2026年广东省深圳市北京师范大学南山附属学校中考数学二模试题

2025-2026学年第二学期期中学业质量检测九年级数学试卷答案 一.选择题（共8小题，每题3分，共24分） 2 3 5 6 D B 二.填空题（共5小题，每题3分，共15分） 20 9.x≠2 10.120-40v5 11.77.8 12. 13. 2v7 7 三.解答题（共7小题，第14题5分，第15题7分，第16题10分，第17题8分，第18 题9分，第19题11分，第20题11分) 14.【解答】解：原式=1-2x号+反-14… …4分 =1-V2+V2-1+4 =4。… …5分 15.【答案】(1)①… …1分 加括号时，括号内的第二项没有变号； …2分 正确的解答过程如下所示： x2 1-x+1 x(x-1) =2-c-10-1) x-1 x2-x2+2x-1 x-1 =2x-1 x-1: …5分 (2)当2x-1 =3时， 2X-1 解得x=2, 经检验，x=2是原分式方程的解， 即若代入求值后的计算结果为3，题目中被墨水遮住的x的值为2.…7分 16.【答案】（1)抽样调查.… …1分 扇形统计图 …2分 （2)4.5… …4分 4.45… …6分 (3)175人… …8分 (4)答案不唯一，合理即可.…10分 17.【答案】解：(1)设甲型机器人的单价是x万元，乙型机器人的单价是y万元， 依超意，6二1识 解得=子 答：甲型机器人的单价是4万元，乙型机器人的单价是3万元.…4分 (2)已知1台甲型和1台乙型机器人每天服务的客人数量分别是200人和150人，该公 司计划用不超过22万元的价格购买6台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人2 台， 设购买甲型机器人m台， m≥2， 依题意，得 4m+3(6-m)≤22 解得2≤m≤4. 设6台机器人每天服务客人的人数为w, 则w=200m+150(6-m)=50m+900. .50>0, ∴.w随m的增大而增大， ∴.当m=4时，w取得最大值，此时w=50×4+900=1100, .购买甲型机器人4台，乙型机器人2台时，才能使每天服务的客人数量最大 8分 18.【答案】解：(1)如图所示 3分 (2)理由：连接0Q, 由作图知，OP是⊙C的直径， ∴.∠0QP=90°， ,0Q是⊙0的半径， ∴.PQ是⊙0切线： … …6分 (3)连接OD,由(2)知，∠0QP=90°， .0Q=3,0P=9, ∴.PQ=√0P2-PQ2=V92-32=6V2, 由作图知，直线AB是OP的垂直平分线， ∴Cp=0P=45, 在Rt△DCP和Rt△OQP中， ,tan∠DCP=tan∠OPQ, ∴.CD:CP=OQ:PQ, .CD:4.5=3:6V2, ∴CD=92 81 …9分 19.【答案】解：(1)①2 …2分 ②3或-3；…4分 (2)由条件可知在a≤x≤b时，反比例函数随x的增大而减小， “最大值肌=会最小值m=号 六n-m-8-君=2， ab :P(D-@-k(b-a). ab 20巴-k6-0k=品 ab ,函数是“p-拉伸函数”，即k=p, p=品 ∴.ab=1. 又，a+b=V2028=V4×169×3=26V3, ∴a2+b2=(a+b)2-2ab=(26V3)2-2=2028-2=2026.…7分 (3)二次函数y=-2x2+4dx+2+2d,开口向下， 4d 对称轴为r=-2x=d,3（-1)=4, ..k =n-m 4Γ 分情况讨论： 当d<-1时，对称轴在-1≤x≤3的左侧，在-1≤x≤3内函数y随x的增大而减小， .n-m=-2×（-1)2+4d(-1)++2d-（-2X32+4d×3+d2+2d)=-16d+16, .k=-4d+4, 又d<-1, .k>8: 当-1≤d≤3时，对称轴在-1≤x≤3内，最大值在顶点x=d处，ymax=3d2+2d, 若·1ES1,受小值在3.利k@,范国为2Sk8 若1<d≤3，最小值在=-1，得k=+,范围为2<k≤8 2 .-1≤d≤3时，2≤k≤8： 当d>3时，对称轴在-1≤x≤3右侧，在-1≤x≤3内函数y随x的增大而增大， .∴.n-m=16d-16, ..k=4d-4, 又.d>3, .k>8. 综上，合并所有情况得k≥2. …11分 20.【答案】解：（1)32；…3分 (2)延长FE、CB交于点M,延长EF、CD交于点N, E G B :△BEF为其“中直三角形”， ∴.△BEM≌△AEF(ASA),△AEF≌△DNF(ASA), ..BM=AF=DF,BE=AE=DN, ,四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC,BC=AD,AB=CD, .CM-BC+BM-AD+BM-3AF,CN-CD+DN-AB+DN-3DN, :4c=G-A01 CG -MG-CM-3 .AG=1,FG=5, ∴.CG=3,MG=35, .'EM=EF FN=2V5, 在Rt△CFG中，CG2=CF2+FG2, ∴.CF=2, 在Rt△CFN中，CW2=CF2+FW2, ∴.CN=2V6, :CD-号CN=号×2v6-专6， AB=CD=46 3 …8分 (3)①△ABC是平行四边形CDFE的“中直三角形”， 作BH⊥DF,交DF的延长线于点H,作CG⊥DF于G, H F AG D E ∴.∠H=∠G=90°， ,四边形CDFE是平行四边形， .∠D=∠BFH, ∴.△CDG∽△BFH, DG CG CD CD EF BE =2, ∴.设FH=x,BH=y,则DG=2x,CG=2y, .△ACG∽△BAH, AGc64C-昌 ”BH-AH-AB AG-子BH-y,AH-专CG-, 3 ∴AF=AH-FH=景-，AD=DG+AG=2x+y, AF=AD, 3 2yx=2x+年☑ x= 23 6y, ∴D-景-x-号y-元y元y 23 73 ·BF=B2+F原=y2+层y)2= 23 573 36y, 2AD AD V73 n 2BF BF 5N73y 5 36 ②设FH=x,CH=y,则DG=2x,BG=2y, H A G D C 内 ,△ABG∽△CAH, AG BG AB 4 CH -AH-AC-3 AG=专CH=专，AH=BG= ∴A=AH-FH-是-x,AD=AG+DG-3+2x, AF=AD 3 4 2y-x=3)+2 .y=18x, ∴A0=专×18x+2x=26x,CF=VF+Cm=Vx2+a80=5VBx, :=26x 2V13 n=5V13x=5 综上所述：”-V页2v13 或 n=5 5北京师范大学南山附属学校初中部 2025-2026学年第二学期期中学业质量监测九年级数学试卷 命题人：周智辉 审题人：何新华 【时间：90分钟 总分：100分】 一.选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1.现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性.下列美术字是轴对 称图形的是() A.梦 B.想 c成 D.真 2.2026的相反数是() 1 1 A.-2026 B.2026 C. D. 2026 2026 3.宋·苏轼《赤壁赋》：“寄蜉蝣于天地，渺沧海之一粟.”比喻非常渺小，据测量，一粒粟的 重量大约为0.000005千克，用科学记数法表示一粒粟的重量约为() A.0.5×105千克B.5×106千克 C.5×106千克 D.5×105千克 4.下列计算正确的是() A.adf÷a=a2 B.(a2)2=a2+4 C.(a)2=a10 D.ata=a 5.下面是“作一个角使其等于∠AOB”的尺规作图方法， (1)如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA,OB于点C,D: (2)作射线O′A',以点O'为圆心，OC长为半径画弧， B B 交O'A'于点C;以点C'为圆心，CD长为半径画弧，两 弧交于点D': (3)过点D'作射线O'B',则∠A'O'B'=∠AOB. 上述方法通过判定△C'O'D'≌△COD得到∠A'O'B'=∠AOB,其中判定 △C'O'D'≌△COD的依据是() A.三边分别相等的两个三角形全等B.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 第1页共6页 6.小明有两根长度分别为4c和7cm的木棒，他想钉一个三角形的木框.现在有4根木棒供 他选择，其长度分别为3cm、6cm、7c、12cm.小明随手拿了一根，恰好能够组成一个三 角形的概率为() A.月 B.月 C. D.1 7.某型号手机原来每部售价为2899元，经过连续两次降价后，该手机每部售价为2349元， 设平均每次降价的百分率为x,根据题意，所列方程正确的是() A.2899x2=2349 B.2899(1-x2)=2349 C.2899(1-x)3=2349 D.2899(1-2x)=2349 8.如图①，在正方形ABCD中，点M是AB的中点，设DN=x,AN+W=y.已知y与x之 间的函数图象如图②所示，点E(,2V5)是图象上的最低点， 那么正方形的边长的值为() A.2 B.4 C.22 D.2V5 图① 图② 二.填空题（共5小题，每题3分，共15分） 9.若分式+2有意义，则x的取值范围是 x-2 10.《哪吒之魔童闹海》上映后火爆全球，截至目前全球票房已破159.49亿.哪吒的可爱形象 被众人所喜爱，而其各部分结构的长度设计都与黄金分割有关，如图，点B为AC的黄金 分割点(BC>AB),已知哪吒在剧中的身高AC设定为80c,则其头部的长度AB 是」 11.如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测“步云阁”的高度，他调整自己的位置，设法 使斜边DF保持水平，边DE与点B在同一直线上.己知直角三角纸板中DE=18c,EF=12c, 测得眼睛D离地面的高度为1.8，他与“步云阁”的水平距离CD为114m,则“步云阁”的 高度AB是 n. 图1 图2 步云阁 第10题 第11题 第2页共6页 12.将一块含30°角的直角三角板ABC按如图所示摆放在平面直角坐标系中，直角顶点C在y 轴上，反比例函数y=(x>0)的图象恰好经过点D,且AD=2BD,若∠OBC=60°， SA4BC=12,则k的值为 D OB 第12题 第13题 13.如图，一张矩形纸片ABCD中，BC =m(m为常数).将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使 B 点A落在BC边上的点H处，点D的对应点为点M,CD与M交于点P.当点H落在BC 的中点时，且CP-1 CD3’则m= 三.解答题（共7小题，第14题5分，第15题7分，第16题10分，第17题8分，第18题9分，第 19题11分，第20题11分) 14.计算：（π-2026）°-2cos45°+1-V2+()2. 15.观察下面习题的解答过程. 题日：先化简，再求值：兰-x+1,其中x 解：原式-兰-c+1)@ =足-+c=山② x-1 x-1 x2x2-1 .③ x-1 x-1 =1④ x-1 (1)解答过程中开始出现错误的步骤是 (填序号)，这一步错误的原因 是 ,请写出正确的化简过程： (2)若代入求值后的计算结果为3，求题目中被墨水遮住的x的值. 第3页共6页 16.根据以下调查报告解决问题： 调查主题 本校九年级学生运动健康情况调查 背景介绍 某学习小组为了解本校九年级学生的运动健康状况，随机选取了该年 级部分学生进行每周运动时长数据收集 调查结果 调查学生的每周运动时长频数分布表 每周运动时长 频数 调查学生的每周运动时长频数分布图 30 0≤x<1 6 20 1≤x<2 12 10 2≤x<3 17 0≤x<11≤x<22≤x<33≤x<44≤x<55≤x<6x≥6 3≤x<4 26 口调查学生的每周运动时长频数分布表频数 4≤x<5 24 5≤x<6 10 x≥6 5 合计 100 建议：… (说明：以上仅展示部分报告内容) (1)本次调查活动采用的调查方式是 (填写“普查”或“抽样调查”)，如 果想要直观展示不同运动时长区间的学生人数占调查总人数的百分比，选择制作 最合适 (填写“条形统计图”、“扇形统计图”或“折线统计图”)： (2)若每周运动时长4-5小时被认为是运动较为合理的区间，该区间的数据为：4.2、4.5、 4.0、4.3、4.5、4.8、4.7、4.6、4.4、4.1,这组数据的众数是 ,中位数 是 第4页共6页 (3)若每周运动时长小于3小时被认为运动不足，该年级共有学生500人，估计该年级运 动不足的学生人数： (4)请结合上述数据，分析该年级学生的运动情况，并为提高学生运动水平，促进学生健 康发展提出一条合理的建议. 17.在2026年春晚舞台，宇树科技的G1与H2两款机器人表演《武BOT》、松延动力的仿生 人形机器人参演小品《奶奶的最爱》等节目惊艳亮相.某酒店受此启发，为吸引顾客，提高服 务质量，决定购买机器人来代替部分人工服务.已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台共 需10万元；购买甲型机器人3台，乙型机器人1台共需15万元. (1)甲、乙两种型号机器人的单价各为多少万元？ (2)已知1台甲型和1台乙型机器人每天服务的客人数量分别是200人和150人，该公司 计划用不超过22万元的价格购买6台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人2台， 如何购买才能使每天服务客人的数量最大？ 18.在学习完《直线与圆的位置关系》后，某位老师布置一道作图题如下： 已知：如图，⊙O及⊙O外一点P. 求作：直线PQ,使PQ与⊙O相切于点Q, 小悦同学经过探索，给出了一种作图方法（如下）： ①连接OP,分别以O,P为圆心，以大于0P的长为半径作弧，两弧分别交于A,B两点 （点A,B分别位于直线OP的上下两侧)： ②作直线AB交OP于点C: ③以点C为圆心，CO为半径作⊙C,⊙C交⊙O于点Q(点Q位于直线OP的上侧)：④ 作直线PQ,PQ交AB于点D,则直线PQ即为所求作直线. 请根据小悦同学作图方法，解答下面问题： (1)完成作图，并准确标注字母（尺规作图，保留作 图痕迹)： （2)结合作图，请说明PQ是⊙O切线： (3)若⊙O半径为3，OP=9,求CD的长. 第5页共6页 19.对于一个函数给出如下定义：对于函数y,若当a≤x≤b,函数值y的取值范围为m≤y≤ n,且满足n-m=k(b-a),则称此函数为“k-拉伸函数”. 例如：正比例函数y=-2x,当1≤x≤4时，-8≤y≤-2，则-2-(-8)=k×（4-1), 解得k=2,所以函数y=-2x为“2-拉伸函数”. (1)①一次函数y=2x-3(0≤x≤4)为“k-拉伸函数”，则k的值为 ②若一次函数y=Cx+2(0≤x≤3)为“3-拉伸函数”，则c的值为 (2)反比例函数y=(p>0,a≤x≤b,且0<a<b)是“p-拉伸函数”，且a+b=V2028, 请求出2+b的值： （3)已知二次函数y=-2x+4d+d+2d,当-1≤x≤3时，y=-2x2+4d+P+2d是“k-拉 伸函数”，求k的取值范围. 20.【定义】平行四边形一组邻边的中点与不在这组邻边上的顶点顺次连接而成的三角形.如 果是直角三角形，则称这个三角形为平行四边形的“中直三角形” 【初步感知】（1)如图1，四边形ABCD为矩形，△BEF为其“中直三角形”，其中∠BEF =90°，若BC=6,求AB的长；小轩同学由题目中所给三个“垂直”的条件，发现△ABE ∽△DEF,从而轻松解决了这个问题；小君同学提出了不同的解决方法，她由题目中所给“中 点”这个条件联想到“倍长中线”解决了这个问题，请你参考这两个同学的方法解决这个 问题.你得出AB= 【深入探究】(2)如图2，△CEF为平行四边形ABCD的“中直三角形”，其中∠CFE=90°， 连接AC交EF于点G,AG=1,FG=V5,求AB的长： 【拓展延伸】(3)在△ABC中，∠A=90°，3AB=4AC,以△ABC为中直三角形的平行四 边形的一组邻边的长记为m,,其中m>,请直接写出的值. n E D F D G B B 图1 图2 第6页共6页