江西省九江市浔阳区九江外国语学校2025-2026学年下学有七年级第九届“开拓杯”思维拓展与创新活动

第九届“开拓杯”思维拓展与创新活动 一、单选题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 1、一个角的余角为20°，则这个角的补角是() A.70° B.160 C.110° D.120% 2、在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，类似现在我们 熟悉的“进位制”。如图所示是远古时期一位母亲记录孩子自出生后的天数，在从右向左 依次排列的不同绳子上打结，满八进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（ ) A.64 B.90 C.132 D.210 3、边长为1的正五边形ABCDE如图放置，A与原点重合。如果将正五边形向右无滑动地翻 转1次，那么C点在数轴上对应的数字为2；如果向左翻转2024次，那么C点对应的数字 为( A-2025 B.-2024 C.-2023 D.-2021 -4-3-2 第2题 第3题 4、有一个三位数，个位数字是a,十位数字是b,百位数字是c,如果将个位上的数字和百 位上的数字互换，又可以得到一个新三位数，则下列结论正确的是() A.新三位数可以表示为abc B.原三位数可以表示为l00cl0ba C.这两个三位数的差一定能被11整除 D.这两个三位数的和一定能被101整除 11+1 5、4十16十4+等于多少？请结合下面两张图辅助思考，确定问愿的答案为( A. B. C. 2 1 5 D. 第0行 1 第1行 11 第2行 121 第3行 1331 第4行 14641 ① 2 第5行15101051 … 。。。。。g 第5题 第6题 6、“杨辉三角”（如图），是中国古代数学无比睿智的成就之一·用“杨辉三角”可以解 释(a+b)”(n为非负整数)计算结果的各项系数规律， 答案第1页，共5页 如(a+b)}=ad+2ab+b2的系数1,2,1恰好对应“杨辉三角”中第3行的3个数， (a+b)=d+3db+3ab2+b的系数1,3,3,1恰好对应“杨辉三角”中第4行的4个数…， 请依据上述规律判断：若今天是星期三，则经过9天后是() A.星期四 B.星期五 C.星期六 D.星期天 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 7、某小组用电脑做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，绘制了如 图所示的折线图.假设该事件为“等可能的从1-9（含1和9）的连续整数中选出n的倍数”， 则正整数n的值最可能是 8、若A=(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(24+1)，则A的末位数字是 9、将一些数字填入如图幻方中，使每个三角形的三个顶点上的数字之和相等，则x+-y-m 的值是 频率个 0.34 0.33 0.32 0.31 0.30 0100200 500 8001000次数 第7题 第9题 第10题 第11题 10、如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=3,BC=4,AB=5,如果点D,E分别是BC, AB上的动点，那么AD+DE的最小值是 11、如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，设BC=a,AC=b,若a,b满足 a2-8a+b2-14b+65=0,则CD的取值范围是 12、图1是一张足够长的纸条，其中AD/BC,点E,F分别在AD,BC上，∠EFC=m°(O<m<90) 如图2，将纸条折叠，使C℉与EF重合，得折痕FG.如图3，将纸条展开后再折叠，使CP 与FG重合，得折痕FG2.将纸条展开后继续折叠，使C℉与FG2重合，得折痕FGg…依次类推， 第n次折叠后，∠EGnD的度数为 (用含m和n的代数式表示) 图1 图2 图3 三、解答题(13,14,15每题6分，第16,17每题9分，第18、19、20题12分) 13、(1)若3x+y-3=0,求8.2'的结果。 答案第2页，共5页 (2)已知A=-32+ab-3a-1,B=-a2-2ab+1,若A-3B的值与a的取值无关，求b的值。 14、如图是4×4的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）。 (1)在图1中作锐角三角形ABC,使得C点在格点上。 (2)在图2中的线段AB上作点Q使得PQ最短。 图1 图2 15、如图，在三角形ABC中，点DF在BC边上，点E在AB边上，点G在AC边上，EF 与GD的延长线交于点出，1=∠B,∠2+∠3=180°。 (1)求证：EH∥AD: (2)若∠DGC=58°，且∠H-∠4=10°，求∠H的度数。 D 4 G 16、阅读下列文字：我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到 一个数学等式，例如由图①可以得到(a+2b)(a+b)=a+3ab+2b。 请解答下列问题： (1)写出图②中所表示的数学等式： (2)利用(1)中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c=12,ab+bc+ac=48,求a+b+c2 的值： 6白 图① 图② 图③ (3)图③中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片，若干个长为a,宽为b的 长方形纸片，利用所给的纸片在虚线框中画出一个几何图形，使得计算它的面积能得到数 学公式：(2a+b)(a+2b)=2a+5ab+2b 答案第3页，共5页 17、在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于P点。 (1)如图1，∠A=50°时，∠BPC (2)请写出∠A与∠BPC的数量关系并证明。 (3)如图2，∠MBC与∠BCN的平分线相交于Q点。 请直接写出∠A与∠Q的数量关系： 图1 图2 18、【材料阅读】“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重 要思想方法。如图1，数轴上点A表示的数为-3，点B表示的数为9，点C是线段AB的中 点。 A (1)点C表示的数是 图1 图2 (2)若动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，动点N从点B出 发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，点队N同时出发，当点W到达点A时， 两动点的运动同时停止.设运动时间为t秒，若在运动过程中满足CM=3CN时，请求出t 的值： 【方法迁移】 (3)我们发现角的很多运算方法和线段一样，如图2，∠AOB内部有一射线OC,OC⊥OA, ∠AOC与∠BOC的度数比为3：2，射线OM从OA出发，以10度/秒的速度绕点O顺时针旋 转，同时射线OW从OC出发以20度/秒的速度绕点O顺时针旋转，当射线ON与射线OB重 合后，立即以原速逆时针旋转，当ON与OC重合后再次改变方向顺时针向OB旋（即ON在 OC与OB之间来回摆动)，当OM与OC重合时，OM与ON都停止旋转.旋转过程中设旋 转的时间为t秒. ①在ON第一次从OC旋转到OB的过程中，当t为何值时，OC恰好是∠MON的平分线： ②在旋转的过程中，作∠CON的角平分线OP,是否存在某个时间段，使得∠MOP的度数 保持不变？如果存在，请直接写出∠MOP的度数及对应的t的取值范围；如果不存在，请 说明理由。 答案第4页，共5页 19、观察下面一列数： 1212341234561 2T'4'32165'4327'8 (1)第100个数为 2 (2)从左起第m个数记为P(回，当F(回=2001时，求血的值和这m个数的积Tm· (3)未经约分且分母为2的数记为c,它后面的一个数记为d,是否存在这样的两个数c 和d,使得cd=2001000?如果存在，求出c和d,如果不存在，请说明理由。 20、(1)如图1：在四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°.E, F分别是BC,CD上的点.且∠EAF=60°.探究图中线段EF,BE,FD之间的数量关系. 小明同学探究的方法是：延长FD到点G.使DG=BE.连接AG,先证明△ABE≌△ADG, 再证明△AEF≌△AGF,可得出结论。请将他的证明过程补充完整。 (2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=I80°，E、F分别是BC,CD上 的点，且EF=BE+DF,猜想∠EAR与∠BAD的关系并证明。 (3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD,∠ABC与∠ADC互补，点E、F分别在射 线CB、DC上，且∠4PMD,当BC=4,DC-=7,CF=1时，直接与出△cEP的周 长： G E 图1 图☒2 图3 答案第5页，共5页