第52讲　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“事件的相互独立性、条件概率与全概率公式”核心考点，依据高考评价体系梳理相互独立事件判断、条件概率计算、全概率公式应用三大考查维度，通过真题分析明确高频考点分布，归纳事件关系判断、概率计算等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题解析+方法归纳+素养提升”策略，如2021新高考Ⅰ卷例1用定量法判断独立性，培养推理能力；例3结合全概率公式解决实际问题，强化模型观念。特设易错点分析和答题模板，助力学生掌握技巧，教师可据此精准教学，高效冲刺高考。

第十章 第52讲　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 计数原理、概率及其分布 1 1．(教材经典题)掷两枚质地均匀的骰子，设A＝“第一枚出现奇数点”，B＝“第二枚出现偶数点”，则A与B的关系为 (　　) A．互斥　 B．互为对立事件 C．相互独立　 D．相等 【解析】 　　　　因为事件A与B能同时发生，故事件A与B既不是互斥事件也不是对立事件，故A，B错误； 事件A与B不相等，故D错误． C 2．(教材经典题)假设P(A)＝0.7，P(B)＝0.8，且A，B相互独立，则P(AB)＝________，P(A∪B)＝________． 【解析】 　　　　因为P(A)＝0.7，P(B)＝0.8，且A与B相互独立，所以P(AB)＝P(A)P(B)＝0.7×0.8＝0.56，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝0.7＋0.8－0.56＝0.94． 0.56 0.94 3．(教材经典题)设A⊆B，且P(A)＝0.3，P(B)＝0.6，则P(B|A)＝_____，P(A|B)＝ ______． 【解析】 1 4．(教材经典题)甲、乙两人同时向同一目标各射击1次，已知甲命中目标的概率为0.6，乙命中目标的概率为0.5．若目标至少被命中1次，则甲命中目标的概率为________． 【解析】 0.75 5．(教材经典题)甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有8个红球、2个白球．掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从甲箱中随机摸出1个球；如果点数为3，4，5，6，从乙箱中随机摸出1个球，则摸到红球的概率是______． 【解析】 1．相互独立事件 (1) 概念：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝______________成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立． P(A)P(B) B 2．条件概率 ②概率的乘法公式：P(AB)＝_______________． P(A)P(B|A) 3．全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai) ＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有______________________，我们称上面的公式为全概率公式． 4．*贝叶斯公式 目标 1 相互独立事件 视角1　事件相互独立性的判断 　　　　　(2021·新高考Ⅰ卷)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．事件甲＝“第一次取出的球的数字是1”，事件乙＝“第二次取出的球的数字是2”，事件丙＝“两次取出的球的数字之和是8”，事件丁＝“两次取出的球的数字之和是7”，则 (　　) A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立 1－1 【解析】 事件丙与事件丁是互斥事件，不是相互独立事件，故D错误． 【答案】B 判断两个事件是否相互独立的策略 (1) 定量法：利用P(AB)＝P(A)P(B)是否成立判断； (2) 定性法：直观地判断一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响． 视角2　相互独立事件的概率 　　　　　(多选)甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，这些小球除颜色外完全相同．从甲、乙两袋中各任取1个球，则下列结论正确的是 (　　　) 1－2 【解析】 【答案】ACD 相互独立事件A，B有关的概率计算： 【解析】 ACD 目标 2 条件概率 视角1　条件概率的计算 2－1 【解析】 【答案】D 求条件概率的常用方法： 变式2－1　(2025·汕头一模)设甲袋有3个红球，2个白球和5个黑球，乙袋有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，以A1，A2和A3分别表示由甲袋取出的球是红球、白球和黑球的事件．再从乙袋中随机取出一球，以B表示由乙袋取出的球是红球的事件，则 (　　) 【解析】 【答案】C　 视角2　条件概率性质的应用 【解析】 2－2 B 可用如图所示的Venn图来解决此类问题： 变式2－2　　已知随机事件A，B发生的概率分别为P(A)＝0.5，P(B)＝0.4，则下列说法正确的是 (　　) A．若P(AB)＝0.9，则A，B相互独立 B．若A，B相互独立，则P(A|B)＝0.6 C．若P(A|B)＝0.5，则P(AB)＝0.25 D．若B⊆A，则P(B|A)＝0.8 【解析】 　　　　对于A，因为P(AB)≠P(A)P(B)，所以A与B不独立，故A错误； D 目标 3 全概率公式 　　　(2025·新余二模)某人工智能研究实验室开发出一款全新聊天机器人，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话．聊天机器人的开发主要采用RLHF(人类反馈强化学习)技术，在测试它时，如果输入的问题没有语法错误，则它的回答被采纳的概率为80%，当出现语法错误时，它的回答被采纳的概率为40%． (1) 在某次测试中输入了8个问题，聊天机器人的回答有5个被采纳，现从这8个问题中抽取4个，以X表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求X的分布列和数学期望； 3 【解答】 　　　(2025·新余二模)某人工智能研究实验室开发出一款全新聊天机器人，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话．聊天机器人的开发主要采用RLHF(人类反馈强化学习)技术，在测试它时，如果输入的问题没有语法错误，则它的回答被采纳的概率为80%，当出现语法错误时，它的回答被采纳的概率为40%． (2) 设输入的问题出现语法错误的概率为p，若聊天机器人的回答被采纳的概率为70%，求p的值． 3 【解答】 　　　　记“输入的问题没有语法错误”为事件A，“输入的问题有语法错误”为事件B，“回答被采纳”为事件C，由已知得P(C)＝0.7，P(C|A)＝0.8，P(C|B)＝0.4，P(B)＝p，P(A)＝1－p，所以由全概率公式得P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝0.8(1－p)＋0.4p＝0.7，解得p＝0.25． 若随机试验可以分两个阶段进行，且第一阶段的各试验结果具体怎样未知，那么：(1) 如果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率，则用全概率公式；(2) 如果第二阶段的某一个结果是已知的，要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率，则一般用贝叶斯公式． 变式3　(2025·天津卷)小桐操场跑圈，每星期2次，一次跑5圈或6圈．第一次跑5圈或6圈的概率均为0.5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0.4，跑6圈的概率为0.6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0.6，跑6圈的概率为0.4．小桐每星期跑11圈的概率为_______；若每星期至少跑11圈为运动量达标，连续跑4星期，记合格星期数为X，则期望E(X)＝_______． 【解析】 0.6 3.2 1．(2025·济宁一模)甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用3局2胜制，如果每局比赛甲获胜的概率为0.7，乙获胜的概率为0.3，且各局比赛结果相互独立，那么在甲获胜的条件下，比赛进行了3局的概率为 (　　) 【解析】 C 2．(2025·石家庄一检)在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05．假设发送信号0和1是等可能的，已知接收的信号为0，则发送的信号是1的概率为 (　　) 【解析】 【答案】B 【解析】 　　　　对于A，若B⊆A，则P(AB)＝P(B)＝0.3，A正确； 【答案】ABD 4．(2025·南通一调)(多选)口袋内装有大小、质地均相同，颜色分别为红、黄、蓝的3个球．从口袋内无放回地依次抽取2个球，记“第一次抽到红球”为事件A，“第二次抽到黄球”为事件B，则 (　 　) C．A与B为互斥事件 D．A与B相互独立 【解析】 对于C，因为A，B能同时发生，所以A与B不是互斥事件，故C错误． 【答案】AB 配套练习题 一、单项选择题 1．(2023·全国甲卷理)有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报 名足球或乒乓球俱乐部．若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为 (　　) A．0.8　 B．0.4 C．0.2　 D．0.1 【解析】 A 【解析】 C 3．(2025·赣州一模)甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和3个白球(两箱中的球除颜色外没有其他区别)，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，再从乙箱中随机取出两球，则取出的两球都是红球的概率为 (　　) 【解析】 　　　　分别用事件A1和A2表示从甲箱中取出的球是红球和白球，用事件B表示从乙箱中取出的两球都是红球． B 【解析】 【答案】D　 5．(2025·漳州三模)设A，B是两个随机事件，且0＜P(A)＜1，0＜P(B)＜1，则下列说法正确的是 (　　) A．P(AB)＞P(B|A) 【解析】 对于D，P(AB)≠0，不能说明P(AB)＝P(A)P(B)成立，故D不正确． 【答案】C 二、多项选择题 6．(2026·南通期初)设样本空间Ω＝{1，2，3，4}，且每个样本点是等可能的，已知事件A＝{1，2}，B＝{1，3}，C＝{1，4}，则 (　 　) A．A与B互斥 B．B与C相互独立 C．P(ABC)＝P(A)P(B)P(C) D．P(A|C)＝P(C|A) 【解析】 　　　　对于A，因为A＝{1，2}，B＝{1，3}，则A∩B＝{1}≠∅，所以A错误． 【答案】BD 7．(2025·厦门二模)某校开展“强国有我，筑梦前行”主题演讲比赛，共有6位男生、4位女生进入决赛．现通过抽签决定出场顺序，记事件A＝“第一位出场的是女生”，事件B＝“第二位出场的是女生”，则 (　　　) 【解析】 【答案】BCD 8．(2025·马鞍山一模)已知甲罐中有4个红球，2个白球，乙罐中有5个红球，3个白球．先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，记事件A1为“取出的是红球”，事件A2为“取出的是白球”．再从乙罐中随机取出两个球，记事件B为“取出的两球都是红球”，事件C为“取出的两球为一红一白”，则 (　 　) 【解析】 【答案】AD 三、填空题 9．若有A，B，C，D，E五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加，则甲选到A的 概率为______；已知乙选了A活动，他再选择B活动的概率为______． 【解析】 10．(2025·宿州期末)两批同种规格的产品，第一批占25%，次品率为5%；第二批占75%，次品率为4%．将两批产品混合，从混合产品中任取一件，则这件产品为 次品的概率为______． 【解析】 11．(2025·邯郸二模)6个不同的芯片欲组装到一个云计算的主机中，先将它们串联在一起统一测试，在串联电路中甲、乙两个芯片不相邻的前提下，丙、丁两个芯片相邻的概率为________． 【解析】 四、解答题 12．(2025·青岛一模)为了调查某地区高中学生对于体育运动的爱好程度，随机调查了该地区部分学生的日均运动时间．在被调查的学生中，女生占40%，女生中有65%的人日均运动时间大于1小时，男生中有90%的人日均运动时间大于1小时． (1) 在被调查的学生中任选1人，若此人日均运动时间大于1小时，求此人为男生的概率； 【解答】 12．(2025·青岛一模)为了调查某地区高中学生对于体育运动的爱好程度，随机调查了该地区部分学生的日均运动时间．在被调查的学生中，女生占40%，女生中有65%的人日均运动时间大于1小时，男生中有90%的人日均运动时间大于1小时． (2) 用频率估计概率，从该地区的高中生中随机抽取4人，求日均运动时间大于1小时的人数ξ的期望和方差． 【解答】 (1) 若甲同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率； 【解答】 (2) 若甲同学从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得3分，回答错误得－1分，设该同学回答三题后的总得分为X，求X的分布列及数学期望． 【解答】 【答案】 事件A，B相互独立 概率计算公式 A，B同时发生 P(AB)＝P(A)P(B) A，B同时不发生 P( )＝P()P()＝[1－P(A)][1－P(B)] A，B至少有一个不发生 P＝1－P(AB)＝1－P(A)·P(B) A，B至少有一个发生 P＝1－P( )＝1－P()·P() A，B恰有一个发生 P＝P(A＋B)＝P(A)·P()＋P()P(B) 　　　　由题可知X的所有可能取值为1，2，3，4，P(X＝1)＝＝＝，P(X＝2)＝＝＝，P(X＝3)＝＝＝，P(X＝4)＝＝＝，故X的分布列为 X 1 2 3 4 P 　　　　X的可能取值为－3，1，5，9，P(X＝－3)＝××＝，P(X＝1)＝××＋××＋××＝，P(X＝5)＝××＋××＋××＝，P(X＝9)＝××＝，则X的分布列为 X －3 1 5 9 P $