浙江省缙云中学等四校2025-2026学年高一下学期5月月考数学试卷

2025学年第二学期高一年级5月月考 数学学科试题卷 命题人：吕伟庆 考生须知： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟： 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号（填涂）： 3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效： 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的， 1.已知复数z满足i=2+i,则z的虚部为() A.-2 B.-1 C.1 D.2 2.某地区运动会在甲、乙、丙三地共同举办，其中甲、乙、丙三地分别承担10,20,30个不同 的比赛项目，现采用分层随机抽样的方式抽取6个项目检查赛前准备情况，则丙地应抽取比赛项 目的个数为() A.1 B.2 C.3 D.6 1 3.已知sma=3,且ae(2 则cosa=() A.-2V2 B. 2W2 c.-3 D. 3 3 3 4.已知向量a=(-2,3),b=(x,-6),若a⊥b,则x=() A.4 B.-4 C.9 D.-9 5.一圆台的上底面半径为2，下底面半径为3，母线长为8，则该圆台的体积为() A.185元 B.19√7元 C.19v5元 D.18√3π 6.若直线1不平行于平面，则下列结论正确的是() A.平面α内的所有直线都与直线l异面B.平面内不存在与直线I平行的直线 C.平面α内的所有直线都与直线l相交D.直线l与平面a一定有公共点 7.在△4BC中，内角A,B,c所对的边分别为a,b,c,已知C=,sinB=3sin4,若△4BC 的面积为6√3，则c=() A.22 B.2√26 C.214 D.4万 高一四校数学试题卷第1页共4页 8.如图，边长都为1且互相垂直的正方形ABCD和ABEF的对角线AC,BF上分别有一动点M, N,满足MC=NB,则四面体M-ABN体积的最大值为() D B.2 1 c. 1 D27 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求的.全部选对得6分，部分选对得部分，有选错得0分. 9.下列等式正确的是() A.cos80°cos20°-sin80°sim20=cos60°B.sim(a+45)sina+cos(a+45)cosa=sim45 C.sin+ 1 -cos a+ sin a 2 2 D.cos76°= 2c0s46°、1 sin 46 6 10.下列选项中，正确的是（) A.若向量a,i满足=吲，则a=6或a=b B.若非零向量AB与AC相等，则B,C重合 C.在平行四边形ABCD中，AB=DC D.若OM与ON是共线向量，且OM=2O=2,则=1 11.在四边形ABCD中，AD//BC,AD=AB,∠BCD=45°，∠BAD=90°，将△ABD沿BD折起，使 平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥A-BCD,则在三棱锥A-BCD中，下列结论正确的有C) A.CD⊥AB B.CDL BD C.平面ABC⊥平面BDC D.平面ADC⊥平面ABD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知函数f(y)=coc+3 .若对任意实数x都有f(a)sf(x)sf(b),则a-b的最小值 为 13.一艘船从河岸边出发向河对岸航行.已知船的速度的大小为=10km/h,水流速度的大 小为=3m/h,那么当航程最短时船实际航行的速度大小为 km/h. 14.已知复数52满足=5=5，且名-32=3-4i,则5+= 高一四校数学试题卷第2页共4页 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤 15.(本小题共13分)已知复数z=2+ai(a∈R)在复平面内对应的点位于第一象限，且满足二·三=5. (1)求a; (2)若z是关于x的方程px2+2x+q=0(p,q∈R)的一个复数根，求P·q的值. 16.(本小题共15分)已知函数f(x)=2 sinxcosx-2W3cos2x+V3 (I)求∫(x)的最小正周期和对称中心： (2)求f(x)在区间[0，π]内的单调递增区间. 17.(本小题共15分)己知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为4，b,c,设向量 ml=(sinA,b+c）,n=(sinC-sinB,a+b),且m/ (1)求角C; (2)若b=4,△ABC的面积为2W3,D为BC边的中点，求AD的长. 高一四校数学试题卷第3页共4页 18.(本小题共17分)如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PA⊥底面ABCD,M,N分别为CD, PD的中点，AC与BM交于点E,AB=62,AD=6,K为PA上一点，PK=PA. 3 (1)证明：KE/MN; (2)求证：平面PAC⊥平面BMNK; 3)若2A号，求BK与平面PAC所成角的正弦值。 19.(本小题共17分)如图，在三棱锥A-BCD中，DA=6,DB=DC=12,∠ADB=∠ADC=∠BDC=60°， 点M,N分别是棱DB,DC上的动点（不含端点）. (1)若DB⊥平面AMN, ①求MN的长度； ②求直线AC与平面AN所成角的正弦值； D (②若三校锥D-AW的内切球半径，-V M 4’ B 求MN长度的最小值. 高一四校数学试题卷第4页共4页 ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 1 6 ． (本题满分1 5 分) ) ( 202 5 学年第 二 学期 5月四校 联考 高 一 年级 数学 学科 答题纸 ) ( 四 、 解答题: 本大题共 5 小题，共7 7 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 1 5 . （ 本题满分1 3 分） ) ( 缺 考 [ ] ) ( 学 校 班 级 姓 名 考场号 座位号 ) ( ) 准考证号（无条形码的网上阅卷填涂） [ 0 ] [ 0 ] [ 0 ] [ 0 ] [ 0 ] [ 0 ] [ 0 ] [ 0 ] [ 1 ] [ 1 ] [ 1 ] [ 1 ] [ 1 ] [ 1 ] [ 1 ] [ 1 ] [ 2 ] [ 2 ] [ 2 ] [ 2 ] [ 2 ] [ 2 ] [ 2 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 3 ] [ 3 ] [ 3 ] [ 3 ] [ 3 ] [ 3 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 4 ] [ 4 ] [ 4 ] [ 4 ] [ 4 ] [ 4 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 5 ] [ 5 ] [ 5 ] [ 5 ] [ 5 ] [ 5 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 6 ] [ 6 ] [ 6 ] [ 6 ] [ 6 ] [ 6 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 7 ] [ 7 ] [ 7 ] [ 7 ] [ 7 ] [ 7 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 8 ] [ 8 ] [ 8 ] [ 8 ] [ 8 ] [ 8 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 9 ] [ 9 ] [ 9 ] [ 9 ] [ 9 ] [ 9 ] [ 9 ] ( 贴条形码区域 ) ( 正确填涂 错误填涂 填涂样例 1. 根据阅卷方式填写 2. 选择题用 2B 铅笔 填非选择题用 0.5 毫 米及以上黑笔书写 3. 请在区域内作答 注意事项 ) ( 学校　 　　　　　　　　　　 　班级　 　　　　　　　　　　　 　姓名　 　　　　　　　　　　 　准考证号　 　　　　　　　　　　　　 ) 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分 1 ( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 4 ( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 7 ( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 2 ( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 5 ( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 8 ( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 3 ( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 6 ( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分 9 ( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 10 ( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 11 ( A ) ( B ) ( C ) ( D ) ( 三 、 填空题：本大题共 3 小题，每 小 题5分，共 1 5 分 1 2 . 1 3 . 1 4 . ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ) ( 1 9 ． (本题满分1 7 分) ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 1 8 ． (本题满分1 7 分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ) ( 1 7 ． (本题满分1 5 分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ) ( Q ) ( P ) 高一四校数学答题纸　第1页（共2页） 高一四校数学答题纸　第2页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $2025学年第二学期高一年级5月月考 数学学科参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 答案 A C A D B D B C BCD BC 题号 11 12 13 14 答案 ABD 1 91 5w5 8.解过M作MO/1BC,交AB于点O,连接ON. D 因为AC=BF=√2，CM=BN,所以MA=FN 所以CM_BOBN MOA,所以ON11AR. 又BC⊥AB,AB⊥AF,所以OM⊥AB,ON⊥AB 设CaM=N=a,0ai.则oM-(5-a小9，oN-5 a 所85aw4号- -a, 4 又平面ABCD⊥平面ABEF,平面ABCD∩平面ABEF=AB, OMC平面ABCD,则OM⊥平面ABEF,所以OM为三棱锥M-ABN的高， 所以m9a5-a5网 2 当a号，儿m取得技大，为到动 2 故选：C D 11.解对于B,如图， 因为AD/BC,AD=AB,BAD=90°， B 所以∠ABD=∠ADB=45°，又因为∠BCD=45°，AD1/BC, 所以∠ADC=135°，所以∠BDC=∠ADC-∠ADB=135°-45°=90°， 所以CD⊥BD,故B正确； 对于A,由B选项知CD⊥BD, 高一四校数学参考答案第1页共6页 又因为平面ABD⊥平面BCD,CDC平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD, 所以CD⊥平面ABD, 因为ABC平面ABD,所以CD⊥AB,故A正确： 对于C,由选项A知，CD⊥平面ABD, 因为CDC平面ADC,所以平面ADC⊥平面ABD,故C正确： 对于D,如图，过点A作AE⊥BD,垂足为E, 因为平面ABD⊥平面BCD,AEC平面ABD,平面ABD∩平面BCD=BD, 所以AE⊥平面BCD,显然AE文平面ABC, 所以平面ABC与平面BDC不垂直，故D错误 故选：ABC. 14.解：设51=a+bi,三2=c+di(ab,c,d∈R), 又l=b=5,所以Va2+b=5,NC2+dP=5, 又5-3=a-c+(b-d)i=3-4i,所以a-c=3,b-d=4, 所以(a-c)}2+(b-d)2=2-2ac+c2+b2-2bd+d2=50-2ac-2bd=32+(-4)2, 所以2ac+2bd=25, 所以片+5=a+c+b+d)i=Va+c}'+(仍+d)}2=Va2+2ac+e2+b2+2bd+d2=53. 故答案为：55 15.解(1)由题意知复数z在复平面内对应的点为Z(2,), 因为点Z在第一象限，所以a>0, 由z.z=5,得(2+i)(2-ai)=5, 即4+2=5，则a2=1,所以a=1.---- -6分 (2)由(1)知=2+i,由z是关于x的方程px+2x+q=0的一个复数根，可知z是 高一四校数学参考答案第2页共6页 px2+2x+q=0的另一个复数根， z=9=5 1 卫=一 因此 ,解得 2+=、 2 5 二=4 q=- 2 ----13分 16.解1)函数f6)-=2 2n8Y-26cosx+6-8n2x-V5cos2x=2sn2x-写 所以f(内)的最小正周期T==元， 2 令2x音ac之.解待：=后经=2列小.此时/e)0. 防对修中心为传经0=2：- ---8分 (2)令-2s2x于≤5+2m(keZ),解得-+msxs亚+a(keZ), 3-2 12 12 了形单调道始区间为音+红音如=列： 当k=0时，f(x)的单调递增区间为 _π5π 12'12 当k=1时，f(x)的单调递增区间为 11π17π 12’12 ∴f(x)在区间[0，π]内单调递增区间 ---15分 17.解(1)因为i=(sinA,b+c),i=(sinC-sinB,a+b),且m/1i, 所以(a+b)sinA-(b+c)(sinC-sinB)=0, 由正弦定理可得：(a+b)a-(b+c)(c-b)=0,即-ab=a2+b2-c2,由余弦定理 得a+-c=2acaC,所以cc=-号又Ce(0,所以c- -7分 3 (2)因为b=4C=27。由三角形面积公式得：Sc=2W5=,×a×5 3 ,解得a=2, 因为D为BC边的中点，所以CD=1,在△CAD中，AD2=AC2+CD2-2AC.CD.cosc, 即AD2=16+1-2×4×1× 21,所以40=i -15分 高一四校数学参考答案第3页共6页 18.解(1)己知底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD,M,N分别为CD,PD的中点，则 CM=-CD=-AB=32, 21 2 在△ABE和△CME中，AB/ICM,则三个内角均对应相等，故△ABE~ACMB, 相似比为AB 6W2 2 C==2,=2，即AB=31C) EC 已知PK-PA,则4K-A,由平行线分线段成比例定理可行证PC. 3 又M,N分别为CD,PD的中点，∴NIPC,.KEMN. -5分 (2)在矩形ABCD中，AB=6√2，AD=6,CM=32, 4C=VAB+BC=62+36=63,则AB=24C=4W5, BM=V√BC2+CM=36+32=3W6,则BE=2BM=2V6, :AE2+BE=48+24=72=AB2=(62,AE1BE,即AC1BM, ,PA⊥底面ABCD,BMC底面ABCD,故PA⊥BM, ·.·PA∩AC=A,且PA,ACC平面PAC,.BM⊥平面PAC, 又，BMC平面BMNK,∴.平面PAC⊥平面BMNK.-------------------11分 (3).BM⊥平面PAC,即BE⊥平面PAC, ·∠BKE即为BK与平面PAC所成的角， a=3, 由2)知，=8M=26,已知4-号，PR- 3 -k=A3, 3 .BK=+4K6)32=9. 在R△BEK中，sin∠BK忍=BE-2y6 -17分 BK 9 19.解(1)解：①由DB⊥平面AN,因为AMc平面AMN,可得DB⊥AM, 又因为∠ADB=60°，且AD=6,所以DM=3, 因为MNc平面AN,可得DB⊥N, 又因为∠BDC=60°且DM=3,所以MN=DM.tan60°=3V3,且DN=6.------4分 高一四校数学参考答案第4页共6页 ②由①知：DN=6,因为DC=12,所以N为DC的中点， 所以D到平面AN的距离等于点C到平面AN的距离， 又由DB⊥平面AMN,所以D到平面AMN的距离为d=DM=3, 在△ADC中，由余弦定理得AC2=AD+DC2-2AD·DC cos∠ADC, 即AC=√6+122-2×6×12c0s60°=6V3, 设AC与平面AW所成的角为8，则sin6=d=3=5 AC656 ---9分 (2)解：因为∠ADB=∠ADC=∠BDC=60°，设点A在平面BCD的射影为A', 则点A在∠BDC的角平分线上，过点A'作AE⊥BD,垂足为E,连接AE, 因为AA⊥平面BCD,BDC平面BCD,所以BD⊥AA, 又因为AE∩AA=A,且A'E,AA'C平面AAE,所以BDI平面AAE, 因为AEC平面AAE,所以BD⊥AE, 在直角△ADE中，可得DE=DAc0S∠ADE=6×cOS60=3, DE 3 在直角△A'DE中，A'D=一 =2√3， coS∠A'DE cos30 在直角aMAD中，可得cos∠ADA=D4_23-V5 DA 6 3 os∠AD=3,则sin∠ADA'=M-COSD4V6 31 所以H=ADsina∠ADA'=6x626. 3 设DM=xDN=,可得Sn5 -33 XVS.ADM -36 2 .S.ADN= 2, 在△ADM中，由余弦定理得M=DMP+AD-2DM·ADcos60°=x2+36-6x, 同理可得：AN2=y2+36-6y,N2=x2+y2-y, 设∠MAN=B,可得 S.AMN= 49-aM0-cs可-w:4wr-(r+x-于 代入整理得45a0》=27x+)-72y+子y2-36x+0, 3 高一四校数学参考答案第5页共6页 由aw=aew-S.pwAd5 3 4w×2V6, 1 2+94a)√6 4 m以g925-5停w:9, 344 2 2 y+Sau 可得5o15w3535 4 2- 2 将其代入4S=2703-72w2-3+0 整理得3y-5(c+)+6=0,即3y=5(x+)-6 又由MW2=x2+y-2yc0s60°=x2+y2-y=(c+y)2-3.9y=(c+)}-5(x+)+6, 因为≤-少，所以-5+》-6+ 4 3 4 即30x+-20x+)+24≥0.解得x+y225+V⑦或+y≤26（合去， 3 3 当且仅当x=y 5+厅时，等号成立， 3 此时N取得最小值，可得△DW为等边三角形，即MN的最小值5+V -------17分 3 D B 高一四校数学参考答案第6页共6页