专题立体几何中的截面问题训练—2026高三数学二轮专题复习

**基本信息** 以截面概念为起点，通过平行线法、延长线法构建“概念-作图-判断-计算-最值”逻辑链，培养空间观念与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念方法|2方法+1判断|平行线法/延长线法；截面完整性判断|从定义出发，通过作截面方法建立空间几何操作基础| |作截面问题|6题|多面体截面作图规范（含正方体、直四棱柱等）|结合几何体特征，运用基本方法解决不同载体作图问题| |判断截面形状|8题|正方体截面类型（三角至六边形）及特征|通过截面与几何体交线规律，推导形状判定依据| |截面计算|7题|中点、棱长关联下的面积/周长求解|综合几何图形性质与距离公式，实现定量计算| |截面最值|5题|正方体/圆锥截面面积最值规律（如矩形面积最大）|基于截面形状特征，归纳极端情况下的最值条件|

回归教材 专题六 立体几何中的截面问题 1、什么是截面？ 用一个平面去截一个几何体所得到的平面图形 2、 如何判断截面的完整性？ 截面的轮廓线均在多面体表面，则截面是完整的，否则要扩大截面。 3、 如何扩大截面？ （1） 平行线法：过截面一顶点作对边平行线 （2） 延长线法：延长面中位于多面体表面上的线与棱相交 题型一 作截面问题 1、在正方体中，Q为中点时，画出过A，Q，的截面。 解：平行线法，过点作的平行线与的交点为为的中点，连接.此时、、、都在正方体表面，此时截面完整，则四边形即为所求截面。 2、如图，已知，，，分别是正方体的棱，，，的中点，作出过，，，四点的截面；（写出作图过程并保留作图痕迹） 解：平行线法，过点作的平行线，与的交点为,的中点.过点作的平行线，与的交点为,的中点.连接、、,此时、、都在正方体表面，此时截面完整，则六边形即为所求截面。 3、P，Q，R三点分别在直四棱柱AC1的棱BB1，CC1和DD1上，试画出过P，Q，R三点的截面作法． 解：法一延长线法，延长那些在直四棱柱面上的线。 （1）连接QP，QR并延长，分别交CB，CD的延长线于E，F; （2）连接EF交AB于T，交AD于S; （3）连接RS，TP,则五边形PQRST即为所求截面． 法二平行线法 因为平面∥平面，PQ平面，所以PQ∥，所以在平面中能找到一条直线与PQ平行，过点R作PQ的平行线交于点S，过点P作QR的平行线交AB于点T，连接ST，此时截面完整，五边形PQRST即为所求截面。 4、如图，正方体的棱长为分别为棱的中点.请在正方体的表面完整作出过点的截面，并写出作图过程；（不用证明） 解：法一延长线法 （1）连接并延长交延长线于点， （2）连接并延长交于点，交延长线于点， （3）连接交于点，则截面即为所求. 法二平行线法（1）过点E作的平行线交于点，连接 （2）过点F作的平行线交于点，连接EH，则截面即为所求 5、正三棱柱中，分别为棱、的中点，过三点作三棱柱的截面。 解：延长线法，延长交、于E、，连接EP、FP交、于、D，连接PQ、QN、PD、DM，完整截面为MNQPD. 6、四棱锥的棱VB，VC，VD上各有一点P，Q，R，过P，Q，R三点作四棱锥的截面. 解：延长线法 延长交的延长线于，延长交的延长线于，连接ST；延长交ST于，连接交于，则四边形RQPK即是过P，Q，R三点的棱锥的截面. 题型二 判断截面形状 正方体中的基本截面类型 注：正方体的截面形状的探究 (1)截面可以是三角形：等边三角形、等腰三角形、锐角三角形.截面不可能是直角三角形、钝角三角形. (2)截面可以是四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形.截面为四边形时，这个 四边形中至少有一组对边平行. (3)截面可以是五边形，且此时五边形必有两组分别平行的边，同时有两个角相等.截面五边形不可能 是正五边形. (4)截面可以是六边形，且此时六边形必有三组分别平行的边.截面六边形可以是正六边形. 1、正方体中，M，N分别是，的中点，则过，M，N三点的平面截正方体所得的截面形状是（   ） A．平行四边形 B．直角梯形 C．等腰梯形 D．三角形 解：平行线法，过找的平行线，∥,连接MD，四边形MND为完整截面。一组对边平行的四边形为梯形，，所以截面为等腰梯形。 答案C 2、已知正方体，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，过作该正方体的截面，则该截面的形状为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 解：延长线法 (1)延长EF交CD、CB的延长线于Q、P， (2)连接GQ、GP交、于I、H,连接IF、EH，五边形EFIGH为完整截面。 答案C 3、用一个平面截正方体，如果截面形状是三角形，则该截面三角形不可能是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．直角三角形 解：如图1，在正方体中，易知为正三角形， 等边三角形 等腰三角形 锐角三角形 如图2， 若为直角三角形，根据正方体的对称性，不妨假设， 由正方体的性质可知：，，所以平面， 而平面，于是过同一点作出了一个平面的两条垂线，显然不成立，D错误. 故选：D. 4、如图，在正方体中，作截面如图交，，，分别于，，，，则四边形的形状为（    ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．梯形 解：在正方体中，可得平面平面， 且平面平面，平面平面， 所以，同理可证：， 所以四边形的形状一定为平行四边形. 故选：A. 5、如图，正三棱柱的所有边长都相等，为线段的中点，为侧面内的一点（包括边界，异于点），过点、、作正三棱柱的截面，则截面的形状不可能是（    ）    A．五边形 B．四边形 C．等腰三角形 D．直角三角形 解：  对于B：当的延长线与线段（除端点外）相交于点时，延长交的延长线于点， 连接交于点，连接， 此时过点、、作正三棱柱的截面为四边形（当在线段（除端点外）时截面也为四边形），故B正确；    6、已知正方体，点E是上底面上任意一点，过A，C，E三点作平面截正方体，则截面形状不可能是（    ）． A．等边三角形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形 解：如下图，    当在上，截面形状为矩形， 当与重合，截面形状为等边三角形， 当在除上述两种情况外的其它位置，截面形状为等腰梯形. 故选：C 7、在正方体中，M，N，Q分别为棱AB，的中点，过点M，N，Q作该正方体的截面，则所得截面的形状是（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 解：法一平行线法。过Q找的平行线交于F，MN∥FQ,过N找QM的平行线交于H，QM∥NH,过F找NH的平行线交于E，EF∥NH,连接EM。六边形EFQHNM为完整截面。所以截面为正六边形。 法二延长线法+平行线法 答案D 8、在正方体中中，为的中点，则平面截正方体所得的平面图形为（   ） A．三角形 B．等腰梯形 C．直角梯形 D．五边形 解：延长线法 平行线法 答案B 题型三 截面面积或周长计算 1、如图，在棱长为的正方体中，点、、分别是棱、、的中点，则由点、、确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于（    ） A． B． C． D． 因为在棱长为的正方体中，由、分别为、的中点， 得，且，由且，得四边形为平行四边形， 即，设平面交棱于点，由平面平面， 且平面平面，平面平面，得， 由为的中点，得为的中点，设直线分别交、的延长线于点P、Q，如图： 连接交棱于点，连接交棱于点，连接、，则截面为六边形. 由，E为的中点，得，又，则为的中点， 同理为的中点，六边形是边长为1的正六边形， 所以截面面积为 故选：A 2、如图，已知正方体的棱长为2，若K为棱的中点，过A，C，K三点作正方体的截面，则截面的周长为（   ）． A． B．6 C． D． 解：如图，取的中点，连接，则. 则在正方形中，，， 所以四边形是平行四边形， 所以， 又，所以， 则四边形即为过三点截面， 因为正方体的棱长为2， 所以，，, 则其周长为.    故选：A.  3、在正方体中，分别是的中点，，则过点的平面截该正方体所得的截面周长为（    ） A． B． C． D． 解：取线段的中点为，的中点为，，如图， 因为正方体中，分别是棱的中点， 所以，所以四点共面. 由正方体的棱长为2，可得，， 所得截面周长为， 故选：B. 4、已知正方体的棱长为，分别是的中点，则过这三点的截面面积是（    ） A． B． C． D． 解：如图所示，分别取的中点，连接， 在正方体中，可得， 所以经过点的截面为正六边形，又因为正方体的棱长为， 在直角中，可得，所以截面正六边形的面积为. 故选：D. 5、一个底面半径为2的圆锥的轴截面为正三角形，现用平行于底面的平面将该圆锥截成两个部分，若这两部分的表面积相等，则该平面在圆锥上的截面面积（    ） A． B． C． D． 解：由题知，平面截圆锥后上半部分为一小圆锥，下半部分为一圆台， 且圆台的上底面即小圆锥的底面，即该平面在原圆锥上的截面； 圆台的下底面即原圆锥的底面. 不妨设圆台上底面半径为，圆台下底面半径为， 小圆锥母线长为，原圆锥母线长为， 由轴截面为正三角形知，， 则小圆锥底面积为，底面周长为，侧面积为， 易知圆台侧面积可看作原圆锥侧面积减去小圆锥侧面积 则圆台侧面积为，下底面积为 由于两部分表面积相等，则， 因为，则， 所以截面面积为. 故选:A. 6、在正四棱台中，，，M为棱的中点，当正四棱台的体积最大时，平面截该正四棱台的截面面积是（    ）． A． B． C． D． 解：设，上底面和下底面的中心分别为，，过作, 该四棱台的高， 在上下底面由勾股定理可知，． 在梯形中，， 所以该四棱台的体积为， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时，，． 取,的中点，,连接,，显然有， 由于平面，平面，所以平面，因此平面就是截面． 显然， 在直角梯形中，， 因此在等腰梯形中，， 同理在等腰梯形中，， 在等腰梯形中，设，， 则， ， 所以梯形的面积为， 故选：C． 7、一平面与正方体表面的交线围成的封闭图形称为正方体的“截面图形”．在棱长为1的正方体中，为的中点，为的中点，过三点的截面图形的周长为（   ） A． B． C． D． 解：延长交的延长线于点，连接交于点， 延长交的延长线于点，连接交于点，连接， 如图所示，可得正方体的截面图形为五边形． 由与相似得， 所以，与相似得，所以． 由勾股定理得，， ，，， 所以截面图形的周长为． 题型四 截面的最值问题 1、正方体截面面积 （1）截面为三角形时，正三角形的面积最大。 （2）截面为四边形是，矩形面积最大。 （3）截面为六边形时，正六边形面积最大。 （4）所有截面中，矩形面积最大。 1、边长为1的正六面体被一个平面所截的最大截面面积为______． 因为，所以， 所以最大截面面积为． 2、 圆锥截面面积 （1）圆锥截面图形 横截面 轴截面 不过顶点截面 过顶点的截面 （2）过圆锥顶点的截面面积 注：错误直觉，圆锥的轴截面面积最大。 设圆锥轴截面的顶角为，过圆锥顶点的截面顶角为，圆锥的母线长为 过圆锥顶点的截面面积为 2、若圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，则过这个圆锥顶点的截面中，最大截面面积等于__________. 圆锥底面圆周长为，则该圆锥底面圆半径，而圆锥母线， 该圆锥轴的高，其轴截面顶角为，， ，，因此该圆锥轴截面是锐角三角形，是经过顶点的截面 中的最大截面，所以最大截面面积等于.故答案为： 3、已知圆锥的底面半径为8，母线长为10，则过该圆锥顶点的截面面积的最大值为__________. 解：圆锥的底面半径为8，母线长为10，则圆锥的高， 设圆锥轴截面的顶角为，，。 （或可以利用余弦定理判断角的大小，，为钝角） 过该圆锥顶点的截面面积 当且仅当时，过该圆锥顶点的截面面积最大值为50 4、若已知圆锥的母线长为8，过圆锥的顶点作圆锥的截面，若截面面积的最大值为32，则该圆锥的底面半径的取值范围为__________. 解：圆锥母线长为8，过该圆锥顶点的截面面积 截面面积的最大值为32，则的最大值为1，此时，由于 则即。，则 则该圆锥的底面半径的取值范围为 5、若圆锥的轴截面是一个顶角为，腰长为2的等腰三角形，则过此圆锥顶点的所有截面中，截面面积的最大值为（    ） A． B．1 C．3 D．2 解：由题意得，圆锥的母线长，设过圆锥顶点的截面三角形的顶角为， 由题意知，，所以截面面积， 当时，，即截面面积的最大值为. 故选：D 第 - 1 - 页 共 20页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $回归教材 专题六 立体几何中的截面问题 1、什么是截面？ 用一个平面去截一个几何体所得到的平面图形 2、 如何判断截面的完整性？ 截面的轮廓线均在多面体表面，则截面是完整的，否则要扩大截面。 3、 如何扩大截面？ （1） 平行线法：过截面一顶点作对边平行线 （2） 延长线法：延长面中位于多面体表面上的线与棱相交 题型一 作截面问题 1、在正方体中，Q为中点时，画出过A，Q，的截面。 2、如图，已知，，，分别是正方体的棱，，，的中点，作出过，，，四点的截面；（写出作图过程并保留作图痕迹）， 3、P，Q，R三点分别在直四棱柱AC1的棱BB1，CC1和DD1上，试画出过P，Q，R三点的截面作法． 4、如图，正方体的棱长为分别为棱的中点.请在正方体的表面完整作出过点的截面，并写出作图过程；（不用证明） 5、正三棱柱中，分别为棱、的中点，过三点作三棱柱的截面。 6、四棱锥的棱VB，VC，VD上各有一点P，Q，R，过P，Q，R三点作四棱锥的截面. 题型二 判断截面形状 正方体中的基本截面类型 注：正方体的截面形状的探究 (1)截面可以是三角形：等边三角形、等腰三角形、锐角三角形.截面不可能是直角三角形、钝角三角形. (2)截面可以是四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形.截面为四边形时，这个 四边形中至少有一组对边平行. (3)截面可以是五边形，且此时五边形必有两组分别平行的边，同时有两个角相等.截面五边形不可能 是正五边形. (4)截面可以是六边形，且此时六边形必有三组分别平行的边.截面六边形可以是正六边形. 1、正方体中，M，N分别是，的中点，则过，M，N三点的平面截正方体所得的截面形状是（   ） A．平行四边形 B．直角梯形 C．等腰梯形 D．三角形 2、已知正方体，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，过作该正方体的截面，则该截面的形状为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 3、用一个平面截正方体，如果截面形状是三角形，则该截面三角形不可能是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．直角三角形 4、如图，在正方体中，作截面如图交，，，分别于，，，，则四边形的形状为（    ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．梯形 5、如图，正三棱柱的所有边长都相等，为线段的中点，为侧面内的一点（包括边界，异于点），过点、、作正三棱柱的截面，则截面的形状不可能是（    ）    A．五边形 B．四边形 C．等腰三角形 D．直角三角形 6、已知正方体，点E是上底面上任意一点，过A，C，E三点作平面截正方体，则截面形状不可能是（    ）． A．等边三角形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形 7、在正方体中，M，N，Q分别为棱AB，的中点，过点M，N，Q作该正方体的截面，则所得截面的形状是（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 8、在正方体中中，为的中点，则平面截正方体所得的平面图形为（   ） A．三角形 B．等腰梯形 C．直角梯形 D．五边形 题型三 截面面积或周长计算 1、如图，在棱长为的正方体中，点、、分别是棱、、的中点，则由点、、确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于（    ） A． B． C． D． 2、如图，已知正方体的棱长为2，若K为棱的中点，过A，C，K三点作正方体的截面，则截面的周长为（   ）． A． B．6 C． D．  3、在正方体中，分别是的中点，，则过点的平面截该正方体所得的截面周长为（    ） A． B． C． D． 4、已知正方体的棱长为，分别是的中点，则过这三点的截面面积是（    ） A． B． C． D． 5、一个底面半径为2的圆锥的轴截面为正三角形，现用平行于底面的平面将该圆锥截成两个部分，若这两部分的表面积相等，则该平面在圆锥上的截面面积（    ） A． B． C． D． 6、在正四棱台中，，，M为棱的中点，当正四棱台的体积最大时，平面截该正四棱台的截面面积是（    ）． A． B． C． D． 7、一平面与正方体表面的交线围成的封闭图形称为正方体的“截面图形”．在棱长为1的正方体中，为的中点，为的中点，过三点的截面图形的周长为（   ） A． B． C． D． 题型四 截面的最值问题 1、正方体截面面积 （1）截面为三角形时，正三角形的面积最大。 （2）截面为四边形是，矩形面积最大。 （3）截面为六边形时，正六边形面积最大。 （4）所有截面中，矩形面积最大。 2、 圆锥截面面积 （1）圆锥中的基本截面类型 横截面 轴截面 不过顶点截面 过顶点的截面（等腰三角形） （2）过圆锥顶点的截面面积 注：错误直觉，圆锥的轴截面面积最大。 设圆锥轴截面夹角为，过圆锥顶点的截面夹角为，圆锥的母线长为 过圆锥顶点的截面面积为 1、边长为1的正六面体被一个平面所截的最大截面面积为______． 2、若圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，则过这个圆锥顶点的截面中，最大截面面积等于__________. 3、已知圆锥的底面半径为8，母线长为10，则过该圆锥顶点的截面面积的最大值为__________. 4、若已知圆锥的母线长为8，过圆锥的顶点作圆锥的截面，若截面面积的最大值为32，则该圆锥的底面半径的取值范围为__________. 5、若圆锥的轴截面是一个顶角为，腰长为2的等腰三角形，则过此圆锥顶点的所有截面中，截面面积的最大值为（    ） A． B．1 C．3 D．2 第 - 1 - 页 共 10页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $