精品解析：2026年青海省海东市 九年级中考模拟考试（一）数学试卷

海东市2025—2026学年九年级模拟考试 数学（一） （本试卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．本试卷为试题卷，请将答案写在答题卡上，否则无效． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）． 1. 中国古代数学著作《九章算术》就最早提到了负数，的相反数是（ ） A. 2026 B. C. D. 2. 河湟剪纸被列入青海省非物质文化遗产名录，是青海劳动人民结合河湟文化创造出的独具高原特色的民间艺术．下列剪纸图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 青海塔拉滩光伏园区被誉为“蓝色海洋”，光伏板制造中高纯度硅晶体至关重要．经测算，一个硅原子的直径约为米．数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 两个同样大小的直角三角尺按如图所示的方式摆放，其中两条一样长的直角边交于点，另一直角边，分别落在的边和上，且，作射线，则在说明为的平分线的过程中，证全等的依据是(　　) A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 青海是我国重要的马铃薯产区．某合作社有甲、乙两个马铃薯种植基地，去年共收获马铃薯50吨．今年采用新技术，甲基地增产20%，乙基地增产15%，两基地总产量达到58.5吨．求甲、乙两个基地去年的产量．设甲基地去年产量为x吨，乙基地为y吨，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，为的直径，点为的中点．若，则的度数是（ ） A. 40° B. 50° C. 60° D. 70° 8. 明明骑自行车去上学时，在这段路上所走的路程（单位：千米）与时间（单位：分）之间的函数关系如图所示．下列说法错误的是（ ） A. 明明家距学校3千米 B. 明明走完全程用了10分钟 C. 明明提速后的速度是提速前速度的2倍 D. 明明上学的平均速度为0.3千米/分钟 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 的算术平方根是______． 10. 实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简：________． 11. 某班级计划利用暑假去研学旅行，他们准备订做一批容量相同的双肩包．活动负责人统计了全班60名同学的意向，得到如下数据： 容量/L 23 25 27 29 31 33 人数/人 7 5 11 27 6 4 为了满足大多数人的需求，此次订做的双肩包容量应为______________L． 12. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值为________． 13. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______． 14. 如图，在矩形中，，，E，F分别是的中点，则_______． 15. 如图，在中，E为边的中点，连接，交对角线于点F，已知，则的值为_____ ． 16. 生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，，则第18个图案需要用矩形的个数为___________． 三、解答题（本大题共9小题，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）． 17. 计算：． 18. 先化简：，再从，1，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值． 19. 如图，反比例函数与正比例函数的图象交于点和点，点是点关于轴的对称点，连接，． （1）求该反比例函数的解析式； （2）求的面积． 20. 如图，菱形的对角线和交于点，分别延长、至点、点，且，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求． 21. 桑梯是我国古代的一种采桑工具．如图1，这是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图2所示，已知点在线段上，米，米，，，，，垂足分别是，，求线段的长．（参考数据：，，） 22. 如图，是的直径，点P是外一点，与相切于点A，点C为上的一点．连接、、，且． （1）求证：为的切线； （2）若，，求阴影部分的面积． 23. 某校的课后服务活动采用了四种活动形式：A．跑步，B．跳绳，C．做操，D．游戏．全校学生都选择了其中一种形式参与活动，小杰对同学们选择的活动形式进行了随机抽样调查，根据调查统计结果，绘制了两幅不完整的统计图． 请结合统计图，回答下列问题： （1）本次调查学生共________人，补全条形统计图； （2）扇形统计图中________； （3）若该校有学生4000人，估计该校选择“做操”这种活动的学生约有多少人？ （4）学校让每班在A、B、C、D四种活动形式中，随机抽取两种开展活动，请用画树状图或列表的方法，求每班抽取的两种形式恰好是“跑步”和“跳绳”的概率． 24. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点．一次函数的图象过点、． （1）求一次函数和二次函数的解析式； （2）结合函数图象，写出使一次函数值大于二次函数值的的取值范围； （3）若是抛物线对称轴上的一点，是否存在点，使得以，，三点为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 综合与探究 【问题情境】已知为直角三角形纸片，其中．在数学活动课上，进行如下探究活动． 活动一：为上一点，将绕点旋转，得到的对应点分别为．连接． 