山东省日照市经济开发区2025-2026学年九年级下学期二模数学试卷

2026年初中学业水平模拟考试数学试题 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．负数的概念最早记载于我国古代著作《九章算术》，若收入20元记作，则支出50元应记作（ ） A．50 B．-10 C．+20 D．-50 3．如图所示的几何体是由一个圆锥和一个长方体组成的，它的主视图是（ ） A． B． C． D． 4．若，，，，则（ ） A． B． C． D． 5．周末，小辰、小苏、小彦和小夏四人准备开车出去游玩，四人中只有小夏不会开车，车辆座位如图所示，则小夏和小彦坐在同一排的概率为（ ） A． B． C． D． 6．端午节，又称端阳节，龙舟节、重午节等，日期在每年农历五月初五，是集拜神祭祖、祈福辟邪、欢庆娱乐和饮食为一体的民俗大节．某小区开展“包粽子，庆端午”活动，活动期间，计划每小时包相同数量的粽子．该活动开始后，实际比原计划每小时多包100个，实际包1200个所需时间与原计划包1000个所需时间相同．设实际每小时包x个，则下列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 7．就实证科学而言，宇宙这部著作是用数学语言写成的．其中勾股定理是我们的祖先在“立竿见影，以正农时”，探索天地相对运动周期时捕捉到的数学原理．它所蕴含的“天道之数”，被人们用以作为沟通天地、与自然对话的凭借，最早被“放之四海”，构筑起中华文明的大厦．如图，在中，，以其三边为边分别向外作正方形，连接，，，设，，的面积分别是，，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 8．给出下列命题及函数与和的图象： ①如果，那么； ②如果，那么或； ③如果，那么； ④如果，那么.则（ ） A．正确的命题有①② B．正确的命题有①②④ C．错误的命题有②③ D．错误的命题有②④ 9．如图，函数的图象与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，是上方抛物线上一点，连接交于点，连接，，记的面积为，的面积为，则的最大值为（ ） A．1 B． C． D． 10．如图，在矩形中，，，以点为圆心，1为半径作．若动点在上，动点在上，则的最小值是（ ） A．7 B．6 C．5 D．4 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是________. 12．在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的值是________． 13．如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是________ 14．如图，在单位长度为1的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2，圆心角为的多次复制并首尾连接而成．现有一点从（为坐标原点）出发，以每秒的速度沿曲线向右运动，则在第2026秒时点的纵坐标为________． 15．如图，点，在矩形内，．若，，，则的长为________． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（8分）（1）计算：； （2）先化简，再求值．，其中． 17．（8分）已知：如图，矩形． （1）尺规作图：在边上找一点，将矩形沿折叠，使点落在边上；（不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（1）所作图形中，若，，求的长． 18．（10分）为了解学生的睡眠情况，某校随机抽取部分学生对他们最近两周的睡眠情况进行调查，得到他们每日平均睡眠时长（单位：）的一组数据，将所得数据分为四组（：；：；：；：），并绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次一共抽样调查了________名学生； （2）求出扇形统计图中组所对应的扇形圆心角的度数； （3）将条形统计图补充完整； （4）若该校共有1000名学生，请估计最近两周有多少名学生的每日平均睡眠时长大于或等于． 19．（9分）【情境预设】 如图，在平面直角坐标系中（为1个单位长度），平行于轴的直尺（一部分）与双曲线交于点和，与轴交于点和．直尺的宽度为，，． 【初步解决】 （1）求反比例函数解析式； 【深入探究】 （2）若经过，两点的直线解析式为请直接写出不等式的解集； （3）连接，，求的面积． 20．（10分）如图，在中，，，经过，两点，与斜边交于点，连接并延长交于点，交于点，过点作，交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 21．（8分）图1，2是一个折叠梯的实物图，图3是折叠梯展开、折叠过程中的一个主视图，图4是折叠梯充分展开后的主视图，此时点落在上，已知，，点，，，在上，，，，均与所在直线平行，．点在上，，的长度固定不变；图5是折叠梯完全折叠时的主视图，此时，重合，点，，，，，在上的位置如图所示． 【分析问题】 （1）如图5，用图中的线段填空：________； （2）如图4，________，由，且的长度不变，可得与之间的数量关系为________； 【解决问题】 （3）求的长． 22．（11分）已知二次函数（为常数，）． （1）若，求证：该函数的图象与轴有两个交点； （2）若，求证：当时，； （3）若该函数的图象与轴有两个公共点，，且，求的取值范围． 23．（11分）【问题探究】 （1）在中，，过点作于点． ①如图1，若，求的值； ②如图2，点在的延长线上，连接并延长至点，连接，当时，求证：； 【问题解决】 （2）为提升城市绿化品质，某市计划在新区建设一座生态公园．公园设计包含一片人工湖与多个休闲广场，其中一处广场形状为直角三角形区域（如图3），，，．为增强景观的连贯性，设计师计划在广场外选取一点，建造一座景观桥，满足．在点和点处设置游客休息区，并修建仿古长廊和小路，点在的延长线上，且，连接．经测算，当仿古长廊的长度最短时，成本最小，请你帮助设计师求出当仿古长廊最短时，小路的长度．（小路、仿古长廊、景观桥的宽度均忽略不计） 学科网（北京）股份有限公司 $