辽宁葫芦岛市绥中县第一高级中学2026届高三冲刺自编模拟数学试卷（三）

**基本信息** 高三高考模拟卷，覆盖集合、函数、立体几何等核心知识，以人脸识别系统、在线用户数据等情境设计，突出数学建模与逻辑推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合运算、向量夹角、数列递推|基础概念与运算，梯度起步| |多选题|3/18|立体几何命题判断、三角函数图像变换|逻辑推理与多选项辨析| |填空题|3/15|基本不等式求最值、条件概率、函数零点|实际应用与抽象思维结合| |解答题|5/77|解三角形、统计相关系数、立体几何翻折、导数极值、抛物线切线|综合情境设计，如在线用户数据统计分析、抛物线定点证明，体现数学建模与创新应用|

高三高考模拟试题（三） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【详解】由题设， 或， 所以. 2．已知向量，满足，，则，的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.7 【分析】根据平面向量数量积的运算律及夹角的余弦公式即可求解． 【详解】由两边平方得，， 又得， 所以， 则． 3．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.7 【分析】先由两角差正弦公式展开，再平方化为齐次式进而可得. 【详解】因为，由两角差的正弦公式得， 两边平方得，， 因为，得，， 解得或. 又因为，所以，因此，. 4．已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.7 【分析】先由已知变形得到，利用等差数列求通项公式得到，进而得，即可得答案. 【详解】由可变形为， 故为公差为的等差数列， 所以，所以，所以． 5．已知圆锥的高是底面半径的2倍，且圆锥的底面半径、体积分别与圆柱的底面半径、体积相等，则圆锥与圆柱的侧面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.68 【分析】由圆锥和圆柱的体积相等得到圆柱的母线和半径的关系，再利用侧面积公式求解. 【详解】设圆锥的高，底面半径，母线和体积分别为， 圆柱的高，底面半径，母线和体积分别为， 由题意知，，， 则，即，解得， 所以， 则， 故选：B 6．设，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.42 【分析】根据题意分、讨论解不等式即可． 【详解】对任意，，，， 当时，，恒成立； 当时，，，分别作出和的图象， 结合图象可知，不等式等价于，解不等式，可得， 综上，实数的取值范围是． 7．已知为坐标原点，为圆的一条弦，弦绕点旋转一周扫过的区域为.若点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.52 【分析】根据题意可知弦绕点旋转一周时，上所有点到点的距离范围是，又点，则，可得，可得的取值范围. 【详解】设圆心到弦的距离为，圆半径， 弦绕点旋转一周时，上所有点到点的距离范围是， 所以扫过的区域是内半径为，外半径为的圆环区域， 又点，其到原点的距离为，则， 所以， 又. 8．已知椭圆C: 的左、右焦点分别为F1，F2 ， P是C上一点，记I，G分别为△PF1F2​的内心和重心，则∣IG∣的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.32 【分析】设，由三角形重心坐标公式可得，由椭圆第二定义，结合圆的切线性质，等面积法可得，据此可得答案. 【详解】由题可得，，准线方程为：. 设，三角形重心坐标公式可得：，则. 如下图作出椭圆的两条准线，过向两条准线做垂线，垂足为. 由椭圆第二定义可得：， 从而， ，则. 如图，作出的内切圆，与各边切点为. 由圆的切线性质可得：， 则， 又注意到，则， 结合，可得. 因表示三角形内心到的距离， 则，其中为三角形内切圆半径. 注意到， 因在x轴同侧，从而，则，注意到， 则 2． 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知，是两个平面，m，n是两条直线，则下列命题不正确的是（   ） A．若∥，m，则m∥ B．若m，n∥m，则n∥ C．若m，n，∥，则m∥n D．若m⊥n，m⊥，n∥，则⊥ 【答案】BCD 【详解】若∥，则平面与平面无公共点， 由，知，直线与平面无公共点，所以∥，所以A正确； 若m，n∥m，则n∥或，所以B错误； 若m，n，∥，则m∥n或异面，所以C错误； 如图，正方体中，，平面，// 平面， 而平面与 平面不垂直，所以D错误. 10．把函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于原点对称，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．在上单调递减 D．当在区间上存在极大值点和极小值点时，实数的取值范围为 【答案】AD 【分析】由三角恒等变换得，再由函数平移后的图象关于原点对称，可求得，从而可得，最后结合选项逐一判断即可. 【详解】因为， 将其向左平移个单位长度后， 得， 因为此函数的图象关于原点对称，所以，则， 又因为，所以，则， 所以函数的最小正周期，故A正确； 令，解得， 所以函数的对称轴为：，所以函数图象不关于直线对称，故B错误； 当时，， 因为在上不单调递减，所以在上不单调递减，故C错误； 当时，，因为在区间上存在极大值点和极小值点， 所以，解得，所以实数的取值范围为，故D正确. 11．若定义在上的函数满足是偶函数，，则（    ） A． B．是奇函数 C．的图象关于直线对称 D． 【答案】ABD 【难度】0.42 【分析】结合题意利用赋值法判断A，利用函数对称性和奇偶性的性质判断B，合理选取反例，进而发现矛盾判断C，求解出周期性，结合赋值法求和判断D即可. 【详解】对于A，∵，∴，故A正确， 对于B，∵是偶函数，∴， ∴函数关于直线对称，∴， ∵，∴，∴是奇函数，故B正确， 对于C，若的图象关于直线对称，则， 但是，，即， 这与假设条件矛盾，故错误； 对于D，∵，∴， ∴,∴的周期为， 将代入，得， 将，代入，得， 同理可知， 又∵的周期为，∴正奇数项的周期为， ∴ ，故正确. 3． 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若均为正数，且，则的最小值为___________． 【答案】 【难度】0.78 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求最值求解. 【详解】， 当且仅当，即时等号成立， 所以，的最小值为. 13．某小区安装人脸识别门禁系统，系统对出入人员仅作出“允许通行”或“禁止入内”两种判断．现对系统进行测试，结果如下：小区业主被判定为“禁止入内”的概率为，外来访客被判定为“允许通行”的概率为．已知进入该小区的人员中，外来访客和小区业主的比为，经测试某人被判定为“允许通行”，则其是小区业主的概率为________． 【答案】 【难度】0.65 【详解】设表示“被检测人员是业主”，表示“被检测人员是外来访客”， 设表示“允许通行”， 已知外来访客和小区业主的比为，则， 小区业主被判定为“禁止入内”的概率为， 则业主被允许通行的概率为，外来访客被判定为“允许通行”的概率为， “允许通行”的概率为： ； ． 14．已知是定义在上的奇函数，当时，，若关于x的方程 恰有4个互不相等的实数根，则实数a的值为________ 【答案】1 【难度】0.4 【分析】对该方程进行因式分解，得到的可能取值，分析时的分段函数图象和性质，再利用奇函数性质得到和时的图象，结合的图象确定的取值. 【详解】由因式分解得： 即或. 是定义在上的奇函数，则； 由题意知当 时， ， 当 时，，则， 当 时，，则， 以此类推，可作出当时时的图象，再由奇函数对称性可得时时的图象，如图所示： 结合图象可知，和的图象有2个交点，即有2个根； 当时，和的图象有2个交点，即有2个根， 结合图象所以，满足原方程恰有4个互不相等的实数根. 4． 解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求角A的大小； (2)若，的面积为，D为的中点，求的长度． 【答案】(1) (2) 【难度】0.72 【分析】（1）方法1：由正弦定理结合恒等变形化简得，再求角即可；方法2：由射影定理得，进而得到，再求角即可； （2）由三角形面积公式可得，再根据余弦定理可得，然后根据向量法求中线长即可． 【详解】（1）解：方法1：∵， ∴， ∵，∴＞0，∴，∴，； 方法2：由射影定理，对任意，有， 代入题干条件得，因为b＞0，所以，又，故． （2）解：由三角形面积公式：代入，解得． 由余弦定理，代得：， 因为D为中点，由向量中线公式：， 两边平方得：，因此． 16.（17分）近年来某用户保持连续增长，若李明收集了年的年份代码与该在线用户数（单位：万）的数据，具体如下表所示： 年份代码 在线用户数（单位：万） (1)求样本相关系数（精确到小数点后两位），并判断变量与之间的线性相关关系的强弱； (2)从年中随机抽取三个不同年份所对应的在线用户数据，记最小的数据为，求的分布列及数学期望． 注：样本相关系数． 【答案】(1)，与之间高度线性相关 (2) 【难度】0.62 【分析】（1）先计算样本相关系数，再判断线性相关性； （2）先计算分布列，再求数学期望． 【详解】（1） ， ， ， ， ， 接近1， 变量与高度线性相关． （2）表示抽取的三个数据的最小值，可能取值为， 从5个数据中任取3个，共种， 时，含的组合数为种，故； 时，不含，含的组合数为种，故； 时，不含，不含，含的组合数为种，故； 的分布列为： 数学期望． 17．（15分）如图，已知平行四边形，是线段上的点，且，为线段中点，现将沿翻折至，使得． (1)若点在线段上，且，证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.52 【分析】（1）在线段上取一点，使得，利用面面平行的判定定理证明所以面面，然后再由面面平行的性质即可证明； （2）首先证明面面，然后作，即可得面，利用体积转化法求出点到平面的距离，最后由线面角的定义求解. 【详解】（1）由题意，在线段上取一点，使得，则 ， 又 ，于是四边形为平行四边形，所以， 面 面，所以面， ，故 面， 面，所以面， 又，面，所以面面 ， 因为面，所以面． （2）， 由余弦定理，即， 故，，由折叠知， 又因为面，，所以面， 面，故面面， 又为正三角形，作 ， 因为面，面面，则面， ，即， 代入，， 解得， ， 设直线与平面所成的角为，则． 18.（17分）已知，函数. (1)若是函数的极小值点，求； (2)若函数存在两个极值点，. （i）求的取值范围； （ii）设点，，证明：存在，且，使得曲线在和处的切线都与直线平行. 【答案】(1) (2)（i）（ii）证明见解析 【难度】0.27 【分析】（1）根据极值点可求的值，注意检验处两侧导数的符号； （2）先求出，并利用韦达定理化简前者得方程，结合根分布可证的存在性. 【详解】（1）依题意，. 因为是的极小值点，所以，得. 此时，当时，；当时，， 所以是函数的极小值点，所以. （2）（i）因为，是的两个极值点， 所以的判别式， 解得或，故的取值范围是. （ii）由（i）可得，， 依题意， ， 令，设函数， 此时，对称轴， 而，故， 又，， 故在存在两个不同的零点，且， 综上，存在，且， 使得曲线在和处的切线都与直线平行. 19．（17分）已知抛物线的焦点F到直线的距离为． (1)求抛物线的方程； (2)点为抛物线上的一点，在上任取一点B（与点A不重合），直线AB与直线l交于点C，过点C作x轴的垂线交抛物线于点D． （i）求证：直线BD恒过定点E，并求出点E的坐标； （ii）过点B和D分别作抛物线的两条切线和和交于点G，证明：． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析，；（ii）证明见解析 【难度】0.32 【分析】（1）利用点到直线的距离求出的值即可求出抛物线的方程； （2）（i）先求出，设，求出直线的方程与直线联立得点横坐标，进而求得与的关系，再写出直线的方程即可； （ii）对求导，得，求出直线方程联立得点坐标，通过计算和即可证明. 【详解】（1）由题意得到直线的距离为， 解得，所以抛物线的方程为． （2）易知，设，则， 故直线，即， 与联立得， 直线，即直线BD的方程为， 又点和点的横坐标相同，，即，即， 所以直线，即， 令即所以恒过． （ii）对求导，得，所以直线的斜率为，所以直线， 即，同理， 联立，得． 又因为，则 ， 所以，同理， 所以， 所以． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三高考模拟试题（三） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知向量，满足，，则，的夹角为（    ） A． B． C． D． 3．已知，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 5．已知圆锥的高是底面半径的2倍，且圆锥的底面半径、体积分别与圆柱的底面半径、体积相等，则圆锥与圆柱的侧面积之比为（   ） A． B． C． D． 6．设，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．已知为坐标原点，为圆的一条弦，弦绕点旋转一周扫过的区域为.若点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知椭圆C: 的左、右焦点分别为F1，F2 ， P是C上一点，记I，G分别为△PF1F2​的内心和重心，则∣IG∣的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2． 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知，是两个平面，m，n是两条直线，则下列命题不正确的是（   ） A．若∥，m，则m∥ B．若m，n∥m，则n∥ C．若m，n，∥，则m∥n D．若m⊥n，m⊥，n∥，则⊥ 10．把函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于原点对称，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．在上单调递减 D．当在区间上存在极大值点和极小值点时，实数的取值范围为 11．若定义在上的函数满足是偶函数，，则（    ） A． B．是奇函数 C．的图象关于直线对称 D． 3． 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若均为正数，且，则的最小值为___________． 13．某小区安装人脸识别门禁系统，系统对出入人员仅作出“允许通行”或“禁止入内”两种判断．现对系统进行测试，结果如下：小区业主被判定为“禁止入内”的概率为，外来访客被判定为“允许通行”的概率为．已知进入该小区的人员中，外来访客和小区业主的比为，经测试某人被判定为“允许通行”，则其是小区业主的概率为________． 14．已知是定义在上的奇函数，当时，，若关于x的方程 恰有4个互不相等的实数根，则实数a的值为________ 4． 解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求角A的大小； (2)若，的面积为，D为的中点，求的长度． 16．（15分）近年来某用户保持连续增长，若李明收集了年的年份代码与该在线用户数（单位：万）的数据，具体如下表所示： 年份代码 在线用户数（单位：万） (1)求样本相关系数（精确到小数点后两位），并判断变量与之间的线性相关关系的强弱； (2)从年中随机抽取三个不同年份所对应的在线用户数据，记最小的数据为，求的分布列及数学期望． 注：样本相关系数． 17．（15分）如图，已知平行四边形，是线段上的点，且，为线段中点，现将沿翻折至，使得． (1)若点在线段上，且，证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 18．（17分）已知，函数. (1)若是函数的极小值点，求； (2)若函数存在两个极值点，. （i）求的取值范围； （ii）设点，，证明：存在，且，使得曲线在和处的切线都与直线平行. 19．（17分）已知抛物线的焦点F到直线的距离为． (1)求抛物线的方程； (2)点为抛物线上的一点，在上任取一点B（与点A不重合），直线AB与直线l交于点C，过点C作x轴的垂线交抛物线于点D． （i）求证：直线BD恒过定点E，并求出点E的坐标； （ii）过点B和D分别作抛物线的两条切线和和交于点G，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $