带电粒子在复合场中的运动 专项训练 -2025-2026学年高二下学期期末物理复习

**基本信息** 聚焦带电粒子在复合场中的运动，以几何关系分析、场力平衡、运动分解为核心方法，系统整合电场加速、磁场偏转等知识，培养科学思维与模型建构能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |几何关系与轨道半径|题1、6|洛伦兹力提供向心力，结合几何关系求半径|从向心力公式推导轨道半径，关联动能定理实现电场与磁场量的转化| |场力平衡与匀速运动|题2、3|电场力与洛伦兹力平衡条件，临界速度分析|通过力的平衡建立E、B、v关系，体现运动和相互作用观念| |运动合成与分解|题1、5|将曲线运动分解为匀速直线与圆周运动|基于运动的独立性原理，整合运动学公式与周期公式| |临界条件分析|题4、8|极值问题中轨迹相切、边界限制的几何处理|通过临界状态构建物理模型，培养科学推理与论证能力|

高二下期末复习-带电粒子在复合场中的运动 1.如图所示，在坐标系，区域内充满垂直纸面向里，磁感应强度大小为的匀强磁场。磁场中放置一长度为的挡板，其两端分别位于、轴上、两点，，挡板上有一小孔位于中点。之外的第一象限区域存在恒定匀强电场。位于轴左侧的粒子发生器在与等高的范围内可以产生比荷为无初速度的带正电粒子。粒子发生器与轴之间存在水平向右的匀强加速电场，加速电压大小可调，粒子经此电场加速后进入磁场，挡板厚度不计，粒子可沿任意角度穿过小孔，碰撞挡板的粒子不予考虑，不计粒子重力及粒子间相互作用力。已知， 求使粒子垂直挡板射入小孔的加速电压； 调整加速电压，当粒子以最小的速度从小孔射出后恰好做匀速直线运动，求第一象限中电场强度的大小和方向； 在中的电场强度情况下，求当粒子垂直挡板射入小孔，进入电磁复合场后，运动过程中距离轴最远的右侧距离及再次到达轴所用的时间。角度可用反三角函数表示 2.光电倍增管可将光信号转化为电信号并逐级放大。现只研究其第、倍增极，其结构如图所示。两倍增极平行且长度均为，垂直距离为，过第倍增极右端作垂线与第倍增极延长线交于点，到第二倍增极左端的距离为。当入射光照射到第倍增极的上表面时，逸出大量速度不同的光电子，在空间加垂直纸面的匀强磁场，可使更多的光电子打到第倍增极的上表面，从而激发出更多的电子，实现信号放大。已知第倍增极金属的逸出功为，入射光的光子动量为，光电子电荷量为、质量为，普朗克常量为，真空中的光速为，仅考虑光电子在纸面内运动，倍增级间电势差引起的电场可忽略，不计光电子的重力。 求从第倍增极的上表面逸出光电子的最大动量。 若施加垂直纸面方向的匀强磁场未画出，仅考虑从第倍增极的上表面垂直逸出，且初动能为的光电子，为确保有光电子到达第倍增极的上表面，求： 匀强磁场的方向“垂直纸面向内”或“垂直纸面向外”； 磁感应强度的大小范围。 磁感应强度大小恒为，距离介于之间，求初动能为的光电子从第倍增极上表面到达第倍增极上表面的最长时间。 3.如图所示，Ⅰ区两块足够大平行金属板竖直正对放置，板接地，板电势为，板中心有一小孔；Ⅱ区为一水平通道，两端各有小孔和，通道内充满竖直向下的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，电场强度大小为，磁感应强度大小为；Ⅲ区为磁场区，竖直边界右侧充满垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小可调，一长为收集板水平放置在图中位置，、、、均位于同一水平线上。现用频率为的单色光照射截止频率为的金属板，有电子从板逸出，电子的质量为，电荷量为。不计电子重力及电子间的相互作用，电子打在收集板上被吸收且被即时导走。 求从射出电子的动能的范围； 从射出的电子分布在一顶角为的圆锥内，求； 若进入水平通道后，只有做直线运动的电子才能通过进入Ⅲ区，单位时间内进入Ⅲ区的电子数为，讨论电子束对收集板垂直冲击力大小与磁感应强度大小的关系。 4.某离子控制装置如图所示，圆心、半径的圆形区域内有垂直纸面向外的匀强磁场未画出，原点处的离子源在如图所示角度范围内持续均匀发射离子，发射离子的质量、电量、速度。在的处有一长的挡板垂直于轴，所有离子均垂直击中挡板并以原速率反弹。在延长线的右侧有水平向右的匀强电场，电场强度为，在处有一足够长与轴垂直的荧光屏，荧光屏被离子击中会发光。不考虑电场边缘效应和离子之间相互作用，求： 磁感应强度大小； 离子击中挡板的范围； 若离子源单位时间内发射的总离子数为，求挡板上纵坐标范围所受冲击力大小； 荧光屏上亮线的长度。 5.如图所示，为研究带电粒子在电场和磁场中的运动情况，在纸面内建立坐标系。在第二象限存在沿轴负方向、场强大小为的匀强电场。在该电场区域内存在一连续分布的曲线状离子源如图虚线所示，它们可沿轴正方向持续发射质量均为、电荷量均为、速度大小均为的离子，且离子源纵坐标的区间为。在轴的下方存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，在该磁场区域内有一足够长的探测板平行轴放置，它与轴的距离可调。已知所有离子均能经过坐标原点并射入磁场区域，速度大小为的离子在磁场中做圆周运动的半径为，不计离子重力及离子间相互作用力。 求经过点的最大速度的大小； 若，求离子打在探测板上的区域长度； 若离子源发射的离子按坐标均匀分布，求探测板的收集率与的函数关系关系式中字母仅含、。 6.碳是碳的一种同位素，具有放射性．如图甲是一个粒子检测装置的示意图，图乙为其俯视图，粒子源释放出经电离后的碳与碳原子核初速度忽略不计，经直线加速器加速后由通道入口的中缝进入通道，该通道的上下表面是内半径为、外半径为的半圆环，磁感应强度为的匀强磁场垂直于半圆环，正对着通道出口处放置一张照相底片，能记录粒子从出口射出时的位置．当直线加速器的加速电压为时，碳原子核恰好能击中照相底片的正中间位置，则： 碳具有放射性，会发生衰变，请写出它的衰变方程，并计算碳原子核的比荷； 照相底片上碳与碳原子核所击中位置间的距离结果用根号表示； 若加速电压在之间变化，求碳原子核在磁场中运动的最短时间。 7.图为某装置竖直截面。电子源可持续发射初速度不计的电子，电子经平行板电容器加速后，沿方向进入半径为的薄壁空心圆筒。圆筒内存在垂直纸面向里、大小为的匀强磁场，孔与圆心等高，孔为最低点。圆筒下方水平放置一接地且足够大的探测板，电子撞击探测板后被吸收。已知电子电荷量为，质量为，电子源单位时间内发射的电子数为。 调节、两板的电压至未知，电子恰从点离开圆筒。 哪块板的电势高板或板？ 电压为多大？ 电子对探测板的冲击力为多大？ 事实上，两板间的电压在至内波动、为已知量，且。若要所有电子均可离开圆筒，需将孔扩大为孔，如图所示。求的最小值。你可能会用到的数学关系有：若，则、 8.真空中某种粒子检测装置如图所示，在平面内的点有一粒子源，仅在平面内均匀地向各个方向发射速率均为的带正电的粒子，粒子的总数为，粒子的质量为，电荷量为。在轴上方存在垂直纸面的匀强磁场，其他区域无磁场。在轴上放置有长度为的收集板厚度不计，收集板下端与坐标原点重合，粒子打到收集板左右两侧均可被收集。已知速度方向为向右上方与竖直方向成射出的粒子恰好能垂直打到收集板右侧最下端，。求： 匀强磁场的方向及大小； 粒子能打到轴上离点的最远距离； 收集板上能收集到粒子数。 9.如图为研究光电效应装置示意图，该装置可用于分析光子的信息。在平面纸面内，垂直纸面的金属薄板、与轴平行放置，板中间有一小孔。轴上方存在垂直平面向内、磁感应强度大小为的匀强磁场，轴上有可移动的探测器。当频率为的光照射板时，光电子逸出后经极板间电压为加速板间电场视为匀强电场。已知电子质量为、电荷量为，板的逸出功为，普朗克常量为。忽略电子的重力及电子间的作用力。求 逸出光电子的最大初动能； 光电子从点射出时的速度的大小范围； 处的探测器接收到的光电子，从点射出沿轴的分速度； 能探测到光电子，探测器移动范围。 10.如图所示是某离子喷涂装置示意图，该装置由平行板加速器、偏转磁场、喷涂板三部分组成。加速器长为，加速电压的大小可连续调节，以加速器上极板离子出射孔为原点建立平面直角坐标系，上极板位于轴上，喷涂板长也为，沿轴放置且厚度不计，加速器右端与喷涂板左端相距，轴上方存在垂直纸面向外的匀强磁场，轴下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为，范围足够大，加速器内部无磁场。离子源产生初速度可视为零、质量为、电荷量为的正离子。离子加速后，从点沿着轴正方向射入上方磁场，经上方磁场偏转或上下方磁场连续偏转后可落在喷涂板的上表面或下表面，并立即被吸收且电中和，忽略场的边界效应、离子受到的重力及离子间相互作用力。 若离子仅经过上方磁场偏转落在喷涂板上表面的中点，求加速电压； 若离子能落在喷涂板下表面，求离子在磁场中运动的最短时间； 若电压调至某一范围，使离子恰好能将喷涂板上表面完全喷涂。假设每秒有个离子均匀落在整个喷涂板上表面，求离子对喷涂板平均作用力大小的可能值； 若离子进入磁场后受到与速度方向相反的阻力，其大小其中已知。离子在上方磁场运动过程中，其轨迹与轴相切于喷涂板的左端点，求离子在该运动过程中克服阻力做的功。 11.如图所示，在空间中建立一直角坐标系，在的空间区域Ⅰ存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场，在的空间区域Ⅱ中，存在方向沿轴正方向的非匀强电场，场强的大小随位置坐标均匀增大，即，，为已知常量；在的空间区域Ⅲ中电场的分布与区域Ⅱ的分布对称，只是场强的方向都沿轴负方向，在的空间区域Ⅳ存在垂直纸面向外、磁感应强度为的匀强磁场。三个相同的带电粒子从坐标的位置出发，其中粒子初速度沿轴正向，粒子初速度沿与轴正向夹角方向，粒子的初速度。已知三个粒子的电荷量均为、质量均为，，，粒子在两电场区域运动的周期为，不计粒子的重力和粒子间的相互作用力，三个粒子均在纸面内运动。求： 粒子首次运动到区域Ⅰ磁场边界时离坐标的距离； 粒子第一次到达轴与粒子第一次到达轴的速度之比； 粒子在空间中运动的周期； 粒子从区域Ⅱ经过区域Ⅰ边界时的横坐标。 12.离子被高能加速后轰击重金属靶时，会产生射线，可用于放射治疗。如图是直线加速器的示意图，某离子从圆筒处进入与圆筒之间的电场，由静止开始加速，以速度沿中心轴线进入圆筒，在各圆筒中做匀速直线运动，交流电压大小不变，周期为，不计离子通过圆筒间隙的时间。离开加速器后从进入边长为的立方体区域，它是有电场和磁场组成的偏转系统，为中点，以点为原点建立空间坐标系，、和分别平行轴、轴和轴，加速器中心轴与轴重合。关闭圆筒后的加速电场，当仅在沿方向加上磁感应强度大小为的匀强磁场时，离子恰好可以垂直落在上。求： 离子从圆筒出来时的速度大小和圆筒的长度； 该离子的比荷； 调节偏转系统控制的电场和磁场，使离子到达身体不同的位置。已知目标所在水平面与轴垂直，到点的距离为。当偏转系统不加电场及磁场时，离子沿偏转系统对称轴运动，当偏转系统同时加上沿方向的电场和磁场时，要求离子打在目标平面上处，已知角度很小时，有，。求偏转系统中的大小。 答案和解析 1.【答案】使粒子垂直挡板射入小孔的加速电压为。   第一象限中电场强度的大小为，方向水平向右。   运动过程中距离轴最远的右侧距离为，再次到达轴所用的时间为  【解析】由及得，解得：。由，解得：。 由及，解得：。 由，解得：，方向水平向右沿轴正方向。 垂直板射出时，将速度分解：，。 由及，运动可视为方向匀速运动与以做匀速圆周运动的叠加。 距轴最远距离为。设以做圆周运动的速度偏转角为，由，解得：。 由及，解得：。 答：使粒子垂直挡板射入小孔的加速电压为。 第一象限中电场强度的大小为，方向水平向右。 运动过程中距离轴最远的右侧距离为，再次到达轴所用的时间为。 粒子垂直挡板射入小孔，意味着粒子在磁场中的运动轨迹半径需满足特定几何关系。根据挡板长度和角度可确定轨迹半径，结合洛伦兹力提供向心力求出粒子速度，再通过动能定理反推加速电压。 粒子以最小速度从小孔射出后做匀速直线运动，说明电场力与洛伦兹力平衡。先根据几何条件求出最小速度对应的轨迹半径和速度，再利用平衡条件求出电场强度大小和方向。 粒子进入复合场后运动可分解为沿轴方向的匀速运动和轴方向的圆周运动。最远距离由圆周运动半径和初始位置决定，时间计算需考虑圆周运动转过特定角度所需时间，结合周期公式和角度关系求解。 本题综合考查带电粒子在电磁复合场中的运动，涉及圆周运动、电场加速、速度分解与合成等核心知识点。题目计算量较大，难度中等偏上，需要学生具备较强的物理建模能力和数学运算技巧。第一问通过几何关系确定轨道半径，结合洛伦兹力公式和动能定理求解加速电压，考查基础公式的应用能力。第二问要求分析最小速度条件，建立电场力与洛伦兹力平衡的物理模型，体现了对临界条件的把握。第三问将运动分解为匀速直线运动和匀速圆周运动的叠加，需要运用运动的合成与分解思想，同时涉及反三角函数的计算，对空间想象能力和数学处理能力要求较高。题目设计巧妙，通过挡板小孔的条件设置，引导学生思考粒子运动的多重可能性，能有效检验学生对电磁场问题的综合分析能力。 2.【答案】从第倍增极的上表面逸出光电子的最大动量为；   匀强磁场的方向为垂直纸面向内； 磁感应强度的大小范围为；   初动能为的光电子从第倍增极上表面到达第倍增极上表面的最长时间为  【解析】光电子逸出的最大初动能 根据德布罗意波长公式有 又 则 则光电子逸出的最大动量为 根据左手定则可以判断磁场方向为垂直纸面向内 临界：点逸出的光电子到达 根据图中几何关系有 解得 电子做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有 即 解得 临界：点逸出的光电子到达，根据几何关系有 解得 则解得 磁感应强度大小的范围 带电粒子在磁场中半径， 考虑到达光电子圆心角最大，即与相切，此时圆心角且能实现。电子在此出处中运动的最长时间为 解得。 答：从第倍增极的上表面逸出光电子的最大动量为； 匀强磁场的方向为垂直纸面向内； 磁感应强度的大小范围为； 初动能为的光电子从第倍增极上表面到达第倍增极上表面的最长时间为。 根据光电效应方程和德布罗意波长公式分析计算； 根据左手定则判断磁场方向；根据洛伦兹力提供向心力，结合几何关系计算电子的轨道半径，进而刻度磁场的范围； 根据电子在磁场中运动经过的圆心角计算。 本题考查了光电效应方程的应用，以及光子的动量和波长关系，知道粒子在磁场中做匀速圆周运动，能够计算出电子的轨道半径是解题的关键。 3.【答案】从射出电子的动能的范围为。   从射出的电子分布在一顶角为的圆锥内为。   电子束对收集板垂直冲击力大小与磁感应强度大小的关系为  【解析】由光电效应方程：，其中：，解得：。 由光电效应方程：，由运动学公式：，由牛顿第二定律：，由几何关系：，联立解得：。 通过水平通道时，由平衡条件：，解得：。在Ⅲ区，由洛伦兹力提供向心力：。 电子恰打在收集板点时：，解得：。 电子恰打在收集板点时：，解得：。 当时：。 当时：。 当时： 由几何关系：，由动量定理：，解得：。 答：从射出电子的动能的范围为。 从射出的电子分布在一顶角为的圆锥内为。 电子束对收集板垂直冲击力大小与磁感应强度大小的关系为。 电子从板逸出后，在Ⅰ区电场中加速，动能增加量为。光电效应中电子最大初动能由入射光频率和截止频率决定，因此从射出的电子动能最小为，最大为加上光电效应最大初动能。 电子在Ⅰ区电场中沿垂直方向加速获得速度分量，同时由于光电效应具有横向速度分量。电子运动方向由这两个速度分量合成，形成圆锥分布。圆锥半顶角的正切值由横向速度与纵向速度比值决定，通过能量关系可求出该比值。 电子在Ⅱ区做直线运动的条件是电场力与洛伦兹力平衡，由此确定电子速度。进入Ⅲ区后电子在磁场中做圆周运动，半径与成反比。当在一定范围内时，电子会打在收集板上，冲击力由单位时间内电子动量变化决定。通过几何关系可建立与的函数关系，当过小或过大时电子将偏离收集板。 本题综合考查光电效应、带电粒子在电磁场中的运动以及动量定理的应用，计算量较大且涉及多过程分析。第一问通过光电效应方程确定电子动能范围，考查基础公式的掌握；第二问结合几何关系求解电子出射角度，需要较强的空间想象能力；第三问通过临界条件分析电子在磁场中的偏转情况，并建立冲击力与磁感应强度的函数关系，对学生的综合分析能力要求较高。题目亮点在于将光电效应与电磁场问题有机结合，通过多区域设置考查学生构建物理模型的能力。 4.【答案】离子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由  由几何关系，沿轴正方向入射的离子垂直击中挡板，轨迹圆心在轴上，磁场圆心  ，半径 ，则有轨迹圆半径 代入数据得  作出离子打到挡板最高位置与最低位置的图像，如图所示 由题意得离子速度在轴左侧与轴成时，打到位置，则有 离子速度在轴右侧与轴成时，打到位置，有  所以击中挡板范围为  设离子发射速度与轴正方向夹角为  ，即离子击中挡板坐标为  当时，  当时，  单位时间内打在纵坐标  范围内的离子数为  ，由动量定理可知  代入整理，得  由几何关系可知距离为， 离子与轴夹角为射入时，离子在圆形磁场最高点射出，向右匀速运动后进入磁场， 在电场中沿着轴方向运动的长度  离子在电场中运动的最长时间  离子在电场中沿着轴方向运动  离子到达左侧边界线的运动轨迹如图所示 离子出磁场后做匀速运动，则左侧沿轴运动最长距离为  荧光屏上亮线的长度    【解析】详细解答和解析过程见【答案】 5.【答案】解：由于离子在电场中，从  处发射的离子通过  点速度最大，则有 ， 解得 ，则经过  点的最大速度 ； 由洛伦兹力提供向心力有 ，所以 ， 由可知从处发射的离子在磁场中运动的半径为，设从纵坐标为的离子源发射的离子进入磁场时的速度与轴正方向夹角为， 由于，所以该离子在磁场中运动半径， 可见所有离子在磁场中做圆周运动圆心均在探测板上， 由几何关系易知打中的区域长度 ； 根据题意，结合上述分析，画出粒子运动轨迹，如图所示 当  时： ， 当  时： ， 当  时： 设从纵坐标为  的离子源发射的离子在磁场中的运动轨迹恰好与探测板相切，由运动学公式有 ， 即 ， 离子轨迹与探测板相切时 ， 联立上述两式得 ， 探测板的收集率 ， 联立上述式子得 。   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 6.【答案】碳衰变成为氮的过程，会放出射线，其衰变方程为。 由题意可知，当碳恰好能击中照相底片的正中间位置时，其运动半径为， 设碳经过加速后获得的速度大小为，由动能定理有，由牛顿第二定律有， 联立解得，。 设碳粒子和碳粒子经过加速后获得的速度大小分别为、， 由动能定理有，，由牛顿第二定律有，， 联立解得，，则照相底片上碳和碳所击中位置间的距离。 粒子在磁场中做圆周运动的半径与加速电压和比荷的关系为 若，碳粒子的半径范围 设粒子打在内圆环上，轨迹与内圆环交于点，当时，圆弧对应的圆心角最小，用时最短。 则有，，。  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 7.【答案】解：因粒子带负电，可知板电势高； 电子在磁场中做圆周运动，运动半径为，则  电子在电场中被加速，则  联立得 ； 对电子由动量定理有  对探测板的冲击力。 根据  以及  联立得  由几何关系得  且，， 解得  同理可得  解得  ， 。   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 8.【答案】磁场方向垂直纸面向外，设粒子做圆周运动的半径为，轨迹如图。 由几何关系  得 由  得  方向：垂直纸面向外。 粒子经过轴最右端是与点在一条直径上的与轴的交点，最左端的情况是轨迹相切于点，如图、所示。 由几何关系可知  粒子能打到轴上离点的最远距离为。 设粒子从点与竖直方向成角时刚好打在收集板的上端，如图，为粒子轨迹的圆心，三角形为等边三角形，  则  入射速度方向与竖直方向左侧成角、与右侧成范围的粒子均可以被收集板右侧收集，即共有  范围粒子被收集板右侧收集。 另当水平向右射出的粒恰好能过点，由几何关系可知，当速度顺时针转过  时，粒子刚好过点，在此范围内的粒子也能被收集板的右侧收集。如图、所示。 粒子能被收集板左侧收集的临界情况是：一是粒子轨迹顺时针运动与收集板相交于最高点，如图所示；二是粒子轨迹顺时针运动与收集板左侧相切于点，如图所示。 由几何关系可知  又  得  所以，左侧收集板收集到的粒子发射的角度范围为  综上，收集板收集到的总粒子数为    【解析】详细解答和解析过程见【答案】 9.【答案】由光电效应方程可知  由动能定理可知  解得  当  时，  当  时，   的大小范围为  某光电子从  点射出，到达  处被探测器接收。设该光电子从  点射出时速度与  轴的夹角为  。运动轨迹如图所示 则有  ，  ，  联立解得  光电子进入磁场后做匀速圆周运动，有  解得  由于光电子从  点射入磁场时速度大小和方向都不定，则光电子在磁场中运动的范围应在光电子做圆周运动的最大半径所形成的半圆内，如下图所示 由于光电子质量、电荷量一定，故光电子的偏转半径与速度  成正比，则最大半径为  能探测到光电子，探测器移动范围为    【解析】详细解答和解析过程见答案 10.【答案】由几何关系可知粒子在磁场中运动半径 根据，  解得； 仅经过次轴落到下表面时间最短由  可知 ； 若通过上方磁场偏转直接打到喷涂板上表面，几何关系，对应  由，得 若通过上下方磁场连续偏转后打到喷涂板上表面，几何关系，对应 由，得； 竖直方向动量定理： 其中 ， 所以 可得 水平方向动量定理：，其中 可得 离子在该运动过程中克服阻力做的功。   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 11.【答案】粒子首次运动到区域Ⅰ磁场边界时离坐标的距离为；   粒子第一次到达轴与粒子第一次到达轴的速度之比：；   粒子在空间中运动的周期为；   粒子从区域Ⅱ经过区域Ⅰ边界时的横坐标为其中，，  【解析】粒子在区域Ⅰ磁场中做圆周运动的半径 粒子首次运动到区域Ⅰ磁场边界时离坐标原点的距离 粒子第一次到达轴时的速度为，由动能定理 由上式得： 粒子第一次到达轴时的速度为，由动能定理 由上式得 所以粒子第一次到达轴与粒子第一次到达轴的速度之比为： 因为粒子在电场中做简谐运动，粒子在电场中的最小速度与最大速度关系为： 所以粒子在电场区域中往返一次的总时间为 故粒子运动的周期为 粒子在电场中的运动可以分解成沿轴方向的匀速直线运动和轴方向的变加速直线运动，其中轴方向的分运动与粒子在电场区域运动相同，所以粒子在电场区域往返一次所用的时间与粒子在电场区域中往返一次的总时间相同，则 其中，， 答：粒子首次运动到区域Ⅰ磁场边界时离坐标的距离为； 粒子第一次到达轴与粒子第一次到达轴的速度之比：； 粒子在空间中运动的周期为； 粒子从区域Ⅱ经过区域Ⅰ边界时的横坐标为其中，，。 根据半径表达式和长度关系求粒子首次运动到区域Ⅰ磁场边界时离坐标的距离； 由动能定理求粒子第一次到达轴与粒子第一次到达轴的速度之比； 根据简谐运动的特点求粒子在空间中运动的周期； 根据运动学公式求粒子从区域Ⅱ经过区域Ⅰ边界时的横坐标。 本题考查带电粒子在电场和磁场的组合场中的运动，要求学生能正确分析带电粒子的运动过程和运动性质，熟练应用对应的规律解题。 12.【答案】解：设离子的电荷量为，质量为，则  ， ， 可得  ， ； 如下图所示，则 ， 由洛伦兹力提供向心力可得 ，可得 ； 离子在方向做类平抛运动，如下图所示 则 ， 根据三角形相似可得 ，可得 ， 由于  ，可求得 ， 离子在方向做圆周运动，如下图所示 则  ， ， 所以 ， 由  ，可得 。   【解析】详细解答和解析过程见答案 第18页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $