2026年中考终极冲刺复习 清单01：中考前必背核心知识清单

该初中数学中考复习知识清单全面覆盖25个专题57个核心考点，涵盖代数、几何、统计与概率三大领域，构建从基础概念到综合应用的系统化复习体系，助力学生夯实中考数学核心知识。 清单通过“考点细化+方法归纳”呈现知识，如“全等三角形”专题梳理判定定理及常见模型，培养数学思维与推理能力。设置“易错点提示”和“解题技巧”，如分式方程强调“验根”步骤，特殊角三角函数值配表格记忆，方便学生自主复习，也为教师提供精准教学辅助，提升备考效率。

清单01 中考数学考前必背核心考点 （25个专题 57个考点） 专题01 实数及其运算 2 专题02 整式与因式分解 4 专题03 分式 7 专题04 一次方程（组） 9 专题05 一元二次方程 10 专题06 分式方程 13 专题07 不等式（组） 15 专题08 位置与函数 16 专题09 一次函数 20 专题10 反比例函数 23 专题11 二次函数 25 专题12 几何图形初步 28 专题13 三角形的初步认识 31 专题14 全等三角形 33 专题15 等腰三角形、等边三角形 37 专题16 直角三角形、勾股定理 38 专题17 多边形与平行四边形 40 专题18 特殊的平行四边形 41 专题19 圆的基本性质和计算 43 专题20 圆的综合 46 专题21 图形的对称、平移、旋转 48 专题22 相似三角形和位似 50 专题23 锐角三角函数、解直角三角形 54 专题24 统计与概率 58 专题25 尺规作图与定义、命题、定理 65 专题01 实数及其运算 【考点一 实数的分类】 1. 实数的分类 分法一：按照定义分类 实数可以分为： 。 有理数可以分为： 。 整数可以分为： 。 分数可以分为： 。 分法二：按照性质分类 2.实数的相关概念 （1）数轴:规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做 。 （2）相反数 代数定义：只有符号不同的两个数叫做互为 。 几何定义：在数轴上原点的两旁，离开原点距离相等的两个点所表示的数，叫做 。 一般地，a和 互为相反数。 的相反数是0。 a =-a所表示的意义是：一个数和它的相反数相等。很显然， 。 （3）绝对值 定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作 。 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是 。 即：如果a >0，那么|a|= ； 如果a =0，那么|a|= ； 如果a <0，那么|a|= 。 a =|a|所表示的意义是：一个数和它的绝对值相等。很显然， 。 （4）倒数 定义：乘积是1的两个数互为倒数。即：如果a与b互为倒数，则有 ，反之亦成立。 a=所表示的意义是：一个数和它的倒数相等。很显然， 。 （5）科学记数法 定义：把一个大于10的数表示成a×10n 的形式(其中a大于或等于1且小于10，n是正整数)，这种记数方法叫做科学记数法。小于-10的数也可以类似表示。 用科学记数法表示一个绝对值大于10的数时，n是原数的整数数位减1得到的 。 用科学记数法表示一个绝对值小于1的数（a×10-n）时，n是从小数点后开始到第一个不是 的数为止的数的个数。 （6）近似数 一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数近似到哪一位，也叫做精确到哪一位。精确到十分位—— ；精确到百分位—— ；···。 3.平方根、算术平方根和立方根 平方根 如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的 （或二次方根）。 正数有 平方根，它们互为 ；0的平方根是0；负数没有平方根。 算术平方根 正数a的正的平方根叫做a的 ，记作“”。 正数和零的算术平方根都只有 ，零的算术平方根是零。 立方根 如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的 （或a 的三次方根）。 一个正数有 正的立方根；一个负数有 负的立方根；零的立方根是零。 4.实数的大小比较 （1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 （2）求差比较：设a、b是实数， （3）求商比较法：设a、b是 ，＞1；=1；1； （4）绝对值比较法：设a、b是 ，则； （5）平方法：设a、b是 ，则. 【考点二 实数的运算】 1.实数的运算法则 加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数。 加法运算律：①交换律 ； ②结合律 。 减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数。即： 。 乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘，都得0。 乘法运算律：①交换律 ；②结合律 ；③分配律 。 除法法则：除以一个不等于0的数，等于 。即：a÷b=a·。 两数相除， ，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0 的数，都得0。 2.实数的运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。 实数范围内混合运算的顺序：①先 ，再 除，最后 ；②同级运算，从左到右进行；③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。▪▪▪▪ 3.常见的几种实数运算 （1）乘方 定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。乘方的结果叫做幂。 如：读作a的n次方（幂），在an中，a叫做底数，n叫做指数。 性质：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数；0的任何正整数次幂都是0。 （2）零指数幂： (a≠0). （3）负整数指数幂：a-p=(a≠0，p为正整数). 专题02 整式与因式分解 【考点一 代数式】 1. 代数式 用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是 。 2. 代数式的值 用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出结果，叫做 。 【考点二 整式及其运算】 1.单项式 用数或字母的乘积表示的式子叫做 。单独的一个数或一个字母也是单项式。 单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如，这种表示就是错误的，应写成。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。如是6次单项式。 2.多项式 几个单项式的和叫做 。其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。 单项式与多项式统称 。 3.同类项 叫做同类项。 4.合并同类项 把多项式中的同类项合并成一项，叫做 。 合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变。 5.整式的运算 (1)整式的加减 几个整式相加减，如有括号就先去括号，然后再合并同类项。 去括号法则： 。即括号外的因数的符号决定了括号内的符号是否改变： 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号 ； 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号 。 (2)整式的乘除运算 ①同底数幂的乘法：am·an=am+n。 。 ②幂的乘方：(am)n=amn。 。 ③积的乘方：(ab)n=anbn。 ④单项式与单项式的乘法：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 ⑤单项式与多项式的乘法： 。单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 ⑥多项式与多项式的乘法： 。多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 平方差公式： 。两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。这个公式叫做平方差公式。 完全平方公式： 。两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍。这两个公式叫做完全平方公式。 ⑦同底数幂的除法： 。同底数幂相除，底数不变，指数相减。 任何不等于0的数的0次幂都等于1。 ⑧单项式与单项式的除法：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 ⑨多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。 【考点三 因式分解】 1.因式分解的定义 把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。 以上公式都可以用来对多项式进行因式分解，因式分解的常用方法： ①提公因式法： ； ②公式法： 。 ③分组分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d) ④十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q) 2.因式分解的一般步骤： （1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。 （2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式 （3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解 专题03 分式 【考点一 分式的概念和性质】 1、分式的定义 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做 。 注：A、B都是整式，B中含有字母，且 。 2、分式的基本性质 分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式， 。 ；（C≠0）。 3、分式的约分和通分 定义1：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 定义2：分子与分母没有公因式的分式，叫做 。 定义3：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的 。 定义4：各分母的所有因式的最高次幂的积叫做 。 【考点二 分式的运算】 1、分式的乘除 ①乘法法则：。分式乘分式，用分子的积作为 ，分母的积作为积的分母。 ②除法法则：。分式除以分式，把除式的分子、分母 后，与被除式相乘。 ③分式的乘方：。分式乘方要把 。 ④整数负指数幂：。 2、分式的加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子 ； 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式， 。 ①同分母分式的加减：； ②异分母分式的加法：。 注：不论是分式的哪种运算，都要先进行因式分解。 专题04 一次方程（组） 【考点一 一元一次方程及其应用】 1.方程 定义：含有未知数的等式叫做方程。 2.方程的解 定义：能使方程两边相等的未知数的值叫做 。 3.等式的性质 （1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果 。 （2）等式的两边都乘以（或除以） ，所得结果仍是等式。 4.一元一次方程 定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程ax+b=0(x为未知数，a≠0)叫做一元一次方程的标准形式，a是未知数x的系数，b是常数项。 【考点二 二元一次方程（组）及其应用】 1.二元一次方程定义： 含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数 的方程，叫做二元一次方程。 2.二元一次方程组 概念：含有两个未知数的两个 所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。 解法： （1） 代入消元法：将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，简称代入法； （2）加减消元法：通过方程两边分别 ，简称加减法。 专题05 一元二次方程 【考点一 一元二次方程】 1.一元二次方程 （1）一元二次方程的定义 等号两边都就是整式，只含有 （一元），并且未知数的最高次数就是2（二次）的方程，叫做一元二次方程. 注意一下几点： ①只含有一个未知数；②未知数的最高次数就是2；③就是整式方程. （2）一元二次方程的一般形式 一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0)、其中，ax2就是 ，a就是 ；bx就是 ，b就是 ；c就是 . （3）一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做 ，也叫做 .方程的解的定义就是解方程过程中验根的依据. 2. 直接开平方法解一元二次方程 （1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边就是非负数，可以直接开平方.一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解的 ； （2）直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用 . （3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数； . （4）直接开平方法解一元二次方程的步骤就是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根. 3. 配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的就是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解. 配方法的一般步骤可以总结为： . （1）把常数项移到等号的右边；（2）方程两边都除以二次项系数；（3）方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；（4） 若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解. 4. 公式法解一元二次方程 （1）一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的两个根为x=，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求的方程的解，这种解方程的方法叫做 . （2）一元二次方程求根公式的推导过程，就就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程. （3）公式法解一元二次方程的具体步骤： ①方程化为一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，一般a化为正值； ②确定公式中a,b,c的值，注意符号； ③求出b2-4ac的值；④若b2-4ac≥0，则把a,b,c与b-4ac的值代入公式即可求解，若b2-4ac＜0，则方程无实数根. 5. 一元二次方程根的判别式 式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它， . 一元二次方程根的判别式 △＞0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有 的实数根； △=0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有 的实数根； △＜0，方程ax2+bx+c=0(a≠0) 实数根. 6. 因式分解法解一元二次方程 （1）把一元二次方程的一边化为0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个求一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法. （2）因式分解法的详细步骤： ①移项，将所有的项都移到左边，右边化为0； ②把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式与完全平方公式； ③令每一个因式分别为零，的到一元一次方程； ④解一元一次方程即可的到原方程的解. 7. 一元二次方程的根与系数的关系 若一元二次方程x2+px+q=0的两个根为x1,x2,则有 ； 若一元二次方程a2x+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1,x2,则有x1+x2=, x1x2=. 【考点二 一元二次方程的应用】 1.列一元二次方程解应用题的一般步骤： （1） 审：就是指读懂题目，弄清题意，明确哪些就是已知量，哪些就是未知量以及它们之间的等量关系. （2） 设：就是指设元，也就就是设出未知数. （3） 列：就就是列方程，这就是关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含义，然后列代数式表示这个相等关系中的各个量，就的到含有未知数的等式，即方程. （4） 解：就就是解方程，求出未知数的值. （5） 验：就是指检验方程的解就是否保证实际问题有意义，符合题意. （6） 答：写出答案. 2. 列一元二次方程解应用题的几种常见类型 （1） 数字问题 三个连续整数：若设中间的一个数为x，则另两个数分别为 . 三个连续偶数（奇数）：若中间的一个数为x，则另两个数分别为 . 三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为a,b,c，则这个三位数就是100a+10b+c （2）增长率问题 设初始量为a，终止量为b，平均增长率或平均降低率为x，则经过两次的增长或降低后的等量关系为 . （3）利润问题 利润问题常用的相等关系式有：①总利润= ；②总利润= ；③利润= （4）图形的面积问题 根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系，将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来，建立一元二次方程. 专题06 分式方程 【考点一 分式方程】 1.分式方程的定义 分母中含未知数的方程叫做 . 【归纳】 (1)分式方程的重要特征:1含有分母;2分母中含有未知数;3是方程. (2)方程的分母中是否含有未知数是分式方程与整式方程的根本区别. (3)分母中含有字母的方程未必是分式方程. 2.分式方程的解法 (1)解分式方程的基本思想: 把分式方程转化为整式方程，解这个整式方程，然后验根，从而确定分式方程的解.(2)解分式方程的一般方法和步骤: 1去分母:方程两边同乘最简公分母，把分式方程化为整式方程;2解整式方程:去括号、移项、合并同类项等等;3检验:将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解;否则，这个解不是原分式方程的解. 简称为一化，二解，三检验 (3)解分式方程产生不适合原方程解的原因: 在将分式方程化为整式方程时，未知数的取值范围被增大了，对于整式方程来说，求出的解成立，而对于原分式方程来说， ，所以这个解不是原分式方程的解，即原分式方程无解. 【考点二 分式方程的应用】 分式方程的应用 分式方程的应用基本思路和方法: 一审:审清题意，弄清已知量和未知量; 二找:找出等量关系; 三设:设未知数; 四列:列出分式方程; 五解:解这个方程; 六验:检验，既要检验所求得的解是不是所列分式方程的解，又要检验所求得的解是否符合实际问题的 要求; 七答:写出答案 在上述过程中，关键步骤是根据题意寻找"等量关系”，进而列出分式方程，求解时注意必须检验求出的值是不是所列分式方程的解，且是否符合实际意义. 专题07 不等式（组） 【考点一 不等式（组）】 1.不等式 不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式. 【易错点剖析】 （1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. （2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． （3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式． 2. 不等式的性质： 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)， ． 不等式的基本性质2：不等式两边都 ，不等号的方向 ． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向 ． 3.一元一次不等式 定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式， 【易错点剖析】ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式． 解法： 解一元一次不等式步骤： . 【易错点剖析】 不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实. 4.一元一次不等式组 　　关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组. 【易错点剖析】 （1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集. （2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.  （3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.  专题08 位置与函数 【考点一 位置的确定】 一、点的坐标特征 点的坐标特征 坐标轴上的点（x，y） 在x轴上 （x，0） 在y轴上 在原点 （0，0） 点在各象限的坐标特点 第一象限 第二象限 （–，+） 第三象限 第四象限 （+，–） 象限角平分线上的点 第一、三象限 （m，m） 第二、四象限 （m，-m） 点P（a，b）到 坐标轴的距离 到x轴的距离=点P的 的绝对值，即|b| 到y轴的距离=点P的 的绝对值，即|a| 具有特殊位置关系的两个点的坐标特征 点P1（x1，y1）与点P2（x2，y2）在一条平行于x轴的直线上 横坐标不相等，纵坐标相等，即x1≠x2，y1=y2 点P1（x1，y1）与点P2（x2，y2）在一条平行于y轴的直线上 横坐标相等，纵坐标不相等，即x1=x2，y1≠y2 点平移后的坐标特征 点（x，y） 向 平移a个单位长度 （x+a，y） 点（x，y） 向 平移a个单位长度 （x–a，y） 点（x，y） 向 平移b个单位长度 （x，y+b） 点（x，y） 向 平移b个单位长度 （x，y–b） 二、图形上点的坐标变化与图形平移间的关系 1.横坐标变化，纵坐标不变： 原图形上的点（x，y）向右平移a个单位 原图形上的点（x，y）向左平移a个单位 2.横坐标不变，纵坐标变化： 原图形上的点（x，y）向上平移b个单位 原图形上的点（x，y）向下平移b个单位 3.横坐标、纵坐标都变化： 原图形上的点（x，y）向右平移a个单位，向上平移b个单位 原图形上的点（x，y）向右平移a个单位，向下平移b个单位 原图形上的点（x，y）向左平移a个单位，向上平移b个单位 原图形上的点（x，y）向左平移a个单位，向下平移b个单位 三、用坐标表示地理位置 1.确定坐标原点 用坐标表示地理位置时，要注意选择适当的位置为坐标原点，这里所说的适当，通常要么是比较有名的地点，要么是所要绘制的区域内较居中的位置．不同的原点产生的地理位置的坐标也不同．原点不同，地理位置的坐标也不同．用适当的位置表示原点，可以降低计算的难度． 2.如何确定x轴与y轴的方向 坐标轴的方向通常是选择以水平线为x轴，以向右为正方向（正东），以竖直线为y轴，以向上为正方向（正北），这样可以使东西南北的方向与地理位置的方向保持一致． 四、用坐标表示平移 1.一般地，将一个图形依次沿两个坐标轴方向平移所得到的图形，可以通过将原来的图形作一次平移得到． 2.对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来，从图形上的点的坐标的某种变化，我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移． 3.在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度． 如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上（或下）平移a个单位长度． 考点二 函数的表示 一、常量和变量 在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量． 1.变量和常量是相对而言的，变化过程不同，它们可能发生改变，判断的前提条件是“在同一个变化过程中”，当变化过程改变时，同一个量的身份也可能随之改变，例如，在s=vt中，当s一定时，v，t为变量，s为常量；当t一定时，s，v为变量，而t为常量． 2.“常量”是已知数，是指在整个变化过程中保持不变的量，不能认为式中出现的字母就是变量，如在一个匀速运动中的速度v就是一个常量． 3.变量、常量与字母的指数没有关系，如S=πr2中，变量是“S”和“r”，常量是“π”． 4.判断一个量是不是变量，关键是看其数值是否发生变化． 二、函数的定义 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数． 对函数定义的理解，主要抓住以下三点： 1.有两个变量． 2.函数不是数，函数的本质是对应，函数关系就是变量之间的对应关系，且是一种特殊的对应关系，一个变量的数值随着另一个变量数值的变化而变化． 3.函数的定义中包括了对应值的存在性和唯一性两重意思，即对自变量的每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应，对自变量x的不同取值，y的值可以相同． 在某个变化过程中处于主导地位的变量即为自变量，随之变化且对应值有唯一确定性的另一个变量即为该自变量的函数． 三、自变量取值范围的确定 使函数有意义的自变量的取值的全体叫做自变量的取值范围． 当用函数关系式表示实际问题时，自变量的取值不但要使函数关系式有意义，而且还必须使实际问题有意义． 四、函数解析式及函数值 函数解析式：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式． 1.函数解析式是等式． 2.函数解析式中指明了哪个是自变量，哪个是函数，通常等式右边的代数式中的变量是自变量，等式左边的变量表示函数． 3.用数学式子表示函数的方法叫做解析式法． 函数值：对于自变量x在取值范围内的某个确定的值a，函数y所对应的值为b，即当x=a，y=b时，b叫做自变量x的值为a时的函数值． 五、函数的图象及其画法 一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象． 专题09 一次函数 考点一 一次函数的图像与性质 一、一次函数和正比例函数 1．定义：如果y=kx+b（k≠0），那么y叫x的一次函数，当b=0时，一次函数y=kx也叫正比例函数．正比例函数是一次函数的特例，具有一次函数的性质． 2．一次函数与正比例函数的关系 一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是过点（0，b）与直线y=kx平行的一条直线。它可以由直线y=kx平移得到．它与x轴的交点为，与y轴的交点为（0，b）． 二、一次函数的图象与性质 函数 系数取值 大致 图象 经过的象限 函数性质 y=kx （k≠0） k>0 一、三 y随x增大而增大 k<0 二、四 y随x增大而减小 y=kx+b （k≠0） k>0 b>0 一、二、三 y随x增大而增大 k>0 b<0 一、三、四 k<0 b>0 一、二、四 y随x增大而减小 k<0 b<0 二、三、四 三、一次函数与方程（组）、不等式的关系 一元一次方程 关于x的一元一次方程kx+b=0（k≠0）的解是直线y=kx+b与x轴交点的横坐标． 二元一次方程组 关于x，y的二元一次方程组的解是两条直线的交点坐标． 一元一次不等式 关于x的一元一次不等式kx+b＞0（＜0）的解集是以直线y=kx+b和x轴的交点为分界点，x轴上（下）方的图象所对应的x的取值范围． 四、一次函数图象的平移 平移情况 解析式变化情况 【温馨提示】 （1）简记为“左加右减自变量，上加下减常数项”； （2）直线可以看作由直线向上或向下平移个单位得到 向上平移个单位 向下平移个单位 向左平移个单位 向右平移个单位 【拓展】 同一平面直角坐标系中两直线，的位置关系 的关系 与的关系 与相交 ， 与相交于轴上的一点 ， 与平行 考点二 一次函数的应用 一次函数的实际应用： 1.一次函数应用问题的求解思路： ①建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质作出解答； ②利用函数并与方程(组)、不等式(组)联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题以及经济决策、市场经济等方面的应用。 2.建立函数模型解决实际问题的一般步骤： ①审题，设定实际问题中的变量，明确变量x和y； ②根据等量关系，建立变量与变量之间的函数关系式，如：一次函数的函数关系式； ③确定自变量x的取值范围，保证自变量具有实际意义； ④利用函数的性质解决问题； ⑤写出答案。 3.利用一次函数的图象解决实际问题的一般步骤： ①观察图象，获取有效信息； ②对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系； ③选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等)，通过建模解决问题。 4.求最值的本质为求最优方案，解法有两种： ①可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较； ②直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较． 专题10 反比例函数 考点一 反比例的图像与性质 1、反比例函数的概念 一般的，形如 (是常数，k≠0)的函数叫做 。其它表示形式：或。 因为x≠0，k≠0，相应地y值也 ，所以反比例函数的图象 x轴和y轴，但与x轴、y轴 ． 2、反比例函数的图象与性质 反比例函数y＝(k为常数，k≠0)的图象总是关于原点成中心对称的，它的位置和性质受k的符号的影响. y＝ (k为常数，k≠0) k>0 k<0 图　象 所在象限 一、三(x，y同号) 二、四(x，y异号) 性　质 在每个象限内，y随x的 而减小 在每个象限内，y随x的 而增大 3、反比例函数的k的几何意义 由y＝(k≠0)的图象上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积为. 如图①和②，S矩形PAOB＝PA·PB＝|y|·|x|＝|xy|＝ ； 同理可得S△OPA＝S△OPB＝|xy|＝ . 4、反比例函数解析式的确定 （1）待定系数法。由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。 （2）利用反比例函数中反比例系数的几何意义 若已知某点到坐标轴的垂线与坐标轴所围成的面积，根据函数图象所在象限判断k的正负，从而确定k值，再将k值代入反比例函数解析式即可。 专题11 二次函数 考点一 二次函数的图像与性质 1、 二次函数的概念 一般的，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。其中x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项。 二次函数解析式的表示方法： (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)； (2)顶点式： ， 它直接显示二次函数的顶点坐标是 ； (3)交点式：， 其中x1，x2是图象与x轴交点的横坐标． 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点， 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 2、二次函数的图象是一条抛物线。当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下。|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大。 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h 顶点 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) a>0时，顶点是最低点，此时y有最小值；a<0时，顶点是最高点，此时y有最大值，最小值(或最大值)为0(k或)。 增 减 性 a>0 x<0(h或)时，y随x的增大而减小；x>0(h或)时，y随x的 而增大。 即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的 而增大。 a<0 x<0(h或)时，y随x的增大而增大；x>0(h或)时，y随x的 而减小。 即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的 而减小。 3、二次函数的平移： 方法一：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”． 概括成八个字“ ”． 任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，具体平移方法如下： 方法二： ⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成 （或） ⑵沿x轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或） 4、二次函数的图象与各项系数之间的关系 a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小． b的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异” c决定了抛物线与轴交点的位置 字母的符号 图象的特征 a a＞0 开口向上 a＜0 开口向下 b b＝0 对称轴为y轴 ab＞0(a与b同号) 对称轴在y轴左侧 ab＜0(a与b异号) 对称轴在y轴右侧 c c＝0 经过原点 c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 5、二次函数与一元二次方程之间的关系 判别式情况 b2－4ac＞0 b2－4ac＝0 b2－4ac＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的交点 a＞0 a＜0 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实数根 有两个不相等的实数根x1，x2 有两个相等的实数根x1＝x2 没有实数根 当b2－4ac＜0时 当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有； 当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有． 考点二 二次函数的应用 用二次函数解决实际问题的一般步骤： 1.审：仔细审题，理清题意； 2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； 3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； 4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题； 5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论． 利用二次函数解决利润最值的方法：巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最值解决利润最大问题。 利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法：先建立适当的平面直角坐标系，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图象信息解决实际问题。 利用二次函数解决面积最值的方法：先找好自变量，再利用相关的图形面积公式，列出函数关系式，最后利用函数的最值解决面积最值问题。 专题12 几何图形初步 考点一 线段与角 1、直线、射线、线段 (1)直线：经过两点有一条直线，并且只有一条直线。简称： 。 (2)相交线：当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线相交。这个公共点叫做它们的交点。 (3)两点的所有连线中，线段最短。 简称： 。 连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离。 (4)线段的中点：线段上的一个点把线段分成相等的两条线段，这个点叫做线段的中点。 (5)直线没有端点，向两方无限延伸，不可度量； 射线有一个端点，向一方无限延伸，不可度量； 线段有两个端点，不向任何一方延伸，能度量。 2、角 (1)定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。这个公共端点是角的顶点，两条射线是角的两条边。 (2)角的度量 1°=60′， 1′=60″ (3)角的分类 ①锐角(0°< α < 90°) ②直角(α = 90°) ③钝角(90°< α < 180°) ④平角(α =180°) ⑤周角(α =360°) (4)角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 (5)角平分线的性质与判定：角的平分线上的点到 。 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 (6)余角与补角 余角：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角 。 补角：如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角 。 性质：同角(等角)的余角相等。 。 考点二 相交线与平行线 1、邻补角与对顶角 邻补角：有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角，叫做 。 对顶角：有一个公共顶点，一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做 。 对顶角相等。 2、垂线 (1)定义：两直线相交所构成的四个角中有一个角是直角时，我们就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另外一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 (2)性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， 。 (3)点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 3、同位角、内错角、同旁内角 如图，∠1和∠4是同位角，∠3和∠4是内错角，∠2和∠4是同旁内角。 4、平行线 (1)定义：在平面内不相交的两条直线叫做平行线。 (2)平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行； 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 (3)平行线的性质 两条平行线被第三条直线所截， ； 两条平行线被第三条直线所截， ； 两条平行线被第三条直线所截， 。 (4)平行线的判定 两条直线被第三条直线所截， ，那么这两条直线平行； 两条直线被第三条直线所截， ，那么这两条直线平行； 两条直线被第三条直线所截， ，那么这两条直线平行。 专题13 三角形的初步认识 考点一 三角形的概念和三边关系 1．三角形的概念 由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形． 三角形特性 （1）三角形有三条线段 （2）三条线段不在同一直线上 三角形是封闭图形 （3）首尾顺次相接 三角形用符号“”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ABC”，读作“三角形ABC”． 2．三角形按边分类： ：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角． ：底边与腰相等的等腰三角形叫做等边三角形，即三边都相等． 3．三角形的三边关系 （1） ． 三角形的任意两边之差小于第三边．（这两个条件满足其中一个即可）． 用数学表达式表示就是：记三角形三边长分别是a，b，c，则a＋b＞c或0＜c－b＜a． （2）已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围： ． 考点二 三角形的重要线段和有关的角 1．三角形的高概念 从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）． 2．三角形的中线概念 在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做 ． 性质：三角形三条中线的交于一点，这一点叫做“ ”．三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形． 3．三角形的角平分线概念 三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做 ． 4．三角形的内角和定理 三角形三个内角和等于 ． 推论： ①直角三角形的两个锐角互余． ②三角形的一个 ． ③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 5．三角形的外角 三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角． 性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和． （2） 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角． 专题14 全等三角形 考点一 全等三角形的基本性质 1、全等三角形的概念 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。 2、全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。 3、三角形全等的判定 (1) ：三边分别相等的两个三角形全等。 (2) ：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。 (3) ：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。 (4) ：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等。 (5) ：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。 4、全等变换 只改变图形的位置，二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。 全等变换包括一下三种： （1）平移变换：把图形 的变换叫做平移变换。 （2）对称变换：将图形 ，这种变换叫做对称变换。 （3）旋转变换：将图形 ，这种变换叫做旋转变换。 考点二 常考的全等模型 1.平移模型 把△ABC沿着某一条直线l平行移动，所得到△DEF与△ABC称为平移型全等三角形，图①，图②是常见的平移型全等三角线. 2.轴对称模型 将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三角形称之为轴对称型全等三角形，此类图形中要注意期隐含条件，即公共边或公共角相等. 3.旋转模型 将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形，识别旋转型三角形时，涉及对顶角相等、等角加（减）公共角的条件. 4.一线三等角模型 三个等角的顶点在同一条直线，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角.这个模型称为一线三等角模型. （同侧）已知∠A=∠CPD=∠B=∠α，CP=PD （异侧）已知∠EAC=∠ABD=∠DPC=∠α，CP=PD 5.截长补短模型 该模型适用于求证线段的和差倍分关系，该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明。其中截长指在长线段中截取一段等于已知线段，补短指将短线段延长，使短线段加上延长线段长度等于长线段。 (1)截长: 在较长线段上截取一段等于某一短线段, 再证剩下的那一段等于另一短线段。 如图, 求证BE+DC=AD； 方法:①在AD上取一点F,使得AF=BE,证DF=DC;②在AD上取一点F,使DF=DC,证AF=BE (2)补短:将短线段延长,证与长线段相等 6.倍长中线模型 当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，使得延长后的线段是原中线的二倍，从而构造一对全等三角形(SAS)，并将已知条件中的线段和角进行转移. 已知点D为∆ABC中BC边中点，延长线段AD到点E使AD=DE, 1）连接EC,则∆ABD≌∆ECD，AB∥CE 2）连接BE,则∆ADC≌∆EDB，AC∥BE 7.手拉手模型 两个顶角相等的等腰三角形共用顶角顶点，分别连接对应的两底角顶点，从而可以得到一个经典的全等模型.因为顶点相连的四条边，形象可以看作两双手，通常称为“手拉手模型”. 如图，△ABC是等腰三角形、△ADE是等腰三角形，AB=AC，AD=AE， ∠BAC=∠DAE=α。结论：△BAD≌△CAE。 8.半角模型 当一个角包含着该角的半角，如90°角包含着45°角，120°角包含着60°角，270°角包含着135°角，即出现倍角关系，且这两个角共顶点，共顶点的两条边相等，则该模型为半角模型。解题方法为：1）过公共点作旋转，2）截长补短的方法构造全等解题。 如图：已知∠2=∠AOB，OA=OB 专题15 等腰三角形、等边三角形 考点一 等腰三角形 1.等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的性质定理及推论： 定理：等腰三角形的两个底角相等（简称： ）； 推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的 。 （2）等腰三角形的其他性质： ①等腰直角三角形的两个底角相等且 ° ②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。 ③等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则<a ④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°—2∠B，∠B=∠C= 2.等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称： ）。 考点二 等边三角形 1.等边三角形的概念 三条边都相等的三角形叫等边三角形，它是 . 2.等边三角形的性质 1）等边三角形的 . 2）三个内角都相等，并且每 . 3.等边三角形的判定 1） 的三角形是等边三角形. 2） 的等腰三角形是等边三角形. 特别注意：等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合． 专题16 直角三角形、勾股定理 考点一 直角三角形的性质和判定 1.直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形． 2.直角三角形的性质：1）直角三角形两个 . 2）直角三角形斜边上的中线 . 3）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于 . 3.直角三角形的判定：1） 的三角形是直角三角形. 2） 的三角形叫做直角三角形． 3） ：如果三角形的三边长a，b，c，若a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。 考点二 勾股定理 1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么. 2.勾股定理的证明方法： 方法一（图一）：，，化简可证． 方法二（图二）：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 大正方形面积为，所以 方法三（图三）：，，化简得证 图一 图二 图三 考点三 勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理：如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边. 拓展：若，时，以，，为三边的三角形是钝角三角形； 若，时，以，，为三边的三角形是锐角三角形 专题17 多边形与平行四边形 考点一 多边形 多边形的定义：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形. 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.  多边形对角线条数：从n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n-2) 个三角形，n边形的对角线条数为  多边形内角和定理：n边形的内角和为 . 多边形外角和定理：任意多边形的外角和等于360°，与多边形的形状和边数无关. 正多边形的定义：各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形. 考点二 平行四边形 平行四边形的定义： 的四边形叫做平行四边形. 平行四边形的性质：1)对边平行且相等； 2）对角相等、邻角互补； 3)对角线互相平分； 4)平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，平行四边形的对角线的交点是平行四边形的对称中心. 平行四边形的判定定理： ①定义： 的四边形是平行四边形． ② 的四边形是平行四边形． ③ 的四边形是平行四边形． ④ 的四边形是平行四边形． 考点三 三角形的中位线 三角形中位线概念：连接三角形两边中点的线段叫做三角形中位线. 三角形中位线定理： . 拓展： 结论1：三条中位线组成一个三角形，其 . 结论2：三条中位线将原三角形分割成 . 结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的 . 结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线 . 结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等. 专题18 特殊的平行四边形 考点一 矩形 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做 . 矩形的性质：1）矩形具有平行四边形的所有性质； 2）矩形的四个角都是 ； 3）对角线互相 ； 4）矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形.矩形的对称中心是矩形对角线的交点；矩形有两条对称轴，矩形的对称轴是过矩形对边中点的直线；矩形的对称轴过矩形的对称中心. 矩形的判定：1) 平行四边形是矩形； 2） 平行四边形是矩形； 3） 的四边形是矩形. 考点二 菱形 菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 菱形的性质： 1）具有平行四边形的所有性质； 2）四条边都相等； 3）两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角. 4）菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，菱形的对称中心是菱形对角线的交点，菱形的对称轴是菱形对角线所在的直线，菱形的对称轴过菱形的对称中心. 菱形的判定： 1） ( A )的平行四边形是菱形. 2） 的平行四边形是菱形. 3） 的四边形是菱形. 考点三 正方形 正方形的定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 正方形的性质： 1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质. 2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等. 3）正方形对边平行且相等. 4）正方形的对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角； 5）正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形； 6）正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形. 注意：正方形对角线与边的夹角为 . 正方形的判定： 1）平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角； 2）矩形+一组邻边相等； 3）矩形+对角线互相垂直； 4）菱形+一个角是直角； 5）菱形+对角线相等. 【解题技巧】判定一个四边形是正方形通常先证明它是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直；或者先证明它是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等；还可以先判定四边形是平行四边形，再证明它有一个角为直角和一组邻边相等． 专题19 圆的基本性质和计算 考点一 圆的相关概念及性质 1. 圆的定义 圆的定义：第一种：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆。固定的端点O叫作圆心，线段OA叫作半径。第二种：圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合。 比较圆的两种定义可知：第一种定义就是圆的形成进行描述的，第二种就是运用集合的观点下的定义，但就是都说明确定了定点与定长，也就确定了圆。 2. 圆的相关概念 （1） 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫作 。 （2） 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做 。 （3） 等圆：等够重合的两个圆叫做 。 （4） 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做 。 弦就是线段，弧就是曲线，判断等弧首要的条件就是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆中完全重合的弧才就是等弧，而不就是长度相等的弧。 3. 圆的对称性 圆就是轴对称图形，任何一条直径所在直线都就是它的对称轴。 4. 垂径定理 垂径定理： 。 垂径定理的推论： 注意：因为圆的两条直径必须互相平分，所以垂径定理的推论中，被平分的弦必须不就是直径，否则结论不成立。 5. 弦、弧、圆心角的关系 （1） 弦、弧、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 （2） 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量也相等。 （3） 注意不能忽略同圆或等圆这个前提条件，如果丢掉这个条件，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等，比如两个同心圆中，两个圆心角相同，但此时弧、弦不一定相等。 6. 圆周角定理 （1） 圆周角定理： 。 （2） 圆周角定理的推论： 。 （3） 圆周角定理揭示了同弧或等弧所对的圆周角与圆心角的大小关系。“同弧或等弧”就是不能改为“同弦或等弦”的，否则就不成立了，因为一条弦所对的圆周角有两类。 7. 圆内接四边形及其性质 圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。 圆内接四边形的性质： 。 考点二 与圆有关的位置关系 1. 点与圆的位置关系 （1） 点与圆的位置关系有： 。 （2） 用数量关系表示：若设⊙O的半径就是r，点P到圆的距离OP=d，则有： 点P在圆外,则 d＞r；点P在圆上则d=r；点P在圆内则d＜r,反之也成立。 2. 三角形的外接圆与外心 （1） 经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的 。 （2） 外接圆的圆心就是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个 。 3.直线与圆的位置关系 （1） 直线与圆的位置关系有： 。 （2） 直线与圆的位置关系可以用数量关系表示 若设⊙O的半径就是r，直线l与圆心0的距离为d，则有： 直线l与⊙O相交则d ＜ r； 直线l与⊙O相切则 d = r； 直线l与⊙O相离则d ＞ r,反之也成立。 3. 切线的判定与性质 （1） 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线就是圆的切线。 （2） 切线的性质定理： 。 （3） 切线的其他性质：切线与圆只有一个公共点；切线到圆心的距离等于半径；经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；必过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 4. 切线长定理 （1） 切线长的定义： 。 （2） 切线长定理： 。 （3） 注意：切线与切线长就是两个完全不同的概念，必须弄清楚切线就是直线，就是不能度量的；切线长就是一条线段的长，这条线段的两个端点一个就是在圆外一点，另一个就是切点。 6. 三角形的内切圆与内心 (1) 三角形的内切圆定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。这个三角形叫做圆的外切三角形。 (2) 三角形的内心：三角形内切圆的圆心叫做 。 (3) 注意：三角形的内心就是三角形三条角平分线的交点，所以当三角形的内心已知时，过三角形的顶点与内心的射线，必平分三角形的内角。 专题20 圆的综合 考点一 圆内知识综合 1.圆的基本概念 圆的定义、半径、直径、弦、弧（优弧/劣弧/等弧）、圆心角、圆周角、弦心距的概念辨析。 同圆或等圆中，半径相等，等弧对等弦、等圆心角、等圆周角。 2.三大核心定理 垂径定理及推论：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧；平分弦（非直径）的直径垂直于弦，是圆中线段长度计算（勾股定理）的核心依据。 圆心角、弧、弦关系定理：同圆/等圆中，一组量相等则其余对应量均相等。 圆周角定理及推论：同弧所对圆周角 = 圆心角的一半；直径所对圆周角为直角；90° 圆周角所对弦为直径；同弧/等弧所对圆周角相等。 3.点与圆的位置关系 判定依据：点到圆心的距离d与半径r的大小关系（d>r外离、d=r相切、d<r相交） 三角形外接圆：外心是三边垂直平分线交点，到三顶点距离相等。 4.圆内计算核心方法 弦长计算：垂径定理+勾股定理 角度转化：圆周角、圆心角、弦切角（拓展）的互化 辅助线作法：作半径、作弦心距、连直径构造直角三角形 考点二 圆与三角形的综合 1.直线与圆的位置关系 判定：圆心到直线距离d与r比较（相交d<r、相切d=r、相离d>r）。 切线的判定与性质：切线垂直于过切点的半径；证切线两大方法（连半径证垂直、作垂直证半径）。 2.切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，该点与圆心连线平分两条切线的夹角。 3.三角形与圆的特殊结合 直角三角形与圆：斜边为直径⇒圆过直角顶点；直角三角形外接圆半径斜边。 等腰 / 等边三角形与圆：结合垂径定理，圆心在三角形的对称轴上，易构造全等三角形。 三角形内切圆：内心是角平分线交点，到三边距离相等，内切圆半径r=2S/C（S面积，C周长）。 4.相似三角形在圆中的应用 圆中相似模型：母子相似、圆周角相等构造 AA 相似、弦切角定理衍生相似。 应用：求线段比例、线段长度、证明等积式（a⋅b=c⋅d） 5.辅助线规律：遇切线连半径，遇直径作直角，遇弦作弦心距。 考点三 圆与四边形的综合 1.圆内接四边形性质（核心考点） 对角互补；外角等于内对角；四个顶点均在圆上。 2.特殊四边形与圆的结合 矩形：一定有外接圆（对角线为直径）。 正方形：既有外接圆又有内切圆，圆心为对角线交点。 菱形：只有内切圆（无外接圆，除非是正方形）。 等腰梯形：一定是圆内接四边形。 3.圆外切四边形性质 圆外切四边形对边和相等（AB+CD=AD+BC）。 4.综合考查方向 判定四边形形状；求四边形内角、边长、面积；证明线段相等 / 平行 / 垂直；结合切线、相似进行综合推导。 考点四 圆与函数的综合 1.坐标系中的圆 圆的标准方程：(x−a)2+(y−b)2=r2（圆心(a,b)，半径r，初中拓展应用） 圆心坐标、半径的求解：利用中点公式、距离公式计算 2.圆与函数图象的位置关系 圆与直线（一次函数）：联立方程⇒判别式判定位置关系；结合切线性质求切点坐标、切线解析式。 圆与抛物线（二次函数）：交点坐标求解、结合动点考查最值与存在性。 3.动点与圆的综合 动点轨迹为圆的判定：定角对定边、到定点距离为定值。 最值问题：线段最值（将军饮马、圆外一点到圆的最值d±r）、面积最值、角度最值。 4.存在性问题 圆上找点构成特殊三角形（等腰、直角）、特殊四边形（平行、菱形）。 切线存在性、相似三角形存在性。 5.核心方法 数形结合、分类讨论、方程思想；辅助线结合坐标系作垂线、连半径、构造直角三角形。 专题21 图形的对称、平移、旋转 考点一 轴对称与中心对称图形 1.轴对称与中心对称 类别 轴对称 中心对称 定义 把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴.折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点. 如果一个图形绕某点旋转180°后与另一个图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称. 性质 1）对应点的连线被对称轴垂直平分； 2）成轴对称的两个图形全等； 3） . 1）对应点的连线都经过对称中心，且被对称中心平分； 2）成中心对称的两个图形全等； 3）只有一个对称中心. 2.轴对称图形与中心对称图形 类别 轴对称图形 中心对称图形 定义 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴. 如果一个图形绕某一点旋转 后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的 . 性质 1）有 ; 2）将图形沿对称轴折叠后，对称轴两旁的部分完全重合. 1) 有 ; 2) 将图形绕对称中心旋转180°旋转后的图形能与原来的图形重合. 考点二 图形的平移 平移的定义：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，图形这种移动叫做 ．它是由移动方向和距离决定的. 平移的性质： 1）平移不改变图形的大小、形状，只改变图形的位置，因此平移前后的 . 2）平移前后对应线段平行（或在同一条直线上）且相等、 . 3）任意两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等，对应点之间的距离就是平移的距离. 平移作图的步骤： 1）定：根据题目要求，确定平移的方向和距离； 2）找：找出确定图形形状的关键点； 3）移：过这些关键点作与平移方向平行的射线，在射线上截取与平移的距离相等的线段，得到关键点的对应点； 4）连：按原图顺序依次连接各对应点. 【注意】确定一个图形平移后的位置需要三个条件：①图形原位置；②平移的方向；③平移的距离. 考点三 图形的旋转 旋转的概念：在平面内，一个图形绕一个定点沿某个方向(顺时针或逆时针)转过一个角度，这样的图形运动叫旋转．这个定点叫做旋转中心，转过的这个角叫做旋转角． 旋转的三要素： ． 旋转的性质： 1）对应点到 ； 2）每对对应点与旋转中心所连线段的 ； 3）旋转前后的 ． 作图步骤： 1）根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角； 2）找出原图形的关键点； 3）连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点； 4）按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形． 专题22 相似三角形和位似 考点一 相似和相似图形的概念 1.相似图形：把形状相同的图形叫做相似形. 【补充】1）相似图形的形状完全一样，图形的大小不一定相同； 2）全等图形是一种特殊的相似图形，它们不仅形状相同，大小也相同； 3）判断两个图形是否相似，就是看两个图形是不是形状相同，与其它的因素无关. 2.相似多边形及、性质与判定 相似多边形的定义：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形. 相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比. 相似多边形的表示：两个相似多边形可以用符号“∽”，读作“相似于”. 【补充】1）相似多边形的三个条件：①边数相同；②对应角相等；③对应边成比例； 2）全等多边形的相似比是1，即全等图形是一种特殊的相似图形；； 3）当用符号“∽”表示两个相似图形时，对应点必须写在对应位置. 考点二 相似三角形 相似三角形的定义：三个角对应相等，三条边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形.如△ABC和△DEF相似可表示为△ABC∽△DEF. 【补充】三角形全等是三角形相似的特殊情况，全等三角形的相似比等于1. 【注意事项】符号“∽”表示两个三角形相似时，要把表示对应顶点的大写字母写在对应的位置上，如△ABC∽△DEF，表示顶点A与D，B与E，C与F分别对应； 【易错点】如果仅说△ABC与△DEF相似，没有用“∽”连接，则需要分情况讨论它们之间的对应关系. 相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比. 【补充】相似比具有顺序性，如△ABC∽△DEF，相似比为k，则△DEF与△ABC的相似比为. 常见的基本图形： 图①和图②分别为“A型”图和“X型”图，条件是DE//BC，基本结论是△ABC∽△ADE； 图③、图④是图①的变形图，图⑤是图②的变形图; 图⑥是“母子型”图，条件是BD为直角△ABC斜边上的高，基本结论是△ABC∽△BDC∽△ADB. 相似三角形的判定方法： 1）判定三角形相似的常用定理： ① （或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． ② 的两个三角形相似； ③ 且夹角相等的两个三角形相似； ④ 两个三角形相似． 2）直角三角形相似的判定方法： ① 的两个直角三角形相似. ② 的两个直角三角形相似. ③ 的两个直角三角形相似. 相似三角形的性质： 1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 【补充】己知两三角形相似，写对应角相等，对应边成比例时，原则是“大对大，小对小；长对长，短对短”. 【小技巧】相似多边形对应边的比相等是求某条线段的长或求两条线段的比的一种常用方法，采用此方法时一定要注意找准对应关系. 2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 3）相似三角形周长的比等于相似比. 4）相似三角形面积比等于相似比的平方. 5）传递性：若△ABC∽△BDC，△ABC∽△ADB，则△BDC∽△ADB. 考点三 位似 1.位似图形 定义: 如果两个图形不仅是相似图形，且对应点连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做 . 【概念混淆】位似图形一定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形. 判断位似图形的方法：首先看这两个图形是否相似，再看对应点的连线是否经过位似中心. 2. 位似图形的性质 1) 位似图形的所有对应点的连线所在的直线相交于一点. 2）位似图形的对应线段 . 3) 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比. 4）位似图形是相似图形,具有相似图形的一切性质. 5）一对对应边与位似中心(不在同一直线上)形成的两个三角形相似 3. 画位似图形的一般步骤： 1）确定位似中心. 2）连接位似中心和原图的关键点并延长. 3）根据位似比，确定所作的位似图形的关键点. 4）顺次连接上述各点，得到放大或缩小后的图形. 注意事项： 1）两个位似图形的位似中心，有一个. 2）两个位似图形的位似中心可能位于图形的内部、外部或边上. 3）两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的同侧.（即画位似图形时，注意关于某点的位似图形有两个.） 4.位似变换的坐标特征 一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx，ky)或(-kx，-ky). 【小结】以原点为位似中心的位似图形的坐标符号变化：若两个图形在 ，则对应点的横、纵坐标 ；若两个图形在 ，则对应点的横、纵坐标 . 专题23 锐角三角函数、解直角三角形 考点一 锐角三角函数 1.正弦、余弦、正切 正弦：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把 叫做 ∠A的正弦，记作sin A，即； 余弦：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把 叫做 ∠A的余弦，记作cos A，即； 正切：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把 叫做 ∠A的正切，记作tan A，则 【注意】1）正弦、余弦、正切是在直角三角形中进行定义的，本质是两条线段的比，因此没有单位，只与角的大小有关，而与直角三角形的边长无关. 2）根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形. 3）表示，可以写成，不能写成(正弦、余弦相同). 2. 锐角三角函数 锐角三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都是∠A的三角函数．（其中：0＜∠A＜90°） 取值范围：在Rt△ABC中，∠C=90°，由于直角边一定比斜边短，故有如下结论：，，. 增减变化：当0°＜∠A＜90°，sin A，tan A随∠A的 ，cos A随∠A的 . 【补充】利用锐角三角函数值的增减变化规律可比较锐角的大小. 3. 特殊角的三角函数值 利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，如下表所示： 三角函数值 特殊角 30° 45° 60° sin α cos α tan α 4. 锐角三角函数的关系： 在Rt△ABC中，若∠C为直角，则∠A与∠B互余时，有以下两种关系： 1）同角三角函数的关系： ① 平方关系：； ② 商数关系：. 2) 互余两角的三角函数关系： ① 互余关系： sin A = cos(90°-∠A) = cos B，即一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值. sin B = sin(90°-∠A) = cos A，即一个锐角的余弦值等于它的余角的正弦值. ② 倒数关系： 考点二 解直角三角形 1. 解直角三角形 定义：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形． 在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系： 1）直角三角形的五个元素：边：a、b、c，角：∠A、∠B. 2）三边之间的关系： . 3）两锐角之间的关系： . 4）边角之间的关系：sin A = ，sin B = ，cos A= ，tan A = . 【补充】三角函数是连接边与角的桥梁. 5）面积公式（h为斜边上的高）. 2. 解直角三角形的常见类型 已知条件 解法步骤 图示 两 边 斜边和一直角边(如c，a) ，∠B=90°－∠A， 两直角边(如a，b) ，∠B=90°－∠A， 一 边 一 角 斜边和一锐角（如c，∠A） ∠B=90°－∠A ， 一直角边和一锐角（如a，∠A） ∠B=90°－∠A， 另一直角边和一锐角（如b，∠A） ∠B=90°－∠A， 【注意】已知两个角不能解直角三角形，因为有两个角对应相等的两个三角形相似，但不一定全等，因此其边的大小不确定. 【总结】在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其中的两个元素(至少有一条边)，可求出其余的三个未知元素(知二求三). 【已知一边一角的记忆口诀】有斜求对用正弦，有斜求邻用余弦，无斜求对(邻)用正切. 专题24 统计与概率 考点一 数据的收集与整理 1、普查与抽样调查 概念 优缺点 举例 普查 为特定的目的对全部考察对象进行的调查，叫做全面调查. 优点：收集到的数据全面、准确. 缺点：一般花费多、工作量大，耗时长. 1）检测“神舟十六号”飞船的零部件. 2）了解全班50名同学每天体育锻炼的时间. 抽样调查 抽取一部分对象进行调查，根据调查样本数据推断全体对象的情况叫抽样调查. 优点：调查范围小，花费少、工作量较小，省时. 缺点：抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估计的准确程度. 1）测试一批灯泡的使用寿命或炮弹的杀伤半径等. 2）调查某批中性笔的使用寿命. 3）了解全国中学生的视力和用眼卫生情况. 2、总体、个体、样本及样本容量 分类 概念 注意事项 举例 总体 所要调查的全体对象 考察一个班学生的身高，那么总体就是指这个班学生身高的全体，不能错误地理解为学生的全体为总体. 对全市2.3万名初中毕业生升学考试的数学成绩进行统计调查，为了了解这2.3万学生的数学成绩，从中抽取1000名学生的数学成绩进行统计.那么: 总体指的是2.3万名学生的数学成绩； 个体指的是每一个学生的数学成绩； 样本指的是2000名学生的数学成绩； 样本容量是2000. 个体 总体中的每一个考察对象 总体包括所有的个体. 样本 从总体中抽取的部分个体 样本是总体的一部分，一个总体中可以有许多样本，样本能够在一定程度上反映总体. 样本容量 样本中个体的数目（无单位） 一般地，样本容量越大，通过样本对总体的估计越精确. 考点二 数据分析 平均数 定义：一般地，如果有n个数x1，x2，…，xn，那么 ==，读作 “x拔”. 优点：平均数能充分利用各数据提供的信息，在实际生活中常用样本的平均数估计总体 的平均数. 缺点：在计算平均数时，所有的数据都参与运算,所以它易受极端值的影响. 加权平均数 定义：若个数，，…，的权分别是，，…，，则，叫做 这个数的加 权平均数. 【注意】若各数据权重相同，则算术平均数等于加权平均数. 中位数 定义：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据 的平均数）叫做这组数据的中位数. 优点：中位数不受个别偏大或偏小数据的影响,当一组数据中的个别数据变动较大时, 一般用中位数来描述数据的集中趋势. 缺点：不能充分地利用各数据的信息. 众数 定义：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数. 优点：众数考察的是各数据所出现的频数,其大小只与部分数据有关，当一组数据中某些 数据多次重复出现时，众数往往更能反映问题. 缺点：当各数据重复出现的次数大致相等时,它往往就没有什么特别意义. 方差 定义：在一组数据，，…，中，各个数据与平均数的差的平方的平均数叫做这组数据的方差，记作.计算公式是：. 意义：方差是用来衡量数据在平均数附近波动大小的量，方差越大，数据的波动性越大，方差越小，数据的波动性越小. 极差 定义：一组数据中最大值减去最小值的差叫做极差. 【注意】极差是由数据中的两个极端值所决定的,当个别极端值远离其他数据时，极差往 往不能反映全体数据的实际波动情况. 标准差 定义：方差的算术平方根,即 【补充】标准差也是用来描述一组数据波动的情况,常用来比较两组数据波动的大小. 考点三 统计图（表）的应用 统计图 图形 优点 缺点 常见结论 条形统计图 1）能清楚地表示出每个项目中的具体数目. 2）易于比较数目之间的差别. 对于条形统计图，人们习惯于由条形柱的高度看相应的数据，即条形柱的高度与相应的数据成正比，若条形柱的高度与数据不成正比，就容易给人造成错觉. 各组数量之和=总数 扇形统计图 能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比. 在两个扇形统计图中，若一个统计图中的某一个量所占的百分比比另一个统计图中的某个量所占的百分比多，这样容易造成第一个统计量比第二个统计量大的错误理解. 各部分百分比之和=100%； 各部分圆心角的度数=相应百分比×360° 折线统计图 能清楚的反映各数据的变化趋势. 在折线图中，若横坐标被“压缩”，纵坐标被“放大”，此时的折线统计图中的统计量变化量变化明显，反之，统计量变化缓慢. 各种数量之和=样本容量 频数分布直方图 直观显示各组频数的分布情况，易于显示各组之间频数的差别 各组数量之和=样本容量; 各组频率之和=1; 数据总数×相应的频率=相应的频数 步骤： ①计算数据的最大值与最小值的差. ②选取组距，确定组数. ③确定各组的分点. ④列频数分布表. ⑤画出频数直方图. 【易错易混】 1. 条形统计图中每个小长方形的高即为该组对象数据的个数（频数），各小长方形的高之比等于相应的个数（频数）之比. 2. 扇形统计图中，用圆代表总体，扇形的大小代表各部分数量占总体数量的百分数，但是没有给出具体数值，因此不能通过两个扇形统计图来比较两个统计量的多少. 3. 在利用折线统计图比较两个统计量的变化趋势时，要保证两个图中横、纵坐标的一致性，即坐标轴上同一单位长度所表示的意义应该一致. 4. 画频数分布直方图时，分组要遵循三个原则：不空，即该组必须有数据；不重，即一个数据只能在一个组；不漏，即不能漏掉某一个数据. 考点四 概率的相关概念 1、确定事件与随机事件 类别 定义 举例 确定事件 必然 事件 在一定条件下，有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件. 在一个只装有红球的袋子中摸球，摸出红球. 不可能事件 在一定条件下，有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件. 在一个只装有红球的袋子中摸球，摸出白球. 不确定事件（随机事件） 在一定条件下，许多事情我们无法确定它会不会发生，这些事情称为不确定事件（又叫随机事件）. 在一个装有红球和白球的袋子中摸球，摸出白球. 2、概率的定义 概率：一般地，对于一个随机事件A，把刻画其发生可能性大小的数值，称之为随机事件A发生的概率，记为P(A). 概率的意义：一个事件发生的概率是一个确定的数，它从数值上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小. 概率的取值范围：当事件A为必然事件时，P(A)=1；当事件A为不可能事件时, ；当事件A为随机事件时， . 【注意事项】 1）概率大，并不能说明事件一定发生，只是发生的可能性大；概率小，并不能说明事件不发生，只是发生的可能性小； 2）在一次试验中，如果事件的各种结果发生的可能性不相等，就不能用概率公式进行计算. 专题25 尺规作图与定义、命题、定理 考点一 尺规作图 定义：最基本、最常用的尺规作图，通常称作基本作图, 五种基本作图： 1）作一条线段等于已知线段 已知 线段 a 求作 线段0A，使OA等于a 作法 1）任作一条射线OP； 2） ，交0P于点A，则线段OA 即为所求 依据 圆上的点到圆心的距离等于半径. 2）作一个角等于已知角 已知 ∠AOB 求作 ∠A'O'B'，使∠A'O'B'=∠AOB 作法 1）作射线O'A'； 2） ，交0A于点C，交OB于点 D； 3）以点0'为圆心，0C的长为半径画弧，交O'A'于点E； 4）以点E为圆心，CD的长为半径画弧，交前弧于点F； 5）经过点F作射线O'B',ㄥA'0'B'即为所求. 依据 1）三边分别相等的两个三角形全等； 2）全等三角形的对应角相等； 3）两点确定一条直线. 3）作已知角的角平分线 已知 ∠AOB 求作 射线OP，使∠AOP=∠BOP 作法 1） 交0A于点M，交0B于点N； 2）分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点P； 3）作射线OP，射线OP即为所求. 依据 1）三边分别相等的两个三角形全等； 2）全等三角形的对应角相等； 3）两点确定一条直线. 4）过一点作已知直线的垂线 已知 直线AB和AB上的一点M 求作 AB的垂线，使它经过点M 作法 .直线MF就是所求作的垂线. 已知 直线AB和AB外一点M 求作 AB的垂线，使它经过点M 作法 1）任意取一点P，使点P和点M在AB的两旁； 2） ； 3）分别以点C和点D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点E； 4）作直线EM，直线EM就是所求作的垂线. 依据 1）等腰三角形“三线合一”； 2）两点确定一条直线. 5）作线段的垂直平分线 已知 线段AB 求作 线段AB的垂直平分线 作法 1） ，两弧相交于点M和点N； 2）作直线MN，直线MN就是线段AB的垂直平分线. 依据 1）到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上； 2）两点确定一条直线. 尺规作图的关键: 1）先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么； 2）读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题； 3)切记作图中一定要保留作图痕迹； 4）无刻度直尺作图通常会与等腰三角形的判定，三角形中位线定理，矩形的性质和勾股定理等几何知识点结合，熟练掌握相关性质是解题关键. 考点二 定义、命题、定理 1. 命题 定义：判断一件事情的语句，叫做命题. 组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． 表达形式：可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论． 2.真命题、假命题 内容 举例 注意 真命题 如果题设成立，那么结论一定成立的命题，叫做真命题 ‌对顶角不相等 说明一个命题是真命题，需从已知出发,经过一步步推理，最后得出正确结论 假命题 命题中题设成立时，不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题 ‌相等的角是对顶角 判定一个命题是假命题，只要举出一个例子(反例)，使它符合命题的题设，但不满足结论即可 3.逆命题 逆命题：把原命题的结论作为命题的题设，把原命题的题设作为命题的结论，所组成的命题叫做原命题的逆命题. 互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题． 4.公理、定理 公理：如果一个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理.如：两点之间线段最短. 定理：如果一个命题可以从公理或其他命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫做定理． 5.互逆定理 互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理． 6.反证法 定义：先假设原命题的结论不正确，然后从这个假设出发，经过逐步推理论证，最后得出与学过的概念、基本事实、已证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果，这种证明的方法叫做反证法. 反证法的步骤：①假设命题结论的反面正确；②从假设出发，经过逻辑推理，推出与公理、定理、定义或已知条件相矛盾的结论；③说明假设不成立，从而得出原命题正确． 学科网（北京）股份有限公司 $清单01中考数学考前必背核心考点 (25个专题57个考点) 专题01实数及其运算 ..2 专题02整式与因式分解 .4 专题03分式 ..7 专题04一次方程（组） .9 专题05 一元二次方程 10 专题06分式方程 .13 专题07不等式（组）》 .15 专题08位置与函数 .16 专题09一次函数 .20 专题10反比例函数. .23 专题11 二次函数 .25 专题12几何图形初步 28 专题13三角形的初步认识… .31 专题14全等三角形.… 33 专题15等腰三角形、等边三角形… 37 专题16直角三角形、勾股定理 .38 专题17多边形与平行四边形 .40 专题18特殊的平行四边形. .41 专题19圆的基本性质和计算 .43 专题20圆的综合 .46 专题21图形的对称、平移、旋转 48 专题22相似三角形和位似 .50 专题23锐角三角函数、解直角三角形. .55 专题24统计与概率… ...59 专题25尺规作图与定义、命题、定理… ...65 专题01实数及其运算 【考点一实数的分类】 1.实数的分类 分法一：按照定义分类 实数可以分为：有理数、无理数。 有理数可以分为：整数、分数。 整数可以分为：正整数、O,负整数。 分数可以分为：正分数、负分数。 正有理 有限小数或 有理 0 无限循环小数 实数 负有理 了F无理 无理 几负无理 无限不循环小 分法二：按照性质分类 正实数 实数0 负实数 2.实数的相关概念 (1)数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 （2)相反数 代数定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 几何定义：在数轴上原点的两旁，离开原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为 相反数。 一般地，a和-a互为相反数。Q的相反数是0。 a=-a所表示的意义是：一个数和它的相反数相等。很显然，a=0。 (3)绝对值 定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作。 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。 即：如果a>0,那么|a=a; 如果a=0,那么|a=0; 如果a<0,那么|a=a。 a=|所表示的意义是：一个数和它的绝对值相等。很显然，a之≥0。 (4)倒数 定义：乘积是1的两个数互为倒数。即：如果a与b互为倒数，则有b=1,反之亦 成立。 a=a所表示的意义是：一个数和它的倒数相等。很显然，a=±1。 (5)科学记数法 定义：把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a大于或等于1且小于10，n是 正整数)，这种记数方法叫做科学记数法。小于-10的数也可以类似表示。 用科学记数法表示一个绝对值大于10的数时，n是原数的整数数位减1得到的正整 数。 用科学记数法表示一个绝对值小于1的数(a×10)时，n是从小数点后开始到第一 个不是Q的数为止的数的个数。 (6)近似数 一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数近似到哪一位，也叫做精确到哪 一位。精确到十分位一精确到0.1；精确到百分位一精确到0.01；…。 3.平方根、算术平方根和立方根 平方根 如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a的平方根（或二次方根）。 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 算术平方根 正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作"Va”。 正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 立方根 如果一个数的立方等于a,那么这个数就叫做a的立方根（或a的三次方根）。 一个正数有一个正的立方根：一个负数有一个负的立方根：零的立方根是零。 4.实数的大小比较 (1)数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 (2)求差比较：设a、b是实数，a-b>0a>b;a-b=0a=b;a-b<0a<b: (3)求商比较法：设a、b是两正实数，6>1a>b,=1a=b:<1a<b: (4)绝对值比较法：设a、b是两负实数，则a>ba>b: (5)平方法：设a、b是两负实数，则a2>b2一a<b】 【考点二实数的运算】 1.实数的运算法则 加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加：绝对值不相等的异号两 数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数 的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数。 加法运算律：①交换律a+b=b+a;②结合律(a+h)+c=a+(b+d。 减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数。即：日-b=a+(-b): 乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘，都 得0。 乘法运算律：①交换律abba;②结合律(ab)c=a(bc;③分配律a(b+d=ab+ac: 除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。即：日÷b=a地。 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数， 都得0。 2.实数的运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。 实数范围内混合运算的顺序：①先乘方开方，再乘除，最后加减：②同级运算，从左 到右进行：③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 3.常见的几种实数运算 (1)乘方 定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。乘方的结果叫做幂。 a=a●a●.●a 如： 是个a 读作a的n次方（幂），在a中，a叫做底数，n叫做指数。 性质：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数；0的 任何正整数次幂都是0。 (2)零指数幂：a=1(a0). (3)负整数指数幂：aP=aP(a+0,p为正整数)： 专题02整式与因式分解 【考点一代数式】 1.代数式 用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字 母也是代数式。 2.代数式的值 用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出结果，叫做代数式的值。 【考点二整式及其运算】 1.单项式 用数或字母的乘积表示的式子叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。 单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。一个单项式中，所有字母的指数的和叫 做这个单项式的次数。 注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如 -4b 13 这种表示就是错误的，应写成3。一个单项式中，所有字母的指数的和 叫做这个单项式的次数。如-5abc是6次单项式。 2.多项式 几个单项式的和叫做多项式。其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做 常数项。多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。 单项式与多项式统称整式。 3.同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。 4.合并同类项 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。 合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不 变。 5.整式的运算 (1)整式的加减 几个整式相加减，如有括号就先去括号，然后再合并同类项： 去括号法则：同号得正，异号得负。即括号外的因数的符号决定了括号内的符号是否 改变： 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同： 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。 (2)整式的乘除运算 ①同底数幂的乘法：a”·a二an。同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 ②幂的乘方：(a)-a“。幂的乘方，底数不变，指数相乘。 ③积的乘方：(ab)=a6。积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂 相乘。 ④单项式与单项式的乘法：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘， 对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 ⑤单项式与多项式的乘法：p(a+什c)三pa+pb计pc。单项式与多项式相乘，就是用单项式 去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 ⑥多项式与多项式的乘法：(a+b)(p叶a)=a叶ag+bpt ba。多项式与多项式相乘，先用一 个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 平方差公式：(+)(a-b)=a-b。两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平 方差。这个公式叫做平方差公式。 完全平方公式：(a+b)=a+2ab计，(a-b)=a°-2ab叶b。两个数的和（或差）的平方，等于 它们的平方和，加上（或减去）它们积的2倍。这两个公式叫做完全平方公式。 ⑦同底数幂的除法：a÷aa”。同底数幂相除，底数不变，指数相减。 任何不等于0的数的0次幂都等于1。 ⑧单项式与单项式的除法：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式， 对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 ⑨多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式， 再把所得的商相加。 【考点三因式分解】 1.因式分解的定义 把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分 解，也叫做把这个多项式分解因式。 以上公式都可以用来对多项式进行因式分解，因式分解的常用方法： ①提公因式法：pa+ptpc=p(a+b计c: ②公式法：a2-B=(atb)(a):a+2abtb=(atD;a-2abtb=(a-b)2 ③分组分解法：acad+bc tcd-=a(ctd)+bcd)=ab)ctd ④十字相乘法：a+(pto)atpg=(ap)(atg 2.因式分解的一般步骤： (1)如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。 (2)在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式 可以尝试运用公式法分解因式：3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式 及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式 (3)分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解 专题03分式 【考点一分式的概念和性质】 1、分式的定义 般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子4叫做分式。 B 注：A、B都是整式，B中含有字母，且B≠O。 2、分式的基本性质 分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。 A A.C AA÷C (C≠0)。 BB·C BB÷C 3、分式的约分和通分 定义1：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分 式的约分。 定义2：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。 定义3：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等 的同分母的分式，叫做分式的通分。 定义4：各分母的所有因式的最高次幂的积叫做最简公分母。 【考点二分式的运算】 1、分式的乘除 ①乘法法则： a c a.c b d bd 。分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作 为积的分母。 ②除法法则： a:c=.d_d。分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位 b d b c b.c 置后，与被除式相乘。 ③分式的乘方： a b分。 分式乘方要把分子、分母分别乘方。 ④整数负指数幂： Q 2、分式的加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减： 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。 ①同分母分式的加减：“±=a±五 ②异分母分式的加法：2±C-a±bc-ad±bc bdbd bdbd 注：不论是分式的哪种运算，都要先进行因式分解。 专题04一次方程（组） 【考点一一元一次方程及其应用】 1.方程 定义：含有未知数的等式叫做方程。 2.方程的解 定义：能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。 3.等式的性质 (1)等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。 (2)等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是 等式 4.一元一次方程 定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一 元一次方程，其中方程ax+b=0(x为未知数，a≠0)叫做一元一次方程的标准形 式，a是未知数x的系数，b是常数项。 【考点二二元一次方程（组）及其应用】 1.二元一次方程定义： 含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程，叫做二元一 次方程。 2.二元一次方程组 概念：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一 次方程组。 解法： (1)代入消元法：将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的 代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，简称代入法： (2)加减消元法：通过方程两边分别相加（或减）消去其中一个未知数， 简称加减法。 专题05一元二次方程 【考点一一元二次方程】 1.一元二次方程 (1)一元二次方程的定义 等号两边都就是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数就 是2（二次）的方程，叫做一元二次方程. 注意一下几点： ①只含有一个未知数；②未知数的最高次数就是2；③就是整式方程， (2)一元二次方程的一般形式 般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)、其中，ax就是二次项，a就是二次项 系数：bx就是一次项，b就是一次项系数；c就是常数项， (3)一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做二 元二次方程的根.方程的解的定义就是解方程过程中验根的依据. 2.直接开平方法解一元二次方程 (1)如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边就是非负数， 可以直接开平方.一般地，对于形如x=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解 的Xa,X2=-a (2)直接开平方法适用于解形如x=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p ≥0，就可以利用直接开平方法： (3)用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数 的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根就是零：负数没有平方根， (4)直接开平方法解一元二次方程的步骤就是：①移项；②使二次项系数或含 有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个 一元二次方程：④解一元一次方程，求出原方程的根. 3.配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的就 是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解. 配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开. (1)把常数项移到等号的右边：(2)方程两边都除以二次项系数：(3)方程 两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；(4)若等号右 边为非负数，直接开平方求出方程的解 4.公式法解一元二次方程 (1)一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方 -b±Vb 2-4ac 程的两个根为x= 一，这个公式叫做一元二次方程的求根公式， 2a 利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求的方程的解， 这种解方程的方法叫做公式法。 (2)一元二次方程求根公式的推导过程，就就是用配方法解一般形式的一元二 次方程ax+bx+c=0(a≠0)的过程」 (3)公式法解一元二次方程的具体步骤： ①方程化为一般形式：ax+bx+c=0(a≠0)，一般a化为正值；②确定公式中 a,b,c的值，注意符号： ③求出b2-4ac的值；④若b2-4ac≥0，则把a,b,c与b-4ac的值代入公式即可 求解，若b2-4ac<0,则方程无实数根. 5.一元二次方程根的判别式 式子b2-4ac叫做方程ax+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它， 即△=b2-4a. 一元二次方程根的判别式 △>0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根： △=0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根； △<0，方程ax+bx+c=0(a≠0)无实数根. 6.因式分解法解一元二次方程 (1)把一元二次方程的一边化为0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而 转化为求两个求一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法。 (2)因式分解法的详细步骤： ①移项，将所有的项都移到左边，右边化为0： ②把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式与 完全平方公式： ③令每一个因式分别为零，的到一元一次方程： ④解一元一次方程即可的到原方程的解. 7.一元二次方程的根与系数的关系 若一元二次方程x2+px+q=0的两个根为X1,X2,则有+x三-D,&丛三q: 若一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x,飞，则有xx,=-b,X飞仁 a 【考点二一元二次方程的应用】 1.列一元二次方程解应用题的一般步骤： (1)审：就是指读懂题目，弄清题意，明确哪些就是已知量，哪些就是未知 量以及它们之间的等量关系。 (2)设：就是指设元，也就就是设出未知数」 (3)列：就就是列方程，这就是关键步骤，一般先找出能够表达应用题全部含 义的一个相等含义，然后列代数式表示这个相等关系中的各个量，就的 到含有未知数的等式，即方程 (4)解：就就是解方程，求出未知数的值， (5)验：就是指检验方程的解就是否保证实际问题有意义，符合题意. (6)答：写出答案 2.列一元二次方程解应用题的几种常见类型 (1)数字问题 三个连续整数：若设中间的一个数为x,则另两个数分别为x-1,x+1. 三个连续偶数（奇数）：若中间的一个数为x,则另两个数分别为x-2,x+2. 三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为a,b,c,则这个三位 数就是100a+10b+c (2)增长率问题 设初始量为，终止量为b,平均增长率或平均降低率为x,则经过两次的增长 或降低后的等量关系为a(1±x)=b. (3)利润问题 利润问题常用的相等关系式有：①总利润=总销售价-总成本：②总利润=单位利 润×总销售量：③利润=成本×利润率 (4)图形的面积问题 根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系，将图形的面积用含有未知 数的代数式表示出来，建立一元二次方程。 专题06分式方程 【考点一分式方程】 1.分式方程的定义 分母中含未知数的方程叫做分式方程， 【归纳】 (1)分式方程的重要特征：1含有分母：2分母中含有未知数：3是方程. (2)方程的分母中是否含有未知数是分式方程与整式方程的根本区别. (3)分母中含有字母的方程未必是分式方程， 2.分式方程的解法 (1)解分式方程的基本思想： 把分式方程转化为整式方程，解这个整式方程，然后验根，从而确定分式方程的解.(2) 解分式方程的一般方法和步骤： 1去分母：方程两边同乘最简公分母，把分式方程化为整式方程：2解整式方程：去括号、 移项、合并同类项等等：3检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值 不为O,则整式方程的解是原分式方程的解：否则，这个解不是原分式方程的解 简称为一化，二解，三检验 (3)解分式方程产生不适合原方程解的原因： 在将分式方程化为整式方程时，未知数的取值范围被增大了，对于整式方程来说，求 出的解成立，而对于原分式方程来说，当分母为零时，分式无意义，所以这个解不是 原分式方程的解，即原分式方程无解 【考点二分式方程的应用】 分式方程的应用 分式方程的应用基本思路和方法： 一审：审清题意，弄清已知量和未知量： 二找：找出等量关系 三设：设未知数 四列：列出分式方程 五解：解这个方程： 六验：检验，既要检验所求得的解是不是所列分式方程的解，又要检验所求得的解 是否符合实际问题的 要求 七答：写出答案 在上述过程中，关键步骤是根据题意寻找”等量关系”，进而列出分式方程，求解 时注意必须检验求出的值是不是所列分式方程的解，且是否符合实际意义 专题07不等式（组） 【考点一不等式（组）】 1.不等式 不等式：用符号“<”（或“≤”），“>”（或“≥”)，≠连接的式子叫做不等式 【易错点剖析】 (1)不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. (2)不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集 (3)解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式 2.不等式的性质： 不等式的基本性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变， 不等式的基本性质2：不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 不等式的基本性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 3.一元一次不等式 定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次 数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式， 【易错点剖析】ax+b>0或ax+b<0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式. 解法： 解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1， 【易错点剖析】 不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点， 二是定方向，三是定空实 4.一元一次不等式组 关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组 【易错点剖析】 (1)不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集， (2)解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组 (3)一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的 公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集， 专题08位置与函数 【考点一位置的确定】 一、点的坐标特征 在x轴上 (x,0) 坐标轴上的点(x,y) 在y轴上 (0,y) 点的坐标特 在原点 (0,0) 征 第一象限 (+,+) 点在各象限的坐标特点 第二象限 (-,+) 第三象限 (--】 第四像限 (+,-) 第一、三象限 (m,m) 象限角平分线上的点 第二、四像限 (m,m)） 点P(a,b) 到x轴的距离-点P的纵坐标的绝对值，即b 到 坐标轴的距 到y轴的距离-点P的横坐标的绝对值，即ad 离 点P1(x1,y1)与点P2 横坐标不相等，纵坐标相等，即x1x2, 具有特殊位 (x2,y2)在一条平行于x轴 yi-y2 置关系的两 的直线上 个点的坐标 点P1(x1,y1)与点P2 特征 横坐标相等，纵坐标不相等，即x1x2, (x2,y?)在条平行于y轴 y1打2 的直线上 向右平移a个单位长 点(x,y) (+a,y) 度 向左平移a个单位长 点(x,y) (x-a,y) 点平移后的 度 坐标特征 向上平移b个单位 点(x,y) (x,y+b) 长度 向下平移b个单位 点(x,y) (x,y-b) 长度 二、图形上点的坐标变化与图形平移间的关系 1横锉标变化，纵坐标不变： 原图形上的点(x,y)(x+a,)→向右平移a个单位 原图形上的点(x,y)(-a,)向脏平移a个单位 2.横坐标不变，纵坐标变化： 原图形上的点(x,y)+)）→向上平移b个单位 原图形上的点(x,y) x’-)→向下平移b个单位 3横锉标纵坐标都变化： 原图形上的点(x,y)+a,+》向右平移a个单位，向上平移b个单位 原图形上的点(x,y)+a,P-)向右平移a个单位，向下平移b个单位 原图形上的点(x,y)-a,+)→向左平移a个单位，向上平移b个单位 原图形上的点(x,y) (x-a,P-)→向左平移a个单位，向下平移b个单位 三、用坐标表示地理位置 1.确定坐标原点 用坐标表示地理位置时，要注意选择适当的位置为坐标原点，这里所说的适当，通常 要么是比较有名的地，点，要么是所要绘制的区域内较居中的位置.不同的原点产生的地理 位置的坐标也不同.原点不同，地理位置的坐标也不同.用适当的位置表示原点，可以降 低计算的难度. 2.如何确定x轴与y轴的方向 坐标轴的方向通常是选择以水平线为x轴，以向右为正方向（正东），以竖直线为y 轴，以向上为正方向（正北），这样可以使东西南北的方向与地理位置的方向保持一致· 四、用坐标表示平移 1.般地，将一个图形依次沿两个坐标轴方向平移所得到的图形，可以通过将原来的图形 作一次平移得到. 2对一个图进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来，从图形 上的点的坐标的某种变化，我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移. 3.在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加（或减去）一个正数ā，相应 的新图形就是把原图形向右（或向左）平移ā个单位长度 如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个正数ā，相应的新图形就是把原图形向 上（或下）平移a个单位长度. 考点二函数的表示 一、常量和变量 在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量， 1.变量和常量是相对而言的，变化过程不同，它们可能发生改变，判断的前提条件是“在同 一个变化过程中”，当变化过程改变时，同一个量的身份也可能随之改变，例如，在st 中，当s一定时，v,t为变量，s为常量：当t一定时，s,v为变量，而t为常量. 2.“常量”是已知数，是指在整个变化过程中保持不变的量，不能认为式中出现的字母就是 变量，如在一个匀速运动中的速度v就是一个常量. 3.变量、常量与字母的指数没有关系，如S=π2中，变量是“S和”，常量是“元”. 4.判断一个量是不是变量，关键是看其数值是否发生变化. 二、函数的定义 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值， y都有唯一确定的值与对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数. 对函数定义的理解，主要抓住以下三点： 1.有两个变量. 2.函数不是数，函数的本质是对应，函数关系就是变量之间的对应关系，且是一种特殊的 对应关系，一个变量的数值随着另一个变量数值的变化而变化. 3函数的定义中包括了对应值的存在性和唯一性两重意思，即对自变量的每一个确定的值， 函数有且只有一个值与之对应，对自变量x的不同取值，y的值可以相同， 在某个变化过程中处于主导地位的变量即为自变量，随之变化且对应值有唯一确定性 的另一个变量即为该自变量的函数. 三、自变量取值范围的确定 使函数有意义的自变量的取值的全体叫做自变量的取值范围. 当用函数关系式表示实际问题时，自变量的取值不但要使函数关系式有意义，而且还 必须使实际问题有意义. 四、函数解析式及函数值 函数解析式：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的 常用方法，这种式子叫做函数的解析式· 1.函数解析式是等式. 2函数解析式中指明了哪个是自变量，哪个是函数，通常等式右边的代数式中的变量是自 变量，等式左边的变量表示函数. 3.用数学式子表示函数的方法叫做解析式法. 函数值：对于自变量x在取值范围内的某个确定的值ā，函数y所对应的值为b,即当 a,yb时，b叫做自变量x的值为a时的函数值. 五、函数的图象及其画法 一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标， 那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图像. 专题09一次函数 考点一一次函数的图像与性质 一、一次函数和正比例函数 1.定义：如果y=kxb(k≠0)，那么y叫x的一次函数，当b=0时，一次函数y=kx也叫 正比例函数.正比例函数是一次函数的特例，具有一次函数的性质. 2.一次函数与正比例函数的关系 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是过点(0，b)与直线y=kx平行的一条直线。它可以由 b 直线y=kx平移得到.它与x轴的交点为 0 与y轴的交点为(0，b). 二、一次函数的图象与性质 大致 函数 系数取值 经过的象限 函数性质 图象 k>0 一、三 y随x增大而增大 y-kx (k0) k<0 二、四 y随x增大而减小 k>0 一、二、三 b>0 y随x增大而增大 k>0 一、三、四 y=kx+b b<0 (k0) k<0 一、二、四 b>0 y随x增大而减小 k<0 二、三、四 b<0 三、一次函数与方程（组）、不等式的关系 关于x的一元一次方程kx+b=0(k≠0)的解是直线y=kx+b与x轴交点 元一次方程 的横坐标。 关于x,y的二元一次方程组X1bV的解是两条直线的交点坐 二元一次方程组 k2x+b2=y" 标 关于x的一元一次不等式kx+b>0(<0)的解集是以直线yx+b和x 元一次不等式 轴的交点为分界点，x轴上（下）方的图象所对应的x的取值范围. 四、一次函数图象的平移 平移情况 解析式变化情况 【温馨提示】 向上平移n(n>0)个单位 y=x+b→y=x+b+n (1)简记为“左加右减自变量，上加下 向下平移n(n>0)个单位 y=x+b→y=x+b-2 减常数项”； 向左平移m(m>0)个单位 y=kx+b→y=k(x+m)+b (2)直线y=a+b可以看作由直线 y=x向上或向下平移b个单位得到 向右平移m(m>0)个单位 y=x+b→y=k(x-m)+b 【拓展】 同一平面直角坐标系中两直线l1:y=x+b(化1≠0)，12：y=k2x+b2(化2≠0)的位置关系 k1,k3,b1,b2的关系 1与马的关系 k1≠k2 4与马相交 k1≠k3,b=b2 4与马相交于轴上的一点 k1=k3,b+b2 4与马平行 考点二一次函数的应用 一次函数的实际应用： 1.一次函数应用问题的求解思路： ①建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质作出解答； ②利用函数并与方程（组）、不等式（组）联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、 生产方案的设计问题以及经济决策、市场经济等方面的应用。 2.建立函数模型解决实际问题的一般步骤： ①审题，设定实际问题中的变量，明确变量x和y; ②根据等量关系，建立变量与变量之间的函数关系式，如：一次函数的函数关系式： ③确定自变量x的取值范围，保证自变量具有实际意义； ④利用函数的性质解决问题： ⑤写出答案。 3.利用一次函数的图象解决实际问题的一般步骤： ①观察图象，获取有效信息： ②对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系； ③选择适当的数学工具（如函数、方程、不等式等），通过建模解决问题。 4.求最值的本质为求最优方案，解法有两种： ①可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较： ②直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接 确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再 进行比较， 专题10反比例函数 考点一反比例的图像与性质 1、反比例函数的概念 般的，形如y= ·(是常数，≠0)的函数叫做反比例函数。其它表示形式： y=x1或y=k。 因为≠0，k≠0，相应地y值也不能为0，所以反比例函数的图象无限接近x轴和y 轴，但与x轴、y轴永远不相交 2、反比例函数的图象与性质 反比例函数y=(低为常数，k≠0)的图象总是关于原点成中心对称的，它的位置和性 质受k的符号的影响， y=h x k0 k<0 (k为常数，0) 图象 V=K 所在象限 一、三，y同号) 二、四(x,y异号) 在每个象限内，y 性质 在每个象限内，y 随x的增大而减小 随x的增大而增大 3、反比例函数的k的几何意义 由y=K(k≠0)的图象上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面 y 积为. 如图①和②，S矩形pMas=PA·PB-|y川·|x=|xw=kL: 同理可得Sa一Sa=2 y y B 图① 图② 4、反比例函数解析式的确定 (1)待定系数法。由于在反比例函数y=中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应 值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。 (2)利用反比例函数中反比例系数的几何意义 若已知某点到坐标轴的垂线与坐标轴所围成的面积，根据函数图象所在象限判断k的 正负，从而确定k值，再将k值代入反比例函数解析式即可。 专题11二次函数 考点一二次函数的图像与性质 1、二次函数的概念 一般的，形如y=ax+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。其中x是自变量， a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项。 二次函数解析式的表示方法： (1)一般式：y=ax+bx十c(其中a,b,c是常数，a≠0)； (2)顶点式：=a(xh)+k, 它直接显示二次函数的顶点坐标是(h,k); (3)交点式：y=a(x-x)(x-x2), 其中，x是图象与x轴交点的横坐标. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以 写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b-4c≥0时，抛物线的解析式才可以 用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化， 2、二次函数的图象是一条抛物线。当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口 向下。ld越大，抛物线的开口越小；d越小，抛物线的开口越大。 J'=r2 y=ax2+k y=c-1)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c b 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h X=- 2a (0,0) (0,) h,0) h,) b 4ac-b2 2a 4a 顶点 心0时，顶点是最低点，此时y有最小值；心0时，顶点是最高点，此时y有最大 值，最小值（或最大值）为o或4ac-b Aa b b x<0h或- 时，y随x的增大而减小；0h或一 )时，y随x的增大而增 2a 心>0 人。 即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增 增 大。 减 性 x<0h或- b )时，y随x的增大而增大；x>0h或 b )时，y随x的增大而减 2a 小。 a<0 即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减 小。 3、二次函数的平移： 方法一：在原有函数的基础上“h值正右移，负左移：k值正上移，负下移” 概括成八个字左加右减，上加下减”. 任意抛物线y=x一)+k可以由抛物线y=2经过平移得到，具体平移方法如下： 上加下减 y=ax 向上(k>0)、下(k<0)平移kI个单位 y=ax+k 回 并向上k>0 向右h>0 计 左h<0)平移h个单位（左加右减） 下化<O)平移k个单位（上加下减） 计在说 ya(x-h)2 上加下减 向上k>0叭、下k<O)平移k个单位 y=a(x-h)'+k 方法二： (I)y=x2+bx+c沿y轴平移：向上（下）平移1个单位，y=ax2+bx+c变成 y=ax+bx+c+m (y=ax2+bx+c-m) (2)y=ax2+bx+c沿x轴平移：向左（右）平移m个单位，y=x2+bx+c变成 y=a(x+m)2+b(x+m)+c (y=a(x-m)2+b(x-m)+c) 4、二次函数的图象与各项系数之间的关系 α决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，☑的大小决定开口的大小. b的符号的判定：对称轴x=一 在y轴左边则b>0,在y轴的右侧则b<0,概括 2a 的说就是“左同右异” c决定了抛物线与y轴交点的位置 字母的符号 图象的特征 a>0 开口向上 a<0 开口向下 b=0 对称轴为y轴 b b>0(a与b同号) 对称轴在y轴左侧 b<0(a与b异号) 对称轴在y轴右侧 c=0 经过原点 c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 5、二次函数与一元二次方程之间的关系 判别式情况 b2-4c>0 2-4ac=0 2-4ac≤0 ↑y a>0 二次函数y= 2+bx+ c(0)与x轴 y 的交点 a<0 0 一元二次方程2+x 有两个不相等 有两个相等的 没有实数根 十c=0的实数根 的实数根灼，2 实数根灼=2 当b2-4ac<0时 1'当a>0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y>0; 2'当a<0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y<0. 考点二二次函数的应用 用二次函数解决实际问题的一般步骤： 1.审：仔细审题，理清题意； 2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形 具体分析，设出适当的未知数； 3列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数 的解析式： 4.解：依据己知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题： 5检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论 【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶 点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论， 利用二次函数解决利润最值的方法：巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用 二次函数的最值解决利润最大问题。 利用二次函数解决拱桥/隧道拱门类问题的方法：先建立适当的平面直角坐标系，再根据 题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图象信息解决实际问题。 利用二次函数解决面积最值的方法：先找好自变量，再利用相关的图形面积公式，列出函 数关系式，最后利用函数的最值解决面积最值问题。 专题12几何图形初步 考点一线段与角 1、直线、射线、线段 ()直线：经过两点有一条直线，并且只有一条直线。简称：两点确定一条直线。 (2)相交线：当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线相交。这个公共 点叫做它们的交点。 (3)两点的所有连线中，线段最短。简称：两点之间，线段最短。 连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离。 (4)线段的中点：线段上的一个点把线段分成相等的两条线段，这个点叫做线段的中点。 (⑤)直线没有端点，向两方无限延伸，不可度量： 射线有一个端点，向一方无限延伸，不可度量： 线段有两个端点，不向任何一方延伸，能度量。 2、角 (I)定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。这个公共端点是角的顶点，两条 射线是角的两条边。 (2)角的度量 1°=60′，1′=60" (3)角的分类 ①锐角(0°<a<90°) ②直角(a=90°) ③钝角(90°<a<180°) ④平角(a=180°） ⑤周角(a=360°) (4)角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个 角的平分线。 ()角平分线的性质与判定：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 (6)余角与补角 余角：一般地，如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角。 补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角。 性质：同角（等角）的余角相等。同角（等角）的补角相等。 考点二相交线与平行线 1、邻补角与对顶角 邻补角：有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角，叫做互为邻补角。 对顶角：有一个公共顶点，一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线， 这两个角叫做对顶角。 对顶角相等。 2、垂线 (1)定义：两直线相交所构成的四个角中有一个角是直角时，我们就说这两条直线 互相垂直，其中一条直线叫做另外一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 (2)性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与己知直线垂直： 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 (3)点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距 离。 3、同位角、内错角、同旁内角 如图，∠1和∠4是同位角，∠3和∠4是内错角，∠2和∠4是同 旁内角。 4、平行线 (1)定义：在平面内不相交的两条直线叫做平行线。 (2)平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行： 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 (3)平行线的性质 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等： 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等： 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 (4)平行线的判定 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行： 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行： 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。 专题13三角形的初步认识 考点一三角形的概念和三边关系 1.三角形的概念 由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形. 三角形特性 (1)三角形有三条线段 (2)三条线段不在同一直线上 三角形是封闭图形 (3)首尾顺次相接 三角形用符号“△”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”,读作三角形ABC”. 2.三角形按边分类： 等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边 叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。 等边三角形：底边与腰相等的等腰三角形叫做等边三角形，即三边都相等。 3.三角形的三边关系 (1)三角形的任意两边之和大于第三边 三角形的任意两边之差小于第三边.（这两个条件满足其中一个即可）， 用数学表达式表示就是：记三角形三边长分别是a,b,c,则a十b>c或0<c一b<a. (2)已知三角形两边的长度分别为a,b,求第三边长度的范围：la-b≤c≤a+b. 考点二三角形的重要线段和有关的角 1.三角形的高概念 从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三 角形的高)· 2.三角形的中线概念 在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。 性质：三角形三条中线的交于一点，这一点叫做“三角形的重心”.三角形的中线可以将三 角形分为面积相等的两个小三角形. 3.三角形的角平分线概念 三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形 的角平分线. 4.三角形的内角和定理 三角形三个内角和等于180°. 推论： ①直角三角形的两个锐角互余， ②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和. ③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角， 5.三角形的外角 三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角. 性质：(1)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和. (2)三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角， 专题14全等三角形 考点一全等三角形的基本性质 1、全等三角形的概念 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应 边，重合的角叫做对应角。 2、全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。 3、三角形全等的判定 (1)边边边(SSS):三边分别相等的两个三角形全等。 (2)边角边(SAS):两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。 (3)角边角(ASA):两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。 (4)角角边(AAS):两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等。 (⑤)斜边、直角边(L):斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。 4、全等变换 只改变图形的位置，二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。 全等变换包括一下三种： (1)平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。 (2)对称变换：将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换。 (3)旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。 考点二常考的全等模型 1.平移模型 把△ABC沿着某一条直线1平行移动，所得到△DEF与△ABC称为平移型全等三角 形，图①，图②是常见的平移型全等三角线 E 图① 图② 2.轴对称模型 将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三角形 称之为轴对称型全等三角形，此类图形中要注意期隐含条件，即公共边或公共角相等 3.旋转模型 将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角 形为旋转型三角形，识别旋转型三角形时，涉及对顶角相等、等角加（减）公共角的 条件. 4.一线三等角模型 三个等角的顶点在同一条直线，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角.这个模型称 为一线三等角模型 (同侧)已知∠A=∠CPD=∠B=∠a,CP=PD O D D a A B B (异侧)已知∠EAC=∠ABD=∠DPC=∠a,CP=PD 5.截长补短模型 该模型适用于求证线段的和差倍分关系，该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等 关键词，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明。其中截长指在长线段中截 取一段等于已知线段，补短指将短线段延长，使短线段加上延长线段长度等于长线段。 (1)截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。 如图，求证BE+DC=AD: 方法：①在AD上取一点F,使得AF=BE,证DF=DC:②在AD上取一点F,使DF=DC,证AF=BE (2)补短：将短线段延长，证与长线段相等 6.倍长中线模型 当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，使得延长后的线段是原中 线的二倍，从而构造一对全等三角形(SAS),并将已知条件中的线段和角进行转移. 己知点D为△ABC中BC边中点，延长线段AD到点E使AD=DE, 1)连接EC,则△ABD≌△ECD,AB∥CE 2)连接BE,则△ADC≌△EDB,AC∥BE B D E 7.手拉手模型 两个顶角相等的等腰三角形共用顶角顶点，分别连接对应的两底角顶点，从而可以得 到一个经典的全等模型.因为顶点相连的四条边，形象可以看作两双手，通常称为“手 拉手模型” 如图，△ABC是等腰三角形、△ADE是等腰三角形，AB=AC,AD=AE, ∠BAC=∠DAE=a。结论：△BAD≌△CAE。 B 图① 图② 图③ 8.半角模型 当一个角包含着该角的半角，如90°角包含着45°角，120°角包含着60°角，2709 角包含着135°角，即出现倍角关系，且这两个角共顶点，共顶点的两条边相等，则 该模型为半角模型。解题方法为：1)过公共点作旋转，2)截长补短的方法构造全等 解题。 如图：已知∠2=2∠A0B,0A-=0B 0 B 723 B 专题15等腰三角形、等边三角形 考点一等腰三角形 1.等腰三角形的性质 (1)等腰三角形的性质定理及推论： 定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）； 推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分 线底边上的中线底边上的高重合。 (2)等腰三角形的其他性质： ①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45° ②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直 角)。 ③等腰三角形的三边关系：设腰长为a,底边长为b,则<a ④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A,底角为∠B、∠C,则∠A=180° 2∠B,∠B=∠C-180°-∠A 2.等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。 考点二等边三角形 1.等边三角形的概念 三条边都相等的三角形叫等边三角形，它是特殊的等腰三角形 2.等边三角形的性质 1)等边三角形的三条边相等 2)三个内角都相等，并且每个内角都是60°， 3.等边三角形的判定 1)三边相等或三个内角都相等的三角形是等边三角形. 2)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形， 特别注意：等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；等边三角形的内心、外心、 重心和垂心重合， 专题16直角三角形、勾股定理 考点一直角三角形的性质和判定 1.直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形. 2.直角三角形的性质：1)直角三角形两个锐角互余 2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 3)在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半. 3.直角三角形的判定：1)两个内角互余的三角形是直角三角形 2)有一个角是直角的三角形叫做直角三角形， 3)勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c,若 a+b=c,那么这个三角形是直角三角形。 考点二勾股定理 1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边分别为α，b,斜边为c,那么α2±b2三c2 2.勾股定理的证明方法： 方法-（图）：45。+§E方形aS正方形ABcD,4×b+b-aP=2,化简可证 a2+b2=c2. 方法二（图二）：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积. 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S=4×号ab+c2=2ab+c2 大正方形面积为S=(a+b)2=a2+2ab+b2,所以a2+b2=c2 方法三（图三）：S佛形=a+b)·(a+b),S佛形=2 SAADE+SAB=2·b+c2, 化简得证a2+b2=c2 图一 图二 图三 考点三勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是 直角三角形，其中c为斜边 拓展：若a2+b2<c2,时，以a,b,c为三边的三角形是钝角三角形； 若a2+b2>c2,时，以a,b,c为三边的三角形是锐角三角形 专题17多边形与平行四边形 考点一多边形 多边形的定义：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形. 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线 多边形对角线条数：从n边形的一个顶点可以引(n3)条对角线，并且这些对角线把 多边形分成了(n-2) 个三角形，n边形的对角线条数为】 多边形内角和定理：n边形的内角和为(n-2)180°(n≥3). 多边形外角和定理：任意多边形的外角和等于360°，与多边形的形状和边数无关. 正多边形的定义：各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形 考点二平行四边形 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 平行四边形的性质：1)对边平行且相等： 2)对角相等、邻角互补： 3)对角线互相平分； 4)平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，平行四边形的对 角线的交点是平行四边形的对称中心 平行四边形的判定定理： ①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形. ②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. ③两组对边分别相等的四边形是平行四边形. ④对角线互相平分的四边形是平行四边形. 考点三三角形的中位线 三角形中位线概念：连接三角形两边中点的线段叫做三角形中位线 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 拓展： 结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半. 结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形 结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形 结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分 结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等. 专题18特殊的平行四边形 考点一矩形 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 矩形的性质：1)矩形具有平行四边形的所有性质： 2)矩形的四个角都是直角： 3)对角线互相平分且相等： 4)矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形.矩形的对称中心是矩形对 角线的交点：矩形有两条对称轴，矩形的对称轴是过矩形对边中点的直 线：矩形的对称轴过矩形的对称中心 矩形的判定：1)有一个角是直角的平行四边形是矩形： 2)对角线相等的平行四边形是矩形： 3)有三个角是直角的四边形是矩形 考点二菱形 菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 菱形的性质： 1)具有平行四边形的所有性质： 2)四条边都相等： 3)两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角. 4)菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，菱形的对称中心是菱形对角线的交点， 菱形的对称轴是菱形对角线所在的直线，菱形的对称轴过菱形的对称中心 菱形的判定： 1)对角线互相垂直的平行四边形是菱形 2)一组邻边相等的平行四边形是菱形 3)四条边相等的四边形是菱形 考点三正方形 正方形的定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形 正方形的性质： 1)正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质」 2)正方形的四个角都是直角，四条边都相等 3)正方形对边平行且相等. 4)正方形的对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角： 5)正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形： 6)正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形 注意：正方形对角线与边的夹角为45°， 正方形的判定： 1)平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角： 2)矩形+一组邻边相等： 3)矩形+对角线互相垂直： 4)菱形+一个角是直角： 5)菱形+对角线相等 【解题技巧】判定一个四边形是正方形通常先证明它是矩形，再证明它有一组邻边相等 或对角线互相垂直；或者先证明它是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等： 还可以先判定四边形是平行四边形，再证明它有一个角为直角和一组邻边相等. 专题19圆的基本性质和计算 考点一圆的相关概念及性质 1.圆的定义 圆的定义：第一种：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点 A所形成的图形叫作圆。固定的端点O叫作圆心，线段OA叫作半径。第二种：圆心为O, 半径为x的圆可以看成是所有到定点0的距离等于定长x的点的集合。 比较圆的两种定义可知：第一种定义就是圆的形成进行描述的，第二种就是运用集合 的观点下的定义，但就是都说明确定了定点与定长，也就确定了圆。 2.圆的相关概念 (1)弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫作直径。 (2)弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分 成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 (3)等圆：等够重合的两个圆叫做等圆。 (4)等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 弦就是线段，弧就是曲线，判断等弧首要的条件就是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆 中完全重合的弧才就是等弧，而不就是长度相等的弧。 3.圆的对称性 圆就是轴对称图形，任何一条直径所在直线都就是它的对称轴。 4.垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 垂径定理的推论：平分弦（不就是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 注意：因为圆的两条直径必须互相平分，所以垂径定理的推论中，被平分的弦必须不就 是直径，否则结论不成立。 5.弦、弧、圆心角的关系 (1)弦、弧、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦也相等。 (2)在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们 所对应的其余的各组量也相等。 (3)注意不能忽略同圆或等圆这个前提条件，如果丢掉这个条件，即使圆心角相等， 所对的弧、弦也不一定相等，比如两个同心圆中，两个圆心角相同，但此时弧、 弦不一定相等。 6.圆周角定理 (1)圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的 圆心角的一半。 (2)圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角就是直角，90°的圆周角所对弦就 是直径。 (3)圆周角定理揭示了同弧或等弧所对的圆周角与圆心角的大小关系。“同弧或等弧”就 是不能改为“同弦或等弦”的，否则就不成立了，因为一条弦所对的圆周角有两类。 7.圆内接四边形及其性质 圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多 边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。 圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。 考点二与圆有关的位置关系 1.点与圆的位置关系 （1)点与圆的位置关系有：点在圆外，点在圆上，点在圆内三种。 (2)用数量关系表示：若设⊙0的半径就是r,点P到圆的距离OP=d,则有： 点P在圆外，则d>r;点P在圆上则d=r;点P在圆内则d<r,反之也成立。 2.三角形的外接圆与外心 (1)经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。 (2)外接圆的圆心就是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。 3.直线与圆的位置关系 (1)直线与圆的位置关系有：相交、相切、相离三种。 (2)直线与圆的位置关系可以用数量关系表示 若设⊙0的半径就是r,直线1与圆心0的距离为d,则有： 直线1与⊙0相交则d<r; 直线1与⊙0相切则d=r: 直线1与⊙0相离则d>r,反之也成立。 3.切线的判定与性质 (1)切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线就是圆的切线。 (2)切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 (3)切线的其他性质：切线与圆只有一个公共点；切线到圆心的距离等于半径；经过圆心 且垂直于切线的直线必过切点；必过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 4.切线长定理 (1)切线长的定义：经过园外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段的长，叫做这点到 圆的切线长。 (2)切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点与圆心的 连线平分两条切线的夹角。 (3)注意：切线与切线长就是两个完全不同的概念，必须弄清楚切线就是直线，就是不能 度量的：切线长就是一条线段的长，这条线段的两个端点一个就是在圆外一点，另 一个就是切点。 6.三角形的内切圆与内心 (1)三角形的内切圆定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。这个三角形叫 做圆的外切三角形。 (2)三角形的内心：三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心。 (3)注意：三角形的内心就是三角形三条角平分线的交点，所以当三角形的内心己知时， 过三角形的顶点与内心的射线，必平分三角形的内角。 专题20圆的综合 考点一圆内知识综合 1.圆的基本概念 圆的定义、半径、直径、弦、弧（优弧/劣弧/等弧）、圆心角、圆周角、弦心距的概 念辨析。 同圆或等圆中，半径相等，等弧对等弦、等圆心角、等圆周角。 2.三大核心定理 垂径定理及推论：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧；平分弦（非直径） 的直径垂直于弦，是圆中线段长度计算（勾股定理)的核心依据。 圆心角、弧、弦关系定理：同圆/等圆中，一组量相等则其余对应量均相等。 圆周角定理及推论：同弧所对圆周角=圆心角的一半；直径所对圆周角为直角： 90°圆周角所对弦为直径：同弧/等弧所对圆周角相等。 3.点与圆的位置关系 判定依据：点到圆心的距离d与半径r的大小关系(d>r外离、d=r相切、dKr相交) 三角形外接圆：外心是三边垂直平分线交点，到三顶点距离相等。 4.圆内计算核心方法 弦长计算：垂径定理+勾股定理 角度转化：圆周角、圆心角、弦切角（拓展）的互化 辅助线作法：作半径、作弦心距、连直径构造直角三角形 考点二圆与三角形的综合 1.直线与圆的位置关系 判定：圆心到直线距离d与r比较（相交d<r、相切d=r、相离d>r)。 切线的判定与性质：切线垂直于过切点的半径；证切线两大方法（连半径证垂直、作垂直 证半径)。 2.切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，该点与圆心连线平分两条切线的夹角。 3.三角形与圆的特殊结合 直角三角形与圆：斜边为直径→圆过直角顶点：直角三角形外接圆半径斜边。 等腰/等边三角形与圆：结合垂径定理，圆心在三角形的对称轴上，易构造全等三角形。 三角形内切圆：内心是角平分线交点，到三边距离相等，内切圆半径=2S/C(S面积，C 周长)。 4.相似三角形在圆中的应用 圆中相似模型：母子相似、圆周角相等构造AA相似、弦切角定理衍生相似。 应用：求线段比例、线段长度、证明等积式(a·b=c·d) 5.辅助线规律：遇切线连半径，遇直径作直角，遇弦作弦心距。 考点三圆与四边形的综合 1.圆内接四边形性质（核心考点） 对角互补：外角等于内对角：四个顶点均在圆上。 2.特殊四边形与圆的结合 矩形：一定有外接圆（对角线为直径）。 正方形：既有外接圆又有内切圆，圆心为对角线交点。 菱形：只有内切圆（无外接圆，除非是正方形）。 等腰梯形：一定是圆内接四边形。 3.圆外切四边形性质 圆外切四边形对边和相等(AB+CD=AD+BC)。 4.综合考查方向 判定四边形形状；求四边形内角、边长、面积；证明线段相等/平行/垂直；结合切线、 相似进行综合推导。 考点四圆与函数的综合 1.坐标系中的圆 圆的标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2(圆心(a,b),半径r,初中拓展应用) 圆心坐标、半径的求解：利用中点公式、距离公式计算 2.圆与函数图象的位置关系 圆与直线（一次函数）：联立方程→判别式判定位置关系；结合切线性质求切点坐标、切 线解析式。 圆与抛物线（二次函数）：交点坐标求解、结合动点考查最值与存在性。 3.动点与圆的综合 动点轨迹为圆的判定：定角对定边、到定点距离为定值。 最值问题：线段最值（将军饮马、圆外一点到圆的最值士r)、面积最值、角度最值。 4.存在性问题 圆上找点构成特殊三角形（等腰、直角）、特殊四边形（平行、菱形）。 切线存在性、相似三角形存在性。 5.核心方法 数形结合、分类讨论、方程思想：辅助线结合坐标系作垂线、连半径、构造直角三角形。 专题21图形的对称、平移、旋转 考点一轴对称与中心对称图形 1.轴对称与中心对称 类别 轴对称 中心对称 定义 把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它 如果一个图形绕某点旋转180°后与 能够与另一个图形重合，那么称这两个图 另一个图形重合，我们就把这两个图 形关于这条直线对称，也称这两个图形成 形叫做成中心对称. 轴对称，这条直线叫做对称轴.折叠后重 合的点是对应点，也叫做对称点， 性质 1)对应点的连线被对称轴垂直平分： 1)对应点的连线都经过对称中心， 2) 成轴对称的两个图形全等： 且被对称中心平分： 3)只有一条对称轴 2)成中心对称的两个图形全等： 3)只有一个对称中心 2.轴对称图形与中心对称图形 类别 轴对称图形 中心对称图形 定义 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线 如果一个图形绕某一点旋转180°后 两旁的部分能够互相重合，那么这个图形 能与它自身重合，我们就把这个图形 就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对 叫做中心对称图形，这个点叫做它的 称轴， 对称中心 性质 1)有对称轴 1)有对称中心 2)将图形沿对称轴折叠后，对称轴两旁 2)将图形绕对称中心旋转180°旋 的部分完全重合 转后的图形能与原来的图形重合： 考点二图形的平移 平移的定义：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，图形这种移动 叫做平移.它是由移动方向和距离决定的 平移的性质： 1)平移不改变图形的大小、形状，只改变图形的位置，因此平移前后的两个图形全等 2)平移前后对应线段平行（或在同一条直线上）且相等、对应角相等 3)任意两组对应点的连线平行（或在同一条直线上)且相等，对应点之间的距离就是平移 的距离 平移作图的步骤： 1)定：根据题目要求，确定平移的方向和距离； 2)找：找出确定图形形状的关键点； 3)移：过这些关键点作与平移方向平行的射线，在射线上截取与平移的距离相等的线 段，得到关键点的对应点； 4)连：按原图顺序依次连接各对应点 【注意】确定一个图形平移后的位置需要三个条件：①图形原位置；②平移的方向； ③平移的距离。 考点三图形的旋转 旋转的概念：在平面内，一个图形绕一个定点沿某个方向（顺时针或逆时针）转过一个 角度，这样的图形运动加叫旋转.这个定点叫做旋转中心，转过的这个角叫做旋转角· 旋转的三要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度， 旋转的性质： 1)对应点到旋转中心的距离相等； 2)每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； 3)旋转前后的图形全等. 作图步骤： 1)根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角； 2)找出原图形的关键点； 3)连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点； 4)按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形. 专题22相似三角形和位似 考点一相似和相似图形的概念 1.相似图形：把形状相同的图形叫做相似形 【补充】1)相似图形的形状完全一样，图形的大小不一定相同； 2)全等图形是一种特殊的相似图形，它们不仅形状相同，大小也相同； 3)判断两个图形是否相似，就是看两个图形是不是形状相同，与其它的因素 无关 2.相似多边形及、性质与判定 相似多边形的定义：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那 么这两个多边形叫做相似多边形 相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比. 相似多边形的表示：两个相似多边形可以用符号””，读作“相似于”· 【补充】1)相似多边形的三个条件：①边数相同；②对应角相等；③对应边成比例； 2)全等多边形的相似比是1，即全等图形是一种特殊的相似图形；： 3)当用符号“”表示两个相似图形时，对应点必须写在对应位置 考点二相似三角形 相似三角形的定义：三个角对应相等，三条边对应成比例的两个三角形叫做相似三 角形.如△ABC和△DEF相似可表示为△ABC∽△DEF 【补充】三角形全等是三角形相似的特殊情况，全等三角形的相似比等于1. 【注意事项】符号“∽”表示两个三角形相似时，要把表示对应顶点的大写字母写在 对应的位置上，如△ABC∽△DEF,表示顶点A与D,B与E,C与F分别对应； 【易错点】如果仅说△ABC与△DEF相似，没有用"∽”连接，则需要分情况讨论它 们之间的对应关系 相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比 【补充】相似比具有顺序性，如△ABC∽△DEF,相似比为k,则△DEF与△ABC的相 极此为号 常见的基本图形： 图① 图② 图 图 图 图①和图②分别为“A型”图和“X型”图，条件是DE//BC,基本结论是 △ABC∽△ADE; 图③、图④是图①的变形图，图⑤是图②的变形图 图⑥是“母子型”图，条件是BD为直角△ABC斜边上的高，基本结论是 △ABC∽△BDC∽△ADB. 相似三角形的判定方法： 1)判定三角形相似的常用定理： ①平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三 角形相似. ②三边成比例的两个三角形相似； ③两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； ④两确分别相等的两个三角形相似. 2)直角三角形相似的判定方法： ①有一个锐角相等的两个直角三角形相似， ②两组直角边成比例的两个直角三角形相似 ③斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似. 相似三角形的性质： 1)相似三角形的对应角相等，对应边的比相等 【补充】己知两三角形相似，写对应角相等，对应边成比例时，原则是“大对大， 小对小；长对长，短对短” 【小技巧】相似多边形对应边的比相等是求某条线段的长或求两条线段的比的一种 常用方法，采用此方法时一定要注意找准对应关系， 2)相似三角形改对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似以比， 3)相似三角形周长的比等于相似比 4)相似三角形面积比等于相似比的平方 5)传递性：若△ABC∽△BDC,△ABC∽△ADB,则△BDC∽△ADB. 考点三位似 1.位似图形 定义：如果两个图形不仅是相似图形，且对应点连线相交于一点，那么这样的两个图 形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心 【概念混淆】位似图形一定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形. 判断位似图形的方法：首先看这两个图形是否相似，再看对应点的连线是否经过位 似中心 2.位似图形的性质 1)位似图形的所有对应点的连线所在的直线相交于一点， 2)位似图形的对应线段平行（或在同一条直线上）且比相等 3)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比， 4)位似图形是相似图形，具有相似图形的一切性质， 5)一对对应边与位似中心（不在同一直线上）形成的两个三角形相似 3。画位似图形的一般步骤： 1)确定位似中心 2)连接位似中心和原图的关键点并延长 3)根据位似比，确定所作的位似图形的关键点 4)顺次连接上述各点，得到放大或缩小后的图形 注意事项： 1)两个位似图形的位似中心，有一个 2)两个位似图形的位似中心可能位于图形的内部、外部或边上 3)两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的同侧.（即画位 似图形时，注意关于某点的位似图形有两个.) 4.位似变换的坐标特征 一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位 似的图形，使它与原图形的相似比为k,那么与原图形上的点(x,y)对应的位似图形 上的点的坐标为(kx,ky)或(-kx,-ky) 【小结】以原点为位似中心的位似图形的坐标符号变化：若两个图形在原点同侧，则 对应点的横、纵坐标符号相同：若两个图形在原点异侧，则对应点的横、纵坐标符号 相反 专题23锐角三角函数、解直角三角形 考点一锐角三角函数 1.正弦、余弦、正切 正弦：在Rt△ABC中，∠C=90°，把锐角A的对边a与斜边c的比叫做 ∠A的正弦，记作sinA,即sinA= ∠A的对边a 斜边 : 斜边 ∠A的邻边 b 余弦：在Rt△ABC中，∠C=90°，把锐角A的邻边b与斜边c的比叫做 ∠A的对边 ∠A的邻边 b ∠A的余弦，记作cOsA,即cosA= 斜边 正切：在Rt△ABC中，∠C=90°，把锐角A的对边a与邻边b的比叫做 ∠A的正切，记作tanA,则tanA= ∠A的对边a ∠A的邻边b 【注意】1)正弦、余弦、正切是在直角三角形中进行定义的，本质是两条线段的比， 因此没有单位，只与角的大小有关，而与直角三角形的边长无关 2)根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求 解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形. 3)tan2A表示tanA·tanA,可以写成(tanA)2,不能写成tanA2(正弦、余弦相 同) 2.锐角三角函数 锐角三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都是∠A的三角函数.（其中：0<∠A<90°） 取值范围：在Rt△ABC中，∠C=90°，由于直角边一定比斜边短，故有如下结论： 0<sinA<1,0<cosA<1,tanA>0. 增减变化：当0°<∠A<90°，sinA,tanA随∠A的增大而增大，cosA随∠A的增大而 减小 【补充】利用锐角三角函数值的增减变化规律可比较锐角的大小 3.特殊角的三角函数值 利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，如下表所示： 三角函数值 特殊角 30 45° 60° sin a 3 2 2 cos a 3 1-2 tan a 5 1 4.锐角三角函数的关系： 在Rt△ABC中，若∠C为直角，则∠A与∠B互余时，有以下两种关系： 1)同角三角函数的关系： ①平方关系：sin2A+cos2A=1; ②商数关系：tanA=smA cosA 2)互余两角的三角函数关系： ①互余关系： sinA=cos(90°-∠A)=cosB,即一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值 sinB=sin(90°-∠A)=cosA,即一个锐角的余弦值等于它的余角的正弦值 ②倒数关系：tanA'tan B=1 考点二解直角三角形 1.解直角三角形 定义：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角.由 直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角 三角形. 在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系： b 1)直角三角形的五个元素：边：a、b、c,角：∠A、∠B. 2)三边之间的关系：2±b三c2(勾股定理)， 3)两锐角之间的关系：∠A+∠B=90°. 4)边角之间的关系：sinA=:,sinB=:,c09k是 cos B=2,tan A= ,tanB-号 【补充】三角函数是连接边与角的桥梁 5)面联公试so-ch《为斜边上的高). 2.解直角三角形的常见类型 己知条件 解法步骤 图示 斜边和一直角边 由sinA=a,求∠A,∠B=90°-∠A, c 两 (如c,a) b=vc2-a A 边 b 两直角边（如a,b) 由tanA=i,求∠A,B=90°-∠A, c=√02+b2 斜边和一锐角（如∠B=90°-∠A,a=cosinA,b=c-cos4 c,∠A) 直角边和一锐角 2B=90°-∠A,b=a 边 tan A sinA (如a,∠A) 角 另一直角边和一锐 ∠B=90°-∠A,a=btaA,c= b cos A 角（如b,∠A) 【注意】已知两个角不能解直角三角形，因为有两个角对应相等的两个三角形相似， 但不一定全等，因此其边的大小不确定 【总结】在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其中的两个元素（至少有一条 边)，可求出其余的三个未知元素（知二求三）. 【已知一边一角的记忆口诀】有斜求对用正弦，有斜求邻用余弦，无斜求对（邻）用正 切. 专题24统计与概率 考点一数据的收集与整理 1、普查与抽样调查 概念 优缺点 举例 普 为特定的目的对全 优点：收集到的数据全面、准 1）检测”神舟十六号”飞船的 查 部考察对象进行的 确 零部件。 调查，叫做全面调 缺点：一般花费多、工作量 2)了解全班50名同学每天体育 查 大，耗时长 锻炼的时间. 抽取一部分对象进 优点：调查范围小，花费少 1)测试一批灯泡的使用寿命或 抽 行调查，根据调查 工作量较小，省时 炮弹的杀伤半径等 样 样本数据推断全体 缺点：抽取的样本是否具有代 2)调查某批中性笔的使用寿命！ 调 对象的情况叫抽样 表性，直接关系到取对总体估计 查 调查 的准确程度， 3)了解全国中学生的视力和用 眼卫生情况 2、总体、个体、样本及样本容量 分类 概念 注意事项 举例 总体 所要调查的全 考察一个班学生的身高， 对全市2.3万名初中毕到业生升学考试的 体对象 那么总体就是指这个班学 数学成绩进行统计调查，为了了解这 生身高的全体，不能错误 2.3万学生的数学成绩，从中书抽取1000 地理解为学生的全体为总 体 名学生的数学成绩进行统计.那么： 总体指的是2.3万名学生的数学成绩； 个体指的是每一个学生的数学成绩； 个体 总体中的每一 总体包括所有的个体 个考察对象 样本指的是2000名学生的数学成绩； 样本 从总体中抽取 样本是总体的一部分，一 样本容量是2000. 的部分个体 个总体中可以有许多样 本，样本能够在一定程度 上反映总体 样本 样本中个体的 般地，样本容量越大， 容量 数目（无单 通过样本对总体的估计越 位) 精确 考点二数据分析 n个数的和 定义：一般地，如果有n个数X1,X2,…,X,那么= +x2+, 读 数的个数 平均数 “x拔”. 优点：平均数能充分利用各数据提供的信息，在实际生活中常用样本的平均数估计总体 的平均数， 缺点：在计算平均数时，所有的数据都参与运算，所以它易受极端值的影响 定义：若n个数x1,,,x的权分别是w1,w2,…,wa,则户"+ta,叫 w1+w2+…+wn 加权平均数 这n个数的加 权平均数， 【注意】若各数据权重相同，则算术平均数等于加权平均数 定义：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据 的平均数)叫做这组数据的中位数， 中位数 优点：中位数不受个别偏大或偏小数据的影响，当一组数据中的个别数据变动较大时， 一般用中位数来描述数据的集中趋势. 缺点：不能充分地利用各数据的信息 定义：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数： 公数 优点：众数考察的是各数据所出现的频数，其大小只与部分数据有关，当一组数据中某！ 数据多次重复出现时，众数往往更能钣映问题， 缺点：当各数据重复出现的次数大致相等时，它往往就没有什么特别意义， 定义：在一组数据x1,x2,…,x中，各个数据与平均数的差的平方的平均数叫做这 组数据的方差，记作2.计算公式是：s2=[(Gx1-习2+(x2-x)2+…+(xn-x)2] 方差 意义：方差是用来衡量数据在平均数附近波动大小的量，方差越大，数据的波动性越 大，方差越小，数据的波动性越小 定义：一组数据中最大值减去最小值的差叫做极差， 极差 【注意】极差是由数据中的两个极端值昕决定的，当个别极端值远离其他数据时，极差 往不能反映全体数据的实际波动情况 定义：方差的算术平方根，即s= [(x1-x)2+(x2-)2+.+(xn-)2 n 标准美差 【补充】标准差也是用来描述一组数据波动的情况，常用来比较两组数据波动的大小 考点三统计图（表）的应用 统 图形 优点 缺点 常见结论 计 1)能清楚地表 对于条形统计图，人们习惯 各组数量之 条形统计图 46 90 示出每个项目中 于由条形柱的高度看相应的 和=总数 的具体数目. 数据，即条形柱的高度与相 10 2)易于比较数 应的数据成正比，若条形柱 A B D 课钱 目之间的差别. 的高度与据不成正比，就 容易给人造成错觉 能清楚地表示出 在两个扇形统计图中，若一 各部分百分 扇形统计图 5元 10元 30% 25% 各部分在总体中 个统计图中的某一个量所占 比之和 20元 15元 10% 所占的百分比， 的百分比比另一个统计图中 =100%: 35% 的某个量所占的百分比多， 这样容易造成第一个统计量 比第二个统计量大的错误理 各部分圆心 解 角的度数=相 应百分比× 360° 折 花销 能清的反映各 在折线图中，若横坐标被 各种数量之 线 数据的变化趋 "压缩”，纵坐标被"放 和=样本容量 10 势 大”，此时的折线统计图中 计 日星期 的统计量变化量变化明显 图 反之，统计量变化缓慢 频 采较九年级部分学生某周课外同凌量的额故分布直方语 直观显示各组频 各组数量之 数 12 数的分布情况， 和=样本容 分布 易于显示各组之 量 间颇数的差别 18阅读量（千 直 步骤： ①计算数据的最 各组颇率之 图 大值与最小值的 和=1： 差 ②选取组距，确 数据总数× 定组数 相应的频率 相应的颇数 ③确定各组的分 点 ④列颇数分布 表 ⑤画出频数直方 图 【易错易混】 1.条形统计图中每个小长方形的高即为该组对象数据的个数（频数），各小长方形的 高之比等于相应的个数（颇数）之比 2.扇形统计图中，用圆代表总体，扇形的大小代表各部分数量占总体数量的百分数， 但是没有给出具体数值，因此不能通过两个扇形统计图来比较两个统计量的多少 3.在利用折线统计图比较两个统计量的变化趋势时，要保证两个图中横、纵坐标的一 致性，即坐标轴上同一单位长度所表示的意义应该一致 4. 画颇数分布直方图时，分组要遵循三个原则：不空，即该组必须有数据；不重，即 一个数据只能在一个组；不漏，即不能漏掉某一个数据 考点四概率的相关概念 1、确定事件与随机事件 类别 定义 举例 确 必然 在一定条件下，有些事情我们事先肯定它一定发 在一个只装有红球的袋子 定 事件 生，这些事情称为必然事件. 中摸球，摸出红球 事 不可 在一定条件下，有些事情我们事先肯定它一定不会 在一个只装有红球的袋子 生 能事 发生，这些事情称为不可能事件 中摸球，摸出白球 件 不确定事 在一定条件下，许多事情我们无法确定它会不会发 在一个装有红球和白球的 件（随机 生，这些事情称为不确定事件（又叫随机事件）· 袋子中摸球，摸出白球 事件) 2、概率的定义 概率：一般地，对于一个随机事件A,把刻画其发生可能性大小的数值，称之为随机事件A 发生的概率，记为P(A) 概率的意义：一个事件发生的概率是一个确定的数，它从数值上刻画了一个随机事件发生 的可能性的大小 概率的取值范围：当事件A为必然事件时，P(A)=1;当事件A为不可能事件时，P(A)=Q; 当事件A为随机事件时，0<P(A)<1. 【注意事项】 1)概率大，并不能说明事件一定发生，只是发生的可能性大；概率小，并不能说明事 件不发生，只是发生的可能性小； 2)在一次试验中，如果事件的各种结果发生的可能性不相等，就不能用概率公式进行 计算 专题25尺规作图与定义、命题、定理 考点一尺规作图 定义：最基本、最常用的尺规作图，通常称作基本作图， 五种基本作图： 1)作一条线段等于已知线段 已知 线段a La 求作 线段0A,使OA等于a 作法 1)任作一条射线0P;: 2)以点0为圆心，a的长为半径画弧，交0P于点A,则线 段OA即为所求 依据 圆上的点到圆心的距离等于半径 2)作一个角等于已知角 已 ∠AOB B 知 求 ∠A'0'B,使∠A'0'B=∠A0B y 作 作 1)作射线0A; B 法 2)以点0为圆心，任意长为半径画弧，交0A于点C,交 OB于点D; E A 3)以点0'为圆心，0C的长为半径画弧，交0'A'于点E: 4)以点E为圆心，CD的长为半径画弧，交前弧于点F； 5)经过点F作射线0'B',LA'0B'即为所求 依 1)三边分别相等的两个三角形全等； 据 2)全等三角形的对应角相等； 3)两点确定一条直线 3)作已知角的角平分线 已知 ∠AOB B 求作 射线OP,使∠AOP=∠BOP 作法 1)以点0为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M,交OB于 小 P 点N; 0 2)分别以点MN为圆心，大于二M的长为半径画弧，两弧在 ∠AOB的内部相交于点P; 3)作射线OP,射线OP即为所求， 依据 1)三边分别相等的两个三角形全等； 2)全等三角形的对应角相等： 3)两点确定一条直线 4)过一点作已知直线的垂线 已 直线AB和AB上的一点M 知 M 求 AB的垂线，使它经过点M 作 作 作平角LACB的平分线MR.直线MF就是所求作的 法 垂线 已 直线AB和AB外一点M 知 .M ↓M 求 AB的垂线，使它经过点M A B A D 作 作 1)任意取一点P,使点P和点M在AB的两傍； 法 2)以点M为圆心，MP的长为半径作弧，交AB于 点C和点D; 3)分别以点：和点D为圆心，大于知的长为 半径作弧，两弧相交于点E； 4)作直线EM,直线EM就是所求作的垂线， 依 1)等腰三角形“三线合一”； 据 2)两点确定一条直线 5)作线段的垂直平分线 已 线段AB 知 B A B 求 线段AB的垂直平分线 作 作 1)分别以点A和点B为圆心，大于二AB的长为半径 法 作弧，两弧相交于点M和点N: 2)作直线MN,直线MN就是线段AB的垂直平分线， 依 1)到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平 据 分线上； 2)两点确定一条直线 尺规作图的关键： 1)先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么； 2)读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题： 3)切记作图中一定要保留作图痕迹； 4)无刻度直尺作图通常会与等腰三角形的判定，三角形中位线定理，矩形的性质和勾 股定理等几何知识点结合，熟练掌握相关性质是解题关键 考点二定义、命题、定理 1.命题 定义：判断一件事情的语句，叫做命题 组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的 事项. 表达形式：可以写成"如果.…那么”的形式，如果”后接的部分是题设，"那 么”后接的部分是结论. 2.真命题、假命题 内容 举例 注意 真 如果题设成立，那么结论一 对顶确不相 说明一个命题是真命题，需从已知出发， 命 定成立的命题，叫做真命题 等 经过一步步推理，最后得出正确结论 题 假 命题中题设成立时，不能保 相等的角是 判定一个命题是假命题，只要举出一个 命 证结论一定成立的命题，叫 对顶角 例子（反例），使它符合命题的题设，但 题 做假命题 不满足结论即可 3.逆命题 逆命题：把原命题的结论作为命题的题设，把原命题的题设作为命题的结论，所组成 的命题叫做原命题的逆命题！ 互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命 题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中的一个命 题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题. 4.公理、定理 公理：如果一个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他 命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理如：两点之间线段最短 定理：如果一个命题可以从公理或其他命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的， 并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫做定理. 5.互逆定理 互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个 定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理. 6.反证法 定义：先假设原命题的结论不正确，然后从这个假设出发，经过逐步推理论证，最后 得出与学过的概念、基本事实、已证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果，这种 证明的方法叫做反证法. 反证法的步骤：①假设命题结论的反面正确；②从假设出发，经过逻辑推理，推出与 公理、定理、定义或已知条件相矛盾的结论；③说明假设不成立，从而得出原命题正 确清单01中考数学考前必背核心考点 (25个专题57个考点) 专题01实数及其运算 专题02整式与因式分解 .4 专题03分式 ..7 专题04一次方程（组） .9 专题05 一元二次方程 10 专题06分式方程… .13 专题07不等式（组）》 .15 专题08位置与函数 .16 专题09一次函数 .20 专题10反比例函数. .23 专题11 二次函数 .25 专题12几何图形初步 28 专题13三角形的初步认识… .31 专题14全等三角形. 33 专题15等腰三角形、等边三角形… 37 专题16直角三角形、勾股定理 .38 专题17多边形与平行四边形 .40 专题18特殊的平行四边形… .41 专题19圆的基本性质和计算 .43 专题20圆的综合 .46 专题21图形的对称、平移、旋转 48 专题22相似三角形和位似 .50 专题23锐角三角函数、解直角三角形. ...54 专题24统计与概率… 58 专题25尺规作图与定义、命题、定理… 专题01实数及其运算 【考点一实数的分类】 1.实数的分类 分法一：按照定义分类 实数可以分为： 有理数可以分为： 整数可以分为： 分数可以分为： 正有理 有限小数或 有理 0 无限循环小数 实数 负有理 矿正无理 无理 几负无理 无限不循环小 分法二：按照性质分类 正实数 实数0 负实数 2.实数的相关概念 (1)数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做 (2)相反数 代数定义：只有符号不同的两个数叫做互为 几何定义：在数轴上原点的两旁，离开原点距离相等的两个点所表示的数，叫 做 一般地，a和 互为相反数。 的相反数是0。 a=-a所表示的意义是：一个数和它的相反数相等。很显然， (3)绝对值 定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记 东 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数：0的绝对值 是 即：如果a>0,那么|=一 如果a=0,那么|a=; 如果a<0,那么la= a=所表示的意义是：一个数和它的绝对值相等。很显然， (4)倒数 定义：乘积是1的两个数互为倒数。即：如果a与b互为倒数，则有 反之亦 成立。 a=a所表示的意义是：一个数和它的倒数相等。很显然， (5)科学记数法 定义：把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a大于或等于1且小于10，n是 正整数)，这种记数方法叫做科学记数法。小于-10的数也可以类似表示。 用科学记数法表示一个绝对值大于10的数时，n是原数的整数数位减1得到的 用科学记数法表示一个绝对值小于1的数(a×10n)时，n是从小数点后开始到第一 个不是」 的数为止的数的个数。 (6)近似数 一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数近似到哪一位，也叫做精确到哪 一位。精确到十分位一 :精确到百分位一 ;。 3.平方根、算术平方根和立方根 平方根 如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a的 (或二次方根)。 正数有 平方根，它们互为；0的平方根是0：负数没有平方根。 算术平方根 正数a的正的平方根叫做a的 记作Van 正数和零的算术平方根都只有 零的算术平方根是零。 立方根 如果一个数的立方等于a,那么这个数就叫做a的 (或a的三次方根)。 一个正数有 正的立方根；一个负数有」 负的立方根；零的立方根是零。 4.实数的大小比较 (1)数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 (2)求差比较：设a、b是实数，a-b>0a>b;a-b=0a=b;a-b<0a<b; (3)求商比较法：设a、b是，>1a>b:=1a=b:<1a<b: (4)绝对值比较法：设a、b是，则la>ba>b: (5)平方法：设a、b是，则a2>b2始a<b 【考点二实数的运算】 1.实数的运算法则 加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两 数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数 的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数。 加法运算律：①交换律；②结合律 减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数。即： 乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘，都 得0。 乘法运算律：①交换律；②结合律：③分配律 1 除法法则：除以一个不等于0的数，等于。即：a÷b=a地。 两数相除， ，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。 2.实数的运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。 实数范围内混合运算的顺序：①先一，再除，最后—；②同级运算， 从左到右进行；③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 3.常见的几种实数运算 (1)乘方 定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。乘方的结果叫做幂。 a=a●a●…●a 如： 是个a 读作a的n次方（幂），在a中，a叫做底数，n叫做指数。 性质：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数；0的 任何正整数次幂都是0。 (2)零指数幂： (a0). (3)负整数指数幂：aP=aP(a0,p为正整数) 专题02整式与因式分解 【考点一代数式】 1.代数式 用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字 母也是 2.代数式的值 用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出结果，叫做 【考点二整式及其运算】 1.单顶式 用数或字母的乘积表示的式子叫做 。单独的一个数或一个字母也是单项式。 单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。一个单项式中，所有字母的指数的和叫 做这个单项式的次数。 注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如 -A-ab 3 这种表示就是错误的，应写成3 。一个单项式中，所有字母的指数的和 叫做这个单项式的次数。如-5bc是6次单项式。 2.多项式 几个单项式的和叫做 。其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做 常数项。多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。 单项式与多项式统称 3.同类项 叫做同类项。 4.合并同类项 把多项式中的同类项合并成一项，叫做 合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不 变。 5.整式的运算 (1)整式的加减 几个整式相加减，如有括号就先去括号，然后再合并同类项。 去括号法则： 。 即括号外的因数的符号决定了括号内的符号是否改变： 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号」 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号 (2)整式的乘除运算 ①同底数幂的乘法：a”·a-a。 ②幂的乘方：(a)-am。 ③积的乘方：(ab)=aB。 ④单项式与单项式的乘法：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘， 对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 ⑤单项式与多项式的乘法： 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项 式的每一项，再把所得的积相加。 ⑥多项式与多项式的乘法： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一 项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 平方差公式： 。 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 这个公式叫做平方差公式。 完全平方公式： 。两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或 减去)它们积的2倍。这两个公式叫做完全平方公式。 ⑦同底数幂的除法： 。 同底数幂相除，底数不变，指数相减。 任何不等于0的数的0次幂都等于1。 ⑧单项式与单项式的除法：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式， 对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 ⑨多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式， 再把所得的商相加。 【考点三因式分解】 1.因式分解的定义 把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分 解，也叫做把这个多项式分解因式。 以上公式都可以用来对多项式进行因式分解，因式分解的常用方法： ①提公因式法： ②公式法： ③分组分解法：acad+bc tcd-=a(ctd)+bcd)=ab)ctd ④十字相乘法：a+(pto)apg=(ap)(atg 2.因式分解的一般步骤： (1)如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。 (2)在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式 可以尝试运用公式法分解因式：3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式 及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式 (3)分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解 专题03分式 【考点一分式的概念和性质】 1、分式的定义 般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子1叫做 B 注：A、B都是整式，B中含有字母，且 。 2、分式的基本性质 分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式， AA.C AA÷C (C≠0)。 BB·C BB÷C 3、分式的约分和通分 定义1：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分 式的约分。 定义2：分子与分母没有公因式的分式，叫做 定义3：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等 的同分母的分式，叫做分式的。 定义4：各分母的所有因式的最高次幂的积叫做 【考点二分式的运算】 1、分式的乘除 ①乘法法则： a c a.c b d bd 。分式乘分式，用分子的积作为 ，分母的积作为 积的分母。 ②除法法则： a÷S=4.d_ad。分式除以分式，把除式的分子、分母 b d b c b.c 后，与被除式相乘。 ③分式的乘方： a b分。 分式乘方要把 b ④整数负指数幂： an-I 。 2、分式的加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子： 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式， ①同分母分式的加减：“±=a±五 ②异分母分式的加法：乙±S=a士bc-d±bc bd bdbd bd 注：不论是分式的哪种运算，都要先进行因式分解。 专题04一次方程（组） 【考点一一元一次方程及其应用】 1.方程 定义：含有未知数的等式叫做方程。 2.方程的解 定义：能使方程两边相等的未知数的值叫做 3.等式的性质 (1)等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果一。 (2)等式的两边都乘以（或除以）一，所得结果仍是等式。 4.一元一次方程 定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一 元一次方程，其中方程ax+b=0(x为未知数，a≠0)叫做一元一次方程的标准形 式，a是未知数x的系数，b是常数项。 【考点二二元一次方程（组）及其应用】 1.二元一次方程定义： 含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数的方程，叫做二元一 次方程。 2.二元一次方程组 概念：含有两个未知数的两个一所组成的一组方程，叫做二元一次 方程组。 解法： (1)代入消元法：将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的 代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，简称代入法： (2)加减消元法：通过方程两边分别 ,简称加减法。 专题05一元二次方程 【考点一一元二次方程】 1.一元二次方程 (1)一元二次方程的定义 等号两边都就是整式，只含有一（一元），并且未知数的最高次数就是2 (二次)的方程，叫做一元二次方程 注意一下几点： ①只含有一个未知数；②未知数的最高次数就是2；③就是整式方程. (2)一元二次方程的一般形式 一般形式：ax+bx+c=0(a≠0)、其中，ax就是，a就是_： bx就是，b就是；c就是 (3)一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做 也叫做.方程的 解的定义就是解方程过程中验根的依据. 2.直接开平方法解一元二次方程 (1)如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边就是非负数， 可以直接开平方.一般地，对于形如x=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解 的 (2)直接开平方法适用于解形如x=p或(mx+a)=p(m≠0)形式的方程，如果p ≥0，就可以利用 (3)用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数 的平方根有两个，它们互为相反数： (4)直接开平方法解一元二次方程的步骤就是：①移项；②使二次项系数或含 有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个 一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根. 3.配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的就 是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解. 配方法的一般步骤可以总结为： (1)把常数项移到等号的右边；(2)方程两边都除以二次项系数：(3)方程 两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式：(4)若等号右 边为非负数，直接开平方求出方程的解。 4.公式法解一元二次方程 (1)一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方 -b士b -Aac 程的两个根为x= 这个公式叫做一元二次方程的求根公式， 2a 利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求的方程的解， 这种解方程的方法叫做 (2)一元二次方程求根公式的推导过程，就就是用配方法解一般形式的一元二 次方程ax+bx+c=0(a≠0)的过程. (3)公式法解一元二次方程的具体步骤： ①方程化为一般形式：ax+bx+c-0(a≠0)，一般a化为正值；②确定公式中 a,b,c的值，注意符号； ③求出b2-4ac的值；④若b2-4ac≥0，则把a,b,c与b-4ac的值代入公式即可 求解，若b2-4ac<0,则方程无实数根 5.一元二次方程根的判别式 式子b2-4ac叫做方程ax+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示 它， 一元二次方程根的判别式 △>0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有 的实数根： △=0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有 的实数根； △<0，方程ax+bx+c=0(a≠0) 实数根 6.因式分解法解一元二次方程 (1)把一元二次方程的一边化为0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而 转化为求两个求一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法， (2)因式分解法的详细步骤： ①移项，将所有的项都移到左边，右边化为0： ②把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式与 完全平方公式： ③令每一个因式分别为零，的到一元一次方程； ④解一元一次方程即可的到原方程的解。 7.一元二次方程的根与系数的关系 若一元二次方程x+px+q=0的两个根为X1,X2,则有； 若一元二次方程ax+bxte-0(a≠0)有两个实数根x,X,则有x+x=-b = 【考点二一元二次方程的应用】 1.列一元二次方程解应用题的一般步骤： (1)审：就是指读懂题目，弄清题意，明确哪些就是已知量，哪些就是未知 量以及它们之间的等量关系 (2)设：就是指设元，也就就是设出未知数 (3)列：就就是列方程，这就是关键步骤，一般先找出能够表达应用题全部含 义的一个相等含义，然后列代数式表示这个相等关系中的各个量，就的 到含有未知数的等式，即方程 (4)解：就就是解方程，求出未知数的值. (5)验：就是指检验方程的解就是否保证实际问题有意义，符合题意. (6)答：写出答案 2.列一元二次方程解应用题的几种常见类型 (1)数字问题 三个连续整数：若设中间的一个数为x,则另两个数分别为 三个连续偶数（奇数）：若中间的一个数为x,则另两个数分别为 三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为a,b,c,则这个三位 数就是100a+10b+c (2)增长率问题 设初始量为a,终止量为b,平均增长率或平均降低率为x,则经过两次的增长 或降低后的等量关系为 (3)利润问题 利润问题常用的相等关系式有：①总利润= ；②总利润= :③利 润王 (4)图形的面积问题 根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系，将图形的面积用含有未知 数的代数式表示出来，建立一元二次方程 专题06分式方程 【考点一分式方程】 1.分式方程的定义 分母中含未知数的方程叫做 【归纳】 (1)分式方程的重要特征：1含有分母：2分母中含有未知数：3是方程， (2)方程的分母中是否含有未知数是分式方程与整式方程的根本区别 (3)分母中含有字母的方程未必是分式方程. 2.分式方程的解法 (1)解分式方程的基本思想： 把分式方程转化为整式方程，解这个整式方程，然后验根，从而确定分式方程的解.(2) 解分式方程的一般方法和步骤 1去分母：方程两边同乘最简公分母，把分式方程化为整式方程：2解整式方程：去括号、 移项、合并同类项等等：3检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值 不为0，则整式方程的解是原分式方程的解：否则，这个解不是原分式方程的解 简称为一化，二解，三检验 (3)解分式方程产生不适合原方程解的原因： 在将分式方程化为整式方程时，未知数的取值范围被增大了，对于整式方程来说，求 出的解成立，而对于原分式方程来说， ,所以这个解不是原分式方程的解， 即原分式方程无解 【考点二分式方程的应用】 分式方程的应用 分式方程的应用基本思路和方法： 一审：审清题意，弄清已知量和未知量： 二找：找出等量关系 三设：设未知数 四列：列出分式方程 五解：解这个方程： 六验：检验，既要检验所求得的解是不是所列分式方程的解，又要检验所求得的解 是否符合实际问题的 要求 七答：写出答案 在上述过程中，关键步骤是根据题意寻找”等量关系”，进而列出分式方程，求解 时注意必须检验求出的值是不是所列分式方程的解，且是否符合实际意义 专题07不等式（组） 【考点一不等式（组）】 1.不等式 不等式：用符号“<”（或“≤”），“>”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式 【易错点剖析】 (1)不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解， (2)不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集。 (3)解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式. 2.不等式的性质： 不等式的基本性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子）， 不等式的基本性质2：不等式两边都，不等号的方向。 不等式的基本性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向」 3.一元一次不等式 定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次 数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式， 【易错点剖析】ax+b>0或ax+b<0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式. 解法： 解一元一次不等式步骤： 【易错点剖析】 不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点， 二是定方向，三是定空实 4.一元一次不等式组 关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组 【易错点剖析】 (1)不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集 (2)解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组 (3)一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的 公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集， 专题08位置与函数 【考点一位置的确定】 一、点的坐标特征 在x轴上 (x,0) 坐标轴上的点(x,y) 在y轴上 在原点 (0,0) 点的坐标特 第一象限 征 第二象限 (-,+) 点在各象限的坐标特点 第三象限 第四像限 (+,-) 第一、三象限 (m,m) 象限角平分线上的，点 第二、四象限 (m,m）】 点P(a,b) 到x轴的距离=点P的 的绝对值，即b 到 坐标轴的距 到y轴的距离=点P的 的绝对值，即al 离 点P1(x1,y1)与点P 横坐标不相等，纵坐标相等，即x1x2, 具有特殊位 (x2,y2)在条平行于x轴 yi-y2 置关系的两 的直线上 个点的坐标 点P1(x1,y1)与点P 特征 横坐标相等，纵坐标不相等，即x1X?, (x2,y2)在条平行于y轴 yify? 的直线上 向 平移a个单 点(x,y) (xta,y) 位长度 向 平移a个单 点(x,y) (x-a,y) 点平移后的 位长度 坐标特征 向平移b个 点(x,y) (x,y+b) 单位长度 向 平移b个 点(x,y) (x,y-b) 单位长度 二、图形上点的坐标变化与图形平移间的关系 1横型标变化，纵坐标不变： 原图形上的点(x,y)(+a,）→向右平移a个单位 原图形上的点(x,y)(-a,)→向左平移a个单位 2横型标不变，纵坐标变化： 原图形上的点(x,y)+)→向上平移b个单位 原图形上的点(x,y)-》）→向下平移b个单位 3.横坐标纵坐标都变化： 原图形上的点(x,y)+a,+))向右平移a个单位，向上平移b个单位 原图形上的点(x,y）)+a,-》→向右平移a个单位，向下平移b个单位 原图形上的点(x,y)-a,+)向左平移a个单位，向上平移b个单位 原图形上的点(x,y)-a,-)向左平移a个单位，向下平移b个单位 三、用坐标表示地理位置 1.确定坐标原点 用坐标表示地理位置时，要注意选择适当的位置为坐标原点，这里说的适当，通常 要么是比较有名的地，点，要么是所要绘制的区域内较居中的位置.不同的原点产生的地理 位置的坐标也不同.原点不同，地理位置的坐标也不同.用适当的位置表示原点，可以降 低计算的难度. 2.如何确定x轴与y轴的方向 坐标轴的方向通常是选择以水平线为x轴，以向右为正方向（正东），以竖直线为y 轴，以向上为正方向（正北），这样可以使东西南北的方向与地理位置的方向保持一致· 四、用坐标表示平移 1.一般地，将一个图形依次沿两个坐标轴方向平移所得到的图形，可以通过将原的图形 作一次平移得到. 2.对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来，从图形 上的点的坐标的某种变化，我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移· 3.在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加（或减去）一个正数a,相应 的新图形就是把原图形向右（或向左）平移ā个单位长度. 如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个正数ā，相应的新图形就是把原图形向 上（或下）平移a个单位长度. 考点二函数的表示 一、常量和变量 在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量· 1.变量和常量是相对而言的，变化过程不同，它们可能发生改变，判断的前提条件是“在同 一个变化过程中'，当变化过程改变时，同一个量的身份也可能随之改变，例如，在st 中，当s一定时，V,t为变量，s为常量；当t一定时，s,v为变量，而t为常量. 2“常量”是已知数，是指在整个变化过程中保持不变的量，不能认为式中出现的字母就是 变量，如在一个匀速运动中的速镀v就是一个常量·. 3.变量、常量与字母的指数没有关系，如S=π2中，变量是S和”，常量是“π”. 4.判断一个量是不是变量，关键是看其数值是否发生变化. 二、函数的定义 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值， y都有唯一确定的值与其卖对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数. 对函数定义的理解，主要抓住以下三点： 1.有两个变量. 2函数不是数，函数的本质是对应，函数关系就是变量之间的对应关系，且是一种特殊的 对应关系，一个变量的数值随着另一个变量数值的变化而变化. 3函数的定义中包括了对应值的存在性和唯一性两重意思，即对自变量的每一个确定的值， 函数有且只有一个值与之对应，对自变量x的不同取值，y的值可以相同. 在某个变化过程中处于主导地位的变量即为自变量，随之变化且对应值有唯一确定性 的另一个变量即为该自变量的函数. 三、自变量取值范围的确定 使函数有意义的自变量的取值的全体叫做自变量的取值范围·. 当用函数关系式表示实际问题时，自变量的取值不但要使函数关系式有意义，而目还 必须使实际问题有意义. 四、函数解析式及函数值 函数解析式：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的 常用方法，这种式子叫做函数的解析式· 1.函数解析式是等式. 2函数解析式中指明了哪个是自变量，哪个是函数，通常等式右边的代数式中的变量是自 变量，等式左边的变量表示函数. 3.用数学式子表示函数的方法叫做解析式法. 函数值：对于自变量x在取值范围内的某个确定的值ā，函数y所对应的值为b,即当 a,yb时，b叫做自变量x的值为a时的函数值. 五、函数的图象及其画法 一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标， 那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图像. 专题09一次函数 考点一一次函数的图像与性质 一、一次函数和正比例函数 1.定义：如果y=kxb(k≠0)，那么y叫x的一次函数，当b=0时，一次函数y=kx也叫 正比例函数.正比例函数是一次函数的特例，具有一次函数的性质. 2.一次函数与正比例函数的关系 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是过点(0，b)与直线y=kx平行的一条直线。它可以由 b 直线y=kx平移得到.它与x轴的交点为 0 与y轴的交点为(0，b). 二、一次函数的图象与性质 大致 函数 系数取值 经过的象限 函数性质 图象 k>0 一、三 y随x增大而增大 y-kx (k0) k<0 二、四 y随x增大而减小 k>0 一、二、三 b>0 y随x增大而增大 k>0 一、三、四 y=kx+b b<0 (k0) k<0 一、二、四 b>0 y随x增大而减小 k<0 二、三、四 b<0 三、一次函数与方程（组）、不等式的关系 关于x的一元一次方程kx+b=0(k≠0)的解是直线y=kx+b与x轴交点 元一次方程 的横坐标。 关于x,y的二元一次方程组X1bV的解是两条直线的交点坐 二元一次方程组 k2x+b2=y" 标 关于x的一元一次不等式kx+b>0(<0)的解集是以直线yx+b和x 元一次不等式 轴的交点为分界点，x轴上（下）方的图象所对应的x的取值范围. 四、一次函数图象的平移 平移情况 解析式变化情况 【温馨提示】 向上平移n(n>0)个单位 y=x+b→y=x+b+n (1)简记为“左加右减自变量，上加下 向下平移n(n>0)个单位 y=x+b→y=x+b-2 减常数项”； 向左平移m(m>0)个单位 y=kx+b→y=k(x+m)+b (2)直线y=a+b可以看作由直线 y=x向上或向下平移b个单位得到 向右平移m(m>0)个单位 y=x+b→y=k(x-m)+b 【拓展】 同一平面直角坐标系中两直线l1:y=x+b(化1≠0)，12：y=k2x+b2(化2≠0)的位置关系 k1,k3,b1,b2的关系 1与马的关系 k1≠k2 4与马相交 k1≠k3,b=b2 4与马相交于轴上的一点 k1=k3,b+b2 4与马平行 考点二一次函数的应用 一次函数的实际应用： 1.一次函数应用问题的求解思路： ①建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质作出解答； ②利用函数并与方程（组）、不等式（组）联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、 生产方案的设计问题以及经济决策、市场经济等方面的应用。 2.建立函数模型解决实际问题的一般步骤： ①审题，设定实际问题中的变量，明确变量x和y; ②根据等量关系，建立变量与变量之间的函数关系式，如：一次函数的函数关系式： ③确定自变量x的取值范围，保证自变量具有实际意义； ④利用函数的性质解决问题： ⑤写出答案。 3.利用一次函数的图象解决实际问题的一般步骤： ①观察图象，获取有效信息： ②对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系； ③选择适当的数学工具（如函数、方程、不等式等），通过建模解决问题。 4.求最值的本质为求最优方案，解法有两种： ①可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较： ②直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接 确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再 进行比较， 专题10反比例函数 考点一反比例的图像与性质 1、反比例函数的概念 殷的，形如y=止 (是常数，≠O)的函数叫做。其它表示形式：y=x1或 y=k。 因为≠0，k≠0，相应地y值也， 所以反比例函数的图象一x轴和y轴， 但与x轴、y轴 2、反比例函数的图象与性质 反比例函数y=“(k为常数，k≠0)的图象总是关于原点成中心对称的，它的位置和性 质受k的符号的影响. 仑0 K<0 (k为常数，0) 1 图 象 所在象限 一、三(x,y同号) 二、四(x,y异号) 在每个象限内，卫 在每个象限内，y 性质 随x的 而减 随x的 而增 小 大 3、反比例函数的k的几何意义 由y=K(k≠0)的图象上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面 积为， 如图①和②，S形a=PA·PB=|y·lx=|xw川=-： 同理可得SaS2w=一 B 图① 图② 4、反比例函数解析式的确定 (1)待定系数法。由于在反比例函数y= 中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应 值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。 (2)利用反比例函数中反比例系数的几何意义 若已知某点到坐标轴的垂线与坐标轴所围成的面积，根据函数图象所在象限判断k的 正负，从而确定k值，再将k值代入反比例函数解析式即可。 专题11二次函数 考点一二次函数的图像与性质 1、二次函数的概念 一般的，形如y=ax+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。其中x是自变量， a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项。 二次函数解析式的表示方法： (1)一般式：y=ax+bx十c(其中a,b,c是常数，a≠0)； (2)顶点式： 它直接显示二次函数的顶点坐标是一； (3)交点式：y=a(x-x)(x-x2), 其中，是图象与x轴交点的横坐标. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以 写成交点式，只有抛物线与x轴有交点， 过，抛物线的解析式才可以用交点 式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化. 2、二次函数的图象是一条抛物线。当a>0时，抛物线开口向上；当α<0时，抛物线开口 向下。l☑越大，抛物线的开口越小；d越小，抛物线的开口越大。 y=ax2 y=ax2+k y=a(c-1)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c b 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h r、 2a (0,0) (0,) (h,0) (h,) b 4ac-b2 2a 顶点 心0时， 顶点是最低点，此时y有最小值：K0时，顶点是最高点，此时y有最大 值，最小值（或最大值）为ok或4c-b b K0h或-。乙)时，y随x的增大而减小；>0h或- 五)时，y随x的 而增 2a 2 心0 大。 即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的， 而增 增 大。 减 性 x<0h或 )时，y随x的增大而增大；x>0h或- b )时，y随x的 而减 2a 2a 小。 a<0 即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的 而减 小。 3、 二次函数的平移： 方法一：在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”。 概括成八个字“ 任意抛物线y=(x一)子+k可以由抛物线y=2经过平移得到，具体平移方法如下： 上加下减 y=ax? 向上(k>O)、下k<O)平移k1个单位 y=ax+k 助0 并向上(k>0) 向右h>0 (h0) 左化<0)平移个单位（左加右减） 下k<0)平移k个单位（上加下减） (h<0 y=a(x-h) 上加下减 向上(k>0、下k<0平移k个单位 y=a(x-h)+k 方法二： (I)y=ax2+bx+c沿y轴平移：向上（下）平移个单位，y=x2+bx+c变成 y=ax2+bx+c+m (y=ax2+bx+c-m) (2)y=x2+bx+c沿x轴平移：向左（右）平移m个单位，y=2+bx+c变成 y=a(x+m)2+b(x+m)+c (y=a(x-m)2+b(x-m)+c) 4、二次函数的图象与各项系数之间的关系 a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小. b的符号的判定：对称轴x=一 b 在y轴左边则ab>0,在y轴的右侧则ab<0,概括 20 的说就是“左同右异” c决定了抛物线与y轴交点的位置 字母的符号 图象的特征 a>0 开口向上 <0 开口向下 b=0 对称轴为y轴 ab>0(a与b同号) 对称轴在y轴左侧 b<0(a与b异号) 对称轴在y轴右侧 c=0 经过原点 c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 5、二次函数与一元二次方程之间的关系 判别式情况 b2-4ac>0 2-4c=0 2-4ac<0 >0 二次函数y= ax2+bx+ 0 c(0)与x轴 的交点 0 a<0 一元二次方程c2十x 有两个不相等 有两个相等的 没有实数根 十c=0的实数根 的实数根，2 实数根n=2 当b2-4ac<0时 1'当a>0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y>0; 2'当a<0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y<0. 考点二二次函数的应用 用二次函数解决实际问题的一般步骤： 1.审：仔细审题，理清题意； 2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形 具体分析，设出适当的未知数： 3列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数 的解析式： 4解：依据己知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题； 5检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论 【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含项 点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论 利用二次函数解决利润最值的方法：巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用 二次函数的最值解决利润最大问题。 利用二次函数解决拱桥/隧道拱门类问题的方法：先建立适当的平面直角坐标系，再根据 题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图象信息解决实际问题。 利用二次函数解决面积最值的方法：先找好自变量，再利用相关的图形面积公式，列出函 数关系式，最后利用函数的最值解决面积最值问题。 专题12几何图形初步 考点一线段与角 1、直线、射线、线段 (1)直线：经过两点有一条直线，并且只有一条直线。简称： (2)相交线：当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线相交。这个公共 点叫做它们的交点。 (3)两点的所有连线中，线段最短。简称： 连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离。 (④)线段的中点：线段上的一个点把线段分成相等的两条线段，这个点叫做线段的中点。 (⑤)直线没有端点，向两方无限延伸，不可度量： 射线有一个端点，向一方无限延伸，不可度量： 线段有两个端点，不向任何一方延伸，能度量。 2、角 (I)定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。这个公共端点是角的顶点，两条 射线是角的两条边。 (2)角的度量 1°=60′，1'=60" (3)角的分类 ①锐角(0°<a<90°) ②直角(a=90°) ③钝角(90°<a<180°) ④平角(a=180°） ⑤周角(a=360°) (4)角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个 角的平分线。 (⑤)角平分线的性质与判定：角的平分线上的点到」 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 (6)余角与补角 余角：一般地，如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角一。 补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角。 性质：同角（等角）的余角相等。 考点二相交线与平行线 1、邻补角与对顶角 邻补角：有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角，叫做一。 对顶角：有一个公共顶点，一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线， 这两个角叫做。 对顶角相等。 2、垂线 (1)定义：两直线相交所构成的四个角中有一个角是直角时，我们就说这两条直线 互相垂直，其中一条直线叫做另外一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 (2)性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直： 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，。 (3)点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距 离。 3、同位角、内错角、同旁内角 如图，∠1和∠4是同位角，∠3和∠4是内错角，∠2和∠4是同 旁内角。 4、平行线 (1)定义：在平面内不相交的两条直线叫做平行线。 (2)平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行： 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 (3)平行线的性质 两条平行线被第三条直线所截， 两条平行线被第三条直线所截， 两条平行线被第三条直线所截， (4)平行线的判定 两条直线被第三条直线所截， 那么这两条直线平行： 两条直线被第三条直线所截， 那么这两条直线平行： 两条直线被第三条直线所截， 那么这两条直线平行。 专题13三角形的初步认识 考点一三角形的概念和三边关系 1.三角形的概念 由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形 三角形特性 (1)三角形有三条线段 (2)三条线段不在同一直线上 三角形是封闭图形 (3)首尾顺次相接 三角形用符号“△”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”,读作“三角形ABC”. 2.三角形按边分类： 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做 底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。 底边与腰相等的等腰三角形叫做等边三角形，即三边都相等 3.三角形的三边关系 (1) 三角形的任意两边之差小于第三边.（这两个条件满足其中一个即可）· 用数学表达式表示就是：记三角形三边长分别是a,b,c,则a十b>c或0<c一b<a. (2)已知三角形两边的长度分别为a,b,求第三边长度的范围： 考点二三角形的重要线段和有关的角 1.三角形的高概念 从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三 角形的高)· 2.三角形的中线概念 在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做 性质：三角形三条中线的交于一点，这一点叫做“”.三角形的中线可以将三角形分 为面积相等的两个小三角形， 3.三角形的角平分线概念 三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做 4.三角形的内角和定理 三角形三个内角和等于 推论： ①直角三角形的两个锐角互余 ②三角形的一个 ③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 5.三角形的外角 三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角. 性质：(1)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和. (2)三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角. 专题14全等三角形 考点一全等三角形的基本性质 1、全等三角形的概念 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应 边，重合的角叫做对应角。 2、全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等：全等三角形的对应角相等。 3、三角形全等的判定 (1) 一：三边分别相等的两个三角形全等。 (2) ：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。 (3) ：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。 (4)： 两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等。 (⑤)：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。 4、全等变换 只改变图形的位置，二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。 全等变换包括一下三种： (1)平移变换：把图形 的变换叫做平移变换。 (2)对称变换：将图形 这种变换叫做对称变换。 (3)旋转变换：将图形 这种变换叫做旋转变换。 考点二常考的全等模型 1.平移模型 把△ABC沿着某一条直线1平行移动，所得到△DEF与△ABC称为平移型全等三角 形，图①，图②是常见的平移型全等三角线 E 图① 图② 2.轴对称模型 将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三角形 称之为轴对称型全等三角形，此类图形中要注意期隐含条件，即公共边或公共角相等 3.旋转模型 将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角 形为旋转型三角形，识别旋转型三角形时，涉及对顶角相等、等角加（减）公共角的 条件 4.一线三等角模型 三个等角的顶点在同一条直线，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角.这个模型称 为一线三等角模型 (同侧)已知∠A=∠CPD=∠B=∠a,CP=PD O D D a A B B (异侧)已知∠EAC=∠ABD=∠DPC=∠a,CP=PD 5.截长补短模型 该模型适用于求证线段的和差倍分关系，该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等 关键词，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明。其中截长指在长线段中截 取一段等于已知线段，补短指将短线段延长，使短线段加上延长线段长度等于长线段。 (1)截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。 如图，求证BE+DC=AD: 方法：①在AD上取一点F,使得AF=BE,证DF=DC:②在AD上取一点F,使DF=DC,证AF=BE (2)补短：将短线段延长，证与长线段相等 6.倍长中线模型 当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，使得延长后的线段是原中 线的二倍，从而构造一对全等三角形(SAS),并将已知条件中的线段和角进行转移. 己知点D为△ABC中BC边中点，延长线段AD到点E使AD=DE, 1)连接EC,则△ABD≌△ECD,AB∥CE 2)连接BE,则△ADC≌△EDB,AC∥BE B D E 7.手拉手模型 两个顶角相等的等腰三角形共用顶角顶点，分别连接对应的两底角顶点，从而可以得 到一个经典的全等模型.因为顶点相连的四条边，形象可以看作两双手，通常称为“手 拉手模型” 如图，△ABC是等腰三角形、△ADE是等腰三角形，AB=AC,AD=AE, ∠BAC=∠DAE=a。结论：△BAD≌△CAE。 B 图① 图② 图③ 8.半角模型 当一个角包含着该角的半角，如90°角包含着45°角，120°角包含着60°角，2709 角包含着135°角，即出现倍角关系，且这两个角共顶点，共顶点的两条边相等，则 该模型为半角模型。解题方法为：1)过公共点作旋转，2)截长补短的方法构造全等 解题。 如图：已知∠2∠A0B,0A-08 B 723 E B 专题15等腰三角形、等边三角形 考点一等腰三角形 1.等腰三角形的性质 (1)等腰三角形的性质定理及推论： 定理：等腰三角形的两个底角相等（简称： 推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的 (2)等腰三角形的其他性质： ①等腰直角三角形的两个底角相等且· ②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直 角)。 b ③等腰三角形的三边关系：设腰长为a,底边长为b,则二<a 2 ④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A,底角为∠B、∠C,则∠A=180°一 2∠B,∠B=∠C-180°-∠A 2.等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称： 考点二等边三角形 1.等边三角形的概念 三条边都相等的三角形叫等边三角形，它是」 2.等边三角形的性质 1)等边三角形的 2)三个内角都相等，并且每 3.等边三角形的判定 1)的三角形是等边三角形 2) 的等腰三角形是等边三角形 特别注意：等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；等边三角形的内心、外心、 重心和垂心重合， 专题16直角三角形、勾股定理 考点一直角三角形的性质和判定 1.直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形. 2.直角三角形的性质：1)直角三角形两个 2)直角三角形斜边上的中线 3)在直角三角形中，30°角所对的直角边等于 3.直角三角形的判定：1)的三角形是直角三角形 2) 的三角形叫做直角三角形. 3):如果三角形的三边长a,b,c,若a+b2-c,那么这 个三角形是直角三角形。 考点二勾股定理 1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边分别为α，b,斜边为c,那么a2土±2三c2 2.勾股定理的证明方法： 方法-（图-）：4+S正方形an=SE方形ABcD,4×b+(b-a)2=c2,化简可证 a2+b2=c2. 方法二（图二)：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积. 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S=4×号ab+c2=2ab+c2 大正方形面积为S=(a+b)2=a2+2ab+b2,所以a2+b2=c2 方法三（图三)：S梯形a+b)·(a+b),S梯形=2SaDE+SAB熙=2ab+c2, 化简得证a2+b2=c2 图 图二 图三 考点三勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是 直角三角形，其中c为斜边 拓展：若a2+b2<c2,时，以a,b,c为三边的三角形是钝角三角形： 若a2+b2>c2,时，以a,b,c为三边的三角形是锐角三角形 专题17多边形与平行四边形 考点一多边形 多边形的定义：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形. 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线 多边形对角线条数：从n边形的一个顶点可以引(3)条对角线，并且这些对角线把 多边形分成了(n-2) 个三角形，n边形的对角线条数为”-3) 2 多边形内角和定理：n边形的内角和为 多边形外角和定理：任意多边形的外角和等于360°，与多边形的形状和边数无关 正多边形的定义：各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形 考点二平行四边形 平行四边形的定义： 的四边形叫做平行四边形 平行四边形的性质：1)对边平行且相等： 2)对角相等、邻角互补： 3)对角线互相平分： 4)平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，平行四边形的对 角线的交点是平行四边形的对称中心 平行四边形的判定定理： ①定义： 的四边形是平行四边形. ② 的四边形是平行四边形。 ③ 的四边形是平行四边形. ④】 的四边形是平行四边形. 考点三三角形的中位线 三角形中位线概念：连接三角形两边中点的线段叫做三角形中位线， 三角形中位线定理： 拓展： 结论1：三条中位线组成一个三角形，其 结论2：三条中位线将原三角形分割成 结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的一 结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线 结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等. 专题18特殊的平行四边形 考点一矩形 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做 矩形的性质：1)矩形具有平行四边形的所有性质： 2)矩形的四个角都是： 3)对角线互相： 4)矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形.矩形的对称中心是矩形对 角线的交点：矩形有两条对称轴，矩形的对称轴是过矩形对边中点的直 线；矩形的对称轴过矩形的对称中心. 矩形的判定：1) 平行四边形是矩形： 2) 平行四边形是矩形： 3)》 的四边形是矩形. 考点二菱形 菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 菱形的性质： 1)具有平行四边形的所有性质： 2)四条边都相等： 3)两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角， 4)菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，菱形的对称中心是菱形对角线的交点， 菱形的对称轴是菱形对角线所在的直线，菱形的对称轴过菱形的对称中心 菱形的判定： 1) 的平行四边形是菱形 2)》 的平行四边形是菱形 3) 的四边形是菱形 考点三正方形 正方形的定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形， 正方形的性质： 1)正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质. 2)正方形的四个角都是直角，四条边都相等 3)正方形对边平行且相等 4)正方形的对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角： 5)正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形： 6)正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形 注意：正方形对角线与边的夹角为 正方形的判定： 1)平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角： 2)矩形+一组邻边相等： 3)矩形+对角线互相垂直： 4)菱形+一个角是直角： 5)菱形+对角线相等. 【解题技巧】判定一个四边形是正方形通常先证明它是矩形，再证明它有一组邻边相等 或对角线互相垂直；或者先证明它是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等； 还可以先判定四边形是平行四边形，再证明它有一个角为直角和一组邻边相等 专题19圆的基本性质和计算 考点一圆的相关概念及性质 1.圆的定义 圆的定义：第一种：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点0旋转一周，另一个端点 A所形成的图形叫作圆。固定的端点0叫作圆心，线段OA叫作半径。第二种：圆心为O, 半径为x的圆可以看成是所有到定点0的距离等于定长x的点的集合。 比较圆的两种定义可知：第一种定义就是圆的形成进行描述的，第二种就是运用集合 的观点下的定义，但就是都说明确定了定点与定长，也就确定了圆。 2.圆的相关概念 (1)弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫作。 (2)弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分 成两条弧，每一条弧都叫做 (3)等圆：等够重合的两个圆叫做 (4)等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做。 弦就是线段，弧就是曲线，判断等弧首要的条件就是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆 中完全重合的弧才就是等弧，而不就是长度相等的弧。 3.圆的对称性 圆就是轴对称图形，任何一条直径所在直线都就是它的对称轴。 4.垂径定理 垂径定理： 垂径定理的推论： 注意：因为圆的两条直径必须互相平分，所以垂径定理的推论中，被平分的弦必须不就 是直径，否则结论不成立。 5.弦、弧、圆心角的关系 (1)弦、弧、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦也相等。 (2)在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们 所对应的其余的各组量也相等。 (3)注意不能忽略同圆或等圆这个前提条件，如果丢掉这个条件，即使圆心角相等， 所对的弧、弦也不一定相等，比如两个同心圆中，两个圆心角相同，但此时弧、 弦不一定相等。 6.圆周角定理 (1)圆周角定理： (2)圆周角定理的推论： (3)圆周角定理揭示了同弧或等弧所对的圆周角与圆心角的大小关系。“同弧或等弧”就 是不能改为“同弦或等弦”的，否则就不成立了，因为一条弦所对的圆周角有两类。 7.圆内接四边形及其性质 圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多 边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。 圆内接四边形的性质： 考点二与圆有关的位置关系 1.点与圆的位置关系 (1)点与圆的位置关系有： (2)用数量关系表示：若设⊙0的半径就是r,点P到圆的距离OP=d,则有： 点P在圆外，则d>r;点P在圆上则d=r;点P在圆内则d<r,反之也成立。 2.三角形的外接圆与外心 (1)经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的 (2)外接圆的圆心就是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个一。 3.直线与圆的位置关系 (1)直线与圆的位置关系有： (2)直线与圆的位置关系可以用数量关系表示 若设⊙0的半径就是r,直线1与圆心0的距离为d,则有： 直线1与⊙0相交则d<r: 直线1与⊙0相切则d=x: 直线1与⊙0相离则d>r,反之也成立。 3.切线的判定与性质 (1)切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线就是圆的切线。 (2)切线的性质定理： (3)切线的其他性质：切线与圆只有一个公共点；切线到圆心的距离等于半径；经过圆心 且垂直于切线的直线必过切点；必过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 4.切线长定理 (1)切线长的定义： (2)切线长定理： (3)注意：切线与切线长就是两个完全不同的概念，必须弄清楚切线就是直线，就是不能 度量的；切线长就是一条线段的长，这条线段的两个端点一个就是在圆外一点，另 一个就是切点。 6.三角形的内切圆与内心 (1)三角形的内切圆定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。这个三角形叫 做圆的外切三角形。 (2)三角形的内心：三角形内切圆的圆心叫做 (3)注意：三角形的内心就是三角形三条角平分线的交点，所以当三角形的内心已知时， 过三角形的顶点与内心的射线，必平分三角形的内角。 专题20圆的综合 考点一圆内知识综合 1.圆的基本概念 圆的定义、半径、直径、弦、弧（优弧/劣弧/等弧）、圆心角、圆周角、弦心距的概 念辨析。 同圆或等圆中，半径相等，等弧对等弦、等圆心角、等圆周角。 2.三大核心定理 垂径定理及推论：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧；平分弦（非直径） 的直径垂直于弦，是圆中线段长度计算（勾股定理）的核心依据。 圆心角、弧、弦关系定理：同圆/等圆中，一组量相等则其余对应量均相等。 圆周角定理及推论：同弧所对圆周角=圆心角的一半；直径所对圆周角为直角： 90°圆周角所对弦为直径：同弧/等弧所对圆周角相等。 3.点与圆的位置关系 判定依据：点到圆心的距离d与半径r的大小关系(d>r外离、d=r相切、dKr相交) 三角形外接圆：外心是三边垂直平分线交点，到三顶点距离相等。 4.圆内计算核心方法 弦长计算：垂径定理+勾股定理 角度转化：圆周角、圆心角、弦切角（拓展）的互化 辅助线作法：作半径、作弦心距、连直径构造直角三角形 考点二圆与三角形的综合 1.直线与圆的位置关系 判定：圆心到直线距离d与r比较（相交dKr、相切d=r、相离d>r)。 切线的判定与性质：切线垂直于过切点的半径；证切线两大方法（连半径证垂直、作垂直 证半径)。 2.切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，该点与圆心连线平分两条切线的夹角。 3.三角形与圆的特殊结合 直角三角形与圆：斜边为直径→圆过直角顶点；直角三角形外接圆半径斜边： 等腰/等边三角形与圆：结合垂径定理，圆心在三角形的对称轴上，易构造全等三角形。 三角形内切圆：内心是角平分线交点，到三边距离相等，内切圆半径r=2S/C(S面积，C 周长)。 4.相似三角形在圆中的应用 圆中相似模型：母子相似、圆周角相等构造AA相似、弦切角定理衍生相似。 应用：求线段比例、线段长度、证明等积式(a·b=c·d) 5.辅助线规律：遇切线连半径，遇直径作直角，遇弦作弦心距。 考点三圆与四边形的综合 1.圆内接四边形性质（核心考点) 对角互补；外角等于内对角：四个顶点均在圆上。 2.特殊四边形与圆的结合 矩形：一定有外接圆（对角线为直径）。 正方形：既有外接圆又有内切圆，圆心为对角线交点。 菱形：只有内切圆（无外接圆，除非是正方形）。 等腰梯形：一定是圆内接四边形。 3.圆外切四边形性质 圆外切四边形对边和相等(AB+CD=AD+BC)。 4.综合考查方向 判定四边形形状：求四边形内角、边长、面积：证明线段相等/平行/垂直；结合切线、 相似进行综合推导。 考点四圆与函数的综合 1.坐标系中的圆 圆的标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2(圆心(a,b),半径r,初中拓展应用) 圆心坐标、半径的求解：利用中点公式、距离公式计算 2.圆与函数图象的位置关系 圆与直线（一次函数）：联立方程→判别式判定位置关系；结合切线性质求切点坐标、切 线解析式。 圆与抛物线（二次函数）：交点坐标求解、结合动点考查最值与存在性。 3.动点与圆的综合 动点轨迹为圆的判定：定角对定边、到定点距离为定值。 最值问题：线段最值（将军饮马、圆外一点到圆的最值d士）、面积最值、角度最值。 4.存在性问题 圆上找点构成特殊三角形（等腰、直角）、特殊四边形（平行、菱形）。 切线存在性、相似三角形存在性。 5.核心方法 数形结合、分类讨论、方程思想：辅助线结合坐标系作垂线、连半径、构造直角三角形。 专题21图形的对称、平移、旋转 考点一轴对称与中心对称图形 1.轴对称与中心对称 类别 轴对称 中心对称 定义 把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它 如果一个图形绕某点旋转180°后与 能够与另一个图形重合，那么称这两个图 另一个图形重合，我们就把这两个图 形关于这条直线对称，也称这两个图形成 形叫做成中心对称. 轴对称，这条直线叫做对称轴.折叠后重 合的点是对应点，也叫做对称点！ 性质 1)对应点的连线被对称轴垂直平分： 1)对应点的连线都经过对称中心， 2)成轴对称的两个图形全等： 且被对称中心平分： 2)成中心对称的两个图形全等： 3)只有一个对称中心 2.轴对称图形与中心对称图形 类别 轴对称图形 中心对称图形 定义 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线 如果一个图形绕某一点旋转 后 两旁的部分能够互相重合，那么这个图形 能与它自身重合，我们就把这个图形 就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对 叫做中心对称图形，这个点叫做它 称轴 的 性质 1)有」 1)有 2)将图形沿对称轴折叠后，对称轴两旁 2)将图形绕对称中心旋转180°旋 的部分完全重合 转后的图形能与原来的图形重合 考点二图形的平移 平移的定义：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，图形这种移动 叫做 ·它是由移动方向和距离决定的 平移的性质： 1)平移不改变图形的大小、形状，只改变图形的位置，因此平移前后的 2)平移前后对应线段平行（或在同一条直线上)且相等、 3)任意两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等，对应点之间的距离就是平移 的距离 平移作图的步骤： 1)定：根据题目要求，确定平移的方向和距离： 2)找：找出确定图形形状的关键点； 3)移：过这些关键点作与平移方向平行的射线，在射线上截取与平移的距离相等的线 段，得到关键点的对应点： 4)连：按原图顺序依次连接各对应点 【注意】确定一个图形平移后的位置需要三个条件：①图形原位置；②平移的方向； ③平移的距离 考点三图形的旋转 旋转的概念：在平面内，一个图形绕一个定点沿某个方向（顺时针或逆时针）转过一个 角度，这样的图形运动加叫旋转.这个定点叫做旋转中心，转过的这个角叫做旋转角. 旋转的三要素： 旋转的性质： 1)对应点到 2)每对对应点与旋转中心所连线段的 3)旋转前后的 作图步骤： 1)根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角； 2)找出原图形的关键点； 3)连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点； 4)按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形. 专题22相似三角形和位似 考点一相似和相似图形的概念 1.相似图形：把形状相同的图形叫做相似形， 【补充】1)相似图形的形状完全一样，图形的大小不一定相同； 2)全等图形是一种特殊的相似以图形，它们不仅形状相同，大小也相同； 3)判断两个图形是否相似，就是看两个图形是不是形状相同，与其它的因素 无关 2.相似多边形及、性质与判定 相似多边形的定义：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那 么这两个多边形叫做相似多边形， 相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比. 相似多边形的表示：两个相似多边形可以用符号“~”，读作“相似于”· 【补充】1)相似多边形的三个条件：①边数相同；②对应角相等；③对应边成比例； 2)全等多边形的相似比是1，即全等图形是一种特殊的相以图形；； 3)当用符号“”表示两个相似图形时，对应点必须写在对应位置 考点二相似三角形 相似三角形的定义：三个角对应相等，三条边对应成比例的两个三角形叫做相似三 角形.如△ABC和△DEF相似可表示为△ABC∽△DEF, 【补充】三角形全等是三角形相似的特殊情况，全等三角形的相似比等于1. 【注意事项】符号“∽”表示两个三角形相似时，要把表示对应顶点的大写字母写在 对应的位置上，如△ABC∽△DEF,表示顶点A与D,B与E,C与F分别对应； 【易错点】如果仅说△ABC与△DF相似，没有用”∽”连接，则需要分情况讨论它 们之间的对应关系 相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比 【补充】相似比具有顺序性，如△ABC∽△DEF,相似比为k,则△DEF与△ABC的相 似比为衣 常见的基本图形： 图① 图② 图 图⑥ 图①和图②分别为“A型”图和“X型”图，条件是DE/BC,基本结论是 △ABC∽△ADE; 图③、图④是图①的变形图，图⑤是图②的变形图 图⑥是“母子型”图，条件是BD为直角△ABC斜边上的高，基本结论是 △ABCU∽△BDCU∽△ADB 相似三角形的判定方法： 1)判定三角形相似的常用定理： ① (或其延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似， ②】 的两个三角形相似； ③且夹角相等的两个三角形相似； ④】 两个三角形相似· 2)直角三角形相似的判定方法： ① 的两个直角三角形相似 ② 的两个直角三角形相似 ③ 的两个直角三角形相似 相似三角形的性质： 1)相似三角形的对应角相等，对应边的比相等 【补充】己知两三角形相似，写对应角相等，对应边成比例时，原则是“大对大， 小对小；长对长，短对短”· 【小技巧】相似多边形改对应边的比相等是求某条线段的长或求两条线段的比的一种 常用方法，采用此方法时一定要注意找准对应关系， 2)相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比 3)相似三角形周长的比等于相似比， 4)相似三角形面积比等于相似比的平方 5)传递性：若△ABC△BDC,△ABC∽△ADB,则△BDC∽△ADB 考点三位似 1.位似图形 定义：如果两个图形不仅是相似图形，且对应点连线相交于一点，那么这样的两个图 形叫做位以图形，这个交点叫做 【概念混淆】位似图形一定是相似图形，而相似以图形不一定是位似图形. 判断位似图形的方法：首先看这两个图形是否相似，再看对应点的连线是否经过位 似中心 2.位似图形的性质 1)位似图形的所有对应点的连线所在的直线相交于一点 2)位似图形的对应线段一 3)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比 4)位似图形是相似图形，具有相似图形的一切性质， 5)一对对应边与位似中心（不在同一直线上）形成的两个三角形相似 3.画位似图形的一般步骤： 1)确定位似中心. 2)连接位似中心和原图的关键点并延长 3)根据位似比，确定所作的位似图形的关键点 4)顺次连接上述各点，得到放大或缩小后的图形， 注意事项： 1)两个位似图形的位似中心，有一个. 2)两个位似图形的位似中心可能位于图形的内部、外部或边上 3)两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的同侧.（即画位 似图形时，注意关于某点的位似图形有两个.) 4.位似变换的坐标特征 一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位 似的图形，使它与原图形的相似比为k,那么与原图形上的点(x,y)对应的位似图形 上的点的坐标为(kx,ky)或(-kx,-ky). 【小结】以原点为位似中心的位似图形的坐标符号变化：若两个图形在 ,则对 应点的横、纵坐标 一；若两个图形在，则对应点的横、纵坐标 专题23锐角三角函数、解直角三角形 考点一锐角三角函数 1.正弦、余弦、正切 正弦：在Rt△ABC中，∠C=90°，把 叫做 ∠A的正弦，记作sinA,即sinA= ∠A的对边a 斜边 斜边 ∠A的邻边 b 余弦：在Rt△ABC中，∠C=90°，把叫做 C ∠A的对边 B ∠A的余弦，记作cosA,即cosA= ∠的邻边 b 斜边 正切：在Rt△ABC中，∠C=90°，把叫做 ∠A的正切，记作tanA,则tanA= ∠A的对边_a ∠A的邻边一b 【注意】1)正弦、余弦、正切是在直角三角形中进行定义的，本质是两条线段的比， 因此没有单位，只与角的大小有关，而与直角三角形的边长无关， 2)根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求 解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形， 3)tanA表示tanA·tanA,可以写成(tanA)2,不能写成tanA2(正弦、余弦相 同) 2.锐角三角函数 锐角三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都是∠A的三角函数.（其中：0<∠A<90°) 取值范围：在Rt△ABC中，∠C=90°，由于直角边一定比斜边短，故有如下结论： 0<sinA<1,0<cosA<1,tanA>0. 增减变化：当0°<∠A<90°，sinA,tanA随∠A的一，cosA随∠A的 【补充】利用锐角三角函数值的增减变化规律可比较锐角的大小 3.特殊角的三角函数值 利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，如下表所示： 三角函数值 特殊角 30 45° 60° sin a cos a tan 4.锐角三角函数的关系： 在Rt△ABC中，若∠C为直角，则∠A与∠B互余时，有以下两种关系： 1)同角三角函数的关系： ①平方关系：sin2A+cos2A=1; ②商数关系：tanA=s血A 2） 互余两角的三角函数关系： ①互余关系： sinA=cos(90°-∠A)=cosB,即一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值 sinB=sin(90°-∠A)=cosA,即一个锐角的余弦值等于它的余角的正弦值 ②倒数关系：tanA'tan B=1 考点二解直角三角形 1.解直角三角形 定义：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角.由 直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角 三角形. 在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系： 1)直角三角形的五个元素：边：a、b、c,角：∠A、∠B. 2)三边之间的关系： 3)两锐角之间的关系：一 4)边角之间的关系：sinA=2,sinB=:,os=:,cosB-总，tanA=号 ，tanB-号 【补充】三角函数是连接边与角的桥梁 5)面积公式S=b=ch(h为斜边上的高). 2.解直角三角形的常见类型 己知条件 解法步骤 图示 斜边和一直角边 由sinA=8,求LA,B=90°-∠A, 两 (如c,a) b-vc2-a A 边 b 两直角边（如a,b) 由tanA=后，求A,∠B=0-∠A, c=√a2+b2 斜边和一锐角（如 ∠B=90°-∠A,a=c-sin A,b=c.cosA C,∠A) 边 一 一直角边和一锐角 B=90°-∠A,b=、a tan A sinA 角 (如a,∠A) 另一直角边和一锐 ∠B=90°-∠A, a=btanA,c=b cosA 角（如b,∠A) 【注意】己知两个角不能解直角三角形，因为有两个角对应相等的两个三角形相似， 但不一定全等，因此其边的大小不确定 【总结】在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其中的两个元素（至少有一条 边)，可求出其余的三个未知元素（知二求三） 【已知一边一角的记忆口诀】有斜求对用正弦，有斜求邻用余弦，无斜求对（邻）用正 切 专题24统计与概率 考点一数据的收集与整理 1、普查与抽样洞查 概念 优缺点 举例 普 为特定的目的对全 优点：收集到的数据全面、准 1)检测"神舟十六号”飞船的 查 部考察对象进行的 确 零部件， 调查，叫做全面调 缺点：一般花费多、工作量 2)了解全班50名同学每天体育 查 大，耗时长 锻炼的时间. 抽取一部分对象进 优点：调查范围小，花费少 1)测试一批灯泡的使用寿命或 抽 行调查，根据调查 工作量较小，省时 炮弹的杀伤半径等 样 样本数据推断全体 缺点：抽取的样本是否具有代 2)调查某批中性笔的使用寿命。 调 对象的情况叫抽样 表性，直接关系到对总体估计 查 调查 的准确程度 3)了解全国中学生的视力和用 眼卫生情况， 2、总体、个体、样本及样本容量 分类 概念 注意事项 举例 总体 所要调查的全 考察一个班学生的身高， 对全市2.3万名初中毕业生升学考试的 体对象 那么总体就是指这个班学 数学成绩进行统计调查，为了了解这 生身高的全体，不能错误 2.3万学生的数学成绩，从中抽取1000 地理解为学生的全体为总 体 名学生的数学成绩进行统计.那么： 个体 总体中的每一 总体包括所有的个体 总体指的是2.3万名学生的数学成绩； 个考察对象 个体村指的是每一个学生的数学成绩； 样本 从总体中抽取 样本是总体的一部分，一 的部分个体 个总体中可以有许多样 样本指的是2000名学生的数学成绩； 本，样本能够在一定程度 样本容量是2000. 上反映总体 样本 样本中个体的 一般地，样本容量越大， 容量 数目（无单 通过样本对总体的估计越 位) 精确 考点二数据分析 定义：一股地，如果有n个数x1,x,…1X,那么x= n个数的和 为灯+x2十…+红 ,读 数的个数 平均数 "x拔”. 优点：平均数能充分利用各数据提供的信息，在实际生活中常用样本的平均数估计总体 的平均数 缺点：在计算平均数时，所有的数据都参与运算，所以它易受极端值的影响 定义：若n个数x1,,…,xn的权分别是w1,w2,,w,则户+a,叫 w1+w2十…+wn 加权平均数 这n个数的加 权平均数. 【注意】若各数据权重相同，则算术平均数等于加权平均数： 定义：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据 的平均数)叫做这组数据的中位数， 中位数 优点：中位数不受个别偏大或偏小数据的影响，当一组数据中的个别数据变动较大时， 一般用中位数来描述数据的集中趋势. 缺点：不能统分地利用各数据的信息. 定义：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数 众数 优点：众数考察的是各数据所出现的缬数，其大小只与部分数据有关，当一组数据中某！ 数据多次重复出现时，众数往往更能反映问题！ 缺点：当各数据重复出现的次数大致相等时，它往往就没有什么特别意义 定义：在一组数据x1,x2,…,x中，各个数据与平均数的差的平方的平均数叫做这 组数据的方差，记作s2.计算公式是：s2=[(cx1-)2+(0x2-习2+…+(0xm-)] 方差 意义：方差是用来衡量数据在平均数附近波动大小的量，方差越大，数据的波动性越 大，方差越小，数据的波动性越小 定义：一组数据中最大值减去最小值的差叫做极差， 极差 【注意】极差是由数据中的两个极端值所决定的，当个别极端值远离其他数据时，极差 往不能反映全体数据的实际波动情况 定义：方差的算术平方根，即s= [x1-x)2+(x2-x)2+.…+(xn-)2 n 标准差 【补充】标准差也是用来描述一组数据波动的情况，常用来比较两组数据波动的大小 考点三统计图（表）的应用 统 图形 优点 缺点 常见结论 计 图 1)能清楚地表 对于条形统计图，人们习惯 各组数量之 形 46 示出每个项目中 于由条形柱的高度看相应的 和=总数 统计图 020 的具体数目. 数据，即条形柱的高度与相 0 0 A 2)易于比较数 应的数据成正比，若条形柱 A D课程 目之间的差别 的高度与据不成正比，就 容易给人造成错觉 扇 能清楚地表示出 在两个扇形统计图中，若一 各部分百分 5元 10元 形统计 30% 25% 各部分在总体中 个统计图中的某一个量所占 比之和 20元 15元 10% 所占的百分比 的百分比比另一个统计图中 =100%; 35% 的某个量所占的百分比多， 这样容易造成第一个统计量 比第二个统计量大的错误理 各部分圆心 解 角的度数=相 应百分比× 360° 折 花 能清的反映各 在折线图中，若横坐标被 各种数量之 线 数据的变化趋 “压缩”，纵坐标被”放 和=样本容量 统计 2 势 大”，此时的折线统计图中 0 的统计量变化量变化明显， 图 反之，统计量变化缓慢 频 校九年级部分学生某裸外读量的数分布方图 直观显示各组频 各组数量之 人数 数分布 数的分布情况， 和=样本容 10 易于显示各组之 量 间颇数的差别 阅读量（千字 直 步骤： ①计算数据的最 各组颇率之 图 大值与最小值的 和=1： 差 ②选取组距，确 数据总数× 定组数 相应的频率 相应的颇数 ③确定各组的分 点 ④列颇数分布 表 ⑤画出频数直方 图 【易错易混】 1.条形统计图中每个小长方形的高即为该组对象数据的个数（频数），各小长方形的 高之比等于相应的个数（颇数）之比 2.扇形统计图中，用圆代表总体，扇形的大小代表各部分数量占总体数量的百分数， 但是没有给出具体数值，因此不能通过两个扇形统计图来比较两个统计量的多少 3.在利用折线统计图比较两个统计量的变化趋势时，要保证两个图中横、纵坐标的一 致性，即坐标轴上同一单位长度所表示的意义应该一致 4. 画颇数分布直方图时，分组要遵循三个原则：不空，即该组必须有数据；不重，即 一个数据只能在一个组；不漏，即不能漏掉某一个数据 考点四概率的相关概念 1、确定事件与随机事件 类别 定义 举例 确 必然 在一定条件下，有些事情我们事先肯定它一定发 在一个只装有红球的袋子 定 事件 生，这些事情称为必然事件 中摸球，摸出红球 事 不可 在一定条件下，有些事情我们事先肯定它一定不会 在一个只装有红球的袋子 生 能事 发生，这些事情称为不可能事件 中摸球，摸出白球 件 不确定事 在一定条件下，许多事情我们无法确定它会不会发 在一个装有红球和白球的 件（随机 生，这些事情称为不确定事件（又叫随机事件）· 袋子中摸球，摸出白球 事件) 2、概率的定义 概率：一般地，对于一个随机事件A,把刻画其发生可能性大小的数值，称之为随机事件A 发生的概率，记为P(A) 概率的意义：一个事件发生的概率是一个确定的数，它从数值上刻画了一个随机事件发生 的可能性的大小 概率的取值范围：当事件A为必然事件时，P(A)=1;当事件A为不可能事件时； 当事件A为随机事件时， 【注意事项】 1)概率大，并不能说明事件一定发生，只是发生的可能性大；概率小，并不能说明事 件不发生，只是发生的可能性小； 2)在一次试验中，如果事件的各种结果发生的可能性不相等，就不能用概率公式进行 计算 专题25尺规作图与定义、命题、定理 考点一尺规作图 定义：最基本、最常用的尺规作图，通常称作基本作图， 五种基本作图： 1)作一条线段等于已知线段 已知 线段a 求作 线段0A,使OA等于a 作法 1)任作一条射线0P;: 2) 一，交OP于点A,则线段OA即为所求 依据 圆上的点到圆心的距离等于半径 2)作一个角等于已知角 已 ∠AOB B 知 求 ∠A'0'B,使∠A'0'B=∠A0B 作 作 1)作射线0A; B 法 2)一，交0A于点C,交OB于点D; E A 3)以点0'为圆心，0C的长为半径画弧，交0'A'于点E; 4)以点E为圆心，CD的长为半径画弧，交前弧于点F； 5)经过点F作射线0'B',LA'0B即为所求， 依 1)三边分别相等的两个三角形全等； 据 2)全等三角形的对应角相等； 3)两点确定一条直线 3)作已知角的角平分线 已知 ∠AOB B 求作 射线OP,使∠AOP=∠BOP 作法 1)交OA于点M,交OB于点N; 小 2)分别以点MN为圆心，大于二N的长为半径画弧，两弧在 0 ∠AOB的内部相交于点P; 3)作射线OP,射线OP即为所求， 依据 1)三边分别相等的两个三角形全等； 2)全等三角形的对应角相等： 3)两点确定一条直线， 4)过一点作已知直线的垂线 已 直线AB和AB上的一点M 知 B A DM E B 求 AB的垂线，使它经过点M 作 作 直线M就是所求作的垂线 法 己 直线AB和AB外一点M 知 …M M 求 AB的垂线，使它经过点M B A( D 作 E 作 1)任意取一点P,使点P和点M在AB的两旁； 法 2)； 3)分别以点C和点D为圆心，大于CD的长为 半径作弧，两弧相交于点E； 4)作直线EM,直线EM就是所求作的垂线 依 1)等腰三角形“三线合一”； 据 2)两点确定一条直线 5)作线段的垂直平分线 已 线段AB M 知 B A B 求 线段AB的垂直平分线 作 作 1) 两弧相交于点M和点N; 法 2)作直线MN,直线MN就是线段AB的垂直平分线 依 1)到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平 据 分线上； 2)两点确定一条直线 尺规作图的关键： 1)先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么； 2)读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题； 3)切记作图中一定要保留作图痕迹； 4)无刻度直尺作图通常会与等腰三角形的判定，三角形中位线定理，矩形的性质和勾 股定理等几何知识点结合，熟练掌握相关性质是解题关键 考点二定义、命题、定理 1.命题 定义：判断一件事情的语句，叫做命题 组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的 事项. 表达形式：可以写成"如果那么…”的形式，"如果”后接的部分是题设，“那 么”后接的部分是结论. 2.真命题、假命题 内容 举例 注意 如果题设成立，那么结论一 对顶确不相 说明一个命题是真命题，需从已知出发， 命 定成立的命题，叫做真命题 等 经过一步步推理，最后得出正确结论 题 假 命题中题设成立时，不能保 相等的角是 判定一个命题是假命题，只要举出一个 命 证结论一定成立的命题，叫 对顶角 例子（反例），使它符合命题的题设，但 题 做假命题 不满足结论即可 3.逆命题 逆命题：把原命题的结论作为命题的题设，把原命题的题设作为命题的结论，所组成 的命题叫做原命题的逆命题 互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命 题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中的一个命 题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题. 4.公理、定理 公理：如果一个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他 命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理如：两点之间线段最短 定理：如果一个命题可以从公理或其他命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的， 并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫做定理. 5.互逆定理 互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个 定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理， 6.反证法 定义：先假设原命题的结论不正确，然后从这个假设出发，经过逐步推理论证，最后 得出与学过的慨念、基本事实、已证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果，这种 证明的方法叫做反证法. 反证法的步骤：①假设命题结论的反面正确；②从假设出发，经过逻辑推理，推出与 公理、定理、定义或已知条件相矛盾的结论；③说明假设不成立，从而得出原命题正 确 清单01 中考数学考前必背核心考点 （25个专题 57个考点） 专题01 实数及其运算 2 专题02 整式与因式分解 5 专题03 分式 8 专题04 一次方程（组） 10 专题05 一元二次方程 11 专题06 分式方程 14 专题07 不等式（组） 16 专题08 位置与函数 17 专题09 一次函数 21 专题10 反比例函数 24 专题11 二次函数 26 专题12 几何图形初步 29 专题13 三角形的初步认识 33 专题14 全等三角形 34 专题15 等腰三角形、等边三角形 39 专题16 直角三角形、勾股定理 40 专题17 多边形与平行四边形 42 专题18 特殊的平行四边形 44 专题19 圆的基本性质和计算 46 专题20 圆的综合 49 专题21 图形的对称、平移、旋转 52 专题22 相似三角形和位似 54 专题23 锐角三角函数、解直角三角形 59 专题24 统计与概率 63 专题25 尺规作图与定义、命题、定理 69 专题01 实数及其运算 【考点一 实数的分类】 1. 实数的分类 分法一：按照定义分类 实数可以分为：有理数、无理数。 有理数可以分为：整数、分数。 整数可以分为：正整数、0，负整数。 分数可以分为：正分数、负分数。 分法二：按照性质分类 2.实数的相关概念 （1）数轴:规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 （2）相反数 代数定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 几何定义：在数轴上原点的两旁，离开原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数。 一般地，a和-a互为相反数。0的相反数是0。 a =-a所表示的意义是：一个数和它的相反数相等。很显然，a =0。 （3）绝对值 定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。 即：如果a >0，那么|a|=a ； 如果a =0，那么|a|=0 ； 如果a <0，那么|a|=-a 。 a =|a|所表示的意义是：一个数和它的绝对值相等。很显然，a≥0。 （4）倒数 定义：乘积是1的两个数互为倒数。即：如果a与b互为倒数，则有ab=1 ，反之亦成立。 a=所表示的意义是：一个数和它的倒数相等。很显然，a =±1。 （5）科学记数法 定义：把一个大于10的数表示成a×10n 的形式(其中a大于或等于1且小于10，n是正整数)，这种记数方法叫做科学记数法。小于-10的数也可以类似表示。 用科学记数法表示一个绝对值大于10的数时，n是原数的整数数位减1得到的正整数 。 用科学记数法表示一个绝对值小于1的数（a×10-n）时，n是从小数点后开始到第一个不是0的数为止的数的个数。 （6）近似数 一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数近似到哪一位，也叫做精确到哪一位。精确到十分位——精确到0.1；精确到百分位——精确到0.01；···。 3.平方根、算术平方根和立方根 平方根 如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方根）。 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 算术平方根 正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”。 正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 立方根 如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 4.实数的大小比较 （1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 （2）求差比较：设a、b是实数， （3）求商比较法：设a、b是两正实数，＞1；=1；1； （4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则； （5）平方法：设a、b是两负实数，则. 【考点二 实数的运算】 1.实数的运算法则 加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数。 加法运算律：①交换律 a+b=b+a； ②结合律 (a+b)+c=a+(b+c)。 减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数。即：a -b= a +(-b)。 乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘，都得0。 乘法运算律：①交换律ab=ba；②结合律(ab)c=a(bc)；③分配律a(b+c)=ab+ac。 除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。即：a÷b=a·。 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0 的数，都得0。 2.实数的运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。 实数范围内混合运算的顺序：①先乘方开方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。▪▪▪▪ 3.常见的几种实数运算 （1）乘方 定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。乘方的结果叫做幂。 如：读作a的n次方（幂），在an中，a叫做底数，n叫做指数。 性质：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数；0的任何正整数次幂都是0。 （2）零指数幂：a0=1(a≠0). （3）负整数指数幂：a-p=(a≠0，p为正整数). 专题02 整式与因式分解 【考点一 代数式】 1. 代数式 用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。 2. 代数式的值 用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出结果，叫做代数式的值。 【考点二 整式及其运算】 1.单项式 用数或字母的乘积表示的式子叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。 单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如，这种表示就是错误的，应写成。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。如是6次单项式。 2.多项式 几个单项式的和叫做多项式。其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。 单项式与多项式统称整式。 3.同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。 4.合并同类项 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。 合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变。 5.整式的运算 (1)整式的加减 几个整式相加减，如有括号就先去括号，然后再合并同类项。 去括号法则：同号得正，异号得负。即括号外的因数的符号决定了括号内的符号是否改变： 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同； 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。 (2)整式的乘除运算 ①同底数幂的乘法：am·an=am+n。同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 ②幂的乘方：(am)n=amn。幂的乘方，底数不变，指数相乘。 ③积的乘方：(ab)n=anbn。积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 ④单项式与单项式的乘法：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 ⑤单项式与多项式的乘法：p(a+b+c)=pa+pb+pc。单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 ⑥多项式与多项式的乘法：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq。多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2。两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。这个公式叫做平方差公式。 完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2。两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍。这两个公式叫做完全平方公式。 ⑦同底数幂的除法：am÷an=am-n。同底数幂相除，底数不变，指数相减。 任何不等于0的数的0次幂都等于1。 ⑧单项式与单项式的除法：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 ⑨多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。 【考点三 因式分解】 1.因式分解的定义 把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。 以上公式都可以用来对多项式进行因式分解，因式分解的常用方法： ①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)； ②公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。 ③分组分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d) ④十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q) 2.因式分解的一般步骤： （1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。 （2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式 （3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解 专题03 分式 【考点一 分式的概念和性质】 1、分式的定义 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。 注：A、B都是整式，B中含有字母，且B≠0。 2、分式的基本性质 分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变。 ；（C≠0）。 3、分式的约分和通分 定义1：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 定义2：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。 定义3：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。 定义4：各分母的所有因式的最高次幂的积叫做最简公分母。 【考点二 分式的运算】 1、分式的乘除 ①乘法法则：。分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。 ②除法法则：。分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 ③分式的乘方：。分式乘方要把分子、分母分别乘方。 ④整数负指数幂：。 2、分式的加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。 ①同分母分式的加减：； ②异分母分式的加法：。 注：不论是分式的哪种运算，都要先进行因式分解。 专题04 一次方程（组） 【考点一 一元一次方程及其应用】 1.方程 定义：含有未知数的等式叫做方程。 2.方程的解 定义：能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。 3.等式的性质 （1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。 （2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式。 4.一元一次方程 定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程ax+b=0(x为未知数，a≠0)叫做一元一次方程的标准形式，a是未知数x的系数，b是常数项。 【考点二 二元一次方程（组）及其应用】 1.二元一次方程定义： 含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程，叫做二元一次方程。 2.二元一次方程组 概念：含有两个未知数的两个 一次方程 所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。 解法： （1） 代入消元法：将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，简称代入法； （2）加减消元法：通过方程两边分别相加（或减）消去其中一个未知数，简称加减法。 专题05 一元二次方程 【考点一 一元二次方程】 1.一元二次方程 （1）一元二次方程的定义 等号两边都就是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数就是2（二次）的方程，叫做一元二次方程. 注意一下几点： ①只含有一个未知数；②未知数的最高次数就是2；③就是整式方程. （2）一元二次方程的一般形式 一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0)、其中，ax2就是二次项，a就是二次项系数；bx就是一次项，b就是一次项系数；c就是常数项. （3）一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.方程的解的定义就是解方程过程中验根的依据. 2. 直接开平方法解一元二次方程 （1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边就是非负数，可以直接开平方.一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解的x1=,x2=； （2）直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法. （3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根就是零；负数没有平方根. （4）直接开平方法解一元二次方程的步骤就是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根. 3. 配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的就是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解. 配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开. （1）把常数项移到等号的右边；（2）方程两边都除以二次项系数；（3）方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；（4） 若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解. 4. 公式法解一元二次方程 （1）一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的两个根为x=，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求的方程的解，这种解方程的方法叫做公式法. （2）一元二次方程求根公式的推导过程，就就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程. （3）公式法解一元二次方程的具体步骤： ①方程化为一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，一般a化为正值； ②确定公式中a,b,c的值，注意符号； ③求出b2-4ac的值；④若b2-4ac≥0，则把a,b,c与b-4ac的值代入公式即可求解，若b2-4ac＜0，则方程无实数根. 5. 一元二次方程根的判别式 式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△=b2-4a. 一元二次方程根的判别式 △＞0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根； △=0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根； △＜0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根. 6. 因式分解法解一元二次方程 （1）把一元二次方程的一边化为0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个求一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法. （2）因式分解法的详细步骤： ①移项，将所有的项都移到左边，右边化为0； ②把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式与完全平方公式； ③令每一个因式分别为零，的到一元一次方程； ④解一元一次方程即可的到原方程的解. 7. 一元二次方程的根与系数的关系 若一元二次方程x2+px+q=0的两个根为x1,x2,则有x1+x2=-p,x1x2=q； 若一元二次方程a2x+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1,x2,则有x1+x2=, x1x2=. 【考点二 一元二次方程的应用】 1.列一元二次方程解应用题的一般步骤： （1） 审：就是指读懂题目，弄清题意，明确哪些就是已知量，哪些就是未知量以及它们之间的等量关系. （2） 设：就是指设元，也就就是设出未知数. （3） 列：就就是列方程，这就是关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含义，然后列代数式表示这个相等关系中的各个量，就的到含有未知数的等式，即方程. （4） 解：就就是解方程，求出未知数的值. （5） 验：就是指检验方程的解就是否保证实际问题有意义，符合题意. （6） 答：写出答案. 2. 列一元二次方程解应用题的几种常见类型 （1） 数字问题 三个连续整数：若设中间的一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1. 三个连续偶数（奇数）：若中间的一个数为x，则另两个数分别为x-2,x+2. 三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为a,b,c，则这个三位数就是100a+10b+c （2）增长率问题 设初始量为a，终止量为b，平均增长率或平均降低率为x，则经过两次的增长或降低后的等量关系为a（1）2=b. （3）利润问题 利润问题常用的相等关系式有：①总利润=总销售价-总成本；②总利润=单位利润×总销售量；③利润=成本×利润率 （4）图形的面积问题 根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系，将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来，建立一元二次方程. 专题06 分式方程 【考点一 分式方程】 1.分式方程的定义 分母中含未知数的方程叫做分式方程. 【归纳】 (1)分式方程的重要特征:1含有分母;2分母中含有未知数;3是方程. (2)方程的分母中是否含有未知数是分式方程与整式方程的根本区别. (3)分母中含有字母的方程未必是分式方程. 2.分式方程的解法 (1)解分式方程的基本思想: 把分式方程转化为整式方程，解这个整式方程，然后验根，从而确定分式方程的解.(2)解分式方程的一般方法和步骤: 1去分母:方程两边同乘最简公分母，把分式方程化为整式方程;2解整式方程:去括号、移项、合并同类项等等;3检验:将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解;否则，这个解不是原分式方程的解. 简称为一化，二解，三检验 (3)解分式方程产生不适合原方程解的原因: 在将分式方程化为整式方程时，未知数的取值范围被增大了，对于整式方程来说，求出的解成立，而对于原分式方程来说，当分母为零时，分式无意义，所以这个解不是原分式方程的解，即原分式方程无解. 【考点二 分式方程的应用】 分式方程的应用 分式方程的应用基本思路和方法: 一审:审清题意，弄清已知量和未知量; 二找:找出等量关系; 三设:设未知数; 四列:列出分式方程; 五解:解这个方程; 六验:检验，既要检验所求得的解是不是所列分式方程的解，又要检验所求得的解是否符合实际问题的 要求; 七答:写出答案 在上述过程中，关键步骤是根据题意寻找"等量关系”，进而列出分式方程，求解时注意必须检验求出的值是不是所列分式方程的解，且是否符合实际意义. 专题07 不等式（组） 【考点一 不等式（组）】 1.不等式 不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式. 【易错点剖析】 （1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. （2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． （3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式． 2. 不等式的性质： 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 3.一元一次不等式 定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式， 【易错点剖析】ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式． 解法： 解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 【易错点剖析】 不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实. 4.一元一次不等式组 　　关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组. 【易错点剖析】 （1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集. （2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.  （3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.  专题08 位置与函数 【考点一 位置的确定】 一、点的坐标特征 点的坐标特征 坐标轴上的点（x，y） 在x轴上 （x，0） 在y轴上 （0，y） 在原点 （0，0） 点在各象限的坐标特点 第一象限 （+，+） 第二象限 （–，+） 第三象限 （–，–） 第四象限 （+，–） 象限角平分线上的点 第一、三象限 （m，m） 第二、四象限 （m，-m） 点P（a，b）到 坐标轴的距离 到x轴的距离=点P的纵坐标的绝对值，即|b| 到y轴的距离=点P的横坐标的绝对值，即|a| 具有特殊位置关系的两个点的坐标特征 点P1（x1，y1）与点P2（x2，y2）在一条平行于x轴的直线上 横坐标不相等，纵坐标相等，即x1≠x2，y1=y2 点P1（x1，y1）与点P2（x2，y2）在一条平行于y轴的直线上 横坐标相等，纵坐标不相等，即x1=x2，y1≠y2 点平移后的坐标特征 点（x，y） 向右平移a个单位长度 （x+a，y） 点（x，y） 向左平移a个单位长度 （x–a，y） 点（x，y） 向上平移b个单位长度 （x，y+b） 点（x，y） 向下平移b个单位长度 （x，y–b） 二、图形上点的坐标变化与图形平移间的关系 1.横坐标变化，纵坐标不变： 原图形上的点（x，y）向右平移a个单位 原图形上的点（x，y）向左平移a个单位 2.横坐标不变，纵坐标变化： 原图形上的点（x，y）向上平移b个单位 原图形上的点（x，y）向下平移b个单位 3.横坐标、纵坐标都变化： 原图形上的点（x，y）向右平移a个单位，向上平移b个单位 原图形上的点（x，y）向右平移a个单位，向下平移b个单位 原图形上的点（x，y）向左平移a个单位，向上平移b个单位 原图形上的点（x，y）向左平移a个单位，向下平移b个单位 三、用坐标表示地理位置 1.确定坐标原点 用坐标表示地理位置时，要注意选择适当的位置为坐标原点，这里所说的适当，通常要么是比较有名的地点，要么是所要绘制的区域内较居中的位置．不同的原点产生的地理位置的坐标也不同．原点不同，地理位置的坐标也不同．用适当的位置表示原点，可以降低计算的难度． 2.如何确定x轴与y轴的方向 坐标轴的方向通常是选择以水平线为x轴，以向右为正方向（正东），以竖直线为y轴，以向上为正方向（正北），这样可以使东西南北的方向与地理位置的方向保持一致． 四、用坐标表示平移 1.一般地，将一个图形依次沿两个坐标轴方向平移所得到的图形，可以通过将原来的图形作一次平移得到． 2.对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来，从图形上的点的坐标的某种变化，我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移． 3.在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度． 如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上（或下）平移a个单位长度． 考点二 函数的表示 一、常量和变量 在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量． 1.变量和常量是相对而言的，变化过程不同，它们可能发生改变，判断的前提条件是“在同一个变化过程中”，当变化过程改变时，同一个量的身份也可能随之改变，例如，在s=vt中，当s一定时，v，t为变量，s为常量；当t一定时，s，v为变量，而t为常量． 2.“常量”是已知数，是指在整个变化过程中保持不变的量，不能认为式中出现的字母就是变量，如在一个匀速运动中的速度v就是一个常量． 3.变量、常量与字母的指数没有关系，如S=πr2中，变量是“S”和“r”，常量是“π”． 4.判断一个量是不是变量，关键是看其数值是否发生变化． 二、函数的定义 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数． 对函数定义的理解，主要抓住以下三点： 1.有两个变量． 2.函数不是数，函数的本质是对应，函数关系就是变量之间的对应关系，且是一种特殊的对应关系，一个变量的数值随着另一个变量数值的变化而变化． 3.函数的定义中包括了对应值的存在性和唯一性两重意思，即对自变量的每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应，对自变量x的不同取值，y的值可以相同． 在某个变化过程中处于主导地位的变量即为自变量，随之变化且对应值有唯一确定性的另一个变量即为该自变量的函数． 三、自变量取值范围的确定 使函数有意义的自变量的取值的全体叫做自变量的取值范围． 当用函数关系式表示实际问题时，自变量的取值不但要使函数关系式有意义，而且还必须使实际问题有意义． 四、函数解析式及函数值 函数解析式：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式． 1.函数解析式是等式． 2.函数解析式中指明了哪个是自变量，哪个是函数，通常等式右边的代数式中的变量是自变量，等式左边的变量表示函数． 3.用数学式子表示函数的方法叫做解析式法． 函数值：对于自变量x在取值范围内的某个确定的值a，函数y所对应的值为b，即当x=a，y=b时，b叫做自变量x的值为a时的函数值． 五、函数的图象及其画法 一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象． 专题09 一次函数 考点一 一次函数的图像与性质 一、一次函数和正比例函数 1．定义：如果y=kx+b（k≠0），那么y叫x的一次函数，当b=0时，一次函数y=kx也叫正比例函数．正比例函数是一次函数的特例，具有一次函数的性质． 2．一次函数与正比例函数的关系 一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是过点（0，b）与直线y=kx平行的一条直线。它可以由直线y=kx平移得到．它与x轴的交点为，与y轴的交点为（0，b）． 二、一次函数的图象与性质 函数 系数取值 大致 图象 经过的象限 函数性质 y=kx （k≠0） k>0 一、三 y随x增大而增大 k<0 二、四 y随x增大而减小 y=kx+b （k≠0） k>0 b>0 一、二、三 y随x增大而增大 k>0 b<0 一、三、四 k<0 b>0 一、二、四 y随x增大而减小 k<0 b<0 二、三、四 三、一次函数与方程（组）、不等式的关系 一元一次方程 关于x的一元一次方程kx+b=0（k≠0）的解是直线y=kx+b与x轴交点的横坐标． 二元一次方程组 关于x，y的二元一次方程组的解是两条直线的交点坐标． 一元一次不等式 关于x的一元一次不等式kx+b＞0（＜0）的解集是以直线y=kx+b和x轴的交点为分界点，x轴上（下）方的图象所对应的x的取值范围． 四、一次函数图象的平移 平移情况 解析式变化情况 【温馨提示】 （1）简记为“左加右减自变量，上加下减常数项”； （2）直线可以看作由直线向上或向下平移个单位得到 向上平移个单位 向下平移个单位 向左平移个单位 向右平移个单位 【拓展】 同一平面直角坐标系中两直线，的位置关系 的关系 与的关系 与相交 ， 与相交于轴上的一点 ， 与平行 考点二 一次函数的应用 一次函数的实际应用： 1.一次函数应用问题的求解思路： ①建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质作出解答； ②利用函数并与方程(组)、不等式(组)联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题以及经济决策、市场经济等方面的应用。 2.建立函数模型解决实际问题的一般步骤： ①审题，设定实际问题中的变量，明确变量x和y； ②根据等量关系，建立变量与变量之间的函数关系式，如：一次函数的函数关系式； ③确定自变量x的取值范围，保证自变量具有实际意义； ④利用函数的性质解决问题； ⑤写出答案。 3.利用一次函数的图象解决实际问题的一般步骤： ①观察图象，获取有效信息； ②对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系； ③选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等)，通过建模解决问题。 4.求最值的本质为求最优方案，解法有两种： ①可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较； ②直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较． 专题10 反比例函数 考点一 反比例的图像与性质 1、反比例函数的概念 一般的，形如 (是常数，k≠0)的函数叫做反比例函数。其它表示形式：或。 因为x≠0，k≠0，相应地y值也不能为0，所以反比例函数的图象无限接近x轴和y轴，但与x轴、y轴永远不相交． 2、反比例函数的图象与性质 反比例函数y＝(k为常数，k≠0)的图象总是关于原点成中心对称的，它的位置和性质受k的符号的影响. y＝ (k为常数，k≠0) k>0 k<0 图　象 所在象限 一、三(x，y同号) 二、四(x，y异号) 性　质 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 3、反比例函数的k的几何意义 由y＝(k≠0)的图象上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积为. 如图①和②，S矩形PAOB＝PA·PB＝|y|·|x|＝|xy|＝|k|； 同理可得S△OPA＝S△OPB＝|xy|＝|k|. 4、反比例函数解析式的确定 （1）待定系数法。由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。 （2）利用反比例函数中反比例系数的几何意义 若已知某点到坐标轴的垂线与坐标轴所围成的面积，根据函数图象所在象限判断k的正负，从而确定k值，再将k值代入反比例函数解析式即可。 专题11 二次函数 考点一 二次函数的图像与性质 1、 二次函数的概念 一般的，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。其中x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项。 二次函数解析式的表示方法： (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)； (2)顶点式：y=a(x-h)2+k， 它直接显示二次函数的顶点坐标是（h, k）； (3)交点式：， 其中x1，x2是图象与x轴交点的横坐标． 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 2、二次函数的图象是一条抛物线。当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下。|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大。 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h 顶点 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) a>0时，顶点是最低点，此时y有最小值；a<0时，顶点是最高点，此时y有最大值，最小值(或最大值)为0(k或)。 增 减 性 a>0 x<0(h或)时，y随x的增大而减小；x>0(h或)时，y随x的增大而增大。 即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大。 a<0 x<0(h或)时，y随x的增大而增大；x>0(h或)时，y随x的增大而减小。 即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小。 3、二次函数的平移： 方法一：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，具体平移方法如下： 方法二： ⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成 （或） ⑵沿x轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或） 4、二次函数的图象与各项系数之间的关系 a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小． b的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异” c决定了抛物线与轴交点的位置 字母的符号 图象的特征 a a＞0 开口向上 a＜0 开口向下 b b＝0 对称轴为y轴 ab＞0(a与b同号) 对称轴在y轴左侧 ab＜0(a与b异号) 对称轴在y轴右侧 c c＝0 经过原点 c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 5、二次函数与一元二次方程之间的关系 判别式情况 b2－4ac＞0 b2－4ac＝0 b2－4ac＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的交点 a＞0 a＜0 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实数根 有两个不相等的实数根x1，x2 有两个相等的实数根x1＝x2 没有实数根 当b2－4ac＜0时 当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有； 当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有． 考点二 二次函数的应用 用二次函数解决实际问题的一般步骤： 1.审：仔细审题，理清题意； 2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； 3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； 4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题； 5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论． 利用二次函数解决利润最值的方法：巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最值解决利润最大问题。 利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法：先建立适当的平面直角坐标系，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图象信息解决实际问题。 利用二次函数解决面积最值的方法：先找好自变量，再利用相关的图形面积公式，列出函数关系式，最后利用函数的最值解决面积最值问题。 专题12 几何图形初步 考点一 线段与角 1、直线、射线、线段 (1)直线：经过两点有一条直线，并且只有一条直线。简称：两点确定一条直线。 (2)相交线：当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线相交。这个公共点叫做它们的交点。 (3)两点的所有连线中，线段最短。 简称：两点之间，线段最短。 连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离。 (4)线段的中点：线段上的一个点把线段分成相等的两条线段，这个点叫做线段的中点。 (5)直线没有端点，向两方无限延伸，不可度量； 射线有一个端点，向一方无限延伸，不可度量； 线段有两个端点，不向任何一方延伸，能度量。 2、角 (1)定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。这个公共端点是角的顶点，两条射线是角的两条边。 (2)角的度量 1°=60′， 1′=60″ (3)角的分类 ①锐角(0°< α < 90°) ②直角(α = 90°) ③钝角(90°< α < 180°) ④平角(α =180°) ⑤周角(α =360°) (4)角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 (5)角平分线的性质与判定：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 (6)余角与补角 余角：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角。 补角：如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角。 性质：同角(等角)的余角相等。同角(等角)的补角相等。 考点二 相交线与平行线 1、邻补角与对顶角 邻补角：有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角，叫做互为邻补角。 对顶角：有一个公共顶点，一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。 对顶角相等。 2、垂线 (1)定义：两直线相交所构成的四个角中有一个角是直角时，我们就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另外一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 (2)性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 (3)点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 3、同位角、内错角、同旁内角 如图，∠1和∠4是同位角，∠3和∠4是内错角，∠2和∠4是同旁内角。 4、平行线 (1)定义：在平面内不相交的两条直线叫做平行线。 (2)平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行； 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 (3)平行线的性质 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等； 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等； 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 (4)平行线的判定 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行； 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行； 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。 专题13 三角形的初步认识 考点一 三角形的概念和三边关系 1．三角形的概念 由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形． 三角形特性 （1）三角形有三条线段 （2）三条线段不在同一直线上 三角形是封闭图形 （3）首尾顺次相接 三角形用符号“”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ABC”，读作“三角形ABC”． 2．三角形按边分类： 等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角． 等边三角形：底边与腰相等的等腰三角形叫做等边三角形，即三边都相等． 3．三角形的三边关系 （1）三角形的任意两边之和大于第三边． 三角形的任意两边之差小于第三边．（这两个条件满足其中一个即可）． 用数学表达式表示就是：记三角形三边长分别是a，b，c，则a＋b＞c或0＜c－b＜a． （2）已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b． 考点二 三角形的重要线段和有关的角 1．三角形的高概念 从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）． 2．三角形的中线概念 在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线． 性质：三角形三条中线的交于一点，这一点叫做“三角形的重心”．三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形． 3．三角形的角平分线概念 三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线． 4．三角形的内角和定理 三角形三个内角和等于180°． 推论： ①直角三角形的两个锐角互余． ②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和． ③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 5．三角形的外角 三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角． 性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和． （2） 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角． 专题14 全等三角形 考点一 全等三角形的基本性质 1、全等三角形的概念 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。 2、全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。 3、三角形全等的判定 (1)边边边(SSS)：三边分别相等的两个三角形全等。 (2)边角边(SAS)：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。 (3)角边角(ASA)：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。 (4)角角边(AAS)：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等。 (5)斜边、直角边(HL)：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。 4、全等变换 只改变图形的位置，二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。 全等变换包括一下三种： （1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。 （2）对称变换：将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换。 （3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。 考点二 常考的全等模型 1.平移模型 把△ABC沿着某一条直线l平行移动，所得到△DEF与△ABC称为平移型全等三角形，图①，图②是常见的平移型全等三角线. 2.轴对称模型 将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三角形称之为轴对称型全等三角形，此类图形中要注意期隐含条件，即公共边或公共角相等. 3.旋转模型 将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形，识别旋转型三角形时，涉及对顶角相等、等角加（减）公共角的条件. 4.一线三等角模型 三个等角的顶点在同一条直线，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角.这个模型称为一线三等角模型. （同侧）已知∠A=∠CPD=∠B=∠α，CP=PD （异侧）已知∠EAC=∠ABD=∠DPC=∠α，CP=PD 5.截长补短模型 该模型适用于求证线段的和差倍分关系，该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明。其中截长指在长线段中截取一段等于已知线段，补短指将短线段延长，使短线段加上延长线段长度等于长线段。 (1)截长: 在较长线段上截取一段等于某一短线段, 再证剩下的那一段等于另一短线段。 如图, 求证BE+DC=AD； 方法:①在AD上取一点F,使得AF=BE,证DF=DC;②在AD上取一点F,使DF=DC,证AF=BE (2)补短:将短线段延长,证与长线段相等 6.倍长中线模型 当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，使得延长后的线段是原中线的二倍，从而构造一对全等三角形(SAS)，并将已知条件中的线段和角进行转移. 已知点D为∆ABC中BC边中点，延长线段AD到点E使AD=DE, 1）连接EC,则∆ABD≌∆ECD，AB∥CE 2）连接BE,则∆ADC≌∆EDB，AC∥BE 7.手拉手模型 两个顶角相等的等腰三角形共用顶角顶点，分别连接对应的两底角顶点，从而可以得到一个经典的全等模型.因为顶点相连的四条边，形象可以看作两双手，通常称为“手拉手模型”. 如图，△ABC是等腰三角形、△ADE是等腰三角形，AB=AC，AD=AE， ∠BAC=∠DAE=α。结论：△BAD≌△CAE。 8.半角模型 当一个角包含着该角的半角，如90°角包含着45°角，120°角包含着60°角，270°角包含着135°角，即出现倍角关系，且这两个角共顶点，共顶点的两条边相等，则该模型为半角模型。解题方法为：1）过公共点作旋转，2）截长补短的方法构造全等解题。 如图：已知∠2=∠AOB，OA=OB 专题15 等腰三角形、等边三角形 考点一 等腰三角形 1.等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的性质定理及推论： 定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）； 推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线.底边上的中线.底边上的高重合。 （2）等腰三角形的其他性质： ①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45° ②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。 ③等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则<a ④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°—2∠B，∠B=∠C= 2.等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。 考点二 等边三角形 1.等边三角形的概念 三条边都相等的三角形叫等边三角形，它是特殊的等腰三角形. 2.等边三角形的性质 1）等边三角形的三条边相等. 2）三个内角都相等，并且每个内角都是60°. 3.等边三角形的判定 1）三边相等或三个内角都相等的三角形是等边三角形. 2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 特别注意：等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合． 专题16 直角三角形、勾股定理 考点一 直角三角形的性质和判定 1.直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形． 2.直角三角形的性质：1）直角三角形两个锐角互余. 2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 3）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半. 3.直角三角形的判定：1）两个内角互余的三角形是直角三角形. 2）有一个角是直角的三角形叫做直角三角形． 3）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c，若a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。 考点二 勾股定理 1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么. 2.勾股定理的证明方法： 方法一（图一）：，，化简可证． 方法二（图二）：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 大正方形面积为，所以 方法三（图三）：，，化简得证 图一 图二 图三 考点三 勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理：如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边. 拓展：若，时，以，，为三边的三角形是钝角三角形； 若，时，以，，为三边的三角形是锐角三角形 专题17 多边形与平行四边形 考点一 多边形 多边形的定义：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形. 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.  多边形对角线条数：从n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n-2) 个三角形，n边形的对角线条数为  多边形内角和定理：n边形的内角和为(n-2)∙180°（n≥3）. 多边形外角和定理：任意多边形的外角和等于360°，与多边形的形状和边数无关. 正多边形的定义：各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形. 考点二 平行四边形 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形的性质：1)对边平行且相等； 2）对角相等、邻角互补； 3)对角线互相平分； 4)平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，平行四边形的对角线的交点是平行四边形的对称中心. 平行四边形的判定定理： ①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． ②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． ③两组对边分别相等的四边形是平行四边形． ④对角线互相平分的四边形是平行四边形． 考点三 三角形的中位线 三角形中位线概念：连接三角形两边中点的线段叫做三角形中位线. 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 拓展： 结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半. 结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形. 结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形. 结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分. 结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等. 专题18 特殊的平行四边形 考点一 矩形 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 矩形的性质：1）矩形具有平行四边形的所有性质； 2）矩形的四个角都是直角； 3）对角线互相平分且相等； 4）矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形.矩形的对称中心是矩形对角线的交点；矩形有两条对称轴，矩形的对称轴是过矩形对边中点的直线；矩形的对称轴过矩形的对称中心. 矩形的判定：1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形； 2）对角线相等的平行四边形是矩形； 3）有三个角是直角的四边形是矩形. 考点二 菱形 菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 菱形的性质： 1）具有平行四边形的所有性质； 2）四条边都相等； 3）两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角. 4）菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，菱形的对称中心是菱形对角线的交点，菱形的对称轴是菱形对角线所在的直线，菱形的对称轴过菱形的对称中心. 菱形的判定： 1） ( A )对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 2）一组邻边相等的平行四边形是菱形. 3）四条边相等的四边形是菱形. 考点三 正方形 正方形的定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 正方形的性质： 1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质. 2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等. 3）正方形对边平行且相等. 4）正方形的对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角； 5）正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形； 6）正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形. 注意：正方形对角线与边的夹角为45°. 正方形的判定： 1）平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角； 2）矩形+一组邻边相等； 3）矩形+对角线互相垂直； 4）菱形+一个角是直角； 5）菱形+对角线相等. 【解题技巧】判定一个四边形是正方形通常先证明它是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直；或者先证明它是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等；还可以先判定四边形是平行四边形，再证明它有一个角为直角和一组邻边相等． 专题19 圆的基本性质和计算 考点一 圆的相关概念及性质 1. 圆的定义 圆的定义：第一种：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆。固定的端点O叫作圆心，线段OA叫作半径。第二种：圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合。 比较圆的两种定义可知：第一种定义就是圆的形成进行描述的，第二种就是运用集合的观点下的定义，但就是都说明确定了定点与定长，也就确定了圆。 2. 圆的相关概念 （1） 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫作直径。 （2） 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 （3） 等圆：等够重合的两个圆叫做等圆。 （4） 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 弦就是线段，弧就是曲线，判断等弧首要的条件就是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆中完全重合的弧才就是等弧，而不就是长度相等的弧。 3. 圆的对称性 圆就是轴对称图形，任何一条直径所在直线都就是它的对称轴。 4. 垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 垂径定理的推论：平分弦（不就是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 注意：因为圆的两条直径必须互相平分，所以垂径定理的推论中，被平分的弦必须不就是直径，否则结论不成立。 5. 弦、弧、圆心角的关系 （1） 弦、弧、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 （2） 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量也相等。 （3） 注意不能忽略同圆或等圆这个前提条件，如果丢掉这个条件，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等，比如两个同心圆中，两个圆心角相同，但此时弧、弦不一定相等。 6. 圆周角定理 （1） 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。 （2） 圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角就是直角，90°的圆周角所对弦就是直径。 （3） 圆周角定理揭示了同弧或等弧所对的圆周角与圆心角的大小关系。“同弧或等弧”就是不能改为“同弦或等弦”的，否则就不成立了，因为一条弦所对的圆周角有两类。 7. 圆内接四边形及其性质 圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。 圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。 考点二 与圆有关的位置关系 1. 点与圆的位置关系 （1） 点与圆的位置关系有：点在圆外，点在圆上，点在圆内三种。 （2） 用数量关系表示：若设⊙O的半径就是r，点P到圆的距离OP=d，则有： 点P在圆外,则 d＞r；点P在圆上则d=r；点P在圆内则d＜r,反之也成立。 2. 三角形的外接圆与外心 （1） 经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。 （2） 外接圆的圆心就是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。 3.直线与圆的位置关系 （1） 直线与圆的位置关系有：相交、相切、相离三种。 （2） 直线与圆的位置关系可以用数量关系表示 若设⊙O的半径就是r，直线l与圆心0的距离为d，则有： 直线l与⊙O相交则d ＜ r； 直线l与⊙O相切则 d = r； 直线l与⊙O相离则d ＞ r,反之也成立。 3. 切线的判定与性质 （1） 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线就是圆的切线。 （2） 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 （3） 切线的其他性质：切线与圆只有一个公共点；切线到圆心的距离等于半径；经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；必过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 4. 切线长定理 （1） 切线长的定义：经过园外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。 （2） 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角。 （3） 注意：切线与切线长就是两个完全不同的概念，必须弄清楚切线就是直线，就是不能度量的；切线长就是一条线段的长，这条线段的两个端点一个就是在圆外一点，另一个就是切点。 6. 三角形的内切圆与内心 (1) 三角形的内切圆定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。这个三角形叫做圆的外切三角形。 (2) 三角形的内心：三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心。 (3) 注意：三角形的内心就是三角形三条角平分线的交点，所以当三角形的内心已知时，过三角形的顶点与内心的射线，必平分三角形的内角。 专题20 圆的综合 考点一 圆内知识综合 1.圆的基本概念 圆的定义、半径、直径、弦、弧（优弧/劣弧/等弧）、圆心角、圆周角、弦心距的概念辨析。 同圆或等圆中，半径相等，等弧对等弦、等圆心角、等圆周角。 2.三大核心定理 垂径定理及推论：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧；平分弦（非直径）的直径垂直于弦，是圆中线段长度计算（勾股定理）的核心依据。 圆心角、弧、弦关系定理：同圆/等圆中，一组量相等则其余对应量均相等。 圆周角定理及推论：同弧所对圆周角 = 圆心角的一半；直径所对圆周角为直角；90° 圆周角所对弦为直径；同弧/等弧所对圆周角相等。 3.点与圆的位置关系 判定依据：点到圆心的距离d与半径r的大小关系（d>r外离、d=r相切、d<r相交） 三角形外接圆：外心是三边垂直平分线交点，到三顶点距离相等。 4.圆内计算核心方法 弦长计算：垂径定理+勾股定理 角度转化：圆周角、圆心角、弦切角（拓展）的互化 辅助线作法：作半径、作弦心距、连直径构造直角三角形 考点二 圆与三角形的综合 1.直线与圆的位置关系 判定：圆心到直线距离d与r比较（相交d<r、相切d=r、相离d>r）。 切线的判定与性质：切线垂直于过切点的半径；证切线两大方法（连半径证垂直、作垂直证半径）。 2.切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，该点与圆心连线平分两条切线的夹角。 3.三角形与圆的特殊结合 直角三角形与圆：斜边为直径⇒圆过直角顶点；直角三角形外接圆半径斜边。 等腰 / 等边三角形与圆：结合垂径定理，圆心在三角形的对称轴上，易构造全等三角形。 三角形内切圆：内心是角平分线交点，到三边距离相等，内切圆半径r=2S/C（S面积，C周长）。 4.相似三角形在圆中的应用 圆中相似模型：母子相似、圆周角相等构造 AA 相似、弦切角定理衍生相似。 应用：求线段比例、线段长度、证明等积式（a⋅b=c⋅d） 5.辅助线规律：遇切线连半径，遇直径作直角，遇弦作弦心距。 考点三 圆与四边形的综合 1.圆内接四边形性质（核心考点） 对角互补；外角等于内对角；四个顶点均在圆上。 2.特殊四边形与圆的结合 矩形：一定有外接圆（对角线为直径）。 正方形：既有外接圆又有内切圆，圆心为对角线交点。 菱形：只有内切圆（无外接圆，除非是正方形）。 等腰梯形：一定是圆内接四边形。 3.圆外切四边形性质 圆外切四边形对边和相等（AB+CD=AD+BC）。 4.综合考查方向 判定四边形形状；求四边形内角、边长、面积；证明线段相等 / 平行 / 垂直；结合切线、相似进行综合推导。 考点四 圆与函数的综合 1.坐标系中的圆 圆的标准方程：(x−a)2+(y−b)2=r2（圆心(a,b)，半径r，初中拓展应用） 圆心坐标、半径的求解：利用中点公式、距离公式计算 2.圆与函数图象的位置关系 圆与直线（一次函数）：联立方程⇒判别式判定位置关系；结合切线性质求切点坐标、切线解析式。 圆与抛物线（二次函数）：交点坐标求解、结合动点考查最值与存在性。 3.动点与圆的综合 动点轨迹为圆的判定：定角对定边、到定点距离为定值。 最值问题：线段最值（将军饮马、圆外一点到圆的最值d±r）、面积最值、角度最值。 4.存在性问题 圆上找点构成特殊三角形（等腰、直角）、特殊四边形（平行、菱形）。 切线存在性、相似三角形存在性。 5.核心方法 数形结合、分类讨论、方程思想；辅助线结合坐标系作垂线、连半径、构造直角三角形。 专题21 图形的对称、平移、旋转 考点一 轴对称与中心对称图形 1.轴对称与中心对称 类别 轴对称 中心对称 定义 把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴.折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点. 如果一个图形绕某点旋转180°后与另一个图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称. 性质 1）对应点的连线被对称轴垂直平分； 2）成轴对称的两个图形全等； 3）只有一条对称轴. 1）对应点的连线都经过对称中心，且被对称中心平分； 2）成中心对称的两个图形全等； 3）只有一个对称中心. 2.轴对称图形与中心对称图形 类别 轴对称图形 中心对称图形 定义 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴. 如果一个图形绕某一点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心. 性质 1）有对称轴; 2）将图形沿对称轴折叠后，对称轴两旁的部分完全重合. 1) 有对称中心; 2) 将图形绕对称中心旋转180°旋转后的图形能与原来的图形重合. 考点二 图形的平移 平移的定义：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，图形这种移动叫做平移．它是由移动方向和距离决定的. 平移的性质： 1）平移不改变图形的大小、形状，只改变图形的位置，因此平移前后的两个图形全等. 2）平移前后对应线段平行（或在同一条直线上）且相等、对应角相等. 3）任意两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等，对应点之间的距离就是平移的距离. 平移作图的步骤： 1）定：根据题目要求，确定平移的方向和距离； 2）找：找出确定图形形状的关键点； 3）移：过这些关键点作与平移方向平行的射线，在射线上截取与平移的距离相等的线段，得到关键点的对应点； 4）连：按原图顺序依次连接各对应点. 【注意】确定一个图形平移后的位置需要三个条件：①图形原位置；②平移的方向；③平移的距离. 考点三 图形的旋转 旋转的概念：在平面内，一个图形绕一个定点沿某个方向(顺时针或逆时针)转过一个角度，这样的图形运动叫旋转．这个定点叫做旋转中心，转过的这个角叫做旋转角． 旋转的三要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度． 旋转的性质： 1）对应点到旋转中心的距离相等； 2）每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； 3）旋转前后的图形全等． 作图步骤： 1）根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角； 2）找出原图形的关键点； 3）连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点； 4）按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形． 专题22 相似三角形和位似 考点一 相似和相似图形的概念 1.相似图形：把形状相同的图形叫做相似形. 【补充】1）相似图形的形状完全一样，图形的大小不一定相同； 2）全等图形是一种特殊的相似图形，它们不仅形状相同，大小也相同； 3）判断两个图形是否相似，就是看两个图形是不是形状相同，与其它的因素无关. 2.相似多边形及、性质与判定 相似多边形的定义：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形. 相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比. 相似多边形的表示：两个相似多边形可以用符号“∽”，读作“相似于”. 【补充】1）相似多边形的三个条件：①边数相同；②对应角相等；③对应边成比例； 2）全等多边形的相似比是1，即全等图形是一种特殊的相似图形；； 3）当用符号“∽”表示两个相似图形时，对应点必须写在对应位置. 考点二 相似三角形 相似三角形的定义：三个角对应相等，三条边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形.如△ABC和△DEF相似可表示为△ABC∽△DEF. 【补充】三角形全等是三角形相似的特殊情况，全等三角形的相似比等于1. 【注意事项】符号“∽”表示两个三角形相似时，要把表示对应顶点的大写字母写在对应的位置上，如△ABC∽△DEF，表示顶点A与D，B与E，C与F分别对应； 【易错点】如果仅说△ABC与△DEF相似，没有用“∽”连接，则需要分情况讨论它们之间的对应关系. 相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比. 【补充】相似比具有顺序性，如△ABC∽△DEF，相似比为k，则△DEF与△ABC的相似比为. 常见的基本图形： 图①和图②分别为“A型”图和“X型”图，条件是DE//BC，基本结论是△ABC∽△ADE； 图③、图④是图①的变形图，图⑤是图②的变形图; 图⑥是“母子型”图，条件是BD为直角△ABC斜边上的高，基本结论是△ABC∽△BDC∽△ADB. 相似三角形的判定方法： 1）判定三角形相似的常用定理： ①平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． ②三边成比例的两个三角形相似； ③两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； ④两角分别相等的两个三角形相似． 2）直角三角形相似的判定方法： ①有一个锐角相等的两个直角三角形相似. ②两组直角边成比例的两个直角三角形相似. ③斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似. 相似三角形的性质： 1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 【补充】己知两三角形相似，写对应角相等，对应边成比例时，原则是“大对大，小对小；长对长，短对短”. 【小技巧】相似多边形对应边的比相等是求某条线段的长或求两条线段的比的一种常用方法，采用此方法时一定要注意找准对应关系. 2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 3）相似三角形周长的比等于相似比. 4）相似三角形面积比等于相似比的平方. 5）传递性：若△ABC∽△BDC，△ABC∽△ADB，则△BDC∽△ADB. 考点三 位似 1.位似图形 定义: 如果两个图形不仅是相似图形，且对应点连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心. 【概念混淆】位似图形一定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形. 判断位似图形的方法：首先看这两个图形是否相似，再看对应点的连线是否经过位似中心. 2. 位似图形的性质 1) 位似图形的所有对应点的连线所在的直线相交于一点. 2）位似图形的对应线段平行(或在同一条直线上)且比相等. 3) 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比. 4）位似图形是相似图形,具有相似图形的一切性质. 5）一对对应边与位似中心(不在同一直线上)形成的两个三角形相似 3. 画位似图形的一般步骤： 1）确定位似中心. 2）连接位似中心和原图的关键点并延长. 3）根据位似比，确定所作的位似图形的关键点. 4）顺次连接上述各点，得到放大或缩小后的图形. 注意事项： 1）两个位似图形的位似中心，有一个. 2）两个位似图形的位似中心可能位于图形的内部、外部或边上. 3）两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的同侧.（即画位似图形时，注意关于某点的位似图形有两个.） 4.位似变换的坐标特征 一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx，ky)或(-kx，-ky). 【小结】以原点为位似中心的位似图形的坐标符号变化：若两个图形在原点同侧，则对应点的横、纵坐标符号相同；若两个图形在原点异侧，则对应点的横、纵坐标符号相反. 专题23 锐角三角函数、解直角三角形 考点一 锐角三角函数 1.正弦、余弦、正切 正弦：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的对边a与斜边c的比叫做 ∠A的正弦，记作sin A，即； 余弦：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的邻边b与斜边c的比叫做 ∠A的余弦，记作cos A，即； 正切：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的对边a与邻边b的比叫做 ∠A的正切，记作tan A，则 【注意】1）正弦、余弦、正切是在直角三角形中进行定义的，本质是两条线段的比，因此没有单位，只与角的大小有关，而与直角三角形的边长无关. 2）根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形. 3）表示，可以写成，不能写成(正弦、余弦相同). 2. 锐角三角函数 锐角三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都是∠A的三角函数．（其中：0＜∠A＜90°） 取值范围：在Rt△ABC中，∠C=90°，由于直角边一定比斜边短，故有如下结论：，，. 增减变化：当0°＜∠A＜90°，sin A，tan A随∠A的增大而增大，cos A随∠A的增大而减小. 【补充】利用锐角三角函数值的增减变化规律可比较锐角的大小. 3. 特殊角的三角函数值 利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，如下表所示： 三角函数值 特殊角 30° 45° 60° sin α cos α tan α 1 4. 锐角三角函数的关系： 在Rt△ABC中，若∠C为直角，则∠A与∠B互余时，有以下两种关系： 1）同角三角函数的关系： ① 平方关系：； ② 商数关系：. 2) 互余两角的三角函数关系： ① 互余关系： sin A = cos(90°-∠A) = cos B，即一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值. sin B = sin(90°-∠A) = cos A，即一个锐角的余弦值等于它的余角的正弦值. ② 倒数关系： 考点二 解直角三角形 1. 解直角三角形 定义：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形． 在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系： 1）直角三角形的五个元素：边：a、b、c，角：∠A、∠B. 2）三边之间的关系：（勾股定理）. 3）两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°. 4）边角之间的关系：sin A = ，sin B = ，cos A= ，tan A = . 【补充】三角函数是连接边与角的桥梁. 5）面积公式（h为斜边上的高）. 2. 解直角三角形的常见类型 已知条件 解法步骤 图示 两 边 斜边和一直角边(如c，a) ，∠B=90°－∠A， 两直角边(如a，b) ，∠B=90°－∠A， 一 边 一 角 斜边和一锐角（如c，∠A） ∠B=90°－∠A ， 一直角边和一锐角（如a，∠A） ∠B=90°－∠A， 另一直角边和一锐角（如b，∠A） ∠B=90°－∠A， 【注意】已知两个角不能解直角三角形，因为有两个角对应相等的两个三角形相似，但不一定全等，因此其边的大小不确定. 【总结】在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其中的两个元素(至少有一条边)，可求出其余的三个未知元素(知二求三). 【已知一边一角的记忆口诀】有斜求对用正弦，有斜求邻用余弦，无斜求对(邻)用正切. 专题24 统计与概率 考点一 数据的收集与整理 1、普查与抽样调查 概念 优缺点 举例 普查 为特定的目的对全部考察对象进行的调查，叫做全面调查. 优点：收集到的数据全面、准确. 缺点：一般花费多、工作量大，耗时长. 1）检测“神舟十六号”飞船的零部件. 2）了解全班50名同学每天体育锻炼的时间. 抽样调查 抽取一部分对象进行调查，根据调查样本数据推断全体对象的情况叫抽样调查. 优点：调查范围小，花费少、工作量较小，省时. 缺点：抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估计的准确程度. 1）测试一批灯泡的使用寿命或炮弹的杀伤半径等. 2）调查某批中性笔的使用寿命. 3）了解全国中学生的视力和用眼卫生情况. 2、总体、个体、样本及样本容量 分类 概念 注意事项 举例 总体 所要调查的全体对象 考察一个班学生的身高，那么总体就是指这个班学生身高的全体，不能错误地理解为学生的全体为总体. 对全市2.3万名初中毕业生升学考试的数学成绩进行统计调查，为了了解这2.3万学生的数学成绩，从中抽取1000名学生的数学成绩进行统计.那么: 总体指的是2.3万名学生的数学成绩； 个体指的是每一个学生的数学成绩； 样本指的是2000名学生的数学成绩； 样本容量是2000. 个体 总体中的每一个考察对象 总体包括所有的个体. 样本 从总体中抽取的部分个体 样本是总体的一部分，一个总体中可以有许多样本，样本能够在一定程度上反映总体. 样本容量 样本中个体的数目（无单位） 一般地，样本容量越大，通过样本对总体的估计越精确. 考点二 数据分析 平均数 定义：一般地，如果有n个数x1，x2，…，xn，那么 ==，读作 “x拔”. 优点：平均数能充分利用各数据提供的信息，在实际生活中常用样本的平均数估计总体 的平均数. 缺点：在计算平均数时，所有的数据都参与运算,所以它易受极端值的影响. 加权平均数 定义：若个数，，…，的权分别是，，…，，则，叫做 这个数的加 权平均数. 【注意】若各数据权重相同，则算术平均数等于加权平均数. 中位数 定义：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据 的平均数）叫做这组数据的中位数. 优点：中位数不受个别偏大或偏小数据的影响,当一组数据中的个别数据变动较大时, 一般用中位数来描述数据的集中趋势. 缺点：不能充分地利用各数据的信息. 众数 定义：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数. 优点：众数考察的是各数据所出现的频数,其大小只与部分数据有关，当一组数据中某些 数据多次重复出现时，众数往往更能反映问题. 缺点：当各数据重复出现的次数大致相等时,它往往就没有什么特别意义. 方差 定义：在一组数据，，…，中，各个数据与平均数的差的平方的平均数叫做这组数据的方差，记作.计算公式是：. 意义：方差是用来衡量数据在平均数附近波动大小的量，方差越大，数据的波动性越大，方差越小，数据的波动性越小. 极差 定义：一组数据中最大值减去最小值的差叫做极差. 【注意】极差是由数据中的两个极端值所决定的,当个别极端值远离其他数据时，极差往 往不能反映全体数据的实际波动情况. 标准差 定义：方差的算术平方根,即 【补充】标准差也是用来描述一组数据波动的情况,常用来比较两组数据波动的大小. 考点三 统计图（表）的应用 统计图 图形 优点 缺点 常见结论 条形统计图 1）能清楚地表示出每个项目中的具体数目. 2）易于比较数目之间的差别. 对于条形统计图，人们习惯于由条形柱的高度看相应的数据，即条形柱的高度与相应的数据成正比，若条形柱的高度与数据不成正比，就容易给人造成错觉. 各组数量之和=总数 扇形统计图 能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比. 在两个扇形统计图中，若一个统计图中的某一个量所占的百分比比另一个统计图中的某个量所占的百分比多，这样容易造成第一个统计量比第二个统计量大的错误理解. 各部分百分比之和=100%； 各部分圆心角的度数=相应百分比×360° 折线统计图 能清楚的反映各数据的变化趋势. 在折线图中，若横坐标被“压缩”，纵坐标被“放大”，此时的折线统计图中的统计量变化量变化明显，反之，统计量变化缓慢. 各种数量之和=样本容量 频数分布直方图 直观显示各组频数的分布情况，易于显示各组之间频数的差别 各组数量之和=样本容量; 各组频率之和=1; 数据总数×相应的频率=相应的频数 步骤： ①计算数据的最大值与最小值的差. ②选取组距，确定组数. ③确定各组的分点. ④列频数分布表. ⑤画出频数直方图. 【易错易混】 1. 条形统计图中每个小长方形的高即为该组对象数据的个数（频数），各小长方形的高之比等于相应的个数（频数）之比. 2. 扇形统计图中，用圆代表总体，扇形的大小代表各部分数量占总体数量的百分数，但是没有给出具体数值，因此不能通过两个扇形统计图来比较两个统计量的多少. 3. 在利用折线统计图比较两个统计量的变化趋势时，要保证两个图中横、纵坐标的一致性，即坐标轴上同一单位长度所表示的意义应该一致. 4. 画频数分布直方图时，分组要遵循三个原则：不空，即该组必须有数据；不重，即一个数据只能在一个组；不漏，即不能漏掉某一个数据. 考点四 概率的相关概念 1、确定事件与随机事件 类别 定义 举例 确定事件 必然 事件 在一定条件下，有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件. 在一个只装有红球的袋子中摸球，摸出红球. 不可能事件 在一定条件下，有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件. 在一个只装有红球的袋子中摸球，摸出白球. 不确定事件（随机事件） 在一定条件下，许多事情我们无法确定它会不会发生，这些事情称为不确定事件（又叫随机事件）. 在一个装有红球和白球的袋子中摸球，摸出白球. 2、概率的定义 概率：一般地，对于一个随机事件A，把刻画其发生可能性大小的数值，称之为随机事件A发生的概率，记为P(A). 概率的意义：一个事件发生的概率是一个确定的数，它从数值上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小. 概率的取值范围：当事件A为必然事件时，P(A)=1；当事件A为不可能事件时,P(A)=0；当事件A为随机事件时， 0＜P(A)＜1. 【注意事项】 1）概率大，并不能说明事件一定发生，只是发生的可能性大；概率小，并不能说明事件不发生，只是发生的可能性小； 2）在一次试验中，如果事件的各种结果发生的可能性不相等，就不能用概率公式进行计算. 专题25 尺规作图与定义、命题、定理 考点一 尺规作图 定义：最基本、最常用的尺规作图，通常称作基本作图, 五种基本作图： 1）作一条线段等于已知线段 已知 线段 a 求作 线段0A，使OA等于a 作法 1）任作一条射线OP； 2）以点0为圆心，a的长为半径画弧，交0P于点A，则线段OA 即为所求 依据 圆上的点到圆心的距离等于半径. 2）作一个角等于已知角 已知 ∠AOB 求作 ∠A'O'B'，使∠A'O'B'=∠AOB 作法 1）作射线O'A'； 2）以点0为圆心，任意长为半径画弧，交0A于点C，交OB于点 D； 3）以点0'为圆心，0C的长为半径画弧，交O'A'于点E； 4）以点E为圆心，CD的长为半径画弧，交前弧于点F； 5）经过点F作射线O'B',ㄥA'0'B'即为所求. 依据 1）三边分别相等的两个三角形全等； 2）全等三角形的对应角相等； 3）两点确定一条直线. 3）作已知角的角平分线 已知 ∠AOB 求作 射线OP，使∠AOP=∠BOP 作法 1）以点0为圆心，适当长为半径画弧，交0A于点M，交0B于点N； 2）分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点P； 3）作射线OP，射线OP即为所求. 依据 1）三边分别相等的两个三角形全等； 2）全等三角形的对应角相等； 3）两点确定一条直线. 4）过一点作已知直线的垂线 已知 直线AB和AB上的一点M 求作 AB的垂线，使它经过点M 作法 作平角ㄥACB的平分线MF.直线MF就是所求作的垂线. 已知 直线AB和AB外一点M 求作 AB的垂线，使它经过点M 作法 1）任意取一点P，使点P和点M在AB的两旁； 2）以点M为圆心，MP的长为半径作弧，交AB于点C和点D； 3）分别以点C和点D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点E； 4）作直线EM，直线EM就是所求作的垂线. 依据 1）等腰三角形“三线合一”； 2）两点确定一条直线. 5）作线段的垂直平分线 已知 线段AB 求作 线段AB的垂直平分线 作法 1）分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N； 2）作直线MN，直线MN就是线段AB的垂直平分线. 依据 1）到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上； 2）两点确定一条直线. 尺规作图的关键: 1）先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么； 2）读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题； 3)切记作图中一定要保留作图痕迹； 4）无刻度直尺作图通常会与等腰三角形的判定，三角形中位线定理，矩形的性质和勾股定理等几何知识点结合，熟练掌握相关性质是解题关键. 考点二 定义、命题、定理 1. 命题 定义：判断一件事情的语句，叫做命题. 组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． 表达形式：可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论． 2.真命题、假命题 内容 举例 注意 真命题 如果题设成立，那么结论一定成立的命题，叫做真命题 ‌对顶角不相等 说明一个命题是真命题，需从已知出发,经过一步步推理，最后得出正确结论 假命题 命题中题设成立时，不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题 ‌相等的角是对顶角 判定一个命题是假命题，只要举出一个例子(反例)，使它符合命题的题设，但不满足结论即可 3.逆命题 逆命题：把原命题的结论作为命题的题设，把原命题的题设作为命题的结论，所组成的命题叫做原命题的逆命题. 互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题． 4.公理、定理 公理：如果一个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理.如：两点之间线段最短. 定理：如果一个命题可以从公理或其他命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫做定理． 5.互逆定理 互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理． 6.反证法 定义：先假设原命题的结论不正确，然后从这个假设出发，经过逐步推理论证，最后得出与学过的概念、基本事实、已证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果，这种证明的方法叫做反证法. 反证法的步骤：①假设命题结论的反面正确；②从假设出发，经过逻辑推理，推出与公理、定理、定义或已知条件相矛盾的结论；③说明假设不成立，从而得出原命题正确． 学科网（北京）股份有限公司 $