隐零点问题讲义-2026届高三数学二轮复习

该高中数学讲义聚焦高考导数综合题核心考点隐零点问题，系统整合显零点与隐零点的概念分类，构建不含参和含参问题的解题策略体系，通过考点梳理、方法指导（虚设零点三步法）、真题讲解等环节，帮助学生突破导数零点不可求的难点，体现复习的系统性和针对性。 资料以“虚设零点”策略为创新亮点，通过零点存在性定理判定存在性、确定范围、整体代入化简等教学活动，培养学生的数学思维（逻辑推理）和数学眼光（抽象能力）。设置从证明到求参的分层例题，配合解题步骤拆解，确保高效突破考点，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指引。

隐零点问题 隐零点 一、函数零点按是否可求精确解可以分为两类：一类是数值上能精确求解的，称之为“显零点”； 另一类是能够判断其存在但无法直接表示的，称之为“隐零点” 二、利用导数求函数的最值或单调区间，常常会把最值问题转化为求导函数的零点问题，若导 数零点存在，但无法求出，我们可以设其为x。,再利用导函数的单调性确定x,所在区间，最后 根据f'(x。)=0,研究f(x。),我们把这类问题称为隐零点问题.注意若f(x)中含有参数a, 关系式f'(x)=0是关于xo,a的关系式，确定x,的合适范围，往往和a的范围有关 不含参函数的“隐零点”问题的解策略： 已知不含参函数f(x),，导函数方程(x)=0的根存在，却无法求出， 设方程∫'(x)=0的根为x,则有：①关系式'(x。)=0成立；②注意确定x,的合适范围 “虚设零点”的具体操作方法： 第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程∫'(x)=0,并结合 ∫(x)的单调性得到零点的范围；这里应注意，确定隐性零点范围的方式是多种多样的，可以 由零点的存在性定理确定，也可以由函数的图象特征得到，甚至可以由题设直接得到，等等： 至于隐性零点范围精确到多少，由所求解问题决定，因此必要时尽可能缩小其范围； 第二步：以零点为分界点，说明导函数f'(x)的正负，进而得到f(x)的最值表达式；这里应 注意，进行代数式的替换过程中，尽可能将目标式变形为整式或分式，那么就需要尽可能将 指、对数函数式用有理式替换，这是能否继续深入的关键； 第三步：将零点方程8(x,)=0适当变形，整体代入最值式子进行化简证明；有时候第一步中 的零点范围还可以适当缩小.导函数零点虽然隐形，但只要抓住特征（零点方程），判断其范 围（用零点存在性定理），最后整体代入即可.（即注意零点的范围和性质特征） 含参函数的“隐零点”问题解题策略： 已知含参函数f(x,Q),其中a为参数，导函数方程'(x,Q)=0的根存在，却无法求出， 设方程'(w)=0的根为，则有①有关系式'(x)=0成立，该关系式给出了，“的关 系；②注意确定0的合适范围，往往和4的范围有关 常见形式： 第1页共5页 一、基础指对互化（由'(xo)=0得来） 这部分是“设而不求"后，进行整体代换的基石。 类型 导函数方程f'(x)=0常见形式 核心代换式（必背） 备注 指数型 e-=0 e=贵 核心推导：由此可得xo=一nxo e2+x-a=0 eo a-to 将指数转化为一次式 对数型 nx-是=0 nx0=云 Inx+x=0 In to =-Zo 将对数转化为一次式 Inx+2x-a=0 In co a-2co 含参常见形式 幂指型 ze"-a=0 xoeto=a 常结合同构，a常为1或e 二、高频二级结论（看到即可直接写） 这几个等式是在“基础代换式”上推导出的，在化简最值表达式时极高频出现，建议直接记。 ·结论1（最经典）： 若e=六，则必有： Zo +ln zo=0 In zo =-Zo 应用场景：当原函数f(x)的最值表达式里同时出现eo和l血xo时，用此式统一变量。 ·结论2（消除指对数）： 若xoe0=1,则必有： Inzo+zo=0 应用场景：化简含xe与lnx混合的函数最值，如f(x)=xe2-lnx-x. ·结论3（指对同余）： 若e0+lnxo=0,则等价于： 1 eto In ,或x0·e0=1 To (注意：此式需结合单调性说明唯一解，但作为结论可用) 第2页共5页 ·ln0.5≈-0.693，e0.5≈1.648 ·1≈0.367，e≈1.648 。经典零点定位点： 。f(x)=lnx+x的零点在(0.5,1) 。f(x)=e2-1/x的零点在(0.5,1) 。f(x)=xe2-1的零点在(0.5,0.6)附近（即朗伯w函数值W(1)≈0.567） 例1.已知函数f(x=e-ax2. (1)若a=1,证明：当x≥0时，f(x)≥1； (2)若f(x)在0，+∞)有一个零点，求a 例2.已知函数f(x=xlnx-mx(meR). (1)当m=2时，求曲线y=∫(x在点1，f1月处的切线方程； (2)当x>1时，不等式f(x)+lnx+3>0恒成立，求整数m的最大值， 例3.已知函数f(x)=a-elog。x-e,其中a>1. 第3页共5页 (1)若a=e,证明.f(x)≥0； (2)讨论f(x)的极值点的个数. 例4.(1)求函数f(x)=e-x的极值； (2)若a∈(0,1]，证明：当x>0时，(x-I)e-“+1≥lnx+a. 例s.函数fy-al-enx (1)当a=e时，讨论函数f(x)的单调性； 第4页共5页 (2)当a>e时，证明：f(x<a-l)e. 第5页共5页 隐零点问题 隐零点 一、函数零点按是否可求精确解可以分为两类：一类是数值上能精确求解的,称之为“显零点”；另一类是能够判断其存在但无法直接表示的,称之为“隐零点”. 二、利用导数求函数的最值或单调区间,常常会把最值问题转化为求导函数的零点问题,若导数零点存在,但无法求出,我们可以设其为,再利用导函数的单调性确定所在区间,最后根据,研究,我们把这类问题称为隐零点问题. 注意若中含有参数a,关系式是关于的关系式,确定的合适范围,往往和的范围有关. 不含参函数的“隐零点”问题的解策略： 已知不含参函数，导函数方程的根存在，却无法求出， 设方程的根为，则有：①关系式成立；②注意确定的合适范围. “虚设零点”的具体操作方法： 第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程，并结合的单调性得到零点的范围；这里应注意，确定隐性零点范围的方式是多种多样的，可以由零点的存在性定理确定，也可以由函数的图象特征得到，甚至可以由题设直接得到，等等；至于隐性零点范围精确到多少，由所求解问题决定，因此必要时尽可能缩小其范围； 第二步：以零点为分界点，说明导函数的正负，进而得到的最值表达式；这里应注意，进行代数式的替换过程中，尽可能将目标式变形为整式或分式，那么就需要尽可能将指、对数函数式用有理式替换，这是能否继续深入的关键； 第三步：将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简证明；有时候第一步中的零点范围还可以适当缩小．导函数零点虽然隐形，但只要抓住特征(零点方程)，判断其范围(用零点存在性定理)，最后整体代入即可．（即注意零点的范围和性质特征） 含参函数的“隐零点”问题解题策略： 已知含参函数，其中为参数，导函数方程的根存在，却无法求出， 设方程的根为，则有①有关系式成立，该关系式给出了的关系；②注意确定的合适范围，往往和的范围有关. 常见形式： 例1. 已知函数. （1）若，证明：当时，； （2）若在有一个零点，求. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）当时，，，则， 令，则， 令，解得. 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以，当，有最小值为， 即，即， 所以在上单调递增，所以，命题得证. （2）若在有一个零点，则方程在上有一个解， 即在上有一个解， 令，，则， 由得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以时，， 所以. 例2. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，不等式恒成立，求整数的最大值． 【答案】（1）；（2）2 【解析】（1）当时，， 因为，所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即． （2）由题意，知对任意恒成立， 可知对任意恒成立． 设函数，只需． 对函数求导，得． 设函数，对函数求导，得， 所以函数在上单调递增． 又， 所以存在，使，即， 所以当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 所以， 所以．又，所以， 所以整数的最大值为2． 例3. 已知函数，其中． （1）若，证明； （2）讨论的极值点的个数． 【答案】（1）证明见解析；（2）有且仅有一个极值点. 【解析】（1）证明：当时，，，，， 又易知在上为增函数，所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增，从而. （2）由题意知，函数的定义域为， ， 设，，显然函数在上单调递增，与同号， ①当时，，， 所以函数在内有一个零点，且，，，， 故在单调递减，在单调递增； 所以函数在上有且仅有一个极值点； ②当时，由（1）知，函数在上有且仅有一个极值点； ③当时，，， 因为，所以，， 又，所以函数在内有一个零点， 且，，，， 故在单调递减，在单调递增； 所以函数在上有且仅有一个极值点； 综上所述，函数在上有且仅有一个极值点． 例4. （1）求函数的极值； （2）若，证明：当时，． 【答案】（1）极小值为0，无极大值；（2）证明见解析 【解析】（1）依题意，，令，解得， 所以当时，，当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 而，故的极小值为0，无极大值． （2）由（1）可知，当时，，则． 令， 则，易知在上单调递增． 因为，所以，， 故，使得，即①． 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故②． 由①可得， 代入②，得， 而，故，故，即原命题得证． 例5. 函数 （1）当时，讨论函数的单调性； （2）当时，证明：. 【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减；（2）证明见解析. 【解析】（1）依题意，函数的定义域为， 当时，，求导得， 令，则， 则在上单调递减，而， 当时，，，当时，，， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）当时，，， 令，则， 在上单调递减，而，， 则有，即，有， 当时，，，在上单调递增， 时，，，在上单调递减， 因此函数在时取最大值，即， 令函数， 则在上单调递减，即有， 要证，即证，只需证， 令，，则在上单调递减， 因此，， 即成立，则有成立， 所以当时，不等式成立. 第 一 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $