精品解析：辽宁鞍山市千山区2025-2026学年八年级下学期阶段性教学成果评估数学试卷

初中阶段性教学成果评估 八年级数学学科试卷 （试卷满分120分，考试时间120分钟） 考生注意：请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列式子一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，理解二次根式中被开方数是非负数是解决问题的关键． 一般地，我们把形如的式子叫做二次根式．直接利用二次根式的定义分别分析得出答案． 【详解】解：A．当时，原式无意义，故A不一定不是二次根式； B．当时，原式无意义，故B不一定是二次根式； C．恒成立，故C一定是二次根式； D．当时，原式无意义，故D不一定是二次根式； 故选：C． 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义判定即可． 【详解】解：A、∵，∴不是最简二次根式，故此选项不符合题意； B、∵，∴不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C、∵，∴不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D、是最简二次根式，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查最简二次根式，解题关键是熟练掌握最简二次根式的必须满足两个条件：（1）被开方数不含有开的尽方的因数或因式，（2）被开方数不含有分母． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的运算．根据二次根式的加减法、除法和乘法法则计算即可． 【详解】解：A、和不是同类二次根式，无法合并，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项正确，符合题意； D、故本选项错误，不符合题意； 故选：C 4. 使有意义的的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 【答案】A 【解析】 【分析】需同时满足二次根式被开方数非负，分式分母不为0，分别求解不等式后取交集即可得到结果； 【详解】要使有意义，需同时满足两个条件， 且， 解不等式，移项得，即， 解，得， 的取值范围是且． 5. 电流通过导线时会产生热量，电流（单位：）、导线电阻（单位：）、通电时间（单位：）与产生的热量（单位：）满足．已知导线的电阻为，时间导线产生的热量，电流的值是（    ） A. 2 B. 5 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的应用．将已知量代入物理公式，即可求得电流的值． 【详解】解：通电时间（单位：与产生的热量（单位：）满足， 所以电流． 故电流的值为5， 故选：B． 6. 如图，数轴上点所表示的数为，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理．熟练掌握勾股定理解直角三角形，数轴上两点之间的距离，实数的运算，是解题的关键． 先根据勾股定理求出直角三角形的斜边长，得到数轴上两点间的距离，再根据两点间的距离公式即可求出A点表示的数． 【详解】解：∵图中的直角三角形的两直角边为1和2， ∴斜边长为：， ∵点A所表示的数为a， ∴, ∴． 故选：D． 7. 如果，那么下面各式：其中正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ②③ 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用二次根式的有意义的条件及乘除法则进行化简再进行一一判断得出答案． 【详解】解：∵a+b＜0，ab＞0， ∴a，b同为负数， ∴无意义，故①错误； ，故②正确； ，故③正确； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除及有意义的条件，正确掌握二次根式的性质是解题关键． 8. 若一个直角三角形的两边长为4和5，则第三边长为（ ） A. 3 B. C. 8 D. 3或 【答案】D 【解析】 【分析】由于直角三角形的斜边不能确定，故应分5是直角边或5是斜边两种情况进行讨论． 【详解】当5是直角边时，则第三边=； 当5是斜边时，则第三边=． 综上所述，第三边的长是或3． 故选D． 【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 9. 如图，从一个大正方形中截去面积分别为8和18的两个小正方形，则图中阴影部分面积为（　　） A. 20 B. 22 C. 24 D. 26 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用．依据题意，直接利用正方形的性质得出两个小正方形的边长，进而得出大正方形的边长，即可得出答案． 【详解】解：∵两个小正方形面积为8和18， ∴大正方形边长为：． ∴大正方形面积为． ∴留下的阴影部分面积和为：． 故选：C． 10. 我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一道问题：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里， 大斜一十五里． 里法三百步， 欲知为田几何? ”问题大意：如图， 在中，里，里，里，则的面积是（ ） A. 80 平方里 B. 82平方里 C. 84平方里 D. 86平方里 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形面积，勾股定理，解决本题的关键在于利用两个直角三角形的公共边找到突破点．主要利用了勾股定理进行解答．过点作，利用勾股定理求出的长，再利用三角形的面积公式求出的面积即可． 【详解】解：如图，过点作于， 设里，则里， 在中，， 在中，， ， ， 解得， 在中，（里， 的面积（平方里）， 故选：C 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 化简：______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质计算即可； 【详解】解：. 12. 已知n是正整数，是整数，则n的最小值是_________． 【答案】3 【解析】 【分析】由n为正整数，也是正整数，知3n是一个完全平方数，从而得出结果． 【详解】解：n为正整数，也是正整数， 则3n是一个完全平方数， 所以n的最小值是3． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，涉及的知识点：如果是正整数，那么a是一个完全平方数． 13. 已知长方形的面积为12，共中一边长为，则该长方形的另一边长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的除法法则进行计算． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了二次根式的除法，关键是掌握二次根式的除法法则：． 14. 如图，一天傍晚，小方和家人去小区遛狗，小方观察发现，她站直身体时，牵绳的手离地面高度为米，小狗的高米，小狗与小方的距离米．（绳子一直是直的）牵狗绳的长 __________． 【答案】2.6米 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解并掌握勾股定理是解决问题的关键．过点作于点，可得，，，再根据勾股定理求解即可 【详解】解：如图，过点作于点， 则米，米， 米， （米． 所以此时牵狗绳的长为2.6米． 故答案为：2.6米． 15. 如图，一个高，底面周长的圆柱形水塔，现制造一个螺旋形登梯，为了减小坡度，要求登梯绕塔环绕一周半到达顶端，问登梯至少为___________长． 【答案】20m． 【解析】 【分析】试题分析：要求登梯的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理． 【详解】将圆柱表面按一周半开展开呈长方形， ∵圆柱高16m，底面周长8m，设螺旋形登梯长为xm， ∴x2=（1×8+4）2+162=400， ∴登梯至少=20m 故答案为：20m 【点睛】本题考查圆柱形侧面展开图新问题，涉及勾股定理，掌握按要求将圆柱侧面展开图形的方法，会利用圆周，高与对角线组成直角三角形，用勾股定理解决问题是关键． 三、解答题（共8道题，共75分） 16. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键． （1）先根据二次根式的除法和乘法法则运算，然后化简二次根式后合并同类二次根式即可； （2）先根据平方差公式和完全平方公式计算，然后合并即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，高空物体自由下落到地面的时间（单位：s）和高度（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响，）．已知一幢大楼高，若一颗鸡蛋从楼顶自由落下，求落到地面所用时间． 【答案】4s 【解析】 【分析】把代入公式，即可求解． 【详解】解：将代入公式， 得： 答：落到地面所用时间为． 【点睛】本题主要考查了利用算术平方根解决实际问题，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键． 18. 先化简，再求值：（x+2+）÷，其中x= 【答案】，1- 【解析】 【分析】首先计算括号里面的加减，然后再计算除法，化简后再代入x的值即可． 【详解】解：原式=×， =• =． 当x=-3时，原式===1-． 【点睛】此题主要考查了分式的化简求值，关键是掌握分式加减和除法的计算法则． 19. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简． 【答案】 【解析】 【分析】依据数轴即可得到，，，再根据二次根式的性质和绝对值的性质即可化简． 【详解】解：由题可得，，， ，，， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解决问题的关键是掌握二次根式的性质以及绝对值的性质． 20. 如图，每个小方格的边长都是1，求： （1）求的周长； （2）画出边上的高，并求的面积； （3）画出边上的高，并求出边上的高． 【答案】（1） （2）作图见解析， （3）作图见解析， 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理可求出、，再根据三角形周长定义求解即可； （2）先画出边上的高，再根据面积计算公式计算即可； （3）先画出边上的高，再根据三角形的面积求出高即可； 【小问1详解】 ， ，， 故的周长为； 【小问2详解】 如图所示，是边上的高， 的面积； 【小问3详解】 如图所示，是边上的高， ． 21. 如图，海中有一小岛，它的周围12海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在处测得小岛在北偏东60°方向上，航行16海里到处，这时测得小岛在北偏东30°方向上． （1）如果渔船不改变航向继续向东航行，是否又触礁危险？请说明理由． （2）求点与小岛的距离． 【答案】（1）没有触礁危险；理由见解析 （2）海里 【解析】 【分析】（1）过点P作于点Q，根据三角形外角的性质证明，根据等腰三角形的判定得出海里，根据含30度直角三角形的性质得出海里，根据勾股定理求出海里； （2）根据勾股定理求出结果即可． 【小问1详解】 解：过点P作于点Q，如图所示： 则， 根据题意得：，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴海里， ∵，， ∴， ∴海里， ∴海里， ∵， ∴没有触礁危险． 【小问2详解】 解：根据解析（1）可知，海里，海里， ∴（海里）， 根据勾股定理得：（海里）， 点与小岛的距离为海里． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的判定，求一个数的算术平方根，三角形外角的性质，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形求解． 22. 观察下列等式，归纳等式规律，解决下列问题： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， ．．．．．． （1）根据上述等式规律，直接写出第5个等式：___________； （2）用含的式子表示出第个等式：___________； （3）计算：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了数字的变化规律，实数的简便计算，找出分数的分母与n的关系是解题关键． （1）根据分数的分母变化规律即可解答； （2）根据分数的分母变化规律即可解答； （3）根据前后两项相加后抵消的规律，利用（2）的结论计算求值即可． 【小问1详解】 解：∵第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， ∴第5个等式为：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由上规律可得，第个等式为：， 故答案为：； 【小问3详解】 解：原式 ． 23. 某兴趣小组利用勾股定理和三角形的面积公式探究对角线互相垂直的四边形得出下面两个结论． 【性质呈现】： 结论一：对角线互相垂直的四边形两组对边的平方和相等． 结论二：对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半． 【概念呈现】：对角线互相垂直且相等的四边形叫垂等四边形． 【性质应用】： （1）如图1，中，，过点作，垂足为点，并截取，连接，过点作垂足为． ①请用含的代数式表示图中的面积______；的面积______； ②请用含的代数式表示图中四边形的面积______； （2）【拓展提高】如图2，中，，分别以、为直角边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，且，连接、、，且与交于点．求证：四边形是垂等四边形； （3）在（2）条件下，若，直接写出的长． 【答案】（1）①；；② （2）详见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）①由角角边证明与，由此可得 ，由三角形面积公式即可求解的面积，再求解梯形的面积，减去的面积，由此可求解的面积； ②由的面积与的面积求解即可； （2）先由等边直角三角形的性质得到边与角的关系，再证明与全等，可得 ，再由三角形内角和得到 ，根据角的关系可得 ，由此可证； （3）由 ，利用勾股定理可得，再由边的关系求解即可． 【小问1详解】 解：①∵， ∴，即， ∴ ， ∵，垂足为点， ∴， ∴， ∴ ， ∵， 在与中， ， ∴， ∴ ， ∴； ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴； ②在中，， 由勾股定理可得，即, ∴； 【小问2详解】 证明：∵三角形和三角形是等腰直角三角形， ∴，， ， ∵， ∴ ， 在与中， ， ∴， ∴ ， 记与交点为点R，如图， ∵ ， 在 与 中， ∴ ， ∵ ，即 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴四边形是垂等四边形； 【小问3详解】 解：∵ ， ∴ ， 在中，， 在中，， 在 中，， 在中，， ∴， 即， 在等腰中， ， ∴ ， 在中，， ∴， 在等腰 中，， ∴ ， ∴ ，解得 ， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初中阶段性教学成果评估 八年级数学学科试卷 （试卷满分120分，考试时间120分钟） 考生注意：请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列式子一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 使有意义的的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 5. 电流通过导线时会产生热量，电流（单位：）、导线电阻（单位：）、通电时间（单位：）与产生的热量（单位：）满足．已知导线的电阻为，时间导线产生的热量，电流的值是（    ） A. 2 B. 5 C. 8 D. 10 6. 如图，数轴上点所表示的数为，则的值是（ ） A. B. C. D. 7. 如果，那么下面各式：其中正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ②③ 8. 若一个直角三角形的两边长为4和5，则第三边长为（ ） A. 3 B. C. 8 D. 3或 9. 如图，从一个大正方形中截去面积分别为8和18的两个小正方形，则图中阴影部分面积为（　　） A. 20 B. 22 C. 24 D. 26 10. 我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一道问题：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里， 大斜一十五里． 里法三百步， 欲知为田几何? ”问题大意：如图， 在中，里，里，里，则的面积是（ ） A. 80 平方里 B. 82平方里 C. 84平方里 D. 86平方里 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 化简：______． 12. 已知n是正整数，是整数，则n的最小值是_________． 13. 已知长方形的面积为12，共中一边长为，则该长方形的另一边长为_______． 14. 如图，一天傍晚，小方和家人去小区遛狗，小方观察发现，她站直身体时，牵绳的手离地面高度为米，小狗的高米，小狗与小方的距离米．（绳子一直是直的）牵狗绳的长 __________． 15. 如图，一个高，底面周长的圆柱形水塔，现制造一个螺旋形登梯，为了减小坡度，要求登梯绕塔环绕一周半到达顶端，问登梯至少为___________长． 三、解答题（共8道题，共75分） 16. 计算： （1）； （2） 17. 高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，高空物体自由下落到地面的时间（单位：s）和高度（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响，）．已知一幢大楼高，若一颗鸡蛋从楼顶自由落下，求落到地面所用时间． 18. 先化简，再求值：（x+2+）÷，其中x= 19. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简． 20. 如图，每个小方格的边长都是1，求： （1）求的周长； （2）画出边上的高，并求的面积； （3）画出边上的高，并求出边上的高． 21. 如图，海中有一小岛，它的周围12海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在处测得小岛在北偏东60°方向上，航行16海里到处，这时测得小岛在北偏东30°方向上． （1）如果渔船不改变航向继续向东航行，是否又触礁危险？请说明理由． （2）求点与小岛的距离． 22. 观察下列等式，归纳等式规律，解决下列问题： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， ．．．．．． （1）根据上述等式规律，直接写出第5个等式：___________； （2）用含的式子表示出第个等式：___________； （3）计算：． 23. 某兴趣小组利用勾股定理和三角形的面积公式探究对角线互相垂直的四边形得出下面两个结论． 【性质呈现】： 结论一：对角线互相垂直的四边形两组对边的平方和相等． 结论二：对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半． 【概念呈现】：对角线互相垂直且相等的四边形叫垂等四边形． 【性质应用】： （1）如图1，中，，过点作，垂足为点，并截取，连接，过点作垂足为． ①请用含的代数式表示图中的面积______；的面积______； ②请用含的代数式表示图中四边形的面积______； （2）【拓展提高】如图2，中，，分别以、为直角边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，且，连接、、，且与交于点．求证：四边形是垂等四边形； （3）在（2）条件下，若，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $