浙江省金华市金东区高一数学下学期阶段测试 2025-2026学年人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦人教A版必修第二册核心内容，原创题占比高，通过空间几何、向量与概率统计问题设计，考查数学抽象、空间观念与推理能力，适配高一期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|向量运算、线面关系、复数、统计图表|原创题（如第5题统计图表信息提取）考查数学眼光| |填空题|3题15分|复数、投影向量、四面体体积|结合空间几何动态问题（如第14题异面直线夹角）| |解答题|5题77分|概率、解三角形、四棱锥、二面角与轨迹|19题二面角与轨迹结合，考查推理能力与创新意识|

浙江省金华市金东区高一数学下学期阶段测试 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版（2019）必修第二册。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 2．若，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 4．若平面向量，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（原创）对于一张横轴、纵轴均有完整数据标定的频率分布直方图，仅通过直方图本身的标定信息，能够精确确定的统计信息是 A．样本平均数 B．样本中位数 C．各组的频率 D．各组的频数 6．（原创）已知复数，满足，则 A． B． C． D． 7．在二面角中，点，，，，且与半平面，所成的角相等，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 8．（原创）已知平面平面，且．若一个直角三角形的斜边所在的直线平行于，则该直角三角形在平面与内的投影可能分别为 A．锐角三角形和锐角三角形 B．锐角三角形和直角三角形 C．直角三角形和钝角三角形 D．钝角三角形和钝角三角形 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．有一组样本数据，其中，，则（    ） A．该组数据的中位数为2.5 B．该组数据的极差大于1 C．该组数据的平均数等于的平均数 D．该组数据的方差不小于的方差 10．已知点是平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为，若点满足，，垂足为，则（    ） A． B．是锐角 C．点的坐标为 D． 11．如图是一个棱长为1的正方体的展开图，点，分别是线段，上的动点，如果将它还原为正方体，则（    ） A．线段与所在的直线是异面直线 B．三棱锥的体积为定值 C．存在点，使得 D．记点到平面ABC的距离为，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知复数为实数，则__________． 13．设，为单位向量，在方向上的投影向量为，则__________． 14．在四面体中，平面，平面，，且异面直线与的夹角为，则的最大值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）某次竞赛共有20道题，甲、乙、丙三位同学分别能答对其中的12道题，8道题和道题．假设每道题被抽中的可能性相等，现从中任选一题，由三位同学独立作答． （1）求甲、乙两位同学中恰有一人答对的概率； （2）若甲、乙、丙三位同学中至少有一人答对的概率为，求． 16．（15分）在中，． （1）求； （2）若，求的取值范围． 17．（15分）在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，且二面角的大小为． （1）求四棱锥的体积； （2）设为的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 18．（17分）已知内角，，的对边为，，，点是的内心，若，． （1）求； （2）延长交于点，若，求的周长； （3）求的取值范围． 19．（17分）已知二面角，点与棱l的距离为，与半平面所在平面的距离为3． （1）求二面角的余弦值； （2）设，，动点在半平面所在平面上，满足． （i）求运动轨迹的长度； （ii）求四面体体积的最大可能值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省金华市金东区高一数学下学期阶段测试 参考答案及评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B B A C A A D 1．D 【详解】由题意可得，解得．故选：D． 2．B 【详解】由可得，， 所以 ，故选：B． 3．B 【详解】线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故选：B． 4．A 【详解】对两边平方得， 又，故，代入得． 因此，故选：A． 5．C 【详解】频率分布直方图的纵轴表示频率与组距的比值，由于横轴、纵轴均有完整数据标定，所以可精确得到每一组的组距及对应矩形的高，两者相乘即为对应小矩形的面积，该面积在数值上严格等于该组的频率，故能够精确确定各组的频率，而利用频率分布直方图计算的样本平均数与样本中位数均为依据均匀分布假设得出的估计值，无法精确确定原始样本的真实值，且由于缺少总样本容量这一信息，无法计算得出各组的频数，故选C故选：B． 6．A 【详解】设． 由题意得， 且． 故，故选A． 7．A 【详解】过作，交于，连接． 由于，平面，所以平面． 由于平面，所以． 延长，过作，交的延长线于． 由于平面，所以． 由于，所以，则是直线与平面所成角的平面角． 延长，过作，交的延长线于． 同理可证得是直线与平面所成角的平面角． 所以，所以． 在和中， 若，则，所以，即． 若，即，则，则． 所以“”是“” 充要条件，故选：A．    8．D 【详解】设直角的直角顶点为，斜边，由于且，可设与两点到平面的距离相等，且该距离与点到平面的距离之差的绝对值为，其中． 若，则所在平面平行于，其在内投影为线段，不合题意． 设在平面内的投影为，由于平行于投影面，故投影前后长度不变，即，故得且． 在直角中由勾股定理，得，将投影关系代入化简可得，由于，故． 由余弦定理可知中边所对的角必定为钝角，即该直角三角形在平面内的投影为钝角三角形，同理，其在平面内的投影也必定为钝角三角形，故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 ABD ABD ABD 9．ABD 【详解】对于A，因为，所以该组数据的中位数为，故A正确； 对于B，因为，所以，又因为，所以， 所以该组数据的极差大于1，故B正确； 对于C，该组数据的平均数为，而数据的平均数为， 若两组数据的平均数相等，则， 故，不一定成立，故C错误； 对于D，因为数据的平均数为， 所以数据的方差为， 新增数据后，方差为： ， 此时对称轴，而， 故， 此时对称轴，故， 故样本数据的方差必然大于原方差，故D正确． 故选：ABD． 10．ABD 【详解】因为点，点，则， 故，故A正确； ，，则，若， 即，可得，此方程无解，所以与不共线， 所以是锐角，故B正确； 设点的坐标为，则，， 因为，所以，解得，故，所以C错误； 因为，设，则， 由于，所以，即，解得， 所以，故D正确． 故选：ABD． 11．ABD 【详解】根据正方体的展开图画出该正方体的原图，如下图所示： 对于A：线段AB与GH所在的直线既不平行也不相交，故A错误； 对于B：因为的面积为定值，点到平面的距离也为定值， 根据三棱锥体积公式可知三棱锥的体积为定值，故B正确； 对于C：如图，连接，则， 设，由余弦定理可得 ， 而，由余弦定理可得， 故 ， 故始终为钝角，故C错误. 对于D：取的中点为，连接，过作，垂足为， 由正方体的性质可得平面，而平面， 故，故，故平面， 故为到平面的距离， 将平展到一个平面中，如图所示， 在直角三角形中，斜边，故， 故，故的最小值即为到直线的距离， 该距离为，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 12． 【详解】依题意，，解得，故，故答案为：． 13． 【详解】因为在方向上的投影向量为， 所以， 所以有， 故答案为：． 14． 【详解】如图，将四面体放在一个长方体中，设， 因为，所以即， 因为，所以异面直线与的夹角为， 在，即， 联立 ，解得，所以， 设，， 所以，的最大值为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．【详解】（1）记事件“任选一道题，甲答对”， 事件“任选一道题，乙答对”， 事件“任选一道题，丙答对”， 记事件“任选一道题，甲、乙两位同学恰有一人答对”， 则，（4分） ．（7分） （2）记事件“甲、乙、丙三位同学至少有一人答对”， 则，（10分） 所以．（13分） 16．【详解】（1）因为， 所以， ，（2分） 即 即，（4分） 因为是的内角，所以，即，（6分） 所以．（7分） （2）因为，故只需求的取值范围．（9分） 在中，，得，（10分） 因此，（12分） 即，（14分） 所以．（15分） 17．【详解】（1）设与交于点，连接；在平面中作于． 因为平面，平面，所以． 同理，．（2分） 因为平面，平面，平面平面， 所以就是二面角的平面角，从而．（4分） 因为底面是矩形，，所以矩形是正方形．（5分） 所以，． 又因为，所以是等边三角形，故．（6分） 因为，，， 所以平面，即是四棱锥的高．（7分） 故四棱锥的体积．（9分） （2）设． 因为，，所以是的重心，故． 因为平面，所以即为直线与平面所成角．（12分） 于是，（14分） 因此，直线与平面所成角的正弦值为．（15分） 18．【详解】（1）因为，所以根据正弦定理得， 化简得．（2分） 因为，所以． 所以，因为，所以．（4分） （2），所以，（5分） 化简得：①．（6分） 根据余弦定理得②，（8分） ①②联立方程组解得：． 解得，又，所以． 所以的周长为．（10分） （3）令三角形内切圆半径为． 因为． ． 所以，解得． 因为，所以．（13分） 根据余弦定理得：， 即，故．（15分） 又，解得， 故， 综上，的取值范围为．（17分） 19．【详解】（1）设在，所在平面的射影分别为,，则，． 易知平面，则，故或其补角即为二面角的平面角，（3分） 因此二面角的正弦值为，余弦值为或．（5分） （2）（i）因为，所以，此时在平面内的平面图如下图 若，则以为圆心，为半径的圆在中的部分是一段优弧， 此时可知所对的劣弧角的一半设为，则，得 所以优弧对应圆心角为，因此的运动轨迹长度为．（8分） 若，则以为圆心，为半径的圆在中的部分是一段劣弧， 此时由知劣弧对应的圆心角为，因此的运动轨迹长度为．（11分）   所以的运动轨迹长度为或． （ii）四面体的体积，其中为到平面的距离，为的面积，为到直线（或）的距离．（14分）  由（i）知，若，则当时，取最大值；若，则当时，取最大值，所以四面体的最大值为．（17分）  学科网（北京）股份有限公司 $Sheet1 题号 题型 分值 知识点 难度（预估） 1 单选题 5 向量垂直的坐标表示 0.9 2 单选题 5 复数加减法的代数运算、复数的乘方、共轭复数的概念及计算 0.9 3 单选题 5 空间点线面位置关系 0.8 4 单选题 5 向量夹角的计算、数量积的运算律、已知模求数量积 0.75 5 单选题 5 频率分布直方图 0.65 6 单选题 5 复数模的计算 0.65 7 单选题 5 探求命题为真的充要条件、求线面角 0.55 8 单选题 5 空间面面垂直、投影性质 0.4 9 多选题 6 计算数据的平均数、极差、方差、标准差、中位数 0.8 10 多选题 6 用坐标表示平面向量、平面向量线性运算的坐标表示、向量垂直的坐标表示 0.65 11 多选题 6 锥体体积的有关计算、求异面直线所成的角 0.4 12 填空题 5 已知复数的类型求参数、求复数的模 0.95 13 填空题 5 已知数量积求模、求投影向量 0.85 14 填空题 5 余弦定理解三角形、由异面直线所成的角求其他量 0.5 15 解答题 13 计算古典概型问题的概率、独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率 0.8 16 解答题 15 解三角形、用定义求向量的数量积 0.75 17 解答题 15 锥体体积的有关计算、求线面角、证明线面垂直 0.65 18 解答题 17 解三角形、三角形面积公式及其应用 0.4 19 解答题 17 求二面角、直线与圆的位置关系求距离的最值、锥体体积的有关计算 0.3 Sheet2 Sheet3 $