精品解析：湖北省荆门德艺学校2025-2026学年春季学期八年级数学期中测试

2025—2026学年春季八年级数学期中测试 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列式子中二次根式的个数有（ ） （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 下列运算，正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 适合下列条件的中，直角三角形的个数为（ ） ①；②；③；④；⑤． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 4. 如图，，则数轴上点所表示的数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在菱形中，对角线，相交于点O，E是的中点，若菱形的周长为24，则的长为（ ） A. 12 B. 6 C. 4 D. 3 6. 下列命题中，假命题是（ ） A. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B. 一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形 C. 两组对角相等的四边形是平行四边形 D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 7. 在中，过对角线的交点O，，则四边形的周长是（　　） A. 11 B. 11.5 C. 12 D. 12.5 8. 将一张长方形纸片按如图所示的方式对折，使点落在上的点处，折痕为，点落在点处，交于点．若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，．分别是上的动点，连接，分别为的中点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在一张矩形纸片中，，，点，分别在，上，将沿直线折叠，点落在线段上的一点处，点落在点处，有以下四个结论： ①四边形是菱形； ②平分； ③当点与点重合时，； ④线段的取值范围为． 其中正确的结论的个数是（ ） A. ①②③④ B. ②③ C. ①③④ D. ①④ 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 化简：化成最简二次根式为______． 12. 新定义，例如．则________． 13. 如图，AE、DE分别是四边形ABCD的外角∠NAD、∠MDA的平分线，∠B＋∠C=230°，则∠E的度数为____________． 14. 如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作，分别交AB，CD于点E，F，连接PB，PD．若，．则图中阴影部分的面积为______． 15. 在中，，，，点N，M分别是边和上的动点，始终保持，连接，，则的最小值为 ______． 三、解答题（本大题共9个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 计算： （1）已知，，求的值； （2）已知： ，求的值． 18. 某校为进一步加强学生的劳动教育，决定将劳动实践基地按班级进行分配．如图是该校八年级劳动实践基地的示意图，经过“数学兴趣小组”同学们的努力，测得． （1）求点之间的距离； （2）求四边形的面积． 19. 如图，已知，相交于点O，延长到点E，使，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，交于点F，连接，判断与的数量关系，并说明理由． 20. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，，求的长度． 21. 问题：已知，求的值． 小明是这样分析与解答的： ，， ，． 请你根据小明的分析与解答过程，解决如下问题： （1）________； （2）计算：； （3）若，求的值． 22. 已知四边形是菱形，，的两边分别与、相交于点E、F，且． （1）如图1，当点E是线段的中点时，直接写出线段、之间的数量关系是______； （2）如图2，当点E是线段上任意一点时（点E不与A、D重合），求证：； （3）如图3，，点E是线段的中点，点F是边上一动点（不与点A、B重合），连接，将沿翻折，使点A落在菱形内部点G处，请直接写出的最小值．（根号内数据不化简） 23. 综合与探究 （1）【问题背景】如图1，在中，是中线，，，．求的长．为了解决问题，小明作了如下辅助线：如图2，延长中线至点，使得，连接，则有，可证明，在中可用勾股定理逆定理证明，再在中求出，即可求出．请写出解答过程： （2）【类比分析】如图3，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）【学以致用】如图4，在中，，，点为中点，点在边上且，将沿折叠到，若射线恰好经过的中点，请你参照小明的思路；求出的长度． 24. 如图，点为轴正半轴上一点，点为轴负半轴上一点，点为轴正半轴上一点，，，，且，，满足． （1）若，直接写出线段的长； （2）已知点为轴上一动点，连接，以为边作等腰直角，． ①如图1，当点在上运动时（点不与、重合），连接，判断线段，，之间的数量关系，并说明理由； ②如图2，当点在延长线上运动时，连接，，在（1）的条件下，若，求的值； （3）如图3，在四边形中，在的延长线上，在轴正半轴上，，直接写出周长的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年春季八年级数学期中测试 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列式子中二次根式的个数有（ ） （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】二次根式必须满足两个条件：被开方数大于等于0，且根指数必须是2；根据上述信息，对题中的各个式子进行判断即可，如-3＜0，故第二个式子不是二次根式． 【详解】解：①中＞0，故是二次根式； ②中被开方数小于0，故不是二次根式； ③中＞0，故是二次根式； ④是立方根，故不是二次根式； ⑤中＞0，故是二次根式； ⑥x>1，则1-x<0，故不是二次根式； ⑦被开方数＞0，故是二次根式； 根据二次根式的定义可知，①③⑤⑦是二次根式，共4个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是二次根式的判断，掌握二次根式的定义是解题的关键．一般地，我们把形如的式子叫做二次根式． 2. 下列运算，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的除法法则，算术平方根，合并同类项，二次根式的性质化简各个选项，即可解答． 【详解】解：A、，故A选项错误； B、，故B选项错误； C、，故C选项错误； D、，故D选项正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的除法法则，算术平方根，合并同类项，根据二次根式的性质化简，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 3. 适合下列条件的中，直角三角形的个数为（ ） ①；②；③；④；⑤． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】A 【解析】 【分析】若一个三角形的三边长满足较小的两边的长的平方和等于最大边的长的平方，那么这个三角形是直角三角形，据此结合三角形内角和定理逐一判断即可． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， ∴不是直角三角形； ② 仅知道，∠，无法判定是直角三角形． ③ ∵． ∴ ． ∴是直角三角形． ④ ∵， ∴． ∴是直角三角形． ⑤ ∵， ∴， ∴不是直角三角形． 综上，直角三角形共2个． 4. 如图，，则数轴上点所表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理与实数．先根据勾股定理求出三角形的斜边长，从而得出，再根据点A表示的数为，求出C点表示的数即可． 【详解】解：图中的直角三角形的两直角边为1和2， ∴斜边长为：， ∵， ∴， ∵点A表示的数为， ∴点C所表示的数为：． 故选：B． 5. 如图，在菱形中，对角线，相交于点O，E是的中点，若菱形的周长为24，则的长为（ ） A. 12 B. 6 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． 根据菱形的性质求出的长，，再根据直角三角形斜边上的中线的性质求解的长即可． 【详解】解：在菱形中，，， 菱形的周长为24， ， 为的中点，， ， 故选：D． 6. 下列命题中，假命题是（ ） A. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B. 一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形 C. 两组对角相等的四边形是平行四边形 D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了命题的真假，平行四边形的判定，根据错误的命题是假命题，正确的命题是真命题，以及平行四边形的判定方法进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，是真命题，故该选项不符合题意； B、一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形或者是等腰梯形，原说法是假命题，故该选项符合题意； C、两组对角相等的四边形是平行四边形，是真命题，故该选项不符合题意； D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题，故该选项不符合题意； 故选：B． 7. 在中，过对角线的交点O，，则四边形的周长是（　　） A. 11 B. 11.5 C. 12 D. 12.5 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题关键．结合平行四边形的性质证明，，即可证明，由全等三角形的性质可得，，然后计算四边形的周长即可． 【详解】解：∵四边形平行四边形，， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴的周长． 故选：C． 8. 将一张长方形纸片按如图所示的方式对折，使点落在上的点处，折痕为，点落在点处，交于点．若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查矩形的折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理． 先根据勾股定理求出，然后证明，得到，，即可得到，，然后在中，利用解题即可． 【详解】解：在中，， 由折叠可得，， 又∵是矩形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， 设，则， 在中，，即， 解得：， 故选：A． 9. 如图，在中，，，．分别是上的动点，连接，分别为的中点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 连接，过点作于，由平行四边形的性质得到，得出求出，求出，由三角形中位线定理得到，当时，有最小值，即有最小值，当点与点重合时，的最小值为，得到 的最小值为，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，过点作于， 四边形是平行四边形，， ， ， ， ， ， 分别为的中点， ， 当时，有最小值，即有最小值， 当点与点重合时，的最小值为， 的最小值为， 故选：D． 10. 如图，在一张矩形纸片中，，，点，分别在，上，将沿直线折叠，点落在线段上的一点处，点落在点处，有以下四个结论： ①四边形是菱形； ②平分； ③当点与点重合时，； ④线段的取值范围为． 其中正确的结论的个数是（ ） A. ①②③④ B. ②③ C. ①③④ D. ①④ 【答案】C 【解析】 【分析】先由矩形的对边得，结合折叠性质推得四边形四边相等，证得它是菱形，结论①正确；若平分，需满足直角三角形的特殊边长关系，该条件并非必然成立，结论②错误；当与重合时，设，用勾股定理列方程求得，再构造直角三角形计算得，结论③正确；最后分析临界位置：与重合时取最小值，与重合时取最大值，故，结论④正确． 【详解】解：①∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质可知，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，故结论①正确； ②若平分，则， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 此时需满足，该条件并非必然成立，故不一定平分，结论②错误； ③当点与点重合时，设，则， 在中，由勾股定理得，即，解得， ∴，，即菱形的边长为． ∵， ∴，， 过点作于点，则四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，，故结论③正确； ④当点与点重合时，取得最小值； 当点与点重合时，四边形是正方形， ∴，此时，即取得最大值， ∴线段的取值范围为，故结论④正确； 故选：C． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 化简：化成最简二次根式为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的符号，再利用二次根式的性质化简为最简二次根式． 【详解】解：由题意可得：，且， 解得：， ． 12. 新定义，例如．则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算、新定义，根据新定义列式计算即可． 【详解】解：根据题中的新定义得：． 故答案为：． 13. 如图，AE、DE分别是四边形ABCD的外角∠NAD、∠MDA的平分线，∠B＋∠C=230°，则∠E的度数为____________． 【答案】65°##65度 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理的应用，四边形的内角和与平角的定义可得结论． 【详解】解：由四边形内角和可得∠B＋∠C＋∠CDA＋∠BAD＝360°， ∵∠MDA＋∠CDA＋∠NAD＋∠BAD＝360°， ∴∠MDA＋∠NAD＝∠B＋∠C， ∵AE、DE分别是∠NAD、∠MDA的平分线， ∴∠ADE＋∠EAD＝（∠MDA＋∠NAD）＝（∠B＋∠C）， ∵∠B＋∠C＝230°， ∴∠ADE＋∠EAD＝×230°＝115°， ∴∠E＝180°−（∠ADE＋∠EAD）＝180°−115°＝65°． 故答案为：65°． 【点睛】本题考查三角形和四边形的内角与外角，熟练掌握三角形和四边形的内角和与外角和是解题关键． 14. 如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作，分别交AB，CD于点E，F，连接PB，PD．若，．则图中阴影部分的面积为______． 【答案】10 【解析】 【分析】想办法证明S△PEB=S△PFD解答即可． 【详解】作PM⊥AD于M，交BC于N． 则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形， ∴S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PBE=S△PBN，S△PFD=S△PDM，S△PFC=S△PCN， ∴S△DFP=S△PBE=×2×5=5， ∴S阴=5+5=10， 故答案为10． 【点睛】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明S△PEB=S△PFD． 15. 在中，，，，点N，M分别是边和上的动点，始终保持，连接，，则的最小值为 ______． 【答案】 【解析】 【分析】过点C作，使，连接、，根据勾股定理求出，，利用“”，可证明，得，根据三角形三边关系可得，，当点G、M、B三点共线时，的值最小，最小值为的值，进而可以求解． 【详解】解：如图，过点C作，使，连接、， ，，， ， ， ， ，即， ， ， ， ，， （）， ， ， 当点G、M、B三点共线时，的值最小，最小值为的值， 的最小值为． 三、解答题（本大题共9个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题用到绝对值的性质和平方差公式的应用． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 17. 计算： （1）已知，，求的值； （2）已知： ，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据已知条件判断的符号，再对所求式子变形，代入已知条件计算； （2）利用平方差公式，结合已知条件计算所求结果即可． 【小问1详解】 解：已知，， ∵ ， ， ∴，， 则， 代入，得：原式； 【小问2详解】 解：设，， 由平方差公式可得 ， ∵，且， 代入得 ， 解得， 即． 18. 某校为进一步加强学生的劳动教育，决定将劳动实践基地按班级进行分配．如图是该校八年级劳动实践基地的示意图，经过“数学兴趣小组”同学们的努力，测得． （1）求点之间的距离； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的运用，解题的关键是掌握勾股定理及其逆定理的运用进行解答即可． （1）连接，根据勾股定理的运用，解答即可； （2）根据勾股定理的逆定理，可得是直角三角形，再根据四边形的面积为：，进行解答，即可． 【小问1详解】 解：连接， ∵，，， ∴， ∴，的距离为． 【小问2详解】 解：由（1）得， ∵，， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴四边形的面积为：． 19. 如图，已知，相交于点O，延长到点E，使，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，交于点F，连接，判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2），见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理： （1）根据平行四边形的性质可得，再由，可得，即可求证； （2）根据平行四边形的性质可得，，然后根据三角形中位线定理可得，再由，可得，即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：与的数量关系为：，理由如下： 由（1）得：四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴． 20. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，，求的长度． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等知识；正确的识别图形是解题的关键． （1）由平行四边形性质得到且，即可得到，可得是平行四边形，根据矩形的判定即可得到结论； （2）由矩形的性质得到，，进而求得，，由勾股定理可求得和，由平行四边形性质得，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得到结论． 【小问1详解】 证明：∵在平行四边形中， ∴且， ∵， ∴， 即． ∴且， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴， ∴是矩形； 【小问2详解】 解：由（1）知：四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴在中，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 21. 问题：已知，求的值． 小明是这样分析与解答的： ，， ，． 请你根据小明的分析与解答过程，解决如下问题： （1）________； （2）计算：； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2）22 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化． （1）根据例题可得：对每个式子的分子和分母中同时乘以与分母中的式子相乘符合平方差公式的根式，去掉分母，然后合并同类二次根式即可求解； （2）将式子中的每一个分式进行分母有理化，问题随之得解； （3）先求出，变形求出，然后将变形求值即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴ ． 22. 已知四边形是菱形，，的两边分别与、相交于点E、F，且． （1）如图1，当点E是线段的中点时，直接写出线段、之间的数量关系是______； （2）如图2，当点E是线段上任意一点时（点E不与A、D重合），求证：； （3）如图3，，点E是线段的中点，点F是边上一动点（不与点A、B重合），连接，将沿翻折，使点A落在菱形内部点G处，请直接写出的最小值．（根号内数据不化简） 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）证明即可判断． （2）证明即可求证． （3）先由翻折可知，，连接，当G点位于上时，的值最小，最小值为 ，再利用含角的直角三角形的性质与勾股定理进行求解即可得出最小值． 【小问1详解】 解： 理由：如图1 ，连接， 在菱形中，，， 为等边三角形， ∴， ∵， ， ∵菱形中，平分， ∴， ， ； 【小问2详解】 证明：如图2 ，连接， 在菱形中，，， 为等边三角形， ∴， ∵， ， ∵菱形中，平分， ∴， ， ； 【小问3详解】 解：如图，由翻折可知，， 连接，当G点位于上时，的值最小，最小值为 ， ∵，点E是线段的中点， ∴， ∴， 过E点作于H， ∵菱形中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵菱形中，， ∴， ∴， ∴的最小值为 ． 【点睛】本题考查了动点问题，涉及到了菱形的性质、等边三角形的判定与性质和勾股定理等知识，解题关键是构造全等三角形与利用两点之间线段最短得出使线段最短时动点所在的位置． 23. 综合与探究 （1）【问题背景】如图1，在中，是中线，，，．求的长．为了解决问题，小明作了如下辅助线：如图2，延长中线至点，使得，连接，则有，可证明，在中可用勾股定理逆定理证明，再在中求出，即可求出．请写出解答过程： （2）【类比分析】如图3，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）【学以致用】如图4，在中，，，点为中点，点在边上且，将沿折叠到，若射线恰好经过的中点，请你参照小明的思路；求出的长度． 【答案】（1）见解析 （2）．理由见解析； （3）的长度为． 【解析】 【分析】（1）延长中线至点，使得，连接．证明，利用勾股定理的逆定理求得，再利用勾股定理求解即可； （2）延长，交于点F，证明，推出，再证明即可解决问题； （3）设，过点作交的延长线于点，连接，证明，推出，，再证明，推出，得到，求得，利用勾股定理列式计算即可求解． 【小问1详解】 解：如图，延长中线至点，使得，连接． ∵是中线， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 在中， ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴； 【小问2详解】 解：．理由如下， 理由：如图中，延长，交于点F， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：设，如图，过点作交的延长线于点，连接， ∵将沿折叠到， ∴，，，，则， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，，， ∴， ∴，即， 解得， ∴的长度为． 24. 如图，点为轴正半轴上一点，点为轴负半轴上一点，点为轴正半轴上一点，，，，且，，满足． （1）若，直接写出线段的长； （2）已知点为轴上一动点，连接，以为边作等腰直角，． ①如图1，当点在上运动时（点不与、重合），连接，判断线段，，之间的数量关系，并说明理由； ②如图2，当点在延长线上运动时，连接，，在（1）的条件下，若，求的值； （3）如图3，在四边形中，在的延长线上，在轴正半轴上，，直接写出周长的最小值． 【答案】（1） （2）①，理由见解析；② （3） 【解析】 【分析】（1）由二次根式有意义的条件得到，在中，由勾股定理求解即可得到答案； （2）①先证明，在中，由勾股定理求证即可；②由①的求解过程，同理可得，利用勾股定理求解即可得到答案； （3）作点关于轴的对称点，作点关于直线的对称点，连接和，当、、、四点共线时，的周长最小，据此求解即可． 【小问1详解】 解：， 由二次根式有意义的条件可知，，且， 则，即， ， ． ， ． 在中， 由勾股定理得，． 【小问2详解】 解：①，理由如下： 由（1）可知，，则易得，， ，， ． 为等腰直角三角形， ，， ， 即， ， ，， ． 在中， 由勾股定理得，， ； ②由①的求解过程，同理可得，， ，， ． 由（1）可知，， 在中， 由勾股定理得，， ， ． ， ． 在中， 由勾股定理得，． 【小问3详解】 解：如图，作点关于轴的对称点，作点关于直线的对称点，连接和， 则，， 的周长， 当、、、四点共线时，的周长最小，如图所示： 此时，的周长为线段的长度． 由轴对称的性质得，，， ， ， 即周长的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $