命题大赛 湖南省长沙市2025-2026学年高二下学期期末考试数学模拟卷（全高考内容范围）

**基本信息** 原创题占比高（如单选1-3、7-8等），覆盖高考全范围，通过开放探究（解答题15三选一条件）、知识综合（单选7数列与二项式）考查数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、复数、函数性质等|原创为主，如第3题抽象函数奇偶性判断，考查推理能力（数学思维）| |多选题|3/18|统计、数列、立体几何|如第9题结合数据分位数与回归，体现数据意识（数学语言）| |填空题|3/15|函数切线、立体几何、三视图|14题由三视图求外接球表面积，考查空间观念（数学眼光）| |解答题|5/77|三角、立体几何、椭圆、导数|17题探究性问题（是否存在点），15题开放条件，体现创新意识（数学思维）|

应用场景：高二下学期期末考试（全高考内容范围） 湖南省长沙市2025-2026学年高二下学期期末考试模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分:150分) 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（原创）集合，则（      ） A． B． C． D． 2．（原创）复数在复平面内对应向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（原创）已知函数 定义域为 ，且对任意 都有 ，则下列函数中，不是奇函数的是（ ） A. g B. C. D. 4．（改编）已知函数，在上的零点个数是（    ） A． B． C． D． 5．（改编）已知盒子中有9个大小相同、质地均匀的球，其中有5个红球、4个白球，不放回地取球两次，第一次任取1个球，第二次任取2个球，设第二次取到2个红球的概率为（   ） A． B． C． D． 6．（改编）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，当的面积取最大值时，形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．无法确定 7．（原创）数列的前n项和为，，二项式的所有系数和为，则数列的前项和为（   ） A． B． C． D． 8．（原创）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，点 在双曲线上， 为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（ ）。 A. B. C. D. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．（原创）下列说法正确的有（    ） A．数据的上四分位数是40 B．若随机变量，，则 C．若回归方程为，则变量y与x成负相关 D．展开式中含项的二项式系数为 10．（原创） 已知数列的前项和为，（为常数），下列正确的是（ ） A、当时， B、当，时， C、当，时， D、当，时，是等比数列 11．（原创）在棱长为2的正方体中，则（    ） A．若点为棱的中点，直线与所成角的余弦值为 B．若点为棱的中点，用平面截该正方体，所得截面面积为 C．若点是线段上动点，直线与平面平行 D．若为线段上动点（包括端点），则三棱锥的体积为定值 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）. 12．（原创）函数过的切线的切点到双曲线的两条渐近线的距离之差的绝对值为______． 13．（改编）如图所示，二面角为，是棱上的两点，分别在半平面内，且，，，，，则的长______． 14．（原创）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥外接球的表面积为______． 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）. 15．（原创）在①，②，③外接圆半径为三个条件中任选一个补充在下面问题中，并加以解答. 已知的内角的对边分别为，的面积为，___________， (1)求角的大小； (2)若，求的最大值，并判断当取最大值时的形状. 17．（改编）（探究题）如图，在四棱锥上，底面为直角梯形，，，平面平面， 为的中点，是棱上的一动点，，，. (1)棱上是否存在一点，使得平面平面，请说明理由. (2)若二面角大小为，求的值 18．（原创）已知椭圆 ，其左右焦点分别为 ，过右焦点 的直线 与椭圆 交于 两点. （1）若直线 的斜率为 ，求弦长 ； （2）求 面积的最大值； （3）求证： 为定值. 19．（原创）已知函数， (1) 当在处的切线斜率为1时，求的单调区间 (2) 若，当时，恒成立，求正整数的最大值 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 应用场景：高二下学期期末考试（全高考内容范围） 湖南省长沙市2025-2026学年高二下学期期末考试模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分:150分) 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（原创）集合，则（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，解得， 因为，所以， 又解方程得，，，所以 . 2．（原创）复数在复平面内对应向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】虚数单位 i 的幂具有周期性，周期为 4： ， 对 2026 除以 4 求余数： ， 所以， 复平面内复数与向量的对应关系 复数在复平面内对应向量的坐标为 , ，所以对应向量的坐标为 ， 3．（原创）已知函数 定义域为 ，且对任意 都有 ，则下列函数中，不是奇函数的是（ ） A. g B. C. D. 【答案】 【详解】由条件得 ，即 是偶函数。 A：，奇函数； B：，奇函数； C：，奇函数； D：，偶函数，不是奇函数。 4．（改编）已知函数，在上的零点个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，令 即，解得或， 令和，得到， 综上，函数 在 上的零点个数为 3 个. 5．（改编）已知盒子中有9个大小相同、质地均匀的球，其中有5个红球、4个白球，不放回地取球两次，第一次任取1个球，第二次任取2个球，设第二次取到2个红球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】不放回地取球两次，第一次任取1个球，第二次任取2个球， 第一次任取1个球为红球，第二次任取2个球均为红球的概率为， 第一次任取1个球为白球，第二次任取2个球均为红球的概率为， 故 6．（改编）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，当的面积取最大值时，形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．无法确定 【答案】B 【详解】由余弦定理可得，又，， 所以， 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 所以，又， 所以，， 所以的面积， 所以当时，的面积取最大值. 所以此时为等腰三角形. 7．（原创）数列的前n项和为，，二项式的所有系数和为，则数列的前项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以所以数列为等差数列，公差， 又可得：，即，解得 因此，故. 二项式，令，的所有系数和为 所以，所求和为的前16项和为，则： 8．（原创）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，点 在双曲线上， 为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（ ）。 A. B. C. D. 【答案】A 【详解】双曲线中 ，且焦点距离 ，点 在双曲线上，若 为等腰直角三角形，直角顶点不可能是 （否则会推出与双曲线定义矛盾的结论），因此直角顶点只能是 或 ， 不妨设直角顶点为 ，则： 根据双曲线定义：，因为 在双曲线上，且 ，故： ，代入 ，得： 在 中，由勾股定理： 代入 ，，： 展开并整理方程： 两边同除以 ，令离心率 ： 解此一元二次方程： 因为 ，故取正根： 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．（原创）下列说法正确的有（    ） A．数据的上四分位数是40 B．若随机变量，，则 C．若回归方程为，则变量y与x成负相关 D．展开式中含项的二项式系数为 【答案】ABC 【详解】A选项，数据，共8个数据，从小到大排列为，，所以上四分位数是第6个数据与第7个数据的平均值，即，A选项正确； B选项，随机变量，，即，解得，所以则，B正确； C选项，由于，所以变量y与x成负相关，故C正确； D选项，由二项式定理可知，展开式的通项：，令，含项的二项式系数为，故D错误. 10．（原创） 已知数列的前项和为，（为常数），下列正确的是（ ） A、当时， B、当，时， C、当，时， D、当，时，是等比数列 【答案】ABD 【详解】选项 A ，此时递推式为 ，前 4 项和：，故A 正确； 选项 B ，当，时，递推式为 ，即 ，又,由累加法可得，，B正确； 选项 C ,当，时,递推式为 ，逐项计算：，，，，故C 错误； 选项 D ，当，时,递推式 ，等价变形为 ，即，故数列是公比为 2 的等比数列， 故D 正确， 11．（原创）在棱长为2的正方体中，则（    ） A．若点为棱的中点，直线与所成角的余弦值为 B．若点为棱的中点，用平面截该正方体，所得截面面积为 C．若点是线段上动点，直线与平面平行 D．若为线段上动点（包括端点），则三棱锥的体积为定值 【答案】BCD 【详解】对于A，以点为原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，. 因为为棱的中点，所以，，. 设直线与所成角为 ， 所以，A错误. 对于B：取中点，连接，，，易知为平行四边形，所以. 又，为中点，所以，即，所以、、、四点共面， 即平面截该正方体所得截面为四边形. 易知，，， 所以四边形为等腰梯形，设高为，则， 所以面积为，B正确. 对于C，，. 设平面的法向量为，则 ，即，令，则，，所以. 因为在线段上，设（），则， 所以，，所以，（）. 因为，所以，又平面， 所以直线与平面平行，故C正确； 对于D，连接， 四边形为正方形，， 平面，平面，， 平面，，平面， 点到平面的距离， 又， ，即三棱锥的体积为定值，D正确； 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）. 12．（原创）函数过的切线的切点到双曲线的两条渐近线的距离之差的绝对值为______． 【答案】 【详解】设切点为，，故切线方程斜率， 切线方程为：， 代入点得：，化简得：，解得：， 所以切点为， 双曲线的渐近线方程为，即或. 所以点到渐近线的距离为， 点到渐近线的距离为， 所以，到双曲线的两条渐近线的距离之和为. 13．（改编）如图所示，二面角为，是棱上的两点，分别在半平面内，且，，，，，则的长______． 【答案】 【详解】二面角为，是棱上的两点，分别在半平面、内， 且 所以, 所以， ， ， 的长 ． 故答案为． 14．（原创）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥外接球的表面积为______． 【答案】 【解析】由三视图可得如右图所示的三棱锥， 由三视图可知为等边三角形，均为直角三角形，则有， 旋转三棱锥得下图： 过等边的中心，做底面的垂线OT O为球心，易知（B、C均在球面上，，所以BC的中点在球水平赤道面上，底面与球水平赤道面平行） 令等边高为h， 所以球的半径 所以求的表面积 故答案为. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）. 15．（原创）在①，②，③外接圆半径为三个条件中任选一个补充在下面问题中，并加以解答. 已知的内角的对边分别为，的面积为，___________， (1) 求角的大小； (2) 若，求的最大值，并判断当取最大值时的形状. 【解析】选① （1） ...........2分 由余弦定理可得，即，又，所以 ...................... 6分 （2）由（1）知，又，所以 即， ....................................9分 又因为，所以，当且仅当时取最大值，即， ........................12分 此时，为等边三角形 ................13分 选② （1）因为，所以有 . .......2分 由正弦定理可得，所以 又，所以 ..............................6分 （2）同选① 选③ （1）由正弦定理可得，又所以 ..........2分 即，所以，又，所以 ..................6分 （2）同选① 16．（原创）（情境题）为了研究某电商平台用户的 “会员等级” 与 “商品复购率” 的相关情况，平台运营团队采用随机抽样的方法抽取了 150 名用户，调查他们的会员等级与复购率情况，统计数据如下： 会员等级高 会员等级低 合计 复购率高 55 20 75 复购率低 30 45 75 合计 85 65 150 (1) 根据小概率值的独立性检验，分析 “会员等级高” 与 “复购率高” 是否有关. (2) 从调查的复购率低的用户中，按照会员等级是否高采用分层随机抽样的方法抽取 15 人.若从这 15 人中随机抽取 2 人，记为会员等级高的人数，求的分布列及数学期望. 参考公式：，其中． 参考数据： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)有关；(2)分布列见解析，数学期望为. 【详解】（1）零假设为：“会员等级高低” 与 “复购率高低” 无关............1分 根据表中数据可得，，...............4分 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为“会员等级高低” 与 “复购率高低” 有关，该推断犯错误的概率不超过. .........................6分 （2）复购率低的用户共 75 人，其中会员等级高的 30 人，低的 45 人.抽样比为，故抽取的 15 人中，会员等级高的人数为人，等级低的为人. .......8分 的可能取值为 0, 1, 2， .......12分 分布列： 0 1 2 数学期望：. .......15分 17．（改编）（探究题）如图，在四棱锥上，底面为直角梯形，，，平面平面， 为的中点，是棱上的一动点，，，. (1)棱上是否存在一点，使得平面平面，请说明理由. (2)若二面角大小为，求的值 【答案】(1)理由见解析；(2) 【详解】（1）证明：∵，，为的中点， ∴四边形为平行四边形，∴， 又∵，∴，即. 又∵平面平面，且平面平面，平面， ∴平面，∵平面， ∴平面平面. 所以，棱上所有点，均有平面平面. （2）∵，为的中点，∴， ∵平面平面，且平面平面，平面， ∴平面.如图，以为原点建立空间直角坐标系， 易知平面的法向量为， 又，， ∴设，， ， 又，设平面的法向量为， ，取， ∵二面角为， ∴，解得，即 ∴ 18．（原创）已知椭圆 ，其左右焦点分别为 ，过右焦点 的直线 与椭圆 交于 两点. （1）若直线 的斜率为 ，求弦长 ； （2）求 面积的最大值； （3）求证： 为定值. 【答案】(1)；(2)；(3)4 【详解】（1）已知椭圆，则 ，，， 所以椭圆右焦点 ，左焦点 。 直线的斜率为且过点，可得直线方程：， .........1分 联立直线与椭圆方程，整理得：。 设 ，由韦达定理得： .........2分 由弦长公式 ，代入： .........5分 （2）由焦点坐标得 ，三角形面积可表示为： 设直线的方程为 ，联立椭圆方程： 代入消元整理得： .........6分 设 ，由韦达定理得： 由弦长纵坐标差公式： 代入数据计算： 令 ，则 ，代入得： .........8分 对函数 利用基本不等式求最值： 当且仅当 ，即 （此时 ）时取等号， 因此 ，代入面积公式得： .........10分 （3）由椭圆的距离公式化简焦半径，设 ，结合椭圆方程 ： 代入化简： 同理可得： .........12分 由直线方程 ，结合前文韦达定理，推导横坐标关系： 对所求式子通分变形： .........14分 代入 计算分子： 计算分母： 上下约分可得： 故 为定值 ，得证. .........17分 19．（原创）已知函数， (1) 当在处的切线斜率为1时，求的单调区间 (2) 若，当时，恒成立，求正整数的最大值 【答案】(1)的增区间为；的减区间为 （2）2 【详解】(1) 的定义域为 ， ∵在处的切线斜率为1，∴，即 ....................2分 所以， 令，解得 ，解得 ∴ 的增区间为；的减区间为； ............5分 (2) 当时，，即 当时， 恒成立 即恒成立 ......8分 令， 令，，易知 所以在上是增函数，..............................................................................10分 又因为 所以存在，使得，所以 ↘ ↗ 所以，因为，所以..............................15分 所以 ，故正整数的最大值为2........................................17分 试卷第1页，共3页 试卷解析 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $Sheet1 湖南省长沙市2025-2026学年高二下学期期末考试模拟卷（全高考内容范围）细目表 题号 题型 分值 知识点 难度系数 1 单选题 5 一元二次方程求解、对数不等式解法、自然数集、集合交集运算 0.9 2 单选题 5 虚数单位 i 的幂周期性、复数几何意义、复平面对应向量坐标 0.85 3 单选题 5 函数奇偶性定义、偶函数性质、奇偶函数构造与判定 0.75 4 单选题 5 三角辅助角公式、正弦函数方程求解、区间内函数零点个数 0.6 5 单选题 5 古典概型、不放回抽样、全概率公式应用 0.6 6 单选题 5 余弦定理、基本不等式、三角形面积最值、三角形形状判定 0.55 7 单选题 5 等差数列通项与前 n 项和、二项式系数和、裂项相消求和 0.45 8 单选题 5 双曲线定义、等腰直角三角形几何性质、双曲线离心率计算 0.4 9 多选题 6 统计上四分位数、二项分布期望与方差、线性回归相关性、二项式展开系数 0.8 10 多选题 6 数列递推关系、累加法求通项、构造等比数列、数列求值运算 0.6 11 多选题 6 正方体结构特征、空间向量求异面直线夹角、正方体截面面积、线面平行判定、三棱锥体积定值 0.4 12 填空题 5 导数几何意义、曲线切线方程、双曲线渐近线、点到直线距离公式 0.7 13 填空题 5 二面角、空间向量线性运算、向量模长求线段长度 0.6 14 填空题 5 三视图还原几何体、三棱锥外接球、球的表面积公式 0.5 15 解答题 13 正弦定理、余弦定理、三角恒等变换、三角形面积最值、三角形形状判断 0.7 16 解答题 15 卡方独立性检验、分层抽样、超几何分布、随机变量分布列与数学期望 0.6 17 解答题 15 面面垂直判定与性质、空间直角坐标系、空间向量求二面角、立体几何动点求值 0.55 18 解答题 17 椭圆基本性质、直线与椭圆弦长公式、焦点三角形面积最值、焦半径定值证明 0.5 19 解答题 17 导数切线几何意义、利用导数求单调区间、导数恒成立问题、隐零点应用、参数最值求解 0.4 $