【观察发现】如图1，四边形的形状为___________． 【深入探究】如图2，若，当四边形为矩形时，求的长． 活动二：如图3，取的中点，将绕点顺时针旋转角，得到的对应点分别为，连接． 【拓展提高】 ①猜想与的位置关系，并给予证明． ②如图3，当时，的平分线，若点到的距离为，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海东市2025—2026学年九年级模拟考试 数学（一） （本试卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．本试卷为试题卷，请将答案写在答题卡上，否则无效． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）． 1. 中国古代数学著作《九章算术》就最早提到了负数，的相反数是（ ） A. 2026 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义．根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，即可求解． 【详解】解：的相反数是， 故选：A． 2. 河湟剪纸被列入青海省非物质文化遗产名录，是青海劳动人民结合河湟文化创造出的独具高原特色的民间艺术．下列剪纸图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】识别轴对称图形是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．识别中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 【详解】解：A．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意； B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意； D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故该选项符合题意． 3. 青海塔拉滩光伏园区被誉为“蓝色海洋”，光伏板制造中高纯度硅晶体至关重要．经测算，一个硅原子的直径约为米．数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查小于1的正数的科学记数法表示，科学记数法的表示形式为，其中，为整数，的绝对值等于原数左起第一个非零数字前零的个数（含整数位的零）． 【详解】解：． 4. 两个同样大小的直角三角尺按如图所示的方式摆放，其中两条一样长的直角边交于点，另一直角边，分别落在的边和上，且，作射线，则在说明为的平分线的过程中，证全等的依据是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查角平分线的判定和全等三角形的判定和性质的应用，根据题意得，证明，即可解答． 【详解】解：根据题意可得：， ∴和都是直角三角形， 在和中， ∴， ∴， ∴为的平分线， 故选：C． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，根据同底数幂相乘法则、幂的乘方运算法则、单项式乘以单项式法则以及完全平方公式，逐一验证每个选项的正确性即可． 【详解】解：A.，原计算错误，不符合题意； B.，原计算错误，不符合题意； C.，计算正确，符合题意； D. ，原计算错误，不符合题意． 故选：C． 6. 青海是我国重要的马铃薯产区．某合作社有甲、乙两个马铃薯种植基地，去年共收获马铃薯50吨．今年采用新技术，甲基地增产20%，乙基地增产15%，两基地总产量达到58.5吨．求甲、乙两个基地去年的产量．设甲基地去年产量为x吨，乙基地为y吨，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，找准题目中的等量关系是解题关键，根据去年总产量和今年增产后的总产量分别列方程即可得到方程组． 【详解】解：∵甲基地去年产量为吨，乙基地为吨，去年两基地总产量为吨， ∴， ∵今年甲基地增产，今年甲产量为，乙基地增产，今年乙产量为，今年两基地总产量为吨， ∴， 因此可得方程组 ． 7. 如图，为的直径，点为的中点．若，则的度数是（ ） A. 40° B. 50° C. 60° D. 70° 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，同弧或等弧所对的圆周角相等， 先连接，再说明，然后根据等弧所对圆周角相等得，则此题可解． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴． ∵点B是的中点， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 8. 明明骑自行车去上学时，在这段路上所走的路程（单位：千米）与时间（单位：分）之间的函数关系如图所示．下列说法错误的是（ ） A. 明明家距学校3千米 B. 明明走完全程用了10分钟 C. 明明提速后的速度是提速前速度的2倍 D. 明明上学的平均速度为0.3千米/分钟 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了函数的图象，关键是正确理解图象所表示的意义，求出上下坡的速度．根据图象，结合“速度=路程÷时间”解答即可． 【详解】解：根据函数图象可得： 明明家距学校3千米，故选项A说法正确，不符合题意； 明明走完全程用了10分，故选项B说法正确，不符合题意； 提速前的速度为：（千米/分钟）， 提速后的速度为：（千米/分钟）， ， 即明明提速后的速度是提速前速度的3倍；故选项C说法错误，符合题意； 明明上学的平均速度为：（千米/分钟）； 故选项D说法正确，不符合题意． 故选：C． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 的算术平方根是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，先计算，再求的算术平方根，即可求解． 【详解】解： 5的算术平方根是. 故答案为：. 10. 实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简：________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用二次根式的性质和绝对值的性质，即可求解． 【详解】由数轴位置可知， ． 【点睛】本题考查二次根式化简运算，掌握二次根式的性质是关键． 11. 某班级计划利用暑假去研学旅行，他们准备订做一批容量相同的双肩包．活动负责人统计了全班60名同学的意向，得到如下数据： 容量/L 23 25 27 29 31 33 人数/人 7 5 11 27 6 4 为了满足大多数人的需求，此次订做的双肩包容量应为______________L． 【答案】29 【解析】 【分析】本题考查了众数．众数是一组数据中出现次数最多的数，众数可能没有，可能有1个，也可能有多个．根据众数的定义求解即可． 【详解】解：出现27次，出现次数最多， ∴众数是， 故答案为：29． 12. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系和代数式求值，准确计算是解题的关键． 利用一元二次方程的根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再代入代数式求解． 【详解】解：，是一元二次方程的两个根， , ， ； 故答案为． 13. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据形如的式子叫作二次根式，二次根式的被开方数为非负数求解即可． 本题考查了二次根式有意义条件，熟练掌握条件是解题的关键． 【详解】解：二次根式有意义， 故， 故， 故答案为：. 14. 如图，在矩形中，，，E，F分别是的中点，则_______． 【答案】5 【解析】 【分析】连接，根据矩形的性质可得，，再根据勾股定理得，最后利用三角形中位线定理即可解决问题． 【详解】解：连接， 四边形是矩形， ，， ，， ， E，F分别是的中点， ， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形中位线定理和勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 15. 如图，在中，E为边的中点，连接，交对角线于点F，已知，则的值为_____ ． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．熟练掌握相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质是解题的关键．先根据平行四边形的性质得，，再证明，结合线段的中点得出，即可解答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ∴，， ∴， 则 ∵， ∴， 则， 故答案为：2． 16. 生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，，则第18个图案需要用矩形的个数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据规律得出第个图案中矩形的个数：，算出第18个图案中矩形的个数即可． 【详解】解：∵第1个图案中矩形的个数：； 第2个图案中矩形的个数：； 第3个图案中矩形的个数：； … 第个图案中矩形的个数：， ∴第18个图案中矩形的个数为：． 三、解答题（本大题共9小题，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： 18. 先化简：，再从，1，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键．先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后代入求值． 【详解】解： ， ， ， 当时，． 19. 如图，反比例函数与正比例函数的图象交于点和点，点是点关于轴的对称点，连接，． （1）求该反比例函数的解析式； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把点代入可得的值，求得反比例函数的解析式； （2）根据对称性求得、的坐标然后利用三角形面积公式可求解． 【小问1详解】 解：把点代入得：， ∴， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：∵反比例函数与正比例函数的图象交于点和点， ∴， ∵点是点关于轴的对称点， ∴， ∴， ∴． 20. 如图，菱形的对角线和交于点，分别延长、至点、点，且，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握菱形的性质． （1）根据对角线互相垂直且平分的四边形是菱形即可解决问题； （2）根据菱形的性质和勾股定理可以解决问题． 【小问1详解】 解：∵菱形的对角线和交于点， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， 又 ∵， ∴四边形是菱形． 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形，， ， ， ， ． 21. 桑梯是我国古代的一种采桑工具．如图1，这是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图2所示，已知点在线段上，米，米，，，，，垂足分别是，，求线段的长．（参考数据：，，） 【答案】0.34米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据三角形内角和算出，结合，得出（米），再得出（米），然后根据线段的和差进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， 在中，， （米）． 米，米， （米）． 在中，， （米）， （米）， 答：线段的长为0.34米． 22. 如图，是的直径，点P是外一点，与相切于点A，点C为上的一点．连接、、，且． （1）求证：为的切线； （2）若，，求阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质与判定、三角形全等、扇形的面积、求不规则图形的面积以及含三角形的性质．解决本题的关键是掌握切线的判定定理以及求扇形的面积． （1）利用是的切线，是的半径，求出，再证明出，求出，从而证明出切线． （2）利用含三角形的性质求出边长，从而求出的面积．再利用扇形公式求出扇形的面积，求差即可得到答案． 【小问1详解】 证明：∵是的切线，是的半径． ∴ 连接 在与中， ∴ ∴ ∵C为上的一点． ∴是的切线； 【小问2详解】 ∵， ∴ ， ∵， ， ∴， ∴ ∴． 23. 某校的课后服务活动采用了四种活动形式：A．跑步，B．跳绳，C．做操，D．游戏．全校学生都选择了其中一种形式参与活动，小杰对同学们选择的活动形式进行了随机抽样调查，根据调查统计结果，绘制了两幅不完整的统计图． 请结合统计图，回答下列问题： （1）本次调查学生共________人，补全条形统计图； （2）扇形统计图中________； （3）若该校有学生4000人，估计该校选择“做操”这种活动的学生约有多少人？ （4）学校让每班在A、B、C、D四种活动形式中，随机抽取两种开展活动，请用画树状图或列表的方法，求每班抽取的两种形式恰好是“跑步”和“跳绳”的概率． 【答案】（1），见解析 （2） （3）800 （4） 【解析】 【分析】（1）用类的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再用总人数减去其它项目的人数，求出跳绳的人数，从而补全统计图； （2）用跳绳的人数除以总人数得出占比，进而得出的值； （3）用该校的总人数乘以“做操”的人数所占的百分比即可； （4）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出每班抽取的两种形式恰好是“跑步”和“跳绳”的结果数，然后利用概率公式求解． 【小问1详解】 解：调查学生人数：， 跳绳人数：(人)， 补全条形统计图如图 【小问2详解】 跳绳人数所占百分比：， ∴ 【小问3详解】 解：做操人数所占百分比：， (人)， 答：估计该校选择“做操”这种活动的学生约有800人； 故答案为：800； 【小问4详解】 解：画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中每班抽取的两种形式恰好是“跑步”和“跳绳”的结果数为2， 所以每班抽取的两种形式恰好是“跑步”和“跳绳”的概率． 24. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点．一次函数的图象过点、． （1）求一次函数和二次函数的解析式； （2）结合函数图象，写出使一次函数值大于二次函数值的的取值范围； （3）若是抛物线对称轴上的一点，是否存在点，使得以，，三点为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）直线的解析式；抛物线的解析式 （2）或 （3）存在，点M坐标为或或 【解析】 【分析】（1）直接利用待定系数法求解解析式即可； （2）根据函数图象，结合的横坐标，即可求解； （3）先求出抛物线的对称轴为直线，设，可得，，，再分类讨论即可； 【小问1详解】 解：设直线的解析式为， 将点，分别代入得： ， 解得： 直线的解析式为； ∵抛物线与轴交于点，，与轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线为：； 【小问2详解】 根据函数图象可得，使一次函数值大于二次函数值的的取值范围为或． 【小问3详解】 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设， ∵，， ∴，， ， 当时， ∴， 解得：， ∴或； 当时， ∴， 解得：， ∴， 综上：点M坐标为或或． 25. 综合与探究 【问题情境】已知为直角三角形纸片，其中．在数学活动课上，进行如下探究活动． 活动一：为上一点，将绕点旋转，得到的对应点分别为．连接． 【观察发现】如图1，四边形的形状为___________． 【深入探究】如图2，若，当四边形为矩形时，求的长． 活动二：如图3，取的中点，将绕点顺时针旋转角，得到的对应点分别为，连接． 【拓展提高】 ①猜想与的位置关系，并给予证明． ②如图3，当时，的平分线，若点到的距离为，直接写出的长． 【答案】观察发现：平行四边形；深入探究：；拓展提高：①，见解析；② 【解析】 【分析】观察发现：根据旋转性质可得从而可证的形状为平行四边形； 深入探究：连接，设，根据矩形性质利用勾股定理求出x的值即可； 拓展提高：①由旋转可得，等边对等角求出，从而得到，即可得出结论；②延长，分别与相交于点，设与的交点为．先证明四边形为平行四边形，四边形为矩形，进一步证明，，从而得出结论． 【详解】解：观察发现： 绕点旋转，得到， ，， ， 四边形的形状为平行四边形， 故答案为：平行四边形； 深入探究：如图1，连接， 设． 四边形为矩形， ，即． ， ，即． 解得． 即； 拓展提高： ①. 证明：为的中点， ． 由旋转可得， ， ． . ②如图2，延长，分别与相交于点，设与的交点为． ， 四边形为平行四边形， 又， 四边形为矩形， ． 又为的平分线， ， ， ， ， ． 由①得， ． 又， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，旋转的性质，角平分线的定义等知识，熟练掌握相关性质定理为解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $