26 章末复习 （知识全解）-【指南针·课堂优化】2026-2027学年九年级上册数学同步练（人教版·新教材）

章末复习 【体系构建】 二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx十c(a,b,c为常数且a≠0)的函数叫作二次函数 开口方向：a>0,开口向上；a<0,开口向下 顶点坐标：（ b 4ac-b2 2a’4a 二次函数的 图象和性质对称轴：直线x= a,b同号，对称轴在y轴的左侧：a,b异号，对称轴在y轴的右侧 b 增减性 最值 上下平移k|个单位长度：y=a.x2+k(a≠0) 次 二次函数y=a.x2 左右平移h个单位长度：y=a(x一h)2(a≠0) 数 (a≠0)图象的平移 上下平移k|个单位长度，左右平移h个单位长度：y=a(x一h)2+(a≠0) 设一般式：y=ax2+bx+c(a≠0) 用待定系数法求 设顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0) 二次函数的解析式 设交点式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) 二次函数与一元二次方程：抛物线与x轴的交点情况台一元二次方程解的情况 最大面积问题 实际问题与二次函数最大利润问题 拱形桥问题 【知识梳理】 ③c决定抛物线与y轴的交点：当c=0,抛物 1.形如y= 的函数叫作二次 线过 ;当c>0,抛物线交y轴的 函数，其中，a,b,c为常数且 当c<0,抛物线交y轴的 2.二次函数的图象和性质 ④b2一4ac决定抛物线与x轴的交点个数： (1)二次函数的图象是一条 b2一4ac>0,抛物线与x轴有 交点；b- 的对称轴是 ,顶点坐标是 4ac=0,抛物线与x轴有 交点；b2- 4ac<0,抛物线与x轴 交点 3.抛物线y=ax2的对称轴是 ,顶 (2)二次函数y=a.x2十bx+c中，各系数的 点坐标是 ;抛物线y=ax2十k的对称 作用： 轴是 ,顶点坐标是 ；抛物线 ①a决定抛物线的开口方向：当a>0时，开 y=a(x-h)2+k的对称轴是 ,顶点坐标 口 ;当a<0时，开口 ;|a越 是 图象的平移口诀：左加右减，上加 大，抛物线开口 下减. ②b和a共同决定对称轴：b=0,对称轴为 4.用待定系数法求二次函数的解析式 ;当a、b同号，对称轴在y轴的 (1)一般式：y=ax2+bx+c(a≠0).已知图 侧；当a、b异号，对称轴在y轴的侧. 象上三点或三对x、y的值，通常选择一般式. ·22… (2)顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0).已知图 当x>1时，y随x的增大而减小； 象的顶点或对称轴，通常选择顶点式 ②当-1<x<3时，y>0. (3)交点式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).已 类型二：二次函数图象与系数的关系 知一点和图象与x轴的交点坐标，通常选择交 【例2】二次函数y=a.x2+ 点式. bx十c的图象如图所示，有下列 5.二次函数与一元二次方程的关系：函数 结论：①abc>0;②2a+b=0; 12/3 y=ax2+bx+c(a≠0)，当y=0时，得到一元二 ③3b-2c<0;④am2+bm≥a+b 次方程ax2十bx十c=0(a≠0)，那么一元二次方 (m为实数).其中，正确的是 (填序号). 程的解就是二次函数图象与x轴交点的横坐标. 解：抛物线开口向上，∴.a>0. 【典例精讲】 ,抛物线对称轴为直线x=1, 类型一：二次函数的图象和性质 =1,.b=-2a<0. 【例1】已知二次函数y=-2x2+4x+6. ∴.2a十b=0,故②正确 (1)求出该函数图象的顶，点坐标，对称轴，图 ,抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴C<0 象与x轴、y轴的交点坐标，并在下面的网格中 .abc>0,故①正确. 画出这个函数的大致图象； (2)利用函数图象回答： b=-2a,a=- 2 ①当x在什么范围内时，y随x的增大而增 由图象，可得当x=-1时，y=a-b十c= 大；当x在什么范围内时，y随x的增大而减小？ 号6+c>0.3b-2c<0.故③正骟 ②当x在什么范围内时，y>0? 由当x=1时函数取最小值，可得am2十 bm+c≥a+b+c, ∴.am2+bm≥a十b,故④正确. 综上所述，正确的是①②③④. 类型三：二次函数中取值范围的界定 【例3】开口向上的抛物线对应的函数解析 式为y=a(x-1)2-2. (1)该抛物线的顶点坐标为 解：(1).a=-2,b=4,c=6, (2)若该抛物线过点(2,0)，则α的值为 4 2×(-2)=1, (3)如图，点A,B的坐标分 别为(3,1)(5,1)，若该抛物线与 4ac-&_4×(-2)×6-16=8. Aa 4×(-2) 线段AB有公共点，则a的取值 .顶点坐标为(1,8)， 范围是 当y=0时，-2x2+4x+6=0, 解：(1)，y=a(x-1)2-2, .抛物线的顶，点坐标为(1，一2) .x1=3,x2=-1,当x=0时，y=6, (2)把(2,0)代入y=a(x-1)2-2,得a-2 函数图象与x轴交，点坐标为(-1,0)，(3， =0,解得a=2. 0),与y轴交点坐标为(0,6)；函数图象如图所示 (3)当x=3时，y=4a-2;当x=5时，y= (2)由图象可知： 16a-2. ①当x<1时，y随x的增大而增大， ·23· .'抛物线与线段AB有公共，点， (1)若直线y=mx十n经过B、C两点，求直 ,解得品<a<子 线BC和抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴x=一1上找一点M, 类型四：二次函数与一元二次方程的关系 使点M到点A的距离与到点C的距离之和最 【例4】已知抛物线y=(x-m)2-(x 小，求出点M的坐标； m),其中m是常数. (3)设点P为抛物线的对称轴x=一1上的一个 (1)求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一 动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标 定有两个公共点； (2)若该抛物线的对称轴为直线x=多。 ①求该抛物线的函数解析式； ②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位 长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点 (1)证明：y=(x-m)2-(x-m)=x2-(2m+ 1)x+m2+m, b=-1, 2a a=-1, ,△=(2m+1)2-4(m2+m)=1>0. 解：(1)依题意得 a+b+c=0,解得b=-2, .不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两 c=3. c=3. 个公共点； .抛物线解析式为y=-x2-2x十3， (2)解：①：x=-2》-号m=2, 对称轴为x=一1，且抛物线经过A(1,0), 2 .把B(-3,0)C(0,3)分别代入直线y=mx十， .抛物线解析式为y=x2-5x十6； -3m+n=0, ②设抛物线沿y轴向上平移个单位长度 得 (n=3. 存m1. n=3. 后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点，则平 ∴.直线y=mx十n的解析式为y=x+3: 移后抛物线解析式为y=x2一5x十6+k, (2)设直线BC与对称轴x=一1的交点为 ,抛物线y=x2一5.x十6十k与x轴只有一 M,则此时MA+MC的值最小. 个公共点，∴△=(-5)2-4(6+k)=0,k= 4 把x=-1代入直线y=x+3得，y=2, .M(-1,2), 即把该抛物线沿y轴向上平移个单位长 即当，点M到点A的距离与到点C的距离之 度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共，点。 和最小时M的坐标为（一1,2）； 【规律与方法】建立二次函数与一元二次 方程的关系，关键是看二次函数与x轴交点的个 数及交点的位置.从而去寻找关系式，建立方程 的思想.注意数形结合、数学建模、讨论、转化等 数学思想的应用 类型五：二次函数与几何的综合运用 【例5】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c (a≠0)的对称轴为直线x=一1，且抛物线经过 A(1,0),C(0,3)两点，与x轴交于点B. (3)设P(-1,t),又B(-3,0),C(0,3), ·24· .BC2=18,PB2=(-1+3)2+2=4+2, (x-11)(x-2)=0, PC2=(-1)2+(t-3)2=t2-6t+10, x1=11,x2=2(不合题意，舍去)， ①若点B为直角顶点，则BC2十PB=PC”, 答：饲养场的宽EF为11米； 即：18+4+t2=t-6t+10,解之得：t=-2; (2)设饲养场BDEF的面积为S,EF的长为 ②若点C为直角顶，点，则BC2十PC2=PB, x米， 即：18+t-6t+10=4+t,解之得：t=4, 则S=x(39-3.x)=-3x2+39x=-3(x ③若点P为直角顶点，则PB十PC2=BC, 13)2+507 即：4+t2+2-6t+10=18, 4 .a=-3<0, 解之得：4=3+)亚23-应 2 x-时.S有爱大值，S-57。 综上所述P的坐标为（一1，-2）或（一1,4） 4， (-1.3+厘）(-1.3」 答：饲养场的宽EF为号来时，句养场 类型六：利用二次函数解决最值问题 BDEF的面积最大，最大面积为50？平方米， 4 【例6】某牧场准备利用现成的一堵“7”字 【例7】某网店销售某款童装，每件售价60 型的墙面（如图中粗线A一B一C表示墙面，已知 元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降 AB⊥BC,AB=3米，BC=9米)和总长为36米 价销售.市场调查反映：每降价1元，每星期可多 的篱笆围建一个“日”形的饲养场BDEF(细线表 卖30件.已知该款童装每件成本价40元，设该 示篱笆，饲养场中间GH也是用篱笆隔开)，如 款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件. 图，点F可能在线段BC上，也可能在线段BC的 (1)求y与x之间的函数关系式； 延长线上. (2)当每件售价定为多少元时，每星期的销 (1)当点F在线段BC上时， 售利润最大，最大利润多少元？ ①设EF的长为x米，则DE= 米 (3)若该网店每星期想要获得不低于6480 (用含x的代数式表示)； 元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？ ②若要求所围成的饲养场BDEF的面积为 解：(1)y=300+30(60-x)=-30x+2100. 66平方米，求饲养场的宽EF; (2)设每星期利润为W元， (2)饲养场的宽EF为多少米时，饲养场 W=(x-40)(-30x+2100)=-30(x- BDEF的面积最大？最大面积为多少平方米？ 55)2+6750. ∴.x=55时，W大位=6750. ∴每件售价定为55元时，每星期的销售利 润最大，最大利润6750元。 (3)由题意(x-40)(-30x+2100)≥6480， 解：(1)①设EF的长为x米， 解之得52≤x≤58， 点F在线段BC上， 当x=52时，销售300+30×8=540， .DE=36-2x-(x-3)=(39-3x)(米). 当x=58时，销售300+30×2=360， ②设EF的长为x米， ∴.该网店每星期想要获得不低于6480元的 x(39-3x)=66, 利润，每星期至少要销售该款童装360件. 3x2-39x+66=0,即x2-13x+22=0, ·25·参考答案 a b 第二十五章一元二次方程 2.(4z=-b±店=4ac(B-4ac≥0) 2a 25.1一元二次方程的概念 直接开平方法→因式分解法→公式法 1.一整2 3.(1)有两个不相等的实数根 2.ax2+bx十c=0(a≠0，a,b,c为常数) (2)有两个相等的实数根(3)没有实数根 3.左右两边未知数 46 25.2降次一解一元二次方程 a a 25.2.1配方法 第二十六章二次函数 第1课时直接开平方法 1.求非负数（或可化为非负数）的平方根 26.1二次函数的概念 2.(1)Wa-√a(2)-a+b-a-√b 自变量二次项系数一次项系数常数项 (3)n-6=n-五 26.2二次函数的图象和性质 a 3.降次 26.2.1二次函数y=ax2的图象和性质 第2课时配方法 1.(1)抛物线y(0,0)a>0上方a<0下方 1.配方法 (2)大小 2.方程两边同时除以二次项系数，将二次项系数化为1 26.2.2 二次函数y=a(x-h)2+k 常数项右移 的图象和性质 方程两边都加上一次项系数一半的平方，将原方程化 第1课时二次函数y=ax2+k的图象和性质 为(x十m)2=n的形式 1.(1)k|k>0k<0 开平方求解 第2课时二次函数y=a(x-h)的图象和性质 25.2.2 公式法 1.(1)|hlh>0h<0 1.62-4ac b2-4ac 章末复习 2.(1)两个不相等的实数根 知识梳理 (2)两个相等的实数根两个实数根(3)无实数根 1.a.x2+bx+ca≠0 3.x=-b±yB-4ac 求根公式公式法 Za 2.(1)抛物线 4.(1)化成一般形式(2)找出系数a,b,c的值 (2)①向上向下越窄②y轴左右 (3)计算b2一4ac的值 ③原点正半轴负半轴④两个一个没有 (4)当b一4ac≥0时，用公式求出原方程的根 3.y轴(0,0)y轴(0，k)x=h(h,k) 25.2.3因式分解法 1.一次式02.降次至少一个数为0 第二十七章 反比例函数 3.(2)因式分解(3)两个一元一次方程 (4)原方程的解 27.1反比例函数的概念 25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 1.y=飞 不等于零的一切实数 1.-b a a ，≥ 27.2反比例函数的图象和性质 2.有两个不等a≠0且△>0a≠0且△≥0 第1课时反比例函数的图象和性质 25.3实际问题与一元二次方程 1.双曲线 第1课时变化率问题 第2课时反比例函数中的系数 变化前的数变化后的数降低（或增长）的百分率 章未复习 1.(1)(2)21 知识梳理 「y=k.x+b 1.只含有一个未知数未知数的最高次数是2 2. 二次项系数不为0整式方程a.x2十bx十c=0(a≠0) 2- ·56·