广东佛山市第三中学初中部2025-2026学年八年级（下）期中数学试卷

**基本信息** 2025-2026学年佛山三中八年级（下）期中数学试卷，以几何与代数知识融合为核心，通过校徽图案、购物情境等真实素材，考查中心对称、不等式、旋转等知识，注重抽象能力与模型意识培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|中心对称图形、不等式性质、因式分解|以大学校徽考中心对称（第1题），结合生活情境| |填空题|6/18|平移坐标、多边形内角和、角平分线|三角板摆放求角度（第13题），体现几何直观| |解答题（一）|3/20|因式分解、不等式纠错、三角形全等|设置解题纠错（第18题），培养推理严谨性| |解答题（二）|3/27|垂直平分线作图、坐标变换、分式不等式|网格坐标变换（第21题），发展空间观念| |解答题（三）|2/25|二元一次方程组应用、旋转综合证明|购物方案设计（第23题）与旋转探究（第24题），体现模型意识与创新应用|

2025-2026学年广东省佛山市第三中学初中部八年级（下）期中数学试卷 一、选择题：共10小题，每小题3分，共30分． 1．（3分）下列大学校徽主体图案是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）若a＞b，则下列不等式一定成立的是（　　） A．a﹣5＜b﹣5 B．﹣3a＞﹣3b C．a+1＞b+1 D．a2＞b2 3．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）下列等式从左到右的变形，属于正确的因式分解的是（　　） A．x2﹣5x+6＝x（x﹣5）+6 B．x2﹣4＝﹣（4﹣x2） C．（x﹣2）（x﹣3）＝x2﹣5x+6 D．x2+5x＝x（x+5） 5．（3分）若一个等腰三角形的一个内角为80°，则它的顶角的度数为（　　） A．20° B．80°或50° C．20°或50° D．80°或20° 6．（3分）如图，长宽分别为a、b的长方形周长为16，面积为122b+ab2的值为（　　） A．80 B．96 C．192 D．240 7．（3分）下列命题中真命题是（　　） A．用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于60°”时候，第一步应假设“三角形中有一个内角小于60°” B．三角形三个内角平分线交点到三角形三边的距离相等 C．等腰三角形的高线、角平分线、中线重合 D．三角形的外角等于它的两个内角之和 8．（3分）已知一次函数y1＝kx+b与y2＝mx+n的图象如图所示，当y1＜y2时，x的取值范围是（　　） A．x＜﹣1 B．x＞﹣1 C．x＜1 D．x＞1 9．（3分）如图，等边三角形ABC中，BD⊥AC，点F在线段BC上，BF＝BD（　　） A． B． C．1 D． 10．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，大于的长为半径画弧，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（　　） ①AD平分∠BAC； ②∠ADC＝60°； ③点D在AB的垂直平分线上； ④S△ABD＝3S△ACD． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题：共6小题，每小题3分，共18分． 11．（3分）若点A（﹣1，3）向右平移3个单位，再向下平移2个单位　 　 ． 12．（3分）“m的3倍与2的和是负数”用不等式表示为　 　 ． 13．（3分）将一副直角三角板按如图放置，使两直角重合，则∠1的度数为　 　 ． 14．（3分）已知在一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是　 　 边形． 15．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，连接BD，过点D作DE⊥AB于点E．若E为AB的中点，△BCD的周长为14，则AE的长为　 　 ． 16．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝α1得∠A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2，…，∠A5BC的平分线与∠A5CD的平分线交于点A6，得∠A6，则∠A6＝　 　 ． 三、解答题（一）（共3题，第17题8分，第18，19题每题6分，共20分） 17．（8分）因式分解： （1）4x2﹣8x+4； （2）a2（a﹣b）+25（b﹣a）． 18．（6分）下面是小数同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成下列问题． 解：去分母，得3（1+x）＜2（1+2x） 去括号，得3+3x＜2+4x+6．第二步 移项，得3x+4x＜2+6+3．第三步 合并同类项，得7x＜11．第四步 系数化为1，得x＜．第五步 （1）以上解题过程中，第一步的依据是　 　 ，第　 　 步开始出现错误． （2）请你写出正确解答过程． 19．（6分）如图，AB⊥AD，AB⊥BC，且AE＝BC，∠1＝∠2． （1）求证：Rt△ADE≌Rt△BEC． （2）若DE＝8，∠BCE＝30°，则AD等于　 　 ． 四、解答题（二）（共3题，第20题8分，21题题10分，第22题每题9分，共27分） 20．（8分）如图，在△ABC中，AC＝6，AB＝10． （1）用尺规作出线段AB的垂直平分线交AB于点D，交CB于点E（要求：不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接AE，求线段AE的长度． 21．（10分）如图，正方形网格中，每一个小正方形的边长都是1个单位长度，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，1），B（3，2），C（2，4）． （1）将△ABC向左平移6个单位长度，再向下平移2个单位长度得到△A1B1C1．画出平移后得到的△A1B1C1；如果把这个过程看成是经过一次平移，则平移距离为　 　 个单位长度； （2）画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2； （3）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB3C3． 22．（9分）先阅读理解下面例题，再按要求解答下列问题： 例：解不等式x2﹣9＜0． 解：∵x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）， ∴原不等式可化为（x+3）（x﹣3）＜0． 由有理数乘法法则：两数相乘，异号得负，得： ①，②． 解不等式组①得﹣3＜x＜3，解不等式组②无解， ∴原不等式x2﹣9＜0的解集为﹣3＜x＜3． （1）不等式x2﹣4＞0解集为　 　 ； （2）不等式x2+3x＜0解集为　 　 ； （3）解不等式． 五、解答题（三）（共2题，第23题12分，第24题13分，共25分） 23．（12分）为了抓住商机，某商店决定购进A、B两种艺术节纪念品，若购进A种纪念品8件，需要950元；若购进A种纪念品5件，需要800元． （1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？ （2）若该商店决定购进这两种纪念品100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不超过7650元 （3）若销售每件A种纪念品可获利润30元，每件B种纪念品可获利润20元，在第（2），哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？ 24．（13分）在学习《图形的平移与旋转》这一课时，李老师给我们展示了一道这样的数学题目： （1）【初步感知】 如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D为斜边BC上一点，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，则∠ACE＝　 　 °；若BD＝1，DC＝3　 　 ； （2）【探究应用】 如图2，点D为等边△ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，若B、D、E三点共线，求证：EB平分∠AEC； （3）【拓展提升】 如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，平面内存在一点D，使CD⊥BD于点D，若，请直接写出BC的长． 2025-2026学年广东省佛山市第三中学初中部八年级（下）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：共10小题，每小题3分，共30分． 1．（3分）下列大学校徽主体图案是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据中心对称图形的定义解答即可． 【解答】解：选项A、B、C中的图形不是中心对称图形； 选项D中的图形是中心对称图形，符合题意． 故选：D． 2．（3分）若a＞b，则下列不等式一定成立的是（　　） A．a﹣5＜b﹣5 B．﹣3a＞﹣3b C．a+1＞b+1 D．a2＞b2 【分析】根据不等式的性质对各选项进行判断即可． 【解答】解：A．若a＞b，故选项A不成立； B．若a＞b，故选项B不成立； C．若a＞b，故选项C成立； D．若a＞b，b＝﹣32＝（﹣2）2＝4，b2＝（﹣3）2＝4， ∴a2＜b2，故选项D不成立． 故选：C． 3．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后画数轴表示即可． 【解答】解：， 解①得x≤3， 解②得x＜﹣2， ∴不等式组的解集是x＜﹣2， 如图， 故选：A． 4．（3分）下列等式从左到右的变形，属于正确的因式分解的是（　　） A．x2﹣5x+6＝x（x﹣5）+6 B．x2﹣4＝﹣（4﹣x2） C．（x﹣2）（x﹣3）＝x2﹣5x+6 D．x2+5x＝x（x+5） 【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，据此进行判断即可． 【解答】解：x2﹣5x+8＝x（x﹣5）+6中等号右边不是积的形式，则A不符合题意， x8﹣4＝（x+2）（x﹣2），则B不符合题意， （x﹣2）（x﹣3）＝x3﹣5x+6是乘法运算，则C不符合题意， x5+5x＝x（x+5）符合因式分解的定义，则D符合题意， 故选：D． 5．（3分）若一个等腰三角形的一个内角为80°，则它的顶角的度数为（　　） A．20° B．80°或50° C．20°或50° D．80°或20° 【分析】由于不能确定已知的等腰三角形的内角80°是顶角还是底角，需分是顶角或底角两种情况，分别利用等腰三角形性质和三角形内角和定理求解即可． 【解答】解：∵等腰三角形两底角相等，三角形内角和为180°， ∴根据等腰三角形的性质，分两种情况讨论： ①当80°为顶角时，顶角度数即为80°． ②当80°为底角时，顶角度数为180°﹣2×80°＝180°﹣160°＝20°． 综上所述，该等腰三角形的顶角度数为80°或20°， 故选：D． 6．（3分）如图，长宽分别为a、b的长方形周长为16，面积为122b+ab2的值为（　　） A．80 B．96 C．192 D．240 【分析】根据题意得出a+b＝8，ab＝12，然后将整式因式分解化简，整体代入求解即可 【解答】解：∵边长为a，b的长方形周长为16， ∴a+b＝8，ab＝12， ∴a2b+ab3 ＝ab（a+b） ＝12×8 ＝96． 故选：B． 7．（3分）下列命题中真命题是（　　） A．用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于60°”时候，第一步应假设“三角形中有一个内角小于60°” B．三角形三个内角平分线交点到三角形三边的距离相等 C．等腰三角形的高线、角平分线、中线重合 D．三角形的外角等于它的两个内角之和 【分析】根据反证法的概念，三角形三个内角平分线交点的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的概念逐项判断即可． 【解答】解：根据反证法的概念，三角形三个内角平分线交点的性质，三角形外角的概念逐项判断如下： A、用反证法证明命题“在三角形中，第一步应假设“三角形的三个内角都小于60°”，不符合题意； B、三角形三个内角平分线交点到三角形三边的距离相等，符合题意； C、等腰三角形底边上的高线、底边上的中线重合，不符合题意； D、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，不符合题意； 故选：B． 8．（3分）已知一次函数y1＝kx+b与y2＝mx+n的图象如图所示，当y1＜y2时，x的取值范围是（　　） A．x＜﹣1 B．x＞﹣1 C．x＜1 D．x＞1 【分析】根据图象可得，两直线交点的横坐标为﹣1，即可得到当y1＜y2时，x的取值范围． 【解答】解：由图象可得，当y1＜y2时，x的取值范围为x＜﹣3， 故选：A． 9．（3分）如图，等边三角形ABC中，BD⊥AC，点F在线段BC上，BF＝BD（　　） A． B． C．1 D． 【分析】根据等边三角形的性质和垂直的定义得到AD的长，再由勾股定理求得BD的长，最后由线段的和差求解即可． 【解答】解：∵△ABC为等边三角形，BD⊥AC， ∴AB＝AC＝BC＝2AD， ∴AD＝DC， ∴BD＝＝＝3， ∴CF＝BC﹣BF＝6﹣3， 故选：B． 10．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，大于的长为半径画弧，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（　　） ①AD平分∠BAC； ②∠ADC＝60°； ③点D在AB的垂直平分线上； ④S△ABD＝3S△ACD． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】先根据三角形内角和计算出∠BAC＝60°，再利用基本作图对①进行判断；利用∠BAD＝∠CAD＝30°得到∠ADC＝60°，则可对②进行判断；利用∠B＝∠BAD得到DA＝DB，根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可对③进行判断．利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比． 【解答】解：由作法得AD平分∠BAC，所以①正确； ∵∠C＝90°，∠B＝30°， ∴∠BAC＝60°， ∴， ∴∠ADC＝90°﹣∠CAD＝60°，所以②正确； ∵∠B＝∠BAD， ∴DA＝DB， ∴点D在AB的垂直平分线上，所以③正确； ∵如图，在直角△ACD中， ∴， ∴，． ∴， ∴， ∴S△DAC：S△ABD＝6：2．即S△ABD＝2S△ACD，故④错误． 故正确有①②③，共5个， 故选：C． 二、填空题：共6小题，每小题3分，共18分． 11．（3分）若点A（﹣1，3）向右平移3个单位，再向下平移2个单位　（2，1）　 ． 【分析】根据平移时点的坐标变化规律进行计算即可． 【解答】解：由题知， 将点A（﹣1，3）向右平移8个单位长度后，3）， 再向下平移2个单位长度后，得到的点的坐标为（6． 故答案为：（2，1）． 12．（3分）“m的3倍与2的和是负数”用不等式表示为　3m+2＜0　 ． 【分析】根据题意，可以用含m的代数式表示出“m的3倍与2的和是负数”． 【解答】解：由题意可得， “m的3倍与2的和是负数”用不等式表示为8m+2＜0， 故答案为：2m+2＜0． 13．（3分）将一副直角三角板按如图放置，使两直角重合，则∠1的度数为　165°　 ． 【分析】由题意得出∠CAD＝60°、∠B＝45°、∠CAB＝120°，根据∠1＝∠B+∠CAB可得答案． 【解答】解：如图，由题意知，∠B＝90°﹣45°＝45°， ∴∠CAB＝120°， ∴∠1＝∠B+∠CAB＝45°+120°＝165°． 故答案为：165°． 14．（3分）已知在一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是　六　 边形． 【分析】根据题意，设这个多边形的边数为n，由多边形的内角和公式和多边形的外角和定理，可得（n﹣2）×180°＝360°×2，解一元一次方程即可得出答案． 【解答】解：设这个多边形的边数为n， 由题意，得（n﹣2）×180°＝360°×2， 解得：n＝8，即这个多边形是六边形． 故答案为：六． 15．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，连接BD，过点D作DE⊥AB于点E．若E为AB的中点，△BCD的周长为14，则AE的长为　5　 ． 【分析】根据DE为线段AB的垂直平分线，得到AD＝BD，再通过等量代换可得BC＝6，然后根据勾股定理和中点的知识即可求解． 【解答】解：∵DE⊥AB于点E，E为AB的中点， ∴DE为线段AB的垂直平分线， ∴AD＝BD， ∵△BCD的周长为14，即BD+BC+CD＝14， ∴AD+BC+CD＝14， ∵AD+CD＝AC＝8， ∴BC＝14﹣AC＝14﹣8＝7， ∵∠C＝90°， ∴在Rt△ABC中，BC2+AC2＝AB7， 即62+42＝AB2， ∴AB＝10， ∵E为AB的中点， ∴， 故答案为：5． 16．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝α1得∠A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2，…，∠A5BC的平分线与∠A5CD的平分线交于点A6，得∠A6，则∠A6＝　　 ． 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，根据角平分线的定义可得∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD，然后整理得到∠A1＝∠A，同理可得∠A2＝∠A1，…从而判断出后一个角是前一个角的一半，然后表示出∠An即可解答． 【解答】解：∵A1B平分∠ABC，A1C平分∠ACD， ∴∠A7BC＝∠ABC7CA＝∠ACD， ∵∠A4CD＝∠A1+∠A1BC， 即∠ACD＝∠A1+∠ABC， ∴∠A1＝（∠ACD﹣∠ABC）， ∵∠A+∠ABC＝∠ACD， ∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC， ∴∠A1＝∠A， ∠A2＝∠A1＝∠A，…， 以此类推，∠An＝∠A， ∴∠A6＝∠A＝． 故答案为：． 三、解答题（一）（共3题，第17题8分，第18，19题每题6分，共20分） 17．（8分）因式分解： （1）4x2﹣8x+4； （2）a2（a﹣b）+25（b﹣a）． 【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答； （2）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答． 【解答】解：（1）4x2﹣2x+4 ＝4（x6﹣2x+1） ＝4（x﹣1）2； （2）a8（a﹣b）+25（b﹣a） ＝（a﹣b）（a2﹣25） ＝（a﹣b）（a+5）（a﹣6）． 18．（6分）下面是小数同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成下列问题． 解：去分母，得3（1+x）＜2（1+2x） 去括号，得3+3x＜2+4x+6．第二步 移项，得3x+4x＜2+6+3．第三步 合并同类项，得7x＜11．第四步 系数化为1，得x＜．第五步 （1）以上解题过程中，第一步的依据是　不等式的性质2　 ，第　三　 步开始出现错误． （2）请你写出正确解答过程． 【分析】（1）根据解不等式的基本步骤解答即可； （2）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，把x的系数化为1即可． 【解答】解：（1）第一步的依据是不等式的性质2，不等式的两边同时乘或除同一个不为0的数；第三步再移项时8x与3的符号没改变． 故答案为：不等式的性质2；三； （2）， 去分母，得7（1+x）＜2（5+2x）+6， 去括号，得5+3x＜2+5x+6， 移项，得3x﹣6x＜2+6﹣5， 合并同类项，得﹣x＜5， 系数化为1，得x＞﹣6． 19．（6分）如图，AB⊥AD，AB⊥BC，且AE＝BC，∠1＝∠2． （1）求证：Rt△ADE≌Rt△BEC． （2）若DE＝8，∠BCE＝30°，则AD等于　4　 ． 【分析】（1）由∠1＝∠2可得DE＝EC，进而可利用HL证明Rt△ADE≌Rt△BEC； （2）根据Rt△ADE≌Rt△BEC得∠AED＝∠BCE＝30°，再根据含30°角的直角三角形的性质求解即可． 【解答】（1）证明：∵∠1＝∠2（已知）， ∴DE＝EC（等角对等边）， ∵AB⊥AD，AB⊥BC， ∴∠A＝∠B＝90°， 在Rt△ADE和Rt△BEC中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）； （2）解：∵Rt△ADE≌Rt△BEC， ∴∠AED＝∠BCE＝30°， ∵∠A＝90°，DE＝8， ∴AD＝DE＝6， 故答案为：4． 四、解答题（二）（共3题，第20题8分，21题题10分，第22题每题9分，共27分） 20．（8分）如图，在△ABC中，AC＝6，AB＝10． （1）用尺规作出线段AB的垂直平分线交AB于点D，交CB于点E（要求：不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接AE，求线段AE的长度． 【分析】（1）根据要求作出图形； （2）设AE＝BE＝x，利用勾股定理构建方程求解． 【解答】解：（1）图形如图所示： （2）∵AC＝6，BC＝8， ∴AC7+BC2＝AB2， ∴∠C＝90°， ∵DE垂直平分线段AB， ∴EA＝EB， 设EA＝EB＝x，则有x7＝62+（4﹣x）2， 解得，x＝， ∴AE＝． 21．（10分）如图，正方形网格中，每一个小正方形的边长都是1个单位长度，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，1），B（3，2），C（2，4）． （1）将△ABC向左平移6个单位长度，再向下平移2个单位长度得到△A1B1C1．画出平移后得到的△A1B1C1；如果把这个过程看成是经过一次平移，则平移距离为　　 个单位长度； （2）画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2； （3）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB3C3． 【分析】（1）根据平移的性质作图即可；利用勾股定理计算即可． （2）根据中心对称的性质作图即可． （3）根据旋转的性质作图即可． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C6即为所求． 由题意得，平移距离为＝． 故答案为：． （2）如图，△A2B2C7即为所求． （3）如图，△AB3C3即为所求． 22．（9分）先阅读理解下面例题，再按要求解答下列问题： 例：解不等式x2﹣9＜0． 解：∵x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）， ∴原不等式可化为（x+3）（x﹣3）＜0． 由有理数乘法法则：两数相乘，异号得负，得： ①，②． 解不等式组①得﹣3＜x＜3，解不等式组②无解， ∴原不等式x2﹣9＜0的解集为﹣3＜x＜3． （1）不等式x2﹣4＞0解集为x＞2或x＜﹣2　 ； （2）不等式x2+3x＜0解集为　﹣3＜x＜0　 ； （3）解不等式． 【分析】（1）先对x2﹣4因式分解，再根据“同号得正”转化为两个一元一次不等式组求解； （2）先对x2+3x因式分解，再根据“异号得负”转化为两个一元一次不等式组求解； （3）分式不等式≤0等价于分子分母异号（或分子为 0）且分母不为 0，转化为不等式组求解． 【解答】解：（1）∵x2﹣4＝（x+5）（x﹣2） ∴（x+2）（x﹣2）＞0， 由“同号得正”，得： ①，解得x＞5， ②，解得x＜﹣2， ∴解集x＞6或x＜﹣2， 故答案为：x＞2或x＜﹣7； （2）∵x2+3x＝x（x+4）， ∴x（x+3）＜0， 由“异号得负”，得： ①，无解； ②，解得﹣2＜x＜0， ∴解集为﹣3＜x＜3， 故答案为：﹣3＜x＜0； （3）≤0， ， 由（x﹣5）（x+2）≤0得﹣3≤x≤7，又x≠﹣3， ∴解集为﹣3＜x≤2． 五、解答题（三）（共2题，第23题12分，第24题13分，共25分） 23．（12分）为了抓住商机，某商店决定购进A、B两种艺术节纪念品，若购进A种纪念品8件，需要950元；若购进A种纪念品5件，需要800元． （1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？ （2）若该商店决定购进这两种纪念品100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不超过7650元 （3）若销售每件A种纪念品可获利润30元，每件B种纪念品可获利润20元，在第（2），哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【分析】（1）设购进每件A种纪念品需x元，每件B种纪念品需y元，根据“若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要950元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要800元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设可购进A种纪念品m件，则购进B种纪念品（100﹣m）件，根据总价＝单价×数量，结合于购买这100件纪念品的资金不超过7650元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论； （3）设获得的总利润为w元，根据总利润＝每件的利润×销售数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题． 【解答】解：（1）设购进每件A种纪念品需x元，每件B种纪念品需y元， 依题意得：， 解得：． 答：购进每件A种纪念品需100元，每件B种纪念品需50元． （2）设可购进A种纪念品m件，则购进B种纪念品（100﹣m）件， 依题意得：100m+50（100﹣m）≤7650， 解得：m≤53． 答：该商店最多可购进A纪念品53件． （3）设获得的总利润为w元，则w＝30m+20（100﹣m）＝10m+2000． ∵10＞0， ∴w随m的增大而增大， ∴当m＝53时，w取得最大值． 答：当购进A种纪念品53件，B种纪念品47件时，最大利润是2530元． 24．（13分）在学习《图形的平移与旋转》这一课时，李老师给我们展示了一道这样的数学题目： （1）【初步感知】 如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D为斜边BC上一点，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，则∠ACE＝　45　 °；若BD＝1，DC＝3　　 ； （2）【探究应用】 如图2，点D为等边△ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，若B、D、E三点共线，求证：EB平分∠AEC； （3）【拓展提升】 如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，平面内存在一点D，使CD⊥BD于点D，若，请直接写出BC的长． 【分析】（1）先根据等腰直角三角形的性质求得∠ABC＝∠ACB＝45°，再根据旋转性质得到∠DAE＝90°，AE＝AD，进而证明△BAD≌△CAE（SAS），利用全等三角形的对应角相等可得答案； （2）首先结合第（1）问的图形结构证明△ABD≌△ACE，然后利用全等的性质和已知条件确定∠AEC的度数，进而证明∠AED＝∠BEC即可； （3）延长DB到点D′，使BD′＝CD，连接AD′，易得△ABC是等腰直角三角形，利用（SAS）证明△ABD′≌△ACD，得到AD′＝AD＝4，∠DAC＝∠D′AB，因此得到△DAD′是等腰直角三角形，于是得到结论； 如解图3，过点A作AE⊥AD交BD于点E，利用（AAS）证明△ABE≌△ACD，得到AE＝AD＝4，BE＝CD＝2，由勾股定理得到BC． 【解答】解：（1）∵在△ABC中，∠BAC＝90°， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°， ∵将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE， ∴∠DAE＝90°，AE＝AD， ∴∠BAD＝∠CAE＝90°﹣∠DAC， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠ACE＝∠ABD＝45°，CE＝BD， ∴∠DCE＝90°， ∵BD＝1，DC＝3， ∴CE＝7， ∴DE＝＝， 故答案为：45°，； （2）证明：∵线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE， ∴AD＝AE，∠DAE＝60°， ∴∠ADE＝∠AED＝60°， ∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝60°， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， 即∠BAD＝∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠BDA＝∠CEA， ∵B，D，E三点共线， ∴∠BDA＝∠CEA＝120°， ∵∠AED＝60°， ∴∠BEC＝60°， ∴∠AED＝∠BEC， 即EB平分∠AEC； （3）如图3，延长DB到点D′，连接AD′． ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴AB＝AC， ∵CD⊥BD， ∴∠BAC+∠CDB＝180°， ∴∠DBA+∠ACD＝180°， ∵∠DBA+∠ABD′＝180°， ∴∠ACD＝∠ABD′， 在△ABD′和△ACD中， ， ∴△ABD′≌△ACD（SAS）， ∴AD′＝AD＝4，∠DAC＝∠D′AB， ∴∠DAD′＝90°， ∴△DAD′是等腰直角三角形， ∴DD′＝3， ∵CD＝BD′＝2， ∴BD＝8﹣7＝6， ∴BC＝＝4； 如图4，过点A作AE⊥AD交BD于点E． ∵∠CAB＝90°， ∴∠BAE＝∠CAD． ∵∠AEB＝∠EAD+∠ADE，∠ADC＝∠ADE+∠BDC， ∴∠AEB＝∠ADC． 又∵AB＝AC， ∴△ABE≌△ACD（AAS）， ∴AE＝AD＝4，BE＝CD＝2， ∴DE＝8， ∴BD＝BE+DE＝10， ∴BC＝＝2； 综上所述，BC的长为2． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/5/23 22:57:07；用户：聂伟；邮箱：15284038568；学号：44743775 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $