2025-2026学年北师大版八年级数学下册期末模拟试卷

**基本信息** 北师大版八年级数学下册期末模拟卷，以几何与代数知识为载体，通过创新定义（如“忧乐四边形”）、现实情境（充电桩问题）及阅读材料题，考查抽象能力、推理意识与应用意识，梯度分明。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|垂直平分线、旋转性质、分式方程模型|第5题结合“每日一节体育课”倡议，考查分式方程应用，体现数学与生活联系| |填空题|6|等腰三角形函数关系、等边三角形旋转|第11题定义“伴随三角形”，融合几何计算与创新思维，培养空间观念| |解答题|8|平行四边形证明、绝对值几何意义、新定义探究|24题以“忧乐四边形”为载体，综合旋转、对称与推理，23题借阅读材料发展数学表达能力，契合核心素养要求|

北师大版八年级数学下册期末模拟试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，在中，，，是线段的垂直平分线，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角三角形的性质可得，再由线段垂直平分线可得，从而得到，即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 2．下列实数中，满足不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了立方根、平方根、不等式的定义，属于基础题．先根据有理数的乘方、立方根的定义计算选项A、D，然后让每个选项与3比较即可作出判断． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：C． 3．如图，绕点逆时针旋转得到，且经过点C，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据旋转的性质得到，，，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，从而得到的度数． 【详解】解：∵绕点逆时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∴． 4．若三边a，b，c满足，则一定是（     ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查因式分解与三角形形状判断，先对已知等式因式分解，再结合三角形三边关系得到边的等量关系，即可判断三角形形状． 【详解】∵ 是的三边长， ∴ ，即 ， ∵ ∴ ∵ ∴ ，即 ∴ 一定是等腰三角形 故选：． 5．为落实“每日一节体育课”的倡议，九年级一班拟购置一批羽毛球拍，预算总额设定为1200元．已知W品牌每副球拍的单价比Y品牌便宜20元，如果全部购买W品牌，可比全部购买Y品牌多买3副．设Y品牌每副羽毛球拍的单价为元，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式方程在实际问题中的应用，解题关键是根据 “数量差为3副” 这一等量关系，用含的代数式表示出两种球拍的购买数量，进而列出方程． 【详解】解：设Y品牌每副羽毛球拍的单价为元，则W品牌每副球拍的单价为元，由等量关系如果全部购买W品牌，可比全部购买Y品牌多买3副，列出方程： ． 6．如图是某品牌商标抽象出来的几何图形，已知，，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，，利用四边形的内角和得到，再细分成，再由三角形内角和得到，，代入运算即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形内角和为， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴整理可得：． 7．已知方程组的解为非负数，为负数，给出下列结论： ①当时，方程组的解也是方程的解； ②当时，则的立方根为； ③； 其中正确的是（    ） A．①②③ B．①③ C．①② D．②③ 【答案】A 【分析】先解方程组得到关于的表达式，再根据的范围判断③，再分别代入的值验证①②即可． 【详解】解：解方程组， 两式相加得，化简得， 两式相减得，化简得， ∵x为非负数，y为负数， ∴， 解得不等式组的解集为，故③正确． ① 当时， 左边， 右边， 左边右边，因此方程组的解满足，故①正确． ② 当时， ， ， ∴， ∵ ， ∴的立方根为，故②正确． 8．下列各式因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解的定义和方法逐项判断即可． 【详解】解：A： x2-a2=(x-a)2 ，因式分解不正确； B： 4a2+4a+1=(2a+1)2，因式分解不正确； C： -x2+4x=-x(x-4) ，原式因式分解错误； D： x2−4y2=(x+2y)(x−2y) ，原式因式分解正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解，因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法，因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 9．若关于的分式方程无解，则的值为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查分式方程无解的问题，分式方程无解分两种情况：①整式方程本身无解；②整式方程的解为分式方程的增根，先将分式方程化为整式方程，再分两种情况计算的值即可． 【详解】解：原方程， 可变形为， 方程两边同乘去分母，得：， 整理得：， ∵原分式方程无解， ∴分两种情况讨论：① 当整式方程本身无解时，，解得； ② 当整式方程的解为原分式方程的增根时，原分式方程分母为，增根为， 把代入得：， 解得， 综上，的值为或． 10．如图，在四边形中，，分别以为边向外作正方形，其面积分别是，且，则的长度为（   ） A． B．14 C．15 D． 【答案】D 【分析】在上截取，连接，得出平行四边形和相等的角，假设，表示出面积，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：如图所示，在上截取，连接， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 假设， ∴，，， ∴， 由勾股定理得， ∴． 二、填空题 11．定义：为某个三角形的边，若与其边上的高相等，则称该三角形为边的“伴随三角形”．为边的“伴随三角形”，． ①若，则_____°； ②若，过点作直线的高，垂足为点，则的长为_____． 【答案】 或 【分析】①根据“伴随三角形”的定义可得，根据等边对等角和三角形内角和定理，即可求解； ②分为两种情况：当是锐角三角形时，根据“伴随三角形”的定义可得，根据勾股定理求得，根据即可求解；当是钝角三角形，，根据“伴随三角形”的定义可得，根据勾股定理求得，根据即可求解． 【详解】解：①如图： ∵为边的“伴随三角形”， ∴边上的高等于的长度， ∵， 故为为边上的高， ∴， 即， ∴． ②如图，是锐角三角形，交于点， ∵为边的“伴随三角形”， ∴边上的高等于的长， 即， 在中，， 则． 如图，是钝角三角形，交于点， ∵为边的“伴随三角形”， ∴边上的高等于的长度， 即， 在中，， 则． 故的长为或． 12．等腰三角形周长为30，底边y与腰x的函数关系式为______，自变量x的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据等腰三角形周长公式列等式推导函数关系式，再结合底边为正和三角形三边关系，确定自变量的取值范围． 【详解】解：由周长公式可得， 整理得． 底边长度大于， ， 解得． 又三角形两边之和大于第三边， ， 即， 将代入不等式得， 解得． 综上可得，． 13．四边形中，为等边三角形， 绕C顺时针旋转得，连接，则 ______． 【答案】 【分析】连接，由旋转可证是等边三角形，进而判定，得到，在中，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， 由旋转可知，，， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ，即， ， ， ， ， ， ， ， 中，， ． 14．若实数、满足，，则的值是________． 【答案】5 【分析】先对左侧利用提公因式因式分解，再代入已知的值计算，即可得到的值． 【详解】解：∵ ， ， 又， ，解得． 15．当分式与的值互为相反数时，x的值为_____． 【答案】1 【分析】根据互为相反数的两数之和为列出分式方程，解分式方程并检验即可得到结果． 【详解】解：分式与的值互为相反数， 去分母，两边同乘，得： 去括号，得： 合并同类项，得： 解得：， 经检验，是原分式方程的解； 16．如图，平行四边形中，为对角线交点，平分，平分，，，则的长为______． 【答案】 【分析】延长交于点，根据平行四边形的性质结合角平分线的性质证明，，根据三线合一可得是的中位线， 利用中位线定理计算即可． 【详解】解：如图，延长交于点， 四边形是平行四边形， ，，，， ，， 平分，平分， ，， ，， ，即，， ， 是的中位线， ． 三、解答题 17．如图，四边形中，点为边上一点，请用尺规作图的方法求作一点，使，且（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】作图见解析 【分析】在上任取一点，先以点为圆心，为半径画弧，与交于点，再以点为圆心，为半径画弧交于点，接下来以点为圆心，为半径画弧，交前弧于点，作射线，则，所以，然后分别以点，为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，，作直线，交于点，则是线段的垂直平分线，得，所以点即为所求作的点． 【详解】解：如图所示，点即为所求作的点． 18．随着新能源汽车的销售越来越多，小区新能源汽车充电也越来越困难，某小区为了解决业主新能源汽车充电难的问题，准备在小区内修建10个充电桩，已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要1万元；新建3个地上充电桩和1个地下充电桩也需要1万元． (1)该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少钱？ (2)若该小区计划用不超过万元的资金新建充电桩，问共有几种建造方案？并列出所有方案． 【答案】(1)该小区新建一个地上充电桩需万元，一个地下充电桩需万元 (2)该小区共有3种建造方案，方案1：新建8个地上充电桩，2个地下充电桩；方案2：新建9个地上充电桩，1个地下充电桩；方案3：新建10个地上充电桩，0个地下充电桩 【分析】（1）设该小区新建一个地上充电桩需万元，一个地下充电桩需万元，利用新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要1万元；新建3个地上充电桩和1个地下充电桩也需要1万元．再建立方程组求解即可． （2）设该小区新建个地上充电桩，则新建个地下充电桩，根据该小区计划用不超过万元的资金新建充电桩，再建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：设该小区新建一个地上充电桩需万元，一个地下充电桩需万元， 根据题意得：， 解得：． 答：该小区新建一个地上充电桩需万元，一个地下充电桩需万元； （2）解：设该小区新建个地上充电桩，则新建个地下充电桩， 根据题意得：， 解得：， ∴， 又均为非负整数， 可以为8，9，10， 该小区共有3种建造方案， 方案1：新建8个地上充电桩，2个地下充电桩； 方案2：新建9个地上充电桩，1个地下充电桩； 方案3：新建10个地上充电桩，0个地下充电桩． 19．如图，三角形沿直线向右平移至三角形的位置，点、、的对应点分别为点、、，若，，求的度数． 【答案】 【分析】根据平移的性质得出平行线，根据平行线的性质求出，然后利用角的和差求解． 【详解】解：∵三角形沿直线向右平移得到三角形， ， ， ． 20．已知，，求代数式的值． 【答案】 【分析】先将原式整理为，再整体代入求值即可． 【详解】解：原式 ． 当，时 原式 ． 21．化简及解不等式组 (1)化简：． (2)解不等式组： 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先把除法转化为乘法，可以同时算括号内的，得到，再分子分母约去和进行化简即可； （2）先算①式， 移项得，再进行合并同类项，系数化为1即可求得， 再算②式，去分母可得，再进一步求解即可得， 两个求公共部分为． 【详解】（1）解：原式＝ （2）， 由①得， ， ． 由②得，， ， ， ， ． 原不等式组解为． 22．如图，四边形是平行四边形，点E和点F在对角线上，连接，，且．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据平行四边形的性质可得，，进而结合运用证明，进而即可得证． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ∵， ， 在和中， ， ， ． 23．【阅读材料】 我们知道的几何意义是在数轴上的数对应的点与原点的距离即．也就是说表示在数轴上的数与数0对应的点之间的距离．这个结论可以推广为表示在数轴上的数与数对应的点之间的距离． 例1：若则表示到原点距离小于3的数；从如图1所示的数轴上看：大于而小于3的数它们到原点距离小于3，所以的解集是； 若则表示到原点距离大于3的数；从如图2所示的数轴上看：小于的数和大于3的数它们到原点距离大于3，所以的解集是或． 例2：那么式子可理解为：数轴上表示这个数的点到表示1这个数的点的距离．于是解不等式则是要在数轴上找出到1的距离小于等于2的所有点；观察数轴可以看出，在数轴上到1距离小于等于2的点对应的数都在和3之间（包含和3两个点）这样我们就可以得到不等式的解集为：； 【解决问题】 (1)不等式的解集为_________；不等式的解集为________． (2)求不等式的解集； (3)求不等式的解集； (4)不论取所有的数都有恒成立求的取值范围． 【答案】(1)，或 (2)或 (3) (4) 【分析】（1）根据绝对值的几何意义即可求解； （2）根据表示数轴上点与点之间的距离可以将绝对值不等式问题转化为数轴上的距离问题求解； （3）对于形如的不等式：可以理解为数轴上表示的点到表示的点和表示的点的距离之和与的大小关系来求解； （4）首先将不等式变形为要使此不等式对任意实数恒成立则不等式左边的最小值必须大于右边的常数从而可以得出关于的不等式，求出的范围即可． 【详解】（1）解：不等式的几何意义是：数轴上点到原点的距离小于或等于，从原点向左、向右各延伸个单位得到点和点，因此满足条件的点在和之间（包含端点）所以解集为； 不等式的几何意义是：数轴上点到原点的距离大于，从原点向左、向右各延伸个单位得到点和点距离大于的点在的左侧或的右侧， 所以解集为或． （2）解：不等式的几何意义是：数轴上点到点的距离大于， 以点为中心向左移动个单位到达，向右移动个单位到达， 点到点的距离大于意味着点在点的左边或者在点的右边， 所以不等式的解集为或． （3）解：不等式的几何意义是：数轴上点到点的距离与到点的距离之和小于， 令， 当时， ， 所以， 当时，， 方程无解， 当时， ， 所以， 所以不等式的解集为， （4）解：将不等式变形为， 要使此不等式对任意实数恒成立则不等式左边的最小值必须大于右边的常数， 表达式的几何意义是数轴上点到点和点的距离之和， 所以当点位于点和点之间时（即）该距离之和取得最小值， 最小值为点和点之间的距离，即， 所以的最小值为， 所以， 解得， 所以的取值范围是． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，关键是理解和运用绝对值的几何意义，将代数问题转化为几何问题． 24．定义：如果一个凸四边形沿着它的一条对角线对折后能完全重合，我们就把这个四边形称为“忧乐四边形”．如图1，凸四边形沿对角线对折后完全重合，四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形”． (1)下列四边形一定是“忧乐四边形”的有_________． A．平行四边形  B．菱形  C．矩形  D．正方形 (2)如图2，在平行四边形中，点是边上的中点，四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形”（点在四边形内部），连接并延长交于点．①求证：四边形是“忧乐四边形”．②若；当是直角三角形时，请求出线段的长． (3)如图1，在四边形中，，线段、之间存在怎样的数量关系？ 【答案】(1)B、D (2)①见解析；②或 (3)． 【分析】（1）根据“忧乐四边形”的定义对几个四边形进行逐一判定即可解决问题； （2）①连接、，根据折叠的性质、平行四边形的性质证明，即可解答；②分两种情况，由折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理可得出答案． （3）由四边形沿对折重合，得、，且平分、．结合，证得、均为等边三角形，进而得到，判定四边形为菱形．由菱形对角线互相垂直平分，得，且．在中，利用角对边是斜边一半，结合勾股定理，算出，最终推出． 【详解】（1）解：①平行四边形，③矩形，沿着它的一条对角线对折后不能完全重合；②菱形，④正方形，沿着它的一条对角线对折后能完全重合． ②菱形，④正方形一定是忧乐四边形； ∴一定是“忧乐四边形”的有②④； （2）①证明：如图：连接、， 是的中点， ， 将沿折叠后得到， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ，且， ， ， ， ， 在和中， ， ， 四边形沿折叠完全重合， 四边形是“忧乐四边形”． ②解：∵， ∴四边形是平行四边形， 若，连接，则四边形是矩形， ， 由题意及①知，， 设，则，， ， ， ， ； 若，连接，过点作于点，，交的延长线于点，如图， 由题意得，，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∵ ， ，， ∴平分，即； ，即， ， ， ， 设，则，， ∵， ∴， ， （负值舍）， ． 综上所述，的长为或． （3）解：连接，交于点O， ∵凸四边形沿对角线对折完全重合， ，，平分，平分， ∵，， 为等边三角形，为等边三角形，，， ，， ， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴， 在中，， ， 设，则， 由勾股定理得： ， ， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版八年级数学下册期末模拟试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，在中，，，是线段的垂直平分线，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．下列实数中，满足不等式的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，绕点逆时针旋转得到，且经过点C，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．若三边a，b，c满足，则一定是（     ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 5．为落实“每日一节体育课”的倡议，九年级一班拟购置一批羽毛球拍，预算总额设定为1200元．已知W品牌每副球拍的单价比Y品牌便宜20元，如果全部购买W品牌，可比全部购买Y品牌多买3副．设Y品牌每副羽毛球拍的单价为元，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 6．如图是某品牌商标抽象出来的几何图形，已知，，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 7．已知方程组的解为非负数，为负数，给出下列结论： ①当时，方程组的解也是方程的解； ②当时，则的立方根为； ③； 其中正确的是（    ） A．①②③ B．①③ C．①② D．②③ 8．下列各式因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 9．若关于的分式方程无解，则的值为（     ） A． B． C．或 D．或 10．如图，在四边形中，，分别以为边向外作正方形，其面积分别是，且，则的长度为（   ） A． B．14 C．15 D． 二、填空题 11．定义：为某个三角形的边，若与其边上的高相等，则称该三角形为边的“伴随三角形”．为边的“伴随三角形”，． ①若，则_____°； ②若，过点作直线的高，垂足为点，则的长为_____． 12．等腰三角形周长为30，底边y与腰x的函数关系式为______，自变量x的取值范围为______． 13．四边形中，为等边三角形， 绕C顺时针旋转得，连接，则 ______． 14．若实数、满足，，则的值是________． 15．当分式与的值互为相反数时，x的值为_____． 16．如图，平行四边形中，为对角线交点，平分，平分，，，则的长为______． 三、解答题 17．如图，四边形中，点为边上一点，请用尺规作图的方法求作一点，使，且（不写作法，保留作图痕迹）． 18．随着新能源汽车的销售越来越多，小区新能源汽车充电也越来越困难，某小区为了解决业主新能源汽车充电难的问题，准备在小区内修建10个充电桩，已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要1万元；新建3个地上充电桩和1个地下充电桩也需要1万元． (1)该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少钱？ (2)若该小区计划用不超过万元的资金新建充电桩，问共有几种建造方案？并列出所有方案． 19．如图，三角形沿直线向右平移至三角形的位置，点、、的对应点分别为点、、，若，，求的度数． 20．已知，，求代数式的值． 21．化简及解不等式组 (1)化简：． (2)解不等式组： 22．如图，四边形是平行四边形，点E和点F在对角线上，连接，，且．求证：． 23．【阅读材料】 我们知道的几何意义是在数轴上的数对应的点与原点的距离即．也就是说表示在数轴上的数与数0对应的点之间的距离．这个结论可以推广为表示在数轴上的数与数对应的点之间的距离． 例1：若则表示到原点距离小于3的数；从如图1所示的数轴上看：大于而小于3的数它们到原点距离小于3，所以的解集是； 若则表示到原点距离大于3的数；从如图2所示的数轴上看：小于的数和大于3的数它们到原点距离大于3，所以的解集是或． 例2：那么式子可理解为：数轴上表示这个数的点到表示1这个数的点的距离．于是解不等式则是要在数轴上找出到1的距离小于等于2的所有点；观察数轴可以看出，在数轴上到1距离小于等于2的点对应的数都在和3之间（包含和3两个点）这样我们就可以得到不等式的解集为：； 【解决问题】 (1)不等式的解集为_________；不等式的解集为________． (2)求不等式的解集； (3)求不等式的解集； (4)不论取所有的数都有恒成立求的取值范围． 24．定义：如果一个凸四边形沿着它的一条对角线对折后能完全重合，我们就把这个四边形称为“忧乐四边形”．如图1，凸四边形沿对角线对折后完全重合，四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形”． (1)下列四边形一定是“忧乐四边形”的有_________． A．平行四边形  B．菱形  C．矩形  D．正方形 (2)如图2，在平行四边形中，点是边上的中点，四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形”（点在四边形内部），连接并延长交于点．①求证：四边形是“忧乐四边形”．②若；当是直角三角形时，请求出线段的长． (3)如图1，在四边形中，，线段、之间存在怎样的数量关系？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $