专题04 图形的相似（期末复习课件）八年级数学下学期鲁教版五四制

这是一份青教版五四制初中数学八年级下学期期末复习课件，围绕“图形的相似”专题，构建“考情分析-必备知识-重难点题型-分层验收”学习支架，涵盖比例线段、相似三角形等核心知识点及多题型解析。 资料以核心素养为导向，通过表格梳理比例性质培养抽象能力，结合黄金分割计算、相似三角形判定等典例发展推理思维，融入测量旗杆等实际问题强化应用意识，分层练习助力因材施教，能帮助学生夯实基础提升解题能力，为教师提供系统复习方案。 八年级下学期学生处于初中几何知识深化阶段，需巩固相似图形的性质与判定等核心内容，为九年级升学考试中的综合几何题积累解题经验，本资料通过系统知识梳理和梯度化训练，帮助学生构建知识网络，提升几何直观与逻辑推理能力。

专题04 图形的相似 八年级数学下学期 期末复习大串讲 鲁教版五四制 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 明•期末考情 第一部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 核心考点 复习目标 考情规律 比例性质与黄金分割 牢记比例的基本性质、合比性质与等比性质，并能灵活运用这些性质进行比例式的变形与计算；理解黄金分割的定义，能解决与黄金分割相关的简单问题 基础考点，多以选择题、填空题形式考查，黄金分割的应用常结合建筑、艺术等实际场景。 平行线分线段成比例 掌握平行线分线段成比例定理及其推论，能结合图形快速识别对应线段，避免因线段对应关系混淆导致错误。 常与相似三角形的判定结合考查，也会单独考查线段比例的计算。 相似三角形的判定与性质 1.能熟练运用相似三角形的判定定理证明两个三角形相似，能根据题目条件灵活选择合适的判定方法，提升几何推理的严谨性。 2. 能灵活运用相似三角形的性质解决计算问题。 核心考点，贯穿各类题型。选择题、填空题中多考查简单判定与性质应用；解答题中多要求先证明相似，再利用性质计算；压轴题中常与其他几何知识结合，考查综合推理能力。 相似三角形的实际应用 能运用相似三角形的知识解决实际问题，能将实际问题转化为几何相似模型，提升数学建模能力。 多以解答题形式考查，常见模型包括“标杆模型”“影子模型”“镜面反射模型”等。 位似图形的性质与坐标变换 掌握位似图形的定义与性质，明确位似是“相似且对应点连线交于一点”的特殊相似关系；能说出位似图形的核心性质；掌握以原点为位似中心的位似图形的坐标变换规律。 热门考点，多以选择题、填空题形式出现。 记•必备知识 第二部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 成比例线段的概念 知识点01 在比例式（即 ）中， a，d称为比例外项，b，c称为比例内项． 特别地，在比例式（即 ）中， b称为a，c的比例中项，满足 ． 1．比例的项： 2．成比例线段： 四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即 ， 那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段． 比例的性质 知识点02 比例的性质 示例剖析 （1）基本性质： （2）反比性质： （3）更比性质： 或 （4）合比性质： （5）分比性质： ） （6）合分比性质： ） （7）等比性质： 已知，则当 时， 黄金分割 知识点03 如图，若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点， ， AC与AB的比叫做黄金比． （注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．） 其中： AC是AB和BC的比例中项 平行线分线段成比例定理 知识点04 两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理 平行线分线段成比例定理： 所得的对应线段成比例的有: … 上 上 下 下 全 全 对应线段成比例可用语言形象表示 平行线分线段成比例定理的推论 知识点05 推论： 平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． 如果EF//BC，则 ． 注意：对于一般形式的平行线分线段成比例的逆定理不成立， 反例：任意四边形中一对对边的中点的连线与剩下两条边，这三条直线满足分线段成比例，但是它们并不平行． 若 或 或 ， 则有 EF//BC． 相似三角形的判定 知识点07 判定定理   判定定理1： 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似． 简称为两角对应相等，两个三角形相似． 如图，如果 ， 则． 判定定理2： 如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似． 简称为三边对应成比例，两个三角形相似． 如图，如果 ， 则 ． 判定定理3： 如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似． 简称为两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似． 如图，如果 ， 则 ． 相似三角形的性质 知识点08 ①相似三角形的对应角相等． 如图，，则有． ②相似三角形的对应边成比例． 如图， ，则有（ 为相似比）． ③相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比 如图， ，，和AD是 中边上的中线、高线和角平分线， 和 是 中 边上的中线、高线和角平分线， 则有 ④相似三角形周长的比等于相似比．如图， ，则有 ⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方．如图， ， 则有： 位 似 图 形 知识点09 3、画图步骤： 1、定义： 一般的，如果两个相似多边形任意一组对应顶点, 所在的直线都经过同一点，且有 ，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点 叫做位似中心 2、性质： 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比 （2）坐标法： 在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘于同一个数，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为 （1）尺规作图法： ① 确定位似中心； ②确定原图形中的关键点关于中心的对应点； ③描出新图形 破•重难题型 第三部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 比例性质与黄金分割 题型一 【典例1-1】（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 解：， 设，，其中， ． A 比例性质与黄金分割 题型一 【典例1-2】（25-26九年级上·全国·期末） 把长的线段进行黄金分割，则分成的较短线段的长为（   ） A． B． C． D． 解：线段全长， 黄金分割后较长线段的长为 ， 较短线段的长为． A 【典例1-3】（24-25九年级上·浙江衢州·期末） 已知线段，若线段是线段和的比例中项，则线段的长为 ． 解：∵线段是线段和的比例中项， ∴， ∴（线段长度取正值）． 4 比例性质与黄金分割 题型一 【典例1-4】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）在比例尺为的某地旅游地图上，经测量景点与景点相距约，则这两景点实际距离约 ． 解：设这两景点实际距离为， ， 解得， ， 60 比例性质与黄金分割 题型一 【变式1-1】（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）已知按顺序排列的四条线段是成比例线段，其中，则（   ） A． B． C． D． 解：根据题意，线段，，，是成比例线段， 且，，， 则有，即， 解得． C 比例性质与黄金分割 题型一 【变式1-2】（25-26九年级上·河南平顶山·期末） 若，，则 ． 解：∵， ∴可设公共比值为， 则，，， ∴． 比例性质与黄金分割 题型一 【变式1-3】（25-26九年级上·全国·期末）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为 ． 解：∵P为的黄金分割点， 且的长度为， ∴， 即， 比例性质与黄金分割 题型一 【变式1-4】（25-26九年级上·浙江温州·期末）已知，满足， (1)求的值； (2)若且线段是长为，的线段的比例中项，求线段的长． （1）解：设， 则，， ∴； （2）解：由（）得，， ∵， ∴， ∴，，， ∵线段是线段，的比例中项， ∴， ∴（负值已舍去）． 20 平行线分线段成比例 题型二 【典例2-1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，直线与交于点，，若，则 的值为（    ） A． B． C． D． 解：∵， ∴， ∴， ∴． D 平行线分线段成比例 题型二 【典例2-2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，直线，直线和被、、所截．如果，，，求的长． 解：∵， ∴． 把，，代入， 得， 解得：． 平行线分线段成比例 题型二 【变式2-1】（25-26九年级上·江西·期末）如图，已知和是的中点，是的中点，，求的值． 解：，， ， ， ，是的中点， ， ， ， ． 平行线分线段成比例 题型二 【变式2-2】（24-25九年级上·贵州铜仁·期末） 如图，． (1)直接填空；的值为______，的值为______； (2)若，求和的长． （1）解： ∵ ， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 平行线分线段成比例 题型二 【变式2-3】（25-26九年级上·河南平顶山·期末） （1）如图1，在中，D、E分别在边上，且满足，，则______； （2）问题探究：如图2，，连接，如果刚好平分，求证：； （3）结论应用：如图3，已知中，平分，并且，求的值．   解：（1）∵， ∴， ∴， 平行线分线段成比例 题型二 【变式2-3】（25-26九年级上·河南平顶山·期末） （1）如图1，在中，D、E分别在边上，且满足，，则______； （2）问题探究：如图2，，连接，如果刚好平分，求证：； （3）结论应用：如图3，已知中，平分，并且，求的值．   （2）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴； 平行线分线段成比例 题型二 【变式2-3】（25-26九年级上·河南平顶山·期末） （1）如图1，在中，D、E分别在边上，且满足，，则______； （2）问题探究：如图2，，连接，如果刚好平分，求证：； （3）结论应用：如图3，已知中，平分，并且，求的值．   （3）解：如图，过点作于点，过点作于点，  ∵平分， ∴， ∵，∴， ∴， ∴． E ∟ F ∟ 相似三角形的判定与性质 题型三 【典例3-1】（23-24九年级上·甘肃兰州·期末）两个相似三角形的面积比是，那么它们的周长比是（    ） A． B． C． D． 解：∵两个相似三角形的面积比是， ∴两个相似三角形的周长比为； B 相似三角形的判定与性质 题型三 【典例3-2】（24-25九年级上·甘肃酒泉·期末） 如图，已知，P是上一点，连接，要使，只需添加条件 ．（只要写出一种合适的条件） 解：由题意得：， ∴若添加时， 则可根据“两组角对应相等的两个三角形相似”判定； 若添加时， 则可根据“两组角对应相等的两个三角形相似”判定； 若添加（）时， 则可根据“两组对应边成比例且它们的夹角也相等的两个三角形相似”判定； 故答案为（答案不唯一）． 相似三角形的判定与性质 题型三 【典例3-3】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，为的对角线，若点E、F分别是边上的点，连接，若，．求证：． 证明：四边形是平行四边形， ， ， 又， ， ， ， ． 相似三角形的判定与性质 题型三 【典例3-4】（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平行四边形中，，点E在上（点E不与点A重合，），点F在上，且．  (1)如图1，求证：； (2)如图2，点P在上，且，过点P作，分别交于点M，Q，延长，交延长线于点N． ①求证：； ②若，求的面积． （1）证明：∵，， ∴为等边三角形，∴， ∵中，，∴， ∵， ∴， ∴． 相似三角形的判定与性质 题型三 【典例3-4】（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平行四边形中，，点E在上（点E不与点A重合，），点F在上，且．  (1)如图1，求证：； (2)如图2，点P在上，且，过点P作，分别交于点M，Q，延长，交延长线于点N． ①求证：； ②若，求的面积． （2）①∵中，， ∴， ∵，∴， ∵，∴， ∵， ∴； 相似三角形的判定与性质 题型三 【典例3-4】（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平行四边形中，，点E在上（点E不与点A重合，），点F在上，且． ②若，求的面积． ②过点C作，延长交于点H， 交于点G，作，如图所示： 由（1）得，平行四边形， ∴、均为等边三角形， ∴， ， 由（1）得， ∴， ∴， 由①得，∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，∴， ∴，∴， ∵，∴， ∴，∴， ∵，， ∴，∴， ∴，∴， ∴的面积为： ． 相似三角形的判定与性质 题型三 【变式3-1】（24-25九年级上·江苏无锡·期末） 若两个相似三角形面积之比为，则它们的相似比为 ． 解：∵两个相似三角形面积之比为， ∴它们的相似比为； 相似三角形的判定与性质 题型三 【变式3-2】（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，在中，P是上一点，连接，要使，则只需添加一个适当的条件是 ．（只填一种情况即可） 解：由题意得，， 若添加条件， 则有，符合题意； 若添加条件， 则有，符合题意； 若添加条件， 则有，符合题意； 添加的条件可以是或或（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 相似三角形的判定与性质 题型三 【变式3-3】（23-24九年级上·湖南怀化·期末）如图1，在中，，，．点沿边从点向终点以的速度移动；同时点沿边从点向终点以的速度移动，且当一个点到达终点时，另一个点也随之停止移动． (1)点出发几秒后，的面积为面积的； (2)经过几秒后，以为顶点的三角形与相似？ (3)如图2，为上一点，且，当运动时间为多少时，？ （1）解：设经过秒后的面积为面积的， 其中，由题意知，，， ∴， ∴． 答：点出发秒后，的面积为面积的． 相似三角形的判定与性质 题型三 【变式3-3】（23-24九年级上·湖南怀化·期末）如图1，在中，，，．点沿边从点向终点以的速度移动；同时点沿边从点向终点以的速度移动，且当一个点到达终点时，另一个点也随之停止移动． (1)点出发几秒后，的面积为面积的； (2)经过几秒后，以为顶点的三角形与相似？ (3)如图2，为上一点，且，当运动时间为多少时，？ （2）解：设经过秒后，以为顶点的三角形与相似， 其中， 当时， 则有， ∴，∴． 当时， 则有， ∴，∴． 答：经过秒或秒后，以为顶点的三角形与相似． 相似三角形的判定与性质 题型三 【变式3-3】（23-24九年级上·湖南怀化·期末）如图1，在中，，，．点沿边从点向终点以的速度移动；同时点沿边从点向终点以的速度移动，且当一个点到达终点时，另一个点也随之停止移动． (3)如图2，为上一点，且，当运动时间为多少时，？ ∟ （3）解：如图，过点作，连接， ∵，∴是等腰三角形， ∵，∴, ∵，∴， ∴，， 在中，，， ∴，∴， 设，则，， 在中，， 即， 解得， ∵，， ∴， ∴，即， 解得． 答：当运动时间为时，． 38 相似三角形的判定与性质 题型三 【变式3-4】（25-26九年级上·全国·期末）【问题背景】折纸是一种许多人熟悉的活动，将纸片的一边二等分、四等分都是比较容易做到的，但将一边三等分就不是那么容易了．近些年，经过人们的不懈努力，已经找到了多种将正方形纸片一边三等分的精确折法．综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 操作过程及内容如下（如图）． 操作：将正方形对折，使点与点重合，点与点重合，再将正方形展开，得到折痕； 操作：再将正方形纸片的右下角向上翻折，使点与点重合，边翻折至的位置，得到折痕，与相交于点．则为的三等分点，即． 【解决问题】 （1）在图中，若与相交于点，连接，求证：四边形是菱形； （2）请在图中证明； 【发现感悟】若为正方形纸片的边上的任意一点，重复“问题背景”中操作的折纸过程，请你思考并解答如下问题： （3）如图，若，则 ；若，则 （用含的式子表示） 相似三角形的判定与性质 题型三 （1）证明：由折叠可得，， ，四边形是矩形， ∴，∴， ∴， ∴，∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； 【变式3-4】（25-26九年级上·全国·期末）【问题背景】折纸是一种许多人熟悉的活动，将纸片的一边二等分、四等分都是比较容易做到的，但将一边三等分就不是那么容易了． 【解决问题】 （1）在图中，若与相交于点，连接，求证：四边形是菱形； 相似三角形的判定与性质 题型三 【变式3-4】（25-26九年级上·全国·期末）【问题背景】折纸是一种许多人熟悉的活动，将纸片的一边二等分、四等分都是比较容易做到的，但将一边三等分就不是那么容易了． 【解决问题】（2）请在图中证明； （2）证明：设正方形的边长为1，，则，， 在中，由勾股定理可得：， 即，解得， ∴，， 由折叠知：， ∴，， ∴， 又∵，∴， ∴，即，解得， ∴， ∴； 41 相似三角形的判定与性质 题型三 【变式3-4】（25-26九年级上·全国·期末）【问题背景】折纸是一种许多人熟悉的活动，将纸片的一边二等分、四等分都是比较容易做到的，但将一边三等分就不是那么容易了． 【发现感悟】若为正方形纸片的边上的任意一点，重复“问题背景”中操作的折纸过程，请你思考并解答如下问题： （3）如图，若，则 ； （3）①解：设正方形的边长为1， ，则，， ∵， ∴，， 在中，由勾股定理可得： ， 即，解得， 即， ∴， ∵，∴，∴， 解得，∴； 相似三角形的判定与性质 题型三 【变式3-4】（25-26九年级上·全国·期末）【问题背景】折纸是一种许多人熟悉的活动，将纸片的一边二等分、四等分都是比较容易做到的，但将一边三等分就不是那么容易了． 【发现感悟】若为正方形纸片的边上的任意一点，重复“问题背景”中操作的折纸过程，请你思考并解答如下问题： （3）如图，若，则 （用含的式子表示） ②解：设正方形的边长为1， ，则，， ∵， ∴，， 在中，由勾股定理可得： ， 即， 解得， 即， ∴， ∵，∴， ∴，解得， ∴． 相似三角形的判定与性质 题型三 【变式3-5】（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）问题情境： （）综合与实践课上，老师让每个小组准备了一张矩形纸片，其中，．如图，把矩形绕点逆时针旋转得到矩形纸片，点的对应点为，，，如图，连接，当在的延长线上时，延长，交于点．判断与的数量关系并说明理由． 数学思考： （）老师将矩形纸片绕点逆时针方向再次旋转，并让同学们提出新的问题． ①“爱数小组”提出问题：如图，当点落在上时，连接，取的中点，连接、，求的长．请你解答此问题 ②“好学小组”提出问题：如图，当点落在上时，连接，求的面积．请你解答此问题． 相似三角形的判定与性质 题型三 解：（1），理由如下： 连接，∵四边形是矩形， ∴， ，，， ∵， ∴， ∴， 由旋转得，，， ∴，， ∴， 【变式3-5】（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）问题情境： （）综合与实践课上，老师让每个小组准备了一张矩形纸片，其中，．如图，把矩形绕点逆时针旋转得到矩形纸片，点的对应点为，，，如图，连接，当在的延长线上时，延长，交于点．判断与的数量关系并说明理由． ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； 相似三角形的判定与性质 题型三 （2）①如图，连接，  ∵，，， ∴， 由旋转得，，， ∵， ∴， 即， ∴， ∵点是的中点， ∴； （）老师将矩形纸片绕点逆时针方向再次旋转，并让同学们提出新的问题． ①“爱数小组”提出问题：如图，当点落在上时，连接，取的中点，连接、，求的长．请你解答此问题 【变式3-5】（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）数学思考： 相似三角形的判定与性质 题型三 （）老师将矩形纸片绕点逆时针方向再次旋转，并让同学们提出新的问题． ②“好学小组”提出问题：如图，当点落在上时，连接，求的面积．请你解答此问题． 【变式3-5】（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）数学思考： E ∟ H ∟ ②如图，过点作于，于， 设与相交于点，则，  ∵， ，，， ∴，∴， ∵， ∴， ∴， 相似三角形的判定与性质 题型三 （）老师将矩形纸片绕点逆时针方向再次旋转，并让同学们提出新的问题． ②“好学小组”提出问题：如图，当点落在上时，连接，求的面积．请你解答此问题． 【变式3-5】（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）数学思考： E ∟ H ∟ 由旋转得，，，， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 相似三角形的判定与性质 题型三 （）老师将矩形纸片绕点逆时针方向再次旋转，并让同学们提出新的问题． ②“好学小组”提出问题：如图，当点落在上时，连接，求的面积．请你解答此问题． 【变式3-5】（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）数学思考： E ∟ H ∟ ∴，即， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 相似三角形的实际应用 题型四 【典例4-1】（24-25九年级上·河南开封·期末）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小颖同学把镜子放在离旗杆适当距离的水平地面上，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到恰好可以在镜子里看到旗杆的顶端．已知小颖的眼睛离地面的高度为，同时量得小颖与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（   ） A． B． C． D． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， D 相似三角形的实际应用 题型四 【典例4-2】（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，左右并排的两颗大树的高分别为，，两树底部的距离，点与树的根部点，点在一条直线上，，小颖估计自己的眼睛（点）离地面，她从点出发沿方向前进到点时，恰好看不到树顶，则的长为 ．   解：作于Q，交于P，  ∴， ， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． P ∟ Q 相似三角形的实际应用 题型四 【典例4-3】（24-25九年级上·甘肃嘉峪关·期末）如图为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点为A，再在河的这一边选点B和C，使，然而再选点E，使，确定与的交点为D，测得，，，你能求出两岸之间的大致距离吗？ 解：， ∴， ， ， 即， 米， 答：两岸之间的大致距离是 150 米． 相似三角形的实际应用 题型四 【变式4-1】（23-24九年级下·山东烟台·期末）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门一百步立一表，出西门二百二十五步适可见之，问邑方几何？”它的意思是：如图，M，N分别是正方形的边，的中点，，，过点A，且步，步，那么该正方形城邑边长约为（    ）步．  A．300 B．250 C．225 D．150 解： ，， ， 正方形中，， 过点， ，则， ， ， 分别是正方形的边的中点，设， A ， 步，步， ，即， 解得负舍去值， 正方形城邑边长步， 相似三角形的实际应用 题型四 【变式4-2】（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如图所示，李明打网球时，球恰好打过网，且落在离网的位置上，则李明击球的高度h为 ． 解：如图，由题意得： ，  ∴，， ∴， ∴，即， 解得， 相似三角形的实际应用 题型四 【变式4-3】（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，为了测量一栋楼的高度，嘉嘉同学在她脚下放了一面镜子，然后向后退，直到她刚好通过光的反射在镜子中看到楼的顶部，已知嘉嘉身高是，她的眼睛（点K）距地面，同时量得，．  (1)若，则 ； (2)求这栋楼的高度． （1）解：由光的反射定律可知； （2）解：由题意得，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， 答：这栋楼的高度为． 位似图形的性质与坐标变换 题型五 【典例5-1】（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，以原点为位似中心，将放大为原来的倍，得到，则的重心坐标是（    ）   A． B． C．或 D．或 解：如图，为的两条中线，相交于点D， 则为的重心，， ，， ， ，， ，， 以原点O为位似中心，将放大为原来的2倍，得到， 的重心坐标是或． D D 位似图形的性质与坐标变换 题型五 【典例5-2】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，在每个小正方形边长为1个单位长的网格中，建立平面直角坐标系，点均在格点上．  (1)请在该网格内部画出，使其与关于点成位似图形，且位似比为； (2)求出的面积． （1）解：如图所示，为所求三角形；   （2）解：的面积为其三个顶点所在矩形面积与三个直角三角形面积的差， 即： ． 位似图形的性质与坐标变换 题型五 【变式5-1】（25-26九年级上·湖南娄底·期末）如图，与位似，点为位似中心，若，则（　　）   A． B． C． D． 解：∵与是以点O为位似中心的位似图形，， ∴与位似比为， 与相似，相似比为， ∴， B 位似图形的性质与坐标变换 题型五 【变式5-2】（25-26九年级上·全国·期末）如下图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，其中点的坐标为，正方形的边在轴上，且点的坐标为．则正方形与正方形的位似中心的坐标是 ． 解：∵点的坐标为，点的坐标为． ∴正方形的边长为2，正方形的边长为4， ∴，，，． 分以下两种情况讨论： ①如图①，连接并延长交轴于点，则点为位似中心． 设直线解析式为，可得： ，解得：。 ∴， 当时，，即点. 正方形与正方形的位似中心的坐标是； 位似图形的性质与坐标变换 题型五 【变式5-2】（25-26九年级上·全国·期末）如下图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，其中点的坐标为，正方形的边在轴上，且点的坐标为．则正方形与正方形的位似中心的坐标是 ． 解：∵点的坐标为，点的坐标为． ∴正方形的边长为2，正方形的边长为4， ∴，，，． 分以下两种情况讨论： ②如图②，连接，交于点． 由题意，得，，，． 易求出直线的表达式为， 直线的表达式为． 联立解得． 点的坐标为， 正方形与正方形的位似中心的坐标是． 或 综上所述，正方形与正方形的位似中心的坐标为或． 位似图形的性质与坐标变换 题型五 【变式5-3】（25-26九年级上·广东揭阳·期末）如图， 的三顶点分别为，，．  (1)请画出一个以原点为位似中心，且与相似比为的位似图形 （只画出一种情况）； (2)比较两个图形对应点的坐标，你能发现什么； (3)根据（1）中条件，直接写出与的面积比． （1）解：如图， 就是所求的三角形 （2）解：各顶点的坐标为，，， 发现： 各顶点的横坐标、纵坐标是对应顶点横坐标、纵坐标的． （3）解：由（1）可知， 与相似比为， 相似三角形的面积比等于相似比的平方， 与的面积比为． 过•分层验收 第四部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 期末基础通关练 1．（24-25九年级上·山东临沂·期末）如图，点在的边上，要判断，添加一个条件，不正确的是（   ） A． B． C． D． C 解：A、当且，故， 此选项正确，但不符合题意； B、当且，故， 此选项正确，但不符合题意； C、当时，无法得到，此选项错误，但符合题意； D、当，即，且，故， 此选项正确，但不符合题意． 期末基础通关练 2．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的坐标为，点的坐标为的面积为3，则的面积的值为 ． 解：作轴于点，轴于点，如图： ∵点的坐标为，点的坐标为 ∴， ∴，， ∴与的相似比， ∴，即， ∴， 期末重难突破练 3．（25-26九年级上·河南平顶山·期末）在中，是高，矩形的顶点P、N分别在上，在边上，若，，且，则的长为（    ） A． B． C． D． 解：∵四边形是矩形， ∴ ， ， ∴， ∴， ∵， ∴，四边形是矩形， ∴， B 设，则： ， ． ∵， ∴， 解得． ∴， 期末重难突破练 4．（25-26九年级上·江苏连云港·期末）如图1，在矩形中，，是边上的一个动点，，交于点，设，，图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象，则的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 A 解：矩形， ， ， ，， ． ， ． ． ， ， 设， 则：， 整理得， 由图象可知，关于的函数图象经过， 代入得， ， ， ． 期末重难突破练 5．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫作比例三角形．(1)已知是比例三角形，，，请直接写出所有满足条件的的长；(2)如图1，在四边形中，，对角线平分，，求证：是比例三角形； 解：（1） ①当时，， ， ，（成立）； ②当时，， ，（成立）； ③当时，， ，（成立）； 综上所述，满足条件的的长为或9或； 期末重难突破练 5．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫作比例三角形．(1)已知是比例三角形，，，请直接写出所有满足条件的的长；(2)如图1，在四边形中，，对角线平分，，求证：是比例三角形； ， ， ，， ， ， 即， ， ， 平分， ， （2）证明： ， ， ， 是比例三角形． 期末综合拓展练 6．（25-26九年级上·全国·期末）图，在正方形中，G为边上一个动点(点G不与点D重合)，连接交对角线于点E，将线段绕点C逆时针旋转90°得到，连接交于点N，则①；②；③；④若，则；以上结论正确的有（     ） A．①②③ B．②③④ C．①②③④ D．①②④ 解：∵四边形是正方形， ∴， ∵线段绕点C逆时针旋转90°得到， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故①是正确的； 期末综合拓展练 6．（25-26九年级上·全国·期末）图，在正方形中，G为边上一个动点(点G不与点D重合)，连接交对角线于点E，将线段绕点C逆时针旋转90°得到，连接交于点N，则①；②；③；④若，则；以上结论正确的有（     ） A．①②③ B．②③④ C．①②③④ D．①②④ ∵四边形是正方形， ∴， ∵线段绕点C逆时针旋转得到， ∴， 则 ， 故②是正确的； 期末综合拓展练 6．（25-26九年级上·全国·期末）图，在正方形中，G为边上一个动点(点G不与点D重合)，连接交对角线于点E，将线段绕点C逆时针旋转90°得到，连接交于点N，则①；②；③；④若，则；以上结论正确的有（     ） A．①②③ B．②③④ C．①②③④ D．①②④ ∵， ∴，， ∵， ∴ ， ∵， ∴，∴， ∵， 即， ∴ ， ∴，故③是正确的； 期末综合拓展练 6．（25-26九年级上·全国·期末）图，在正方形中，G为边上一个动点(点G不与点D重合)，连接交对角线于点E，将线段绕点C逆时针旋转90°得到，连接交于点N，则①；②；③；④若，则；以上结论正确的有（     ） A．①②③ B．②③④ C．①②③④ D．①②④ ∵，∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，则， 在中， ， 则， ∵是等腰直角三角形， 则， ∴， 故④是正确的． C 解：如图，过点F作于点M，过点E作，且，连接， 则四边形为平行四边形，∴， ∴， ∴当A，G，H三点共线时， 取得最小值，最小值为的长， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴，； ∵，， ∴四边形是矩形， 期末综合拓展练 7．（25-26九年级上·广东揭阳·期末）如图，在矩形中，，E为上一点，且，连接，F，G分别为上的点，连接．若，则的最小值为 ． ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，∴， M ∟ 期末综合拓展练 8．（25-26九年级上·山东·期末）如图，中，，，．点D从点A出发沿折线运动到点B停止，过点D作，垂足为E．设点D运动的路径长为x，的面积为y，若y与x的对应关系如图所示，则的值为 ． 解：在中，由勾股定理得， ， 当点在上时， ，， ， 又， ， ， 即， ， ， ， 当时，， 期末综合拓展练 8．（25-26九年级上·山东·期末）如图，中，，，．点D从点A出发沿折线运动到点B停止，过点D作，垂足为E．设点D运动的路径长为x，的面积为y，若y与x的对应关系如图所示，则的值为 ． 如图，当点在上时， ，， ， 又， ， ， 即， ， ， 当时， ， ． 期末综合拓展练 9．（24-25九年级上·山西大同·期末）综合与实践 数学兴趣小组发现：一些含有两条互相垂直的线段的图形中，某些线段之间存在特殊的数量关系．他们进行了如下探究．  (1)猜想证明 如图（1），在正方形中，点，，，分别在边，，，上，且，请判断和的数量关系，并加以证明． (2)迁移探究 如图（2），在中，，，点，分别在边，上，且，求证：． (3)拓展应用 如图（3），在矩形中，，，平分交于点，点为上一点，交于点，交矩形的边于点．当时，请直接写出的长． 期末综合拓展练 9．（24-25九年级上·山西大同·期末）综合与实践 数学兴趣小组发现：一些含有两条互相垂直的线段的图形中，某些线段之间存在特殊的数量关系．他们进行了如下探究．  (1)猜想证明 如图（1），在正方形中，点，，，分别在边，，，上，且，请判断和的数量关系，并加以证明． （1）解：，证明如下： 过点作于点，过点作于点，如图所示： 则，在正方形中， ， 四边形，四边形是矩形， ∴， 设交于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴； 期末综合拓展练 9．（24-25九年级上·山西大同·期末）综合与实践 数学兴趣小组发现：一些含有两条互相垂直的线段的图形中，某些线段之间存在特殊的数量关系．他们进行了如下探究．   (2)迁移探究 如图（2），在中，，，点，分别在边，上，且，求证：． （2）证明：过点作交的延长线于点，如图所示： ∵，∴， ∵，， ∴，∴， ，， ∴，∴， 又∵，∴； 期末综合拓展练 9．（24-25九年级上·山西大同·期末）综合与实践 数学兴趣小组发现：一些含有两条互相垂直的线段的图形中，某些线段之间存在特殊的数量关系．他们进行了如下探究．   (3)拓展应用 如图（3），在矩形中，，，平分交于点，点为上一点，交于点，交矩形的边于点．当时，请直接写出的长． （3）解： 过点作交于点，如图所示： ，， ，， ， ∴，， ，， ∴，∴， ． 感谢聆听 每天解决一个小问题，每周攻克 一个薄弱点，量变终会引发质变。 教师寄语 $