河北石家庄市第一中学等校2025-2026学年高二下学期期中联考数学试卷

**基本信息** 石家庄市第一中学2026下学期高二数学期中试卷，以高考全部内容为考查范围，通过数列证明、立体几何、椭圆综合、函数导数及太空诱变概率模型等题，融合数学抽象、逻辑推理与数学建模，实现基础巩固与创新应用的梯度考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|集合、复数、立体几何、统计、概率、抛物线、排列组合、函数导数|单选注重基础，多选结合正态分布与独立性检验，考查数据观念| |填空题|3题15分|二项式定理、分段函数值域、双曲线与动态几何|动态双曲线问题融合几何直观与运算能力| |解答题|5题77分|数列证明与求和、空间几何线面关系、椭圆方程与直线斜率、函数单调性与零点、太空诱变概率模型|以太空诱变实验为情境设计概率题，体现数学建模；椭圆综合题考查几何直观与逻辑推理|

石家庄市第一中学2026下学期高二数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合A={x|x≥1},B={x|2-x<0}，则 A.[1,2] B.[1,2) C.(2,+∞) D.[2,+∞) 2．已知复数，则 A.10 B. C.10 D. 3．若一个圆柱的底面半径r与一个球的半径相等，且这两个几何体的体积相等，则该圆柱的高为 A. B.2r C. D.3r 4．对具有线性相关关系的变量x,y，测得一组数据如下表，根据表中数据，利用最小二乘法得到经验回归方程，据此模型预测当x=20时，y的估计值为 x 7 9 11 13 y 2 3 5 6 A.10 B.11 C.12 D.13 5．现要发行10000张彩票，其中中奖金额为5元的彩票1000张，10元的彩票500张，50元的彩票100张，100元的彩票50张，1000元的彩票10张，其余彩票均未中奖，若从这10000张彩票中随机选取1张，则这张彩票中奖金额的均值为 A.2 B. C.3 D.4 6．已知抛物线的焦点为F，点P在C上，过点P作C的准线的垂线，垂足为Q.若，则|PF|= A.2 B.3 C.4 D.8 7.以正五棱柱的顶点为顶点的三棱锥的个数是 A.210 B 190 C.195 D.180 8．若函数的最大值为-1，则m= A.ln2-1 B.2-ln2 C.1+ln2 D.1-ln2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.某校高二年级某次数学周测成绩，且P(X<80)=P(X>110).现随机抽取100名学生的成绩，统计两个变量：①变量A指是否坚持课前预习（“是”与“否”各50人）；②变量B指该次数学周测成绩是否在（80,110）内．整理2×2列联表，计算得.72,，则参考临界值： A.μ=95 B.P(X<60)=P(X>130) C．根据小概率值0.10的独立性检验，认为变量A与变量B不独立 D．根据小概率值0.05的独立性检验，认为变量A与变量B不独立 10.已知A(-2,-2),B(-2,6),C(4,-1)三点，点H在圆上运动，则的值可能为 A.64 B.72 C.84 D.85 11 在锐角ΔABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，，且，则 A. B.cos C<sin A C. D.bc的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.的展开式的第3项是 . 13．已知函数其中a>0且a≠1，若f(x)的值域是(0,+∞)，则a的取值范围是 14．设O为坐标原点，点，点，线段AB以每秒2个单位长度的速度向右水平移动，点A,B的对应点分别为.经过t秒后，点)在y轴的两侧，且的面积为，此时点恰好分别落在双曲线C：的左支、右支上，则t= ，C的离心率为 。 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.(13分） 在正项数列中， （1）证明：是等差数列. （2）记，数列的前n项和为，证明： 16.（15分） 如图，在四棱台中，平面ABCD，四边形ABCD为正方形，AA1为AC的中点. （1）证明：平面 （2）求直线与平面所成角的正切值. 17.（15分） 已知椭圆 C的左、右焦点分别为，点A是C上位于第一象限的点，，点B(0,-1)在C上. （1）求C的方程； （2）设M(-2,0),N(2,0)，直线1MA,NA的斜率分别为，求的取值范围； （3）设直线与C交于P,Q两点，线段PQ的中点为H，若BH⊥PQ，求k的值. 18.（17分） 已知函数 （1）当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程； （2）讨论f(x)的单调性； （3）若a>0，函数h(x)=f(x)-x有两个零点，求a的取值范围. 19.（17分） 某农科院针对高产抗病水稻开展了太空诱变筛选实验，所有实验相互独立，实验规则如下： 1．诱变强度量化：将种子的基因损伤修复效率对应为诱变强度等级（记为S)，等级范围为0至6． 2．初始状态：选取遗传稳定的“优等”种子，初始诱变强度等级S=3.. 3．每轮筛选：对种子进行太空辐射模拟和地面性状检测，达标（修复效率提升）则S增加1，不达标（修复效率下降）则S减少1． 4．终止条件：当S=6时，种子获得稳定有益突变（记为“实验成功”）；当S=0时，种子基因损伤不可逆（记为“实验失败”）. 5．概率设定：每轮筛选达标概率为，不达标概率为 记实验终止时的筛选轮次为X.对任意正整数n，定义：第n轮筛选后，S=4的概率为第n轮筛选后，S=2的概率为 （1）证明：X为奇数． （2）求P(X=5) （3）试问当n为奇数时，是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $高二数学参考答案 题序 1 2 5 6 9 10 11 12 13 14 答案 A A D ABC BCD BC 45.x8y2 85 【评分细则】 【1】第1~8题，凡与答案不符的均不得分. 【2】第9,10题，全部选对的得6分，有选错的不得分，每选对一个得2分；第11题，全部选对的 得6分，有选错的不得分，每选对一个得3分， 【3】第12,13题，其他结果均不得分 【4】第14题答对第一空给2分，答对第二空给3分，第一空的答案也可以写为4.5. 1.A【解析】本题考查集合的基本运算，考查数学运算的核心素养】 因为B={x|x>2},CRB={x|x≤2}，所以A∩(CRB)=[1,2]. 2.C【解析】本题考查复数的运算与模，考查数学运算的核心素养， 根据题意可得之1十之2=一6+8i,之1十之2|=√/36十64=10. 3.A【解析】本题考查圆柱的体积和球的体积，考查数学运算的核心素养. 设该圆柱的高为九，则2h=青，得=青 4.B【解析】本题考查经验回归方程，考查数学运算的核心素养 由题意可知工-7+9+11+13-10，y-2+3+5+6-4,所以4=0.7X10十ā，解得a=-3, 4 4 所以经验回归方程为y=0.7x一3，当x=20时，y=0.7×20一3=11. 5.C【解析】本题考查离散型随机变量的期望，考查数学运算的核心素养 500 限据题意可得1张彩票中奖金额的均值为5X0)十10X0000+50X0Q00十100☒ 50 10 10000+1000×10000-3. 6.C【解析】本题考查抛物线的定义与几何性质，考查直观想象与数学运算的核心素养， 由题意得F1,0设P()则Q(-1),F咬-(-1-苦，0)，序=(1-苦，-)因 为P戒.P市=8，所以(-1-)(1-)=6-1=8，解得y=12,所以P℉1=+1=4 7.D【解析】本题考查排列组合与空间几何体，考查逻辑推理与直观想象的核心素养， 正五棱柱共10个顶点，2个底面为正五边形，5条侧棱互相平行，四点共面中，出现底面对角 线（不含侧棱与侧棱平行）的共有10种情况，则以正五棱柱的顶点为顶点的三棱锥的个数为 C1。-C%-2Cg-10=180. 8.D【解析】本题考查利用导数分析函数的最值，考查逻辑推理与数学运算的核心素养。 【高二数学·参考答案第1页（共8页）】 fx)=lnx+x-e"的定义域为(0，十o),f(x)=是十1-e,易得f'(x)在(0，十∞) 上单调递减，当x→0时，f'(x)→+∞，当x→+∞时，f'(x)→一∞，所以存在x0∈(0， 十o∞)，使得f'(xo)=0,即】十1=em,则当x∈(0，xo)时，f'(x)>0,f(x)单调递增，当 x∈(xo,十∞)时，f'(x)<0,f(x)单调递减，所以f(x)mx=f(xo)=lnxo十x0一e。m= -1,即lnx,十x--0,易得函数g(a)=lnx十x-在0，十∞)上单调递增，且g1)- 0,所以x0=1,所以e-m=2,解得m=1-ln2. 9.ABC【解析】本题考查正态分布与独立性检验，考查逻辑推理的核心素养. 正态分布密度曲线关于直线x=μ对称，4=80110 2 =95,A正确.P(X<60)=P(X> 130),B正确.因为2.72>2.706，所以根据小概率值0.10的独立性检验，认为变量A与变量 B不独立，C正确，D错误. 10.BCD【解析】本题考查与圆相关的最值问题，考查直观想象与数学运算的核心素养. 设H(x,y),则|HA2+|HB12+|HC2=(x+2)2+(y+2)2+(x+2)2+(y-6)2+ (x-4)2+(y+1)2=3(x2+y2)-6y+65=3×4-6y+65=77-6y,因为y∈[-2,2]，所 以HA|2+|HB2+|HC2的取值范围为[65,89]. 11.BC【解析】本题考查正弦、余弦定理，考查逻辑推理与数学运算的核心素养 由元sin3A-6A≥h开，得sn3A≥0A-h6A设函数f)=Z-h,则fc)=1 π 1=1,当x∈(0,1)时，f'(x)<0,f(x)单调递减，当x∈(1，+∞)时，f'(x)>0,f(x) 单调递增，所以f(x)≥f)=1,则A-1n6A≥1，由sin3A≤1，得sin3A=64-1h6A π 1,解得A=,A错误 因为△ABC是锐角三角形，所以B=x一石-C∈(0，)且0<C<,所以5<C<受， cosC<c0s牙=sinA,B正确. 由正弦定理可得6=sinS=sin十B〕 sin B 2门B+号因为B为能角，所以号>停，即 01 √3b<2c,C正确. 由余弦定理可得16-6十2-26c·c0s晋≥26c一3c,所以6c<16(2+),当且仅当 b=c=2√6十2√2时，等号成立，此时符合△ABC为锐角三角形，D错误. 12.45x8y2【解析】本题考查二项式定理，考查数学运算的核心素养， (x一y)10的展开式的第3项是C0x8(-y)2=45x8y2. 【高二数学·参考答案第2页（共8页）】 18(0,3] 【解析】本题考查分段函数的值域，考查逻辑推理与数学运算的核心素养. 当≤-1时，f()=2-音-是≥2+2√(-)·(-)=3，当且仅当-芹=-，即 工=-一2时，等号成立，所以f(x)在（一©，一1上的值域为[3，+∞），所以。3， 0<a<1, 解得 0Ka<号 4.号：3【解桥本题考查双曲线的九何性质，考查逻辑推理与直观想象的核心素养 如图，作A1M⊥x轴，垂足为M,作B1N⊥x轴，垂足为N,当线段AB平移t秒后， A1(-11十2t,W6),B1(-2+2t,4V6),S△A,0B,=S梯形A1BM-S△AM0 54w-6,即7×9X5+4)×1-2X6-7x(-2+ A 2)X46=155,解得1-号此时A(-25,B(（7,45,则 9 [46 a26-1, a2=1 b 解得 所以C的离心率为/1+ 4996 62=2, a2621, 15.【解析】本题考查数列的通项与求和，考查数学运算的核心素养， 证明：(1)由a品+1-a=8am十16，得a品+1=(am十4)2， 2分 因为{an}为正项数列，所以an+1=an十4，即am+1一an=4,…4分 所以{an}是以13为首项，4为公差的等差数列. …5分 (2)由(1)可知，am=13+(n-1)×4=4n十9，… 7分 =1=1(。1 1 则b.a,9n4222m-27乃 9分 1 …11分 因为2十10，所以S.<合 …13分 【评分细则】 【1】第(1)问中，没有说明{am}为正项数列，直接得出am+1=an十4，扣1分. 【2】第(1)问中，结论没有说明{an}的首项和公差，不扣分 1 【3】第(2)间中，没有说明2m+1>0(或4m十2>0)，不扣分. 16.【解析】本题考查立体几何与空间向量，考查逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养. (1)证明：因为四边形ABCD是正方形，AB=6,所以AC=6√2，MC=3√2.…1分 因为四边形A1B1C1D1是正方形，A1B1=3,所以A1C1=32,所以A1C1=MC,…2分 【高二数学·参考答案第3页（共8页）】 又因为A1C1MC,所以四边形A1C1CM为平行四边形，所以A1MC1C, …4分 因为A1M中平面C1CDD1,CC1C平面C1CDD1,… 5分 所以A1M/平面C1CDD1.…6分 (2)解：以A为坐标原点，AB,AD,AA1所在直线分别为x,y,之 轴建立空间直角坐标系，则A1(0,0,6),C1(3,3,6),B1(3,0,6), B D1(0,3,6),C(6,6,0),所以A1C1=(3,3,0),B1D1=(-3,3, 0),B1C=(3,6,-6).…9分 设平面BCD1的法向量为m=(x,y,之)，则 m·B1D1=-3x十3y=0, 令x=2,则m=(2,2,3).… m·B1C=3x+6y-6z=0, …11分 设直线AC与平面BCD1所成的角为0，则sin0=|cos〈A1C,m〉|= 6+6 4 ……13分 9+9X√/4+4+9√/34 4 2√2 故直线A1C1与平面B1CD1所成角的正切值为 …15分 34-42 3· 【评分细则】 【1】第(1)问还可以这样解答： 证明：取CD的中点H,连接MH,D1H 易得MH是△ACD的中位线，所以MH∥AD.…1分 根据棱台的性质可得A1D1∥AD,所以A1D1MH,…2分 因为AB=2A1B1=6,所以AD=2A1D1,则MH=A1D1,所以四边形A1D1HM为平行四 边形，所以A1M/D1H,…4分 因为A1M中平面C1CDD1,D1HC平面C1CDD1,…5分 所以A1M/平面C1CDD1.…6分 【2】第(2)问中，平面B1CD1的法向量不唯一，只要求出的法向量是与m=(2,2,3)共线的非 零向量均可 【3】第(2)问还可以这样解答： 设A1C1与BD1交于点P,连接PC.过点A作AK⊥PC,交PC 于K. 因为四边形ABCD为正方形，所以四边形A1B1C1D1为正方形， 所以A1C1⊥B1D. 因为AA1⊥平面ABCD,所以AA1⊥平面A1B1C1D1,则AA1⊥ B B1D1.因为A1C1∩AA1=A1, 所以B1D1⊥平面A1C1CA.… …9分 因为AKC平面A1C1CA,所以B1D1⊥AK,因为B1D1∩PC=P,所以AK⊥平面 【高二数学·参考答案第4页（共8页）】 B1CD1,… …10分 所以∠ACK即为直线AC与平面B,CD1所成的角，因为A1C1∥AC,所以∠ACK即为直 线A1C1与平面B1CD1所成的角. …11分 连接AP,则AP-9,AC=62,CP-3/ 2 2 …12分 72+1 2 所以cos∠ACK= 2x3/34 13分 X6√2 w17 所以sin☑ACK=V1-号-号，放直线AC,与平面B,CD,所成角的正切值为 9_22 3 ……15分 17.【解析】本题考查椭圆与直线的综合，考查逻辑推理与数学运算的核心素养. 解：(1)由题意得2a=2√3，即a=√3， …1分 因为点B(0,-1)在C上，所以b=1, 2分 做C的方程为号2=1。 3分 (2)设A(m,n)(0n<1),… …4分 则g十n2=1,m23=3m2,k写m干22号元”2u 5分 .n-n2 n2 n2 所以k1k2一m十2m-2m2-43-3n2-43n2学 …6分 因为0<n<1,所以3+是>4，则0<<号 +4,所以，：的取值范围是（一40小 8分 (设P9.Q.则H产，). y=x+3 由 得(1+3)z+90e+ =0，… …9分 3+y2-1 9k 所以x1十x2= 1+3k2, …10分 4=81k2-15(1+3k2)=36k2-15>0,解得k2>号2， ……11分 3 3 y+y2+1 kx1+2十kx2+ 2 2 2+1 则kH= =k十 -=-5+6k2 …13分 x1十x2 x1十x2 x1十x2 9k 2 2 【高二数学·参考答案第5页（共8页）】 因为BH⊥PQ,所以k·km=k,(_5+6 =-1,…14分 解得及=士写满足“>号所以6=士±5 5 15分 【评分细则】 第(1)问中，C的方程也可以写成x2+3y2=3. 18.【解析】本题考查导数的几何意义、函数的单调性及零点，考查逻辑推理与数学运算的核心素养. 解：1当a=1时，f)=-n,f)=2x子 …分 所以f′(1)=2-1=1，f(1)=1,… 2分 则曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y一1=x一1，即y=x,…4分 (2)f(x)的定义域为(0，+∞)，f'(x)=2z-&=2x2-a x …5分 当a≤0时，f'(x)>0恒成立，f(x)在(0，十∞)上单调递增；…6分 当>0时，由f'(x)<0,得0<x<√？，由fx)>0,得x>√2， a 所以f(x)在(0，√号)上单调递减，在（√号，十o∞）上单调递增.…7分 综上，当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，十∞)，无单调递减区间；当a>0时，f(x)的 单调递减区间为(0，√受)，单调递增区间为（√受，十∞）. …8分 (3)由题意得(x)=x2-x-alnx,h'(x)=2z-1-&-2二x-a.因为a>0,所以关 于x的方程2x2一x一a=0恰有一个正根和一个负根，因为h(x)的定义域为(0，+∞)，所 以设关于x的方程2x2一x一a=0的正根为x0,则2x一xo一a=0,得a=2x一xo>0,解 得x0>2: …9分 当x∈(0，xo)时，2x2-x-a<0,h'(x)<0,h(x)单调递减；当x∈(x0,十∞)时，2x2-x- a>0,h'(x)>0,h(x)单调递增.因为h(x)有两个零点，所以h(xo)=x-x。-aln xo= x6-x0-(2x-x0)lnx0<0.…10分 因为a=2后0，所以兰。h<0,脚2名号n40 …11分 设函数a)要号h>》则）2-二》少 x(2x-1)2 当x∈(，1)时，'(x)>0,(x)单调递增；当x∈(1，+o∞)时4'(x)0,(x)单调递减. 因为r(1)=0,所以由u(x)<0,得x,∈(3,1)U(1,+oo）.…12分 当x∈（分，1）时，a=2x8-x∈(0,1)，因为h(1)=0,所以h(x)在(x0,十∞)上有唯-零 【高二数学·参考答案第6页（共8页）】 点1，因为0<=e<ghe)=-t-a(-a）=(-2)-寻+a2+1>0, 所以]x1∈(t,xo),h(x1)=0,所以h(x)在(0，xo)上有唯一零点x1, 此时h(x)有两个零点x1,1,符合题意。…13分 当x。∈(1，十∞)时，a=2x-xo>1,因为h(1)=0,所以h(x)在(0，xo)上有唯一零点1， 设函数w(x)=ex-1-x(x>1),则w(x)=e2-1-1>0,w(x)单调递增，w(x)>w(1)=0, 且2x6-x0-x0=2x6-2x0=2xo(x0-1)>0,所以m=e4-1>a=2x6-xo>x0>1.. ……14分 由函数y=x2-x在(1，+∞)上单调递增，得h(m)=m2-m一a(a-1)=(m2-m)一 (a2-a)>0, …15分 所以3x2∈（xo,m),h(x2)=0,所以h(x)在(xo,十∞)上有唯一零点x2, 此时h(x)有两个零点1，x2,符合题意.…16分 故a的取值范围为(0,1)U(1,十∞).…17分 【评分细则】 【1】第(1)问中，切线方程还可以写成x一y=0. 【2)第(2)间中，f'(x)=2x-未写成2二a, ,不扣分 【3】第(3)问还可以这样解答： 因为h(1)=0,所以1为h(x)的一个零点.…9分 当x≠1时，由h(x)=0,得关于x的方程a=乙有唯一实数根. …10分 设(c)n则E)2xnE十设()=(2x-Dnx-x+ (In x)2 则(x)=2lnz一+1，易得0（(x)在(0,1)上单调递增，在L,十o∞)上单调递增， 11分 当x∈(0,1)时，v'(x)<v'(1)=0,v(x)单调递减；当x∈(1，十∞)时，v'(x)>w(1)=0, (x)单调递增.…12分 所以当x∈(0,1)时，v(x)>0(1)=0,k'(x)>0,k(x)单调递增；…13分 当x∈(1，十∞)时，v(x)>(1)=0,k'(x)>0,k(x)单调递增.…14分 当x0时，k(x)0;当x<1且x时，imn产 2x-1=1; -=im x2一x=lim 当x>1且x1时，lim In x= 21=1;当x→+oo时，k(x)→十∞.…16分 1 综上，a的取值范围为(0,1)U(1,十∞).…17分 19.【解析】本题考查概率的实际应用，考查逻辑推理与数学运算的核心素养. (1)证明：设实验终止时种子经历了k次达标，m次不达标，X=k十m,…1分 【高二数学·参考答案第7页（共8页）】 则3+k-m=0或3十k一m=6, 3分 则k=m-3或k=m十3，所以X=2m-3或X=2m十3， ................................ 4分 因为m为整数，所以X为奇数.…5分 (k十m=5, k=1,。k=4, (2)解：由 得加=4或 m=1, …7分 3十k-m=0或3+k-m=6, 所以P(x=)-c×()××(》+C××()'×()- 63 …10分 (3)解：当m为奇数时，是定值，定值为3. …11分 理由如下： -Xqn, 3 9 41 pa+2=8n十169n, 依题意可得 即 …13分 gn=C××4×.+c×××g, 1 1 .3 1 3 9+2=i6p.+89ay 3 所以p+2一3g+2=6(p,-3g,.15分 3 ☒为力1=，01=子，所以1一3g1=0,…16分 所以.一39，=0，即号=3，所以当0为奇数时，号是定值，定值为3.…17分 a. 【评分细则】 【1】第(1)问中，得出X=2m-3或X=2m十3后，若未说明m为整数或2m为偶数，扣 1分. 【2】若第(3)问中，学生得出p+23ga+:=p。一3g)后，写出“当n为奇数时，{p,一3q.} 是等比数列”，扣2分若将定值错写为品，扣2分：若将定值错写为号，扣1分。 ▣▣ 【高二数学·参考答案第8页（共8页）】