江西省九江外国语学校2025-2026学年下学期 第九届“开拓杯”数学应用与创新竞赛 八年级试卷

-、1、B2、C3、B4、A5、B6、A7、C8、D 二、9、x(y+5)(y-5) 10、-3 11、5 12、26 13、7<X≤19 14、2026 15、x<4 16、5,6, 号6 三、17、（1)-5<X≤0画数轴 原式(x2+4-4x)(x2+4+4x)=(x-2)2(x+2)2. 18 坐 图0 图② 19 (1)设甲种书包每个售价为x元，乙种书包每个售价 为y元。 根据题意，可列出方程组： x-y=12 12c+3y=264 x=60 解得： y=48 答：甲种书包每个售价为60元，乙种书包每个售价 为48元。 (2)设购进甲种书包m个，则购进乙种书包(100一 m)个。 根据题意，可列出不等式组： (50m+40(100-m)≤4550 (m>52 解得：52<m<55 因为m为正整数，所以m可以取53、54、55，对应 的100-m分别为47、46、45。 答：该网店有3种进货方案：方案1：购进甲种书包 53个，乙种书包47个；方案2：购进甲种书包54 个，乙种书包46个；方案3：购进甲种书包55个，乙 种书包45个。 20 (1) 4.x+1 4x-2+34x-213 2(2x-1D+ 2x-1 2x-1 2x-12x-12x-1 3 3 2x-1=2+ 2x-1 (2)x —2为正整数x2≥0，…x一2>0，x>2, 2 x-2 2-2+2=x+2二4牛4=x+2+ x-2 x-2 x-2 叉之2，且为整数x中2十为正整数 ∴x-2=1或2或4，x=3或4或6. （3)4+7-3_42+8x-x-3 x+2 x+2 =4z(x+2)x+3 x+2+1 x+2 x十2 =4x- x十2 =4x-1- 1 x+2' 23=A+8 x+2 ∴.A=4x-1,B=-x-2 .4x-1=4a-9,b-10=-x-2, .a=x十2，b=-x+8. .a2+b2+ab=(x+2)2+(-x+8)2+(x+2)(-x+ 8)=x2-6x十84=(x-3)2+75. (x-3)2≥0， ∴.当x一3=0.即x=3时，有最小值75， ∴.a2+b2+ab的最小值为75. 21 3.解：1)1 【答案详解】 如图1，过点D作DM⊥ AB于点M,DN⊥BC于点N. .BD平分∠ABC,.DM=DN. SAABD=- AB·DM,Sa=-2BC.DN, .S△ABD= 能-号放答案为 4 ·SACBD HA M/ E D G B B 图1 图2 图3 (2)AD AB CD BC. 证明：如图2，过点B作BE⊥AC于 SAABD 合AD:BE 点E,则 AD SACBD CD' 由(1)知， CD·BE 1 SAABD = AB SACBD BC, .AD AB …CD BC (3)如图3，连接BD,过点C作CH⊥DE于点H, 过点A作AG⊥BC于点G. .AE=4,AD=2,∴.DE=AE+AD=4十2=6. .'△ECD是等边三角形，CH⊥DE, ∴.CE=DE=6,EH=DH=3. ∴.CH=√CE2-EI=√62-32=3W3. .AH=DH-AD=3-2=1, .AC=√AH+CH=√/12+(3√3)2=2√7. .△ABC和△ECD都是等边三角形， .∠ACB=∠DCE=60°，CD=CE,BC=AB= AC=2√7. ∴.∠BCD=∠ACE.∴.△CAE≌△CBD(SAS). .BD=AE=4,∠CDB=∠CEA=60°. .∠CDE=∠CDB..DC平分∠ADB. SAACE=S△ADF= 由(2)知，SAxF AF-AD-2=1 S△BDF BFBD-4-2’ .SABCF= 2 SAABC· 3 AG LBC,CG-BC-/ ∴.AG=√AC-CG=√(2√7)2-(W7)2=√2I. ∴Sas=2BC·AG=2X2VTXV2I=7V3. 2 iSa=号×7v5-140 3 22 解：(1).N(0,-3),∠ONM=30°， .MW=2OM,∠NMO=60°， .(20M)2=OM2+32, 解得：OM=√3， 设MN为y=kc+b, 了b=-3 解得 ∫k=V3 3+6=0 0=-3 .'MN:y=V3x-3, (2)在y轴上取-点Q(0,),使得S△4wQ= 6V3. SaA0=号ANQ.0A, 2×g+3v3=6v3. 解得1=9,2=-15， ∴.Q1(0,9)，Q2(0,-15). .A(V3,0),N(0,-3), 同理可得：AN的解析式为：y=-√3x-3, 作QP/AN交于P, ∴.Q1P:y=-V3x+9, ∴.y=-v3×V3+9=6,即P(v3,6), Q B 同理Q2P:y=-V3x-15, .P(V3,-18). 综上：P(V3,6),P(3,-18) Q(0,1)或(0，-3)或(0,3±2√3)九江外国语学校第九届“开拓杯”数学应用与创新竞赛 八年级试卷 (全卷：120分 考试时间：90分钟) 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( 2.下列由左边到右边的变形是因式分解的是() A.(x-3)(x+3)=x2-9 B.ax+y-1=a（x+y)-1 C.m2+4+4=(+2)3 D.y2+y+1=y0+1+) 3.若(x-2)(x+a)=x2+bx-2,则a+b=() A.-1 B.0 C.1 D.2 4.如图，A,B的坐标为（2,0)，(0,1)若将线段AB平移至A1B1,则+b的值为() y◆ B(a,2) B(0,1) A(3,b) x o A(2,0) A.2 B.3 C.4 D.5 5的国。无为正袋数，则农示分式。角强在(） ① ② ③ ④ 、 、 -0.2 0.4 1.62.2 A.线①处 B.线②处 C.线③处 D.线④处 (2x-a<0 6.若关于x的不等式组 x-1+2≤ 的解集只有3个整数解，则α的取值范围是() 2 A.10<a≤12 B.10≤a<12 C.9≤a<10 D.9<a≤10 7.如图，己知△ABC中，AB=3,∠B=40°，∠C=20°，在△ABC所在平面内一条直线，将△ABC分 割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画() A B A.2条 B.3条 C.4条 D.5条 8.在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，BC=6,P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC,则 PA+PB+PC的最小值为() 第1页（共4页） B A.4W5 B.4W3+3 C.2V3+6 D.2W21 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 9.分解因式：y2-25x= 0若分式X3的值为0，则x的值为 11.若点P(m-1,5)与点9(3,2-n)关于原点成中心对称，则+n的值是 12.有不足30个苹果分给若干个小朋友，若每个小朋友分3个.则剩2个苹果：若每个小朋友分4个， 则有一个小朋友没有分到苹果，且另外一个小朋友分到的苹果数不足3个.已知小朋友人数是偶数，那 么苹果有 个 13.按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x”到“结果是否>487？”为一次操作.如 果操作进行四次才停止，那么x的取值范围是 输>x3→-2 487 停 否 14.己知a2+b2=2,x2+y2=1013,则多项式（ax+by)2+(bx-y)2的值为 15.如图，一次函数y1=m-9(a≠0)与2=bx-3(b≠0)的图象交于点P,与y轴分别交于点A,B, 若S4BP=I2,则关于x的不等式bx+6>ax的解集是 16.如图，△ABC中，∠ACB=90°，把△ABC绕点C顺时针旋转到△A1B1C的位置，A1B1交直线CA于 点D.若AC=6,BC=8,当线段CD的长为 时，△A1CD是等腰三角形， 三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分） (3x+2≤3-(1-x),① 17.(1)解不等式组： 1-1>-x,@ 并将解集在数轴上表示出来. 2 3 (2)因式分解：(x2+4)2-16x2 第2页（共4页） 18图①、图②均是正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、MN均为格点.仅用无刻度 的直尺，按下列要求在给定的网格中画图： (1)在图①中，确定格点C,作射线BC,使∠MBC=∠MAN: (2)在图②中，确定格点D,作射线BD,使∠MBD+∠MAN=90°， A A 图① 图② 四、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 19.互联网时代人们的购物方式有了更多的选择，某网店销售甲、乙两种书包，已知甲种书包每个售价比乙 种书包每个售价多12元，网购2个甲种书包和3个乙种书包共花费264元（免运费). 请解答下列问题： (1)该网店甲、乙两种书包每个售价各是多少元？ (2)根据消费者需求，该网店决定用不超过4550元购进甲、乙两种书包共100个，且甲种书包的数量 超过52个，己知甲种书包每个进价为50元，乙种书包每个进价为40元，该网店有哪几种进货方案？ 20.分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式， 12X 例如：分式 +1’x2+1 是真分式.如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式.例如： 2x2 2x2+2x-2_2x0+D_2头=2x-2x+2-2 =2x-2+ 3 x+1 x+1 x+1x+1 x+1 x+1 x+1 (1)将假分式 化为一个整数与一个真分式的和： 2x-1 ②》者x是整数，且假分式的值为正整数，求x的值」 x2+7x-3 (3)若假分式 x+2 化为一个整式与一个真分式的和的形式为A+言A,B均为关于x的多项式， 若A=4a-9,B=b-10,求2+b2+ab的最小值 21.角平分线性质定理描述了角平分线上的点到两边距离的关系，小明发现将角平分线放在三角形中，还 可以得出一些线段比例的关系.请完成下列探索过程： 【研究情景】如图1，在△ABC中，∠ABC的角平分线交AC于点D. 【初步思考】1)若AB=4,BC=7,则4巴=一： S△CBD 【深入探究】 第3页（共4页） AB AD (2)请判断和二之间的数值关系，并证明； BC CD 【应用迁移】 (3)如图2，△ABC和△ECD都是等边三角形，△ABC的顶点A在△ECD的边ED上，CD交AB于 点F,若AE=4,AD=2,求出△CFB的面积. B 图1 图2 22.在平面直角坐标系中，直线MN交x轴正半轴于点M,交y轴负半轴于点N(0,-3),∠OM= 30°，作线段MN的垂直平分线交x轴于点A,交y轴于点B. A B B 图1 图2 图3 (1)如图1，求直线N的解析式： (2)如图2，过点M作y轴的平行线1，P是1上一点，若S△4wP=6V3,求点P坐标； (3)如图3，点Q是y轴的一个动点，连接QMAQ,将△MAQ沿AQ翻折得到△MAQ,当△MN 是等腰三角形时，直接写出Q点的坐标 第4页（共4页）