河北唐山市丰南区区2025-2026学年第二学期期中考试高一数学试卷

**基本信息** 丰南区高一数学期中试卷注重基础与能力结合，通过几何、代数、统计知识考查空间观念、运算能力与数据意识，如立体几何综合题与统计图表分析题设计体现数学思维与应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|扇形弧长、复数象限、向量运算、分层抽样|基础概念辨析，如第8题概率事件互斥性判断| |填空题|3/15|正方体与球表面积、样本方差、二面角正切值|空间几何与统计计算结合，如第13题分层抽样方差估计| |解答题|5/77|立体几何证明与计算、频率分布直方图、概率应用|综合性强，如19题立体几何三问递进考查空间观念与推理能力|

丰南区2025-2026学年度第二学期期中考试姓名：____________________ 考生号：_____________________________ 高一数学试卷 本试卷共4页，19小题，满分150分。考试时间120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后。用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。 1．扇形的半径为2，圆心角为，则此扇形弧长为（    ） A． B． C． D． 2．若复数满足，则对应的点位于复平面的（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．在边长为的正三角形中，（    ） A． B． C． D． 4．如图，棱长为1的正方形中，异面直线AC与所成的角是（   ）    A．120° B．90° C．60° D．30° 5．已知圆锥的侧面展开图为半圆，则该圆锥的侧面积与其表面积之比为（    ） A． B． C． D． 6．已知中，分别为角的对边，已知，则的周长为（    ） A． B． C． D． 7．某学校高一､高二､高三年级学生人数之比为，利用分层抽样的方法抽取容量为35的样本，则从高一年级抽取学生人数为（    ） A．7 B．10 C．15 D．20 8．一个袋子里装有2个红球和2个黑球，甲、乙每人随机不放回地取1个球，则互斥且不对立的两个事件是（    ） A．“甲取出的球是红球”与“甲取出的球是黑球” B．“甲取出的球是红球”与“乙取出的球是红球” C．“甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球都是黑球” D．“甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球中至少有1个红球” 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分。 9．某市高一年级举行了一次数学竞赛，从所有参加竞赛的名学生中随机抽取了一部分学生，经统计这部分学生的成绩全部介于至之间，将成绩数据按照分组，作出频率分布直方图如图所示，则（    ） A． B．估计全市高一年级数学竞赛成绩不低于分的有人 C．估计全市高一年级数学竞赛成绩的平均分是 D．估计全市高一年级数学竞赛成绩的中位数约为 10．下列说法正确的是（    ） A．， B． C．若，，则的最小值为1 D．若是关于x的方程的根，则 11．已知向量，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若在上的投影向量为，则向量与的夹角为 D．的最大值为3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为24，则这个球的表面积为_____. 13．在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生20人，其平均数和方差分别为170和12，抽取了女生30人，其平均数和方差分别为160和17，则估计出总样本的方差为___________. 14．图，在正方体中，是的中点，二面角的正切值为____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）在如图所示的平行六面体中，，，，，，设，，． (1)用，，表示，，； (2)求异面直线AC与所成角的正切值． 16．（15分）为了做好下一阶段数学的复习重心，某中学研究本校高三学生在市联考中的数学成绩，随机抽取了500位同学的数学成绩作为样本（成绩均在内），将所得成绩分成7组：，，，，，，，整理得到样本频率分布直方图如图所示： (1)求的值，并估计本次联考该校数学成绩的平均数和中位数；（同一组中的数据用该组数据的中间值作为代表，中位数精确到0.1） (2)从样本内数学分数在，的两组学生中，用分层抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出3人进行数学学习经验的分享，求选出的3人中恰有一人成绩在中的概率. 17．（15分）某高校举行了一次环保知识竞赛，共有900名学生参加，为了解本次竞赛成绩的情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计.请你根据尚未完成的频率分布表和频率分布直方图，解答下列问题： 分组 频数 频率 [50，60) 4 0.08 [60，70) 0.16 [70，80) 10 [80，90) 16 0.32 [90，100] 合计 50 (1)填充频率分布表的空格(将答案直接填在表格内); (2)补全频率分布直方图; (3)若成绩在[80，100]内的学生获得环保纪念勋章，请估计该校获得环保纪念勋章的学生有多少人. 18．（17分）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E为的中点． (1)求证：AC1//平面BDE； (2)当点F在棱DD1的中点时，求证：平面//平面BDE． 19．（17分）已知点P是边长为2的菱形ABCD所在平面外一点，且点P在底面ABCD上的射影是AC与BD的交点O，已知，是等边三角形. (1)求证：; (2)求点D到平面PBC的距离; (3)若点E是线段AD上的动点，设直线PE与平面PBC所成的角为，求的取值范围. 高一数学答案 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $丰南区2025-2026学年度第二学期期中考试 高一数学答案 1.D 【分析】根据给定条件，利用弧长公式计算得解 【详解】扇形的半径为2，圆心角为，则此扇形弧长为 3 故选：D 2.C 【分析】由题利用复数的除法运算可求复数z,根据复数几何意义即可求解. 【详解】根据题意， 3产3，在复平面对应的点为3列位于第三象限 故选：C 3.C 【分析】根据向量数量积定义直接求解即可 【详解】BAC=aAdc0sA-2×2xc0s写-2 3 故选：C 4.C 【分析】根据异面直线所成角的定义进行求解 【详解】连接CD,AD,因为BC=AD且BCAD, C B D 所以四边形BCDA为平行四边形， 则可得ABIIDC,所以直线AC与AB所成的角为∠ACD或其补角 在正方体中可知AD=DC=AC,所以可知∠ACD=60. 故选：C 5.B 【分析】根据给定条件，求出圆锥底面圆半径与母线的关系即可求解 【详解】设圆锥底面圆半径为r,母线长为1，依题意，2π=l,则1=2r, 所以该圆锥侧面积与其表面积的比为一。)？=2 0l+o22y2+2=3 故选：B 6.A 【分析】根据正弦定理可得sm(1-B)=simB,由此可得A=2B=子，C=, 然后解三角即可得 到周长 【详解】c=b(1+2cosA),由正弦定理得 sin C=sin B(1+2cosA)=sin B+2cos Asin B, sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B, 所以sin Acos B-cosAsin B=sin(A-B)=sinB, 则A-B=B,A=2B或A-B=π-B,A=元（舍）， 所以4=28=骨，C= 2 、-2参b=smB多nV3 则c= sinA 63， 3 C.aBc=a+b+c=1+3 故选：A 7.C 【分析】根据分层抽样的特点即可得到答案， 【详解】根据分层拍样的特点知高一年级抽取学生人数为33235=15。 故选：C 8.C 【分析】由互斥，对立事件定义分析各选项可得答案 【详解】A选项，甲取出的球是红球与甲取出的球是黑球”是对立事件，故A错误： B选项，“甲取出的球是红球”与乙取出的球是红球可以同时发生，不是互斥事件，故B错 误； C选项，甲、乙取出的球都是红球与甲、乙取出的球都是黑球”是互斥且不对立事件，故C 正确： D选项，甲、乙取出的球都是红球与甲、乙取出的球中至少有1个红球可以同时发生， 不是互斥事件，故D错误 故选：C 9.ABC 【分析】由所有矩形条的面积和为1，列方程求a,判断A,由频率分布直方图求成绩不低于 80分的频率，再由频率频数样本量的关系，求结论，判断B,根据平均数的计算公式求平均 数，判断C,根据中位数定义求中位数判断D 【详解】对于A,由频率分布直方图，得10(0.005+0.030+0.035+a+0.010)=1,解得a=0.020, 故A正确； 对于B,成绩不低于80分的频率为0.2+0.1=0.3，所以估计成绩不低于80分的有1000x0.3=300人， 故B正确； 对于C,成绩的平均值x=55×0.05+65×0.3+75×0.35+85×0.2+95×0.1=75,故C正确： 对于D,成绩在[50,60)，[60,70)，[70,80)的频率依次为0.05,0.3,0.35， 显然中位数nE(70,80),则0.35+(m-70)×0.035=0.5,解得m≈74.3，故D错误 故选：ABC 10.ACD 【分析】根据复数的乘法运算结合复数的模的计算，可判断A；根据虚数单位的性质可判断 B;设=x+i,(cy∈R),根据复数的模的计算公式，可得x2+y2=1,以及z-2=V-4x+5,结 合x的范围可判断C;将-4+3i代入方程，结合复数的相等，求出p,即可判断D 【详解】对于A,二eC,设复数z=a+bi,(a,b∈R),则z=a-bi,(a,beR),|z=Va+b2, 故z·z=(a+bi)(a-bi=a2+b2=z,A正确： 对于B,由于i2=-1,4=1,故024=()06=1，B错误： 对于C,二∈C,设==x+i,(x,yeR),由于=1，则Vx2+y2=1,x2+y2=1, 故-2=V-2y2+y=VGc-2)2+1-x2=√-4x+5, 由x2+y2=1,得-1≤x≤1，则-4x+5≥1， 故当x=1时，-2的最小值为1，C正确： 对于D,-4+3i是关于x的方程x2+px+q=0(P,q∈R)的根， 故(-4+31)2+p(-4+31+q=0(p,q∈R)，即7-4p+9+(3p-24)i=0, 7-4p+q=0,「p=8 故3p-240g=25,D正确， 故选：ACD 11.ACD 【分析】应用向量垂直计算判断A,应用向量平行得出正切进而得出角判断B,根据投影向 量公式计算得出夹角判断C,应用向量坐标模长公式计算结合正弦值域判断D. 【详解】对于A,由a16,得cosx+V5inu=0,因此tm=-5,故A正确： 3 X对于B,若a/6,则3cosa=sina,所以tana=5,所以&=+km,k∈Z,故B错误： 3 对于C,因a=2,1b1=1, 由5在a上的投影向量为a-川cos◆a5◆日-os76心五，解得co0a万0- 21 又◆a,60=D,可，◆a.6o,故c正确： 对于D,因a-五=(1，V3)-(cossin)1-cosa3-sima), 故a-6f=0-cosa+(5-sna=5-(5sna+2cosa）=5-sina+君， 当sma+君山，即a+名-受+2ae2)时， 也即a=-2亚+2m(keZ)时，1ā-P取得最大值9，即1ā-1的最大值为3，故D正确 3 故选：ACD 12.12π 【分析】根据正方体的表面积，可得正方体边长口，然后计算外接球的半径x-,利用球 的表面积的公式，可得结果 【详解】设正方体边长a,正方体外接球的半径为R 由正方体的表面积为24，所以6a2=24 则a-2,又a-,所以R=g 所以外接球的表面积为：4πR2=12π 故答案为：12元 【点晴】本题考查正方体外接球的表面积，属基础题 13.39 【分析】求出总平均数，然后根据分层方差和总方差关系直接计算可得 【详解】总平均数元=170x20+160x30=164, 50 则总样本方差r=09012-00-16430007+060-164=9 故答案为：39 14.√2 【分析】由二面角的平面角定义作出所求角，解三角形，即可求得答案 【详解】在正方形ABCD中，连接AC交BD于O点，连接CO, 则AC⊥BD,即OC⊥BD,又CC⊥平面ABCD,BDC平面ABCD, 故CC⊥BD,而OC∩C1C=C,OC,CCc平面COC, 故BDL平面COC,OCC平面C1OC,则BD⊥OC1, 即得∠COC为二面角C-BD-C的平面角， 设正方体ABCD-ABCD的棱长为2， 则oC=号AC=, 故mcoc-82存， 即二面角C-BD-C的正切值为√， 故答案为：√2 15.(1)4C=a+B,AC=a+b+c,BD=-a+b+c (226 【分析】（1)根据空间向量的线性运算求解即可； (2)利用空间向量的数量积定义计算a.五，a.c,c,再根据空间向量数量积的运算分别求 ACBD,AC,BD,根据向量夹角余弦公式求解，即可异面直线AC与BD所成角的余弦值， 根据同角三角函数关系求正切值即可， 【详解】(1)AC=AB+AD=a+b, 花花花a+b+c, BD=AD-AB=AD+AA-AB=-a+b+c; (2)因为a-i=cos60=1x2x)1a.G=4Blh4lcs45°=1x2V2×Y5-2, 2 2 B.4D-4l-60545-2x2x4, 2 又Ac=a+i,BD=-a+b+c, AC.BD=(a+b)(a+b+c)=-a'+a.c+62+6.6=-49, 4d-(a+=√定+2a-b+F-1+2+4√7， BD=Va+b+c)=2+b2+c2-五b-五+五c=44#824#8=5, 设界面直线4C与四所成角为a(色引 AC.BD 9 则cos8=cos AC,BD 3w105 AC BD. √7×1535' 2W70 所以sin8=1-cos2a=35，故taa=sm日 =、3526 cos83V1059' 35 所以异面直线4C与B2所成角的正切值为2y6 16.(1)0.008;平均数为107.4，中位数105.7； of 【分析】(1)根据给定的频率分布直方图，利用小矩形面积和为1求出a,再估算平均数和 中位数 (2)利用分层抽样求出落在两个区间内的人数，再利用列举法求出古典概率 【详解】(1)依题意，(0.012+0.028+0.022+0.018+0.010+a+0.002)×10=1,解得a=0.008, 数学成绩的平均数为 x=85×0.12+95×0.22+105×0.28+115×0.18+125×0.10+135×0.081450.02107.4 由频率分布直方图知，分数在区间[80,100)、[80,110)内的频率分别为0.34,0.62， 所以该校数学成绩的中位数me[100,110),则(-100)×0.028=0.16，解得m≈105.7： (②)抽取的5人中，分数在3040)内的有885=4（人.在40150内的有1人 记在[130,140)内的4人为a,b,c,d,在[140,150]内的1人为A, 从5人中任取3人，abc,abd,abA,acd,acA,adA,bcd,bcA,bdA,cdA,共10个， 选出的3人中恰有一人成绩在[140,150]中，有abA,acA,adA,bcA,bdA,cdA,共6种， 所以运的3人中合有一人成绒在a15则巾的概率是P=合-号 17.(1)表格见解析 (2)作图见解析 (3)504 【分析】（1)利用频率、频数和样本容量的关系即可完成此表格： (2)利用表中数据计算出[90,100]这个分数段对应的矩形高度即可完成频率分布直方图 (3)先找出成绩80分及以上对应的分数段的频率，再用该频率乘以总人数即可得到 【详解】(1)由频率分布表，可知样本容量为50， 故成绩在[60,70)的频数为0.16×50=8， 成续在[P0380)的频率为号=020， 成绩在[90,100]的频数为50-(4+8+10+16)=12， 频季为 =0.24 故频率分布表为： 分组 频数 频率 [50,60) 4 0.08 [60,70) 8 0.16 [70,80) 10 0.20 [80,90) 16 0.32 [90, 12 0.24 1001 合计 50 (2)频率分布直方图如图所示： 频率/组距 0.032 0.028 0.024---------- 0.020 0.016 0.012 0.008 0.004 05060708090100成绩/分 (3)样本中成绩在[80,100]的频率为0.32+0.24=0.56， 所以估计该校获得环保纪念勋章的学生人数为900×0.56=504. 18.(1)证明见解析 (②)证明见解析 【分析】(1)连接AC交BD于O,通过三角形中位线证得OE/IAC,由此证得AC∥平面BDE; (2)先证出四边形DC,E为平行四边形，再由线面平行的判定定理及面面平行的判定定理， 证得平面ACFI/平面BDE. 【详解】(1)设AC∩BD=O,连OE, D C E .O、E为别为AC、CC1的中点， .OE //AC, 又AC1C平面BDE,OEC平面BDE, ∴.AC∥平面BDE (2)点F为棱DD中点，E为CC的中点. DR1/CB且Dr=GR=CG ∴.DFCE为平行四边形， .∴.FC/IDE, 又FC1文平面BDE,DEC平面BDE ∴.FC1∥平面BDE 又AC∥平面BDE,且FC AC1=C,FC1,AC1C平面ACF, ∴.平面AC1FII平面BDE. 19.(1)证明见解析 (2)25 5 (3)0sin0≤号 5 【分析】(1)由题可得PO⊥平面ABCD,故PO⊥AC,根据菱形的性质可得BD⊥AC,再根据 线面垂直的判定定理与性质定理即可证明： (2)根据题干数据结合Vo-Bc=V,Bc即可求解； (3)由线面平行的判定定理可得AD/平面PBC,可得E到平面PBC的距离即为D到平面PBC 的距离A,过B作垂线BF1平面PBC交于点F,可得9=∠BPr,由in0=BP-25,可得结 PE 5PE 论， 【详解】(1)，点P在底面ABCD上的射影是AC与BD的交点O, ∴.PO⊥平面ABCD, .ACc平面ABCD,∴.PO⊥AC, .四边形ABCD为菱形，.BD⊥AC, .PO∩BD=O,PO,BDC平面PBD,∴.AC⊥平面PBD, .PDC平面PBD,∴.AC⊥PD; (2)由题意可得△ABD、△BCD与△PBD都是边长为2的等边三角形， P0=A0=C0=V5,8ac=x2x5=5, .PC=VPO+CO=√6，BP=BD=BC=2, Se56x2-(-5, 设点D到平面PBC的距离为h, 由6e=e得8ech-专cOP, 即5h=V5×V5,解得=2 5 故点D到平面PBC的距离为2 5 （3)设直线PE与平面PBC所成的角为O, :ADI/BC,BCC平面PBC，,AD丈平面PBC, AD/1平面PBC, .E到平面PBC的距离即为D到平面PBC的距离h 过E作垂线EF⊥平面PBC交于点F,则O=∠EPF, 此时simo=EF=2w5 PE SPE 由(2)易知PA=PC=√6，PD=AD=2, 8w6x-5, 则△PAD的边AD上的高为 2 :5sPB≤6，而n02 2 5PE’ 5