河北唐山市开平区2025-2026学年第二学期期中考试高一数学试卷

**基本信息** 高一数学期中卷以互联网行业调查、运动会报名等现实情境为载体，通过统计图表分析、立体几何翻折等问题设计，分层考查数据意识、空间观念与逻辑推理，适配高一学段知识整合需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题（单选）|8/40|统计图表分析（1）、复数运算（2、5）、向量共线（3）|第1题结合饼状图与条形图，考查数据分析与逻辑判断| |选择题（多选）|3/18|解三角形（9）、概率事件关系（10）、平面向量（11）|第10题以有放回抽球为情境，辨析事件独立性与互斥性| |填空题|3/15|复数几何意义（12）、三角形面积（13）、迷宫概率（14）|第14题迷宫逃生模型，体现数学建模与随机思想| |解答题|5/77|向量投影（15）、立体几何翻折证明与二面角（16）、频率分布直方图（18）、动态翻折与线面角（19）|第19题动态翻折问题，综合考查空间想象与运算求解，呼应数学思维与创新意识|

开平区2025-2026学年度第二学期期中考试 高一数学答案 1.D 【分析】利用整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图即可判断各选 项的真假 【详解】选项A；由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图得到互联网行业从业人员中90后占56%，故 A正确； 选项B:设整个互联网行业总人数为4,90后从事技术岗位人数为56%×39.6%α，而90后总人数的20% 为56%×20%a,故B正确： 选项C:设整个互联网行业总人数为a,互联网行业中从事运营岗位的90后人数为56%ax17%=9.52%a, 超过80前的人数6%4，且80前中从事运营岗位的人数比例未知，故C正确： 选项D:设整个互联网行业总人数为4，互联网行业中从事技术岗位的90后人数为56%ax39.66=22.176%a, 小于80后的人数38%a,但80后中从事技术岗位的人数比例未知，故D错误. 故选：D 2.A 【分析】根据复数运算法则求结论即可. 1-2i(1-2i)(3+i)3+i-6i-225-5i1-i11 【详解】3-i3-3+) 9+1 102221, 故选：A. 3.C 【分析】根据向量的坐标运算法则求3ā-b,结合向量的坐标表示列方程求k. 【详解】因为a=(1,2),b=(4,3), 所以3ā-b=(-1,3),又c=(k,2),3a-b与共线， 所以(-1)×2=3×k, 所以k=- 3 故选：C 4.D 【分析】根据给定条件，角化边并利用余弦定理求解即得 【详解】在ABC中，由sinA:sinB:sinC=3:5:7及正弦定理得a:b:c=3:5:7, 第1页共12页 令a=31,则b=5tc=7i>0),由余弦定理得cosB=a+c2-_9f+49f-25f1 2ac 2.3t.7t -14 故选：D 5.C 【分析】根据除法运算求得z=-。,再利用模长公式运算求解 55 【详解】因为1+21)：=2-4i,则z=2i-2-4)0-2列68 1+2i(1+21)01-21551, 所以 8 2 故选：C. 6.C 【分析】在甲单独参加某项比赛条件下，结合分堆问题的处理方法及分步乘法计数原理求满足条件的方法 数，再在甲不单独参加某项比赛条件下，·由分步乘法计数原理及排列知识求满足条件的方法数，最后利用 分类加法原理求结论， 【详解】满足条件的报名方法可分为两类： 第一类：甲单独参加某项比赛， 先安排甲，由于甲不能参加跳远，故甲的安排方法有3种， 再将余下4人，安排到与下的三个项目， 由于每名同学只能报1个项目，每个项目至少有1名同学报名， 故满足条件的报名方法有 CCA-36. A 所以甲单独参加某项比赛的报名方法有3×36=108种， 第二类：甲与其他一人一起参加某项比赛， 先选一人与甲一起，再将两人安排至某一项目，有C4A=12种方法， 再安排余下三人，有A=6种方法， 所以甲不单独参加某项比赛的报名方法有12×6=72种， 所以满足条件的不同的报名方法共有72+108=180种方法. 故选：C 7.C 【分析】应用极差，中位数，平均数，众数定义计算求解各个选项 第2页共12页 【详解】样本数据从小到大排列为2,3,4,5,6,7,8， 则极差为8-2=6，A选项错误： 中位数是5，B选项错误： 平均数是2+3+4++6+7+8-=5，C选项正确； 7 众数不是8，D选项错误； 故选：C 8.B 【分析】①求证AC⊥平面D'OB即可判断；②找到最大体积时DO⊥平面ABC,即可由锥体体积公式计 算求解；③取D'C中点H,截面图形即为矩形EFGH,由题设求出DB<AC即可判断；④找到球心位置， 根据勾股定理列方程组即可求解 【详解】①因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD,故AC⊥BO,AC⊥D'O, 又BO∩DO=O且都在平面D'OB内，所以AC⊥平面D'OB, 因为BD'C平面D'OB,所以AC⊥BD',正确： ②由①得AC⊥平面D'OB,ACC平面ABC,所以平面D'OB⊥平面ABC, 当D到平面ABC的距离最大时，即DO⊥平面ABC时三棱锥D-ABC的高最大， 由题意得，△ABD为等边三角形，O为BD中点，所以D0=D0=BD=1AB=1, 所以=接懂D-A8c体积的最大值为-写D0及e:写1 2xsin60= 2 3 ,正确： ③取D'C中点H,连接EH,GH,因为线段AD',AB,BC的中点分别为E,F,G, 所以GH11D'B11BP,EH11AC11FG,且GH=ER=D'B,EH=FG=AC, 2 所以截面图形为平行四边形EFGH 由①可知AC⊥BD',所以EF⊥FG,故四边形EFGH为矩形， 由题意得AC=2W3,BD=2,所以DB<OB+OD'=2<AC=2V3, 所以EF≠FG,即四边形EFGH不可能为正方形，错误； ④当二面角D-AC-B为2时，由①可得DOB=2 3 3 所以D到平面ABC的距离为OD'sin60=5 2 OD'在平面ABC内的投影在直线D0上，投影长为OD'cos60=1 因为DA=DB=DC,所以D为ABC外接圆圆心， 所以三棱锥D'-ABC外接球的球心O在过D且与平面ABC垂直的直线上， 第3页共12页 如图，设三棱锥D-ABC外接球的半径为R,OD=h, E B R2=4+h h=V3 则 ,解得 故三棱锥外接球的半径为√7，错误. R=√万' 故选：B 9.ACD 【分析】利用正弦定理和圆的面积公式可判断选项A;利用正弦定理和向量的数量积定义可判断选项B: 根据单位向量差与边向量垂直得出BO平分∠ABC,再结合O为△ABC的重心可得出BA=BC,可判断选 项C:根据三角形外心的定义及向量数量积的几何意义可判断选项D. 【详解】对于选项A,由正弦定理知2R二22 sin B sinπV3 =4,得R=2, 32 则△ABC外接圆的面积为R2=4π，故选项A正确； 对于选项B,·C=)，B-亚 3 A=元-B-C=,由正弦定理ACAB=4,可得AB=4, 6 sin B sin C ∴厨C-o(-4)=4x25×5-12,故选项B错误： 2 BA BC 对于选项C, B0=0, BA BC .BO平分∠ABC, 又，O为△ABC的重心， ∴.BA=BC, 又，B= 3 ∴，△ABC为等边三角形，故选项C正确： 对于选项D,,'点O为△ABC的外心， 第4页共12页 :40在AC上的投影为AC 由数量积的几何意义可得：A0AC=AC=6,故选项D正确 故选：ACD 10.BD 【分析】利用样本空间法，分别计算4个事件的概率，以及选项中两个事件同时发生是概率，再结合独立 事件，互斥事件的定义，即可判断选项！ 【详解】P(甲)。，事件丙包含(26).(62)(6,5).(5,3)(44)，共5个基本事件，所以P(丙)= 361 P(甲肉)石所以P(甲丙)士P(用P(肉，甲与丙不相互独立，故A错误： 事件丁包含14,41.(25)-(5,2.(3.6.(6)共6个基本事件，所以P(T)言，P甲T)-G所以 P(伊丁)=P(甲)P(丁)，甲与丙相互独立，故B正确； P忆)名P亿丙)石所以P忆网zP(ZP(丙，乙与丙不相互独立，故C错误： 事件丙和丁没有公共事件，不可能同时发生，所以丙和丁互斥，故D正确. 故选：BD 11.BCD 【分析】如图建立平面直角坐标系，利用向量的坐标表示，结合向量数量积、向量共线、向量模长的计算 公式逐项计算判断即可 【详解】如图建立平面直角坐标系， 则A(0,0),B(4,0),C(4,4),D(0,4),E(0,2) 所以AB=(4,0),AD=(0,4),因为AP=2AB+AD(0≤元≤1,0≤4≤1)， 所以AP=(4元，40)(0≤1≤1,0≤≤），即P(42,4)(0≤1≤1,0≤4≤1). 珠 E ◇ A B末 对于A,若1=4=7则P(22),所以PE=(-2,0,P历=(2-2)， 所以PE.PB=4,故A错误： 第5页共12页 对于B,当4=1时，P(42,4),所以AP=(4元，4)，又BC=(0,4), 所以BC.AP=16,故B正确： 对于C,因为BE=(4,2),BP=(42-4,4), 又点P在线段BE上，所以BP/BE,所以(4入-4)×2=-4×4， 所以2+u-号故C正确： 对于D,若猫=4，又aP=(42,40）,所以4心+(4如=4，即2+2-1， 设 [=c0s8, 6∈0， u sin0, 12 所以2元+l=2cos6+sin0=√5sin(θ+9，其中P为锐角且tanp=2, 所以当θ+p=二时，22+u取得最大值，且最大值为√5，故D正确. 2 故选：BCD. 12.3v2 【分析】根据题意，得到OA和OB的坐标，求得AB=(2+√5，V5-2),结合向量模的计算公式，即可求解， 【详解】由复数√5+2i和复数2+√5i在复平面上分别对应的向量分别是OA和OB, 可得OA=（-√5,2)，OB=(2,√5)，所以AB=0B-OA=(2+√5，V5-2), 所以AB=V(2+V5)2+(5-2)2=3√2. 故答案为：3√2 13.35 【分析】利用正弦定理将边化角，即可求出A,再由面积公式求出bc,由余弦定理求出b2+c2,最后由完 全平方公式求出b+c. 【详解】因为a2由正孩定理符45s8,即mA店.又0<A<,所以A-号 cosA sin B cosA sin B 由鱼Bc的面积为3V5,得csin4=5bc 2 2 4 35,可得c=6. 在ABC中，由余弦定理可得a2=b2+c2-2 bc cosA, 又a=3,A号代入可得公+c2=15,所以亿+e=+c2+2c=27, 所以b+c=35. 第6页共12页 故答案为：3√5 4月 【分析】求得小鼠逃生路线有六种情况：利用独立事件的概率公式求得每种情况的概率，再利用互斥事件 的概率公式求解即可. 【详解】小鼠逃生路线有以下六种情况： 1→2→3→6→9： 1→2→5→6→9： 1→2→5→8→9： 1→456→9： 1→4→5→8→9： 1→4→7→8→9 概率分别为R=2今2336 11111 8司 BxL11 234372 11111 B2×4有方 11111 B=2x3×4×372 11111 B=2X3×2336 所以小老凤选车书率为P=g+-号+只-8-月=衣+分+分+方+分名-兮 故答案为：9 1 150=-号 剑 【分析】(1)分别求得ā+b,b-c的坐标，再根据(a+)L(⑥-c)求解： .7 (2)先求得m,的坐标，再由Pi求解。 【详解】(1)解：因为a=(3,4),b=(9,12),c=(4,-3), 所以a+kb=(3+9k,4+12k),b-c=(5,15), 第7页共12页 因为（ā+）L(b-c), 所以(a+b)(⑥-C)=5(3+9k)+15(4+12k)=0, 质以专 （2)m=2a-b=2×(3,4)-(9,12)=(-3,-4), 元=a+c=(3,4)+(4,-3)=(7,1), 所以mi=-3×7-4×1=-25,m=V72+P=5√2， 所议向甜a在向最万的技彩狗盘为停i-总(（子-》 16.(1)证明见解析 (226 3 【分析】(1)由己知先证明AB1平面PAD,然后由面面垂直的判定定理即可证明： (2)连接AC,过点D作DF⊥AP',垂足为F,连接CF,得出二面角C-PA-D的平面角为∠CFD, 即可求解 【详解】(1)因为D,C分别是PA,PB的中点，所以CDIIAB, 因为PA⊥AB,所以CD⊥AP,则CD⊥AD,CD⊥PD,即CD⊥PD, 又因为AD∩P'D=D,AD,P'DC平面PAD,所以CD⊥平面PAD, 故AB⊥平面PAD,又ABC平面P'AB, 所以平面PAB⊥平面P'AD. (2)连接AC,过点D作DF⊥AP',垂足为F,连接CF,如图所示， 因为CD⊥平面PAD,直线PC与平面PAD所成的角为45° 所以∠CP'D=45°，即∠CPD=45°， 因为CDIIAB,PA⊥AB,所以CD⊥AP,△CDP是等腰直角三角形， 可得CD=AD=PD=PA=V5,所以PA=AD=PD=5,即△ADP为等边三角形， 2 则点为A中点，nF-95-子 在Rte ADC中，AC=VAD+CD=√6，在Rt△PDC中，P'C=VCD+PD?=√6，则AC=CP', 由点F为AP中点得，CF⊥AP', 又CFC平面ACP',DFC平面ADP',平面ACP'O平面ADP'=AP', 所以二面角C-PA-D的平面角为∠CFD, 第8页共12页 因为CD⊥平面PAD,DFc平面PAD,所以CD⊥DF, 在Rt△CDr中，tan∠CFD=CD=V3_2W5 DF33, 2 所以二面角C-PA-D的正切值为2 3 D B .0 (2)2+√2 【分析】(1)利用两角和的正弦公式及诱导公式化简即可求得结果： (2)本题可先判断ABC和△PBC的形状，再结合己知条件求出相关角度，最后计算△PBC和ABC的 面积，即求得结果。 【详解】(1)依题意得sin CcosB+cosCsin B=cosC,故sin(B+C)=cosC 在45c巾，A8+c=x,CeQ动.A(0写】 所以mB+C-4=co行-6osC 所以受A=C,故B 2 2)由(1)知，B-5,因为AB=BC=BP-2, 所以AC=22,且点B为△APC的外接圆的圆心，圆的半径为2. 由正弦定理得， AC sin∠APC =2R=4,解得sin∠APC=2 因为∠4CP>ACB=子所以AC<证 4 故∠APC=T=∠PBC 4 故△PBC的面积为号BC,BP sin a∠PBC=V2, 2 ABC的面积为2AB.BC=2, 所以四边形ABPC的面积为2+√2 18.(1)a=0.025,平均数为74分 第9页共12页 (2)60分的同学的成绩没有进入到x-5,x+5范围，80分的同学的成绩进入到x-S,x+5范围了. 【分析】(1)由面积和为1可计算a的值，由每组长方形中点值乘以频率可得平均数： (2)由方差的计算公式计算方差，再判断即可， 【详解】（1)由题意知0.05+0.1+0.2+0.3+10a+0.1=1,解得a=0.025; 所以该次测试分数的平均数的为： 45×0.05+55×0.1+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.1=74(分). (2)由频率分布直方图知 52=0.05×(45-74)+0.1×(55-74)2+0.2×(65-74)}+0.3×(75-74)+0.3×(85-74)+0.1×(95-74)=169, .5=V169=13(分)， x-5=61(分)，x+5=87(分) 故得分为60分的同学的成绩没有进入到[61,87]内，得分为80分的同学的成绩进入到了[61,87]内， 即：得分为60分的同学的成绩没有进入到[x-5,x+s]范围，得分为80分的同学的成绩进入到[x-3,x+s] 范围了. 19.)(i)证明见解析；()45 7 e 3 【分析】(1)(i)取AC的中点E,连接SE,BE,即证SE⊥AC,BE⊥AC,利用线面垂直的判断定理 即可证AC⊥平面SBE,再由线面垂直的性质定理即可得证； (ii)连接EF,由(i)知，AC⊥平面SBE,当EF⊥BS时，EF最小时，△AFC的面积最小，过C作CM⊥AF, 垂足为M,即CM⊥平面ABS,即∠CFA为直线CF与平面ABS所成的角，在△ACF计算即可求解： (2)建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解 【详解】(1)(i)取AC的中点E,连接SE,BE,如图， 因为AB=BC,SA=SC,且AC的中点为E, 所以SE⊥AC,BE⊥AC, 又SE∩BE=E,SE,BEC平面SBE,故AC⊥平面SBE, 第10页共12页 由于SBc平面SBE,故AC⊥SB (ii)连接EF,由(i)知，AC⊥平面SBE,EFc平面SBE, 1 则AC⊥EF,.SAc=5AC×EF, 2 EF⊥BS时，EF最小时，△AFC的面积最小. 又AC⊥BS,AC∩EF=E,.BS⊥平面AFC,又BSC平面ABS, .平面ABS⊥平面AFC,过C作CM⊥AF,垂足为M,则CML平面ABS, 故DCFM为直线CF与平面ABS所成的角，由AC=2,且SE=√3，BE=1,又BS=2, BS=BS2+EB2,∴∠BES=90,所以EF=BB×S旺-V5 BS 2 43 42 ，An=5 2 7.7 在△1CR中，由余弦定理得0/AFC.了手4 1 2xxV7，故 -X 22 sin∠APc=45 sin<AM=sin(π-∠AnC)=4 7 故CF与平面ABs所成的角的正弦值为4 1 (2)以E为坐标原点，A的方向为x轴正反向，建立如图所示的空间直角坐标系E-x2, ZA 则A(1,0,0),B(0,10),C(-1,0,0),设∠SB=6∈(0，m),则S0,V3cos6,v5sin6）, .CA=(2,0,0),CS=1,V3cos8,V3sim0),CB=(1,10), 设平面CAS的法向量为i=(x,y,=), m CS=x+3ycos+3zsin=0 则 ,取m=(0,sin0,-cos8), mCA=2x=0 设平面CBS的法向量为=(，为，0)，则 第11页共12页 i.CS=x+3vo cos+3zosin0=0 ii-CB=xo+o=0 取元=(5sin85sim8,1-5c0s0),设平面AC与平面B5℃夹角为p,易知p∈0， 2 :p水sa列 成列 3-cose V7-3cos20-2√3c0s0 令t=V3-cos6, 则t∈(5-1,5+1)： 4 1 .∴.C0S0= V-3t2+8V3t-8 815)2 Y+3 当1= ,即cos0=5时，csp取得最小值3 t 2 3 平面ASC与平面BSC夹角余弦值的最小值为 3 第12页共12页 开平区2025-2026学年度第二学期期中考试姓名：____________________ 考生号：_____________________________ 高一数学试卷 本试卷共4页，19小题，满分150分。考试时间120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后。用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。 1．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄的分布饼状图、90后从事互联网行业者的岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是（ ） A．互联网行业从业人员中90后占一半以上 B．90后互联网行业者中从事技术岗位的人数超过90后总人数的20％ C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多 D．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多 2．是虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 3．已知向量.若与共线，则实数k的值为（    ） A． B． C． D． 4．在中，三个内角为.若，则的值是（    ） A． B． C． D． 5．若复数z满足，则（    ） A． B． C．2 D．4 6．某校举办中学生运动会，某班的甲，乙，丙，丁，戊名同学分别报名参加跳远，跳高，铅球，跑步个项目，每名同学只能报个项目，每个项目至少有名同学报名，且甲不能参加跳远，则不同的报名方法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 7．一组样本数据为3，6，5，7，2，4，8，则（   ） A．极差为5 B．中位数是7 C．平均数是5 D．众数是8 8．已知边长为2的菱形，，对角线交于点，现将沿对角线翻折，得到三棱锥．记线段的中点分别为，有四个结论： ① ②三棱锥体积的最大值为 ③平面截三棱锥的截面图形可能是正方形 ④当折成的二面角为时，三棱锥的外接球半径为 则四个结论中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分。 9．在△ABC中，，，则下列说法正确的是（   ） A．△ABC外接圆的面积为 B．若，则 C．若O为△ABC的重心，且，则△ABC为等边三角形 D．若O为△ABC的外心，则 10．现有6个分别标有数字1，2，3，4，5，6的相同小球，从中有放回地随机抽取两次，每次取1个球，记事件甲：第一次取出的球的数字是3，事件乙：第二次取出的球的数字是6，事件丙：两次取出的球的数字之和是8，事件丁：两次取出的球的数字之差的绝对值是3，则（   ） A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互对立 D．丙与丁互斥 11．如图，在边长为4的正方形中，点是的中点，点满足，则下列说法正确的是（    ）    A．若，则 B．若，则为定值 C．若点在线段上，则为定值 D．若，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设复数和复数在复平面上分别对应的向量分别是和，则______． 13．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，且的面积为，则________. 14．如图所示的迷宫共有9个格子，相邻格子有门相通，9号格子就是迷宫出口，整个迷宫将会在4分钟后坍塌，若1号格子有一只老鼠，这只老鼠以每分钟一格的速度在迷宫里乱窜它通过各扇门的机会相等，则此老鼠在迷宫坍塌之前逃生的概率是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知向量，其中 (1)若，求k的值； (2)若，求向量在向量上的投影向量的坐标． 16．（15分）如图1，在中，，，分别是的中点，现将沿逆时针翻折形成四棱锥（如图2），且，直线与平面所成的角为. (1)求证：平面平面； (2)求二面角的正切值. 17．（15分）在△ABC中，A是锐角，且. (1)求B； (2)设P是所在平面内的一点，A，P位于直线BC两侧，若，且，求四边形的面积. 18．（17分）某校举办了“趣味数学”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）作为样本，将样本分成六段：，，，，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值及样本平均数； (2)试估计这100名学生的分数的方差，并判断此次得分为60分和80分的两名同学的成绩是否进入到了范围内?（用每组的区间的中点代替该组的分数） 19．（17分）如图，在平面四边形中，，，将沿翻折至，形成三棱锥，其中为动点． (1)设，点在棱上． （i）证明：； （ii）当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值． (2)求平面与平面夹角余弦值的最小值． 高一数学试卷 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $