牌多少袋，能使第二次进货全部售完后获得的利润不低于3600元。 23．（10分）定义：如图1，点M、N把线段AB分割成AM、MN和BN，若以AM、MN、BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股点．已知点M、N是线段AB的勾股点，若AM＝1，MN＝2，或，所以BN的长为或． （1）【类比探究】如图2，DE是△ABC的中位线，M、N是AB边的勾股点（AM＜MN＜NB），连接CM、CN分别交DE于点G、H．求证：G、H是线段DE的勾股点． （2）【知识迁移】如图3，C，D是线段AB的勾股点，以CD为直径画⊙O，P在⊙O上，AC＝CP，连接PA，PB，若∠A＝2∠B，求证：PA是⊙O的切线． （3）【拓展应用】如图4，点P（a，b）是反比例函数上的动点，直线y＝﹣x+2与坐标轴分别交于A、B两点，过点P分别向x、y轴作垂线，垂足为C、D，且交线段AB于E、F．证明：E、F是线段AB的勾股点。 24．（12分）对于抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），如果抛物线与x轴有两个交点，我们就将它的顶点以及它与x轴的两个交点构成的三角形称为该抛物线的“内接三角形”． （1）若抛物线有“内接三角形”，求m的取值范围． （2）如图1，抛物线y＝ax2﹣6x+c与x轴的交点分别为点A、点B（点A在点B左边），顶点为点D，该抛物线的“内接三角形”△ABD为等边三角形。 ①求ac的值； ②如图2，若该抛物线经过点（0，6），∠BAD的平分线交BD于点P，点M为射线AB上一点．连接直线PM交射线AD于点N，求的值。 25．（12分）【综合与探究】 问题情境：将矩形ABCD绕点C顺时针旋转，当旋转到如图①所示的位置时，得到矩形A′B′CD′，点A，B，D的对应点分别为点A′，B′，D′，设直线AD与直线A′D′交于点E． 猜想证明： （1）猜想DE与D′E的数量关系，并证明； （2）如图②，在旋转的过程中，当点B′恰好落在矩形ABCD的对角线BD上时，点A′恰好落在AD的延长线上（即点A′与点E重合），连接A′C，求证：四边形A′DBC是平行四边形； 问题解决： （3）在矩形ABCD绕点C顺时针旋转的过程中，若AB＝5，BC＝3，当A′，B′，D三点在同一条直线上时，请直接写出A′D的值。 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D B C B B C B C C 11． 3a（1﹣b） 12． 13． 129° 14． 36 15． 16．解： ＝﹣3 17．解：解x﹣3（x﹣2）≤4得：x≥1， 解得：x＜4． 则不等式组的解集是：1≤x＜4． 则正整数解是：1，2，3 18．证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD，∠A＝∠C， ∴∠E＝∠F， ∵BE＝DF， ∴AB+BE＝CD+DF，即AE＝CF， 在△AEH和△CFG中， ∴△AEH≌△CFG（ASA）， ∴AH＝CG． 19．（1）1.25m； （2）①； ②2.15m． 解：（1）∵MN∥AE， ∴∠A＝α＝51°16′． ∵AD＝1m， 故CD＝tan51°16′×AD≈1.25（m）． 即CD的长为1.25m； （2）①∵sinβ， ∴设BN＝3k，BC＝5k，由勾股定理可得CN＝4k， 故tanβ， 故答案为：． ②由题可知四边形DCNE为矩形， 则CN＝DE＝1.2m，EN＝DC＝1.25m， 故BN＝tanβ×CN0.9（m）， 故BE＝EN+BN＝1.25+0.9＝2.15（m）， 即B，E之间的距离为2.15m． 20． （1）证明：∵AB是直径，OD⊥OC， ∴∠ACB＝90°，∠COD＝90°， ∵AD＝DE， ∴∠DEA＝∠DAE， ∵∠CEO＝∠DEA，∠CEO+∠ECO＝90°，∠ECO+∠OCB＝90°， ∴∠CEO＝∠OCB，即∠DEA＝∠OCB， ∵OC＝OB， ∴∠OCB＝∠OBC， ∴∠DAE＝∠OBC， ∵∠OBC+∠CAB＝90°， ∴∠DAO＝∠DAE+∠CAB＝90°，即OA⊥DA， ∵OA是半径， ∴AD是⊙O的切线； （2）解：∵OD⊥OC，AD⊥OA， ∴∠BOC+∠DOA＝90°，∠D+∠DOA＝90°， ∴∠BOC＝∠D， ∵， ∴， 设AD＝3x，则DE＝AD＝3x，OA＝4x， 在Rt△OAD中，（3x）2+（4x）2＝（3x+2）2， 解得：（舍去）， ∴DE＝3x＝3． 21．（1）82.5； （2）78.5分； （3）七，小明的测试成绩为82分，高于七年级成绩的中位数，低于八年级成绩的中位数，小明的成绩在本年级参加测试的学生中处于中上水平，所以小明是七年级学生． 解：（1）八年级A等级人数为：20×20%＝4（人）， 把八年级20名学生成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是82，83，故中位数为82.5， 故答案为：82.5； （2）78.5（分）， 答：七年级测试成绩的平均数为78.5分； （3）七年级成绩的中位数位于C组，即低于80分，而小明的测试成绩为82分，高于七年级成绩的中位数，低于八年级成绩的中位数，小明的成绩在本年级参加测试的学生中处于中上水平，所以小明是七年级学生． 故答案为：七． 22．（1）60； （2）100． 解：（1）根据题意得：， 解得：x＝60， 经检验，x＝60是所列方程的解，且符合题意． 答：x的值为60； （2）设该土特产专卖店购进y袋B品牌野生木耳，则购进（180﹣y）袋A品牌野生木耳， 根据题意得：[80﹣（60+5）]（180﹣y）+[100﹣（60+16）]y≥3600， 解得：y≥100， ∴y的最小值为100． 答：该土特产专卖店至少购进B品牌野生木耳100袋，能使第二次进货全部售完后获得的利润不低于3600元． 23．证明：（1）如图2， ∵DE是△ABC的中位线， ∴DE∥AB，CD＝AD，CE＝BE， ∴CG＝GM，CH＝HN， ∴DGAM，GHMN，EHBN， ∵M、N是AB边的勾股点（AM＜MN＜NB）， ∴BN2＝MN2+AM2， ∴BN2MN2AM2， ∴（BN）2＝（MN）2+（AM）2， ∴EH2＝GH2+DG2， ∴G、H是线段DE的勾股点； （2）如图3，连接PD，OP， ∵AC＝PC， ∴∠A＝∠APC， ∴∠PCD＝2∠A， ∵C，D是线段AB的勾股点， ∴AC2+BD2＝CD2， ∴PC2+BD2＝CD2， ∵CD是⊙O的直径， ∴∠CPD＝90°， ∴PC2+PD2＝CD2， ∴PD＝BD， ∴∠PDC＝2∠B， ∵∠A＝2∠B， ∴∠PDC＝∠A， 在Rt△PCD中，∵∠PCD+∠PDC＝90°， ∴2∠A+∠A＝90°， 解得∠A＝30°， 则∠POC＝2∠PDC＝60°， ∴∠APO＝90°， ∴OP⊥AP， ∵OP是圆O的半径， ∴PA是⊙O的切线； （3）∵点P（a，b）是反比例函数y＝（x＞0）上， ∴ab＝2， ∵A（2，0），B（0，2）， ∴E （a，﹣a+2），C（a，0），F（﹣b+2，b），D（0，b）， 由题知：AC＝CE＝2﹣a，BD＝DF＝2﹣b， ∴AE2+BF2＝2（2﹣a）2+2（2﹣b）2＝2a2+2b2﹣8a﹣8b+16， EF2＝2（a+b﹣2）2 ＝2a2+2b2﹣8a﹣8b+4ab+8 ＝2a2+2b2﹣8a﹣8b+16， ∴AE2+BF2＝EF2， ∴E、F是线段AB的勾股点． 24．（1）m； （2）①6； ②． 解：（1）要使抛物线有内接三角形，必须Δ＞0，即b2﹣4ac＞0． Δ＝（）2﹣4×1×（﹣m）＞0， ∴m； （2）①设A（x1，0），B（x2，0），则AB＝x2﹣x1， ∵x1+x2，x1x2． （x2﹣x1）2＝（x1+x2）2﹣4x1x24， 由顶点公式可知，D点的坐标为（，）， ，cc， ∴D（，c）， 过点D作DC⊥x轴，垂足为C， ∵△ABD为等边三角形， ∴∠CAD＝60°，且C为AB的中点，即ACAB， 在Rt△ACD中，tan∠CAD，即CDAC， ∴|c|（）， ∴（c）2， 把（x2﹣x1）2代入，得： c2（）， 化简得：（ac）2﹣15ac+54＝0， 解得：ac＝6或ac＝9， ∵Δ＝b2﹣4ac＞0， ∴b2＞4ac，即（﹣6）2＞4ac，ac＜9， ∴ac＝6， 故ac的值是6； ②抛物线经过点（0，6），把点（0，6）代入y＝ax2﹣6x+c，得：c＝6， ∵ac＝6， ∴a＝1， ∴抛物线解析式为y＝x2﹣6x+6， ∵（x2﹣x1）236﹣24＝12， ∴x2﹣x1＝2，即AB＝2， 过点P作PE∥OB交AN于点E， ∴△NPE∽△NMA， ∴，即， ∴1， ∵AP平分∠BAD， ∴∠BAP＝∠DAP， ∵PE∥OB， ∴∠APE＝∠BAP， ∴∠DAP＝∠APE， ∴AE＝PE， ∴， ∵△ABD是等边三角形，AB＝2， ∴AP＝AB•sin∠ABD＝2sin60°＝3， ∵AP平分∠BAD， ∴DP＝PB， ∴， ∴PEAB， ∴， ∴； 故的值为． 25．（1）解：DE＝D′E，理由如下： 如图①，连接CE， 由题知四边形ABCD与四边形A′B′CD′都是矩形， ∴∠ADC＝∠CD′E＝90°， ∴∠CDE＝180°﹣∠ADC＝90°， 即∠CDE＝∠CD′E， ∵将矩形ABCD绕点C顺时针旋转，当旋转到如图①所示的位置时，得到矩形A′B′CD′， ∴CD＝CD′， 在Rt△CDE和Rt△CD′E中， ， ∴Rt△CDE≌Rt△CD′E（HL）， ∴DE＝D′E； （2）证明：如图2：连接AC， 根据旋转的性质可得：AC＝A′C， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AD＝BC，∠ADC＝90°， 即CD⊥AA′， 又∵AC＝A′C， ∴AD＝A′D， ∴A′D＝BC， ∵A′D∥BC，A′D＝BC， ∴四边形A′DBC是平行四边形； （3）解：当点A′、B′在CD的同一侧时，如图3， 根据旋转的性质可得：BC＝B′C＝3，AB＝A′B′＝5，∠A′B′C＝∠ABC＝90°， ∴∠DB′C＝90°， 在Rt△CDB′中，由勾股定理得：B'D4， ∴A′D＝A′B′+B′D＝5+4＝9； 当点A′，B′在CD的异侧时，如图4， 根据旋转的性质可得：BC＝B′C＝3，AB＝A′B′＝5， ∠A′B′C＝∠ABC＝90°， ∴∠DB′C＝90°， 在Rt△CDB′中，由勾股定理得：B'D4， ∴A′D＝A′B′﹣B′D＝5﹣4＝1； 综上，A′D的值为1或9． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/5/24 7:47:10；用户：taianliu20；邮箱：taianliu2009@163.com；学号：4961344 第4页（共18页） 学科网（北京）股份有限公司 